七年级平面图形的认识(一)专题练习(word版
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【答 案】 （1 ）解：不变化 .理 由：∵ AP 和 BP 分 别是 ∠ BAO 和 ∠ ABO 的 平分线 ，
∠ AOB=90°，∴ ∠ APB=180° （∠ OAB+∠ ABO）=180° ×90°=135°
（2）解：都不变. 理由：∵ AQ 和 BQ 分别是∠ BAO 的邻补角和∠ ABO 的邻补角的平分线，AP 和 BP 分别是 ∠ BAO 和∠ ABO 的平分线， ∴ ∠ CAQ=∠ QBP=90°，又∠ APB=135°， ∴ ∠ Q=45°，∴ ∠ C=45°
(平角定义)∴ ∠ ACD=
又∵ CF 平分∠ ACD ， ∴
(角平分线定义)
∴ ∠ ECF=
（2）证明：∵ CG⊥CF，
∴
.
∴
又∵
）
∴
∵
∴
(等角的余角相等）
即 CG 平分∠ OCD
（3）解：结论：当∠ O=60°时 ，CD 平分∠ OCF ． 当∠ O=60°时 ∵ DE//OB， ∴ ∠ DCO=∠ O=60°. ∴ ∠ ACD=120°. 又 ∵ CF 平分∠ ACD ∴ ∠ DCF=60°， ∴
（1）若∠ BAO 和∠ ABO 的平分线相交于点 P ， 在点 A、B 的运动过程中，∠ APB 的大小是 否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； （2）若△ ABO 的两个外角的平分线 AQ、BQ 相交于点 Q ， AP 的延长线交 QB 的延长线于 点 C，在点 A、B 的运动过程中，∠ Q 和∠ C 的大小是否会发生变化？若不发生变 化，请求 出∠ Q 和∠ C 的度数；若发生变化，请说明理由.
2．将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图①），其中
，
，
.
（1）猜想
与
的数量关系，并说明理由；
（2）若
，求
的度数；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究
，并简要说明理由.
【答案】 （1）解：
wk.baidu.com
，理由如下：
等于多少度时
，
（2）解：如图①，设
，则
，
由（1）可得
，
，
，
（3）解：分两种情况：
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知 AB∥ CD，现将一直角三角形 PMN 放入图中，其中∠ P＝90°，PM 交 AB 于 点 E，PN 交 CD 于点 F
（1）当△ PMN 所放位置如图①所示时，则∠ PFD 与∠ AEM 的数量关系为________； （2）当△ PMN 所放位置如图②所示时，求证：∠ PFD−∠ AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若 MN 与 CD 交于点 O，且∠ DON＝30°，∠ PEB＝15°，求∠ N 的 度数． 【答案】 （1）∠ PFD＋∠ AEM=90° （2）过点 P 作 PG∥ AB
①如图 1 所示，当
时，
又
，
， ；
②如图 2 所示，当
时，
，
又
，
.
综上所述，
等于
或 时，
.
【解析】【分析】（1）由∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+∠ ACD，即可求出∠ BCD+∠ ACE 的度
数.
（2）如图①，设∠ ACE=a，可得∠ BCD=3a，结合（1）可得 3a+a=180°，求出 a 的度
∵ AB∥ CD， ∴ PG∥ AB∥ CD， ∴ ∠ AEM=∠ MPG，∠ PFD=∠ NPG ∵ ∠ MPN=90° ∴ ∠ NPG－∠ MPG=90° ∴ ∠ PFD－∠ AEM=90°； （3）设 AB 与 PN 交于点 H
∵ ∠ P=90°，∠ PEB＝15° ∴ ∠ PHE=180°－∠ P－∠ PEB＝75° ∵ AB∥ CD， ∴ ∠ PFO=∠ PHE=75° ∴ ∠ N=∠ PFO－∠ DON=45°．
【解析】【解答】（1）过点 P 作 PH∥ AB
∵ AB∥ CD， ∴ PH∥ AB∥ CD， ∴ ∠ AEM=∠ MPH，∠ PFD=∠ NPH ∵ ∠ MPN=90° ∴ ∠ MPH＋∠ NPH=90° ∴ ∠ PFD＋∠ AEM=90° 故答案为：∠ PFD＋∠ AEM=90°； 【 分 析 】 （ 1 ） 过 点 P 作 PH∥ AB ， 然 后 根 据 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 直 线 平 行 可 得 PH∥ AB∥ CD，根据平行线的性质可得∠ AEM=∠ MPH，∠ PFD=∠ NPH，然后根据∠ MPH＋ ∠ NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点 P 作 PG∥ AB，然后根据平行于同一条直 线 的 两 直 线 平 行 可 得 PG∥ AB∥ CD ， 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ∠ AEM=∠ MPG ， ∠ PFD=∠ NPG，然后根据∠ NPG－∠ MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设 AB 与 PN 交 于 点 H ， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 即 可 求 出 ∠ PHE ， 然 后 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ∠ PFO=∠ PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．
数，即得∠ BCD 的度数.
