完整word沪教版七年级数学知识点总结

第九章整式

第一节整式的概念

9.1.2.3、字母表示数

代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。

代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。

2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。

注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.

4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

整式9.4．

1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母

也是单项式。

2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项

式的次数。

4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数

6、整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做

同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后

的系数，字母和字母的指数不变。

第二节9.6整式的加减：

去括号法则：

（1）括号前面是＋号，去掉＋号和括号，括号里各项的不变号；

（2）括号前面是－号，去掉－号和括号，括号里的各项都变号。

添括号法则

（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法、9.8幂的乘方、9.9积的乘方：

①同底数幂的乘法

mnm+n(m、n都是正整数=a)。a·a同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方与积的乘方

mnmn(m、n）都是正整数=a（a)

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

nnn(n都是正整数=a) b （ab）积的乘方等于各因式乘方的积。

③同底数幂的除法

mnm-n(a≠0,mn都是正整数，且m=a＞n) a ÷a同底数幂相除，底数不变，指数相减。

0=1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。a 1 任何一个不等零的数是正整数a= (a≠0,p)

p a-p

p-p(p的是正整数)指数幂，等这个数的指数幂的倒数。

9.10整式的乘法：⑴单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑵单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。

注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。

⑶多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

第四节、乘法公式

9.11平方差公式

①内容：

（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2

②意义：

两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。

③特征：

Ⅰ.左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；

Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差；

Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。

④几何意义：

平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等

的表达式。

⑤拓展：

Ⅰ.立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3；

Ⅱ.立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。

（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ2＋…＋ａ2ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。

9.12完全平方公式：

①内容：

（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ；

（ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。

②意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。

两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。

③特征：

Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其

中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。

④推广：

Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc；Ⅱ.（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2；

Ⅲ.（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。

第五节因式分解

⑴因式分解的意义：

把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。

注意：①因式分解的要求：

Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；

Ⅱ.每个因式必须是整式；

Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。

②因式分解与整式乘法的关系：

是两种不同的变形过程，即互逆关系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。

确定公因式方法：

系数：取多项式各项系数的最大公约数。

字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。

9.14公式法

②利用公式法分解因式：

Ⅰ.平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。