（3）分两种情况讨论， ①如图 1 所示，当 AB∥ CE 时，∠ BCE=180°-∠ B=120°，②如
图 2 所示，当 AB∥ CE 时， ∠ BCE=∠ B=60°，分别求出∠ BCD 的度数即可.
3．如图，直线 m 与直线 n 互相垂直，垂足为 O,A、B 两点同时从点 O 出发，点 A 沿直线 m 向左运动，点 B 沿直线 n 向上运动.
【 解 析 】 【 分 析 】 根 据 角 平 分 线 定 义 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得 到 ∠ APB=180° − （∠ OAB+∠ ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠ CAQ=∠ QBP=90°，由∠ APB 的 度数，求出∠ Q 和∠ C 的度数.
4．如图，点 C 在∠ AOB 的边 OA 上，过点 C 的直线 DE∥ OB ， CF 平分∠ ACD ， CG⊥CF 于 C.
（1）若∠ O＝40°，求∠ ECF 的度数；
（2）试说明 CG 平分∠ OCD；
（3）当∠ O 为多少度时，CD 平分∠ OCF？并说明理由．
【答案】 （1）解：∵ DE//OB ，∴ ∠ O=∠ ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ O =40°，
∴ ∠ ACE =40°，∵ ∠ ACD+∠ ACE=
∠ AOB=90°，∴ ∠ APB=180° （∠ OAB+∠ ABO）=180° ×90°=135°
（2）解：都不变. 理由：∵ AQ 和 BQ 分别是∠ BAO 的邻补角和∠ ABO 的邻补角的平分线，AP 和 BP 分别是 ∠ BAO 和∠ ABO 的平分线， ∴ ∠ CAQ=∠ QBP=90°，又∠ APB=135°， ∴ ∠ Q=45°，∴ ∠ C=45°
(平角定义)∴ ∠ ACD=
又∵ CF 平分∠ ACD ， ∴
(角平分线定义)
∴ ∠ ECF=
（2）证明：∵ CG⊥CF，
∴
.
∴
又∵
）
∴
∵
∴
(等角的余角相等）
即 CG 平分∠ OCD
（3）解：结论：当∠ O=60°时 ，CD 平分∠ OCF ． 当∠ O=60°时 ∵ DE//OB， ∴ ∠ DCO=∠ O=60°. ∴ ∠ ACD=120°. 又 ∵ CF 平分∠ ACD ∴ ∠ DCF=60°， ∴
（1）若∠ BAO 和∠ ABO 的平分线相交于点 P ， 在点 A、B 的运动过程中，∠ APB 的大小是 否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； （2）若△ ABO 的两个外角的平分线 AQ、BQ 相交于点 Q ， AP 的延长线交 QB 的延长线于 点 C，在点 A、B 的运动过程中，∠ Q 和∠ C 的大小是否会发生变化？若不发生变 化，请求 出∠ Q 和∠ C 的度数；若发生变化，请说明理由.
2．将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图①），其中
，
，
.
（1）猜想
与
的数量关系，并说明理由；
（2）若
，求
的度数；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究
，并简要说明理由.
【答案】 （1）解：
wk.baidu.com
，理由如下：
等于多少度时
，
（2）解：如图①，设
，则
，
由（1）可得
，
，
，
（3）解：分两种情况：
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知 AB∥ CD，现将一直角三角形 PMN 放入图中，其中∠ P＝90°，PM 交 AB 于 点 E，PN 交 CD 于点 F
（1）当△ PMN 所放位置如图①所示时，则∠ PFD 与∠ AEM 的数量关系为________； （2）当△ PMN 所放位置如图②所示时，求证：∠ PFD−∠ AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若 MN 与 CD 交于点 O，且∠ DON＝30°，∠ PEB＝15°，求∠ N 的 度数． 【答案】 （1）∠ PFD＋∠ AEM=90° （2）过点 P 作 PG∥ AB
①如图 1 所示，当
时，
又
，
， ；
②如图 2 所示，当
时，
，
又
，
.
综上所述，
等于
或 时，
.
【解析】【分析】（1）由∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+∠ ACD，即可求出∠ BCD+∠ ACE 的度
数.
（2）如图①，设∠ ACE=a，可得∠ BCD=3a，结合（1）可得 3a+a=180°，求出 a 的度
∵ AB∥ CD， ∴ PG∥ AB∥ CD， ∴ ∠ AEM=∠ MPG，∠ PFD=∠ NPG ∵ ∠ MPN=90° ∴ ∠ NPG－∠ MPG=90° ∴ ∠ PFD－∠ AEM=90°； （3）设 AB 与 PN 交于点 H
∵ ∠ P=90°，∠ PEB＝15° ∴ ∠ PHE=180°－∠ P－∠ PEB＝75° ∵ AB∥ CD， ∴ ∠ PFO=∠ PHE=75° ∴ ∠ N=∠ PFO－∠ DON=45°．
【解析】【解答】（1）过点 P 作 PH∥ AB
∵ AB∥ CD， ∴ PH∥ AB∥ CD， ∴ ∠ AEM=∠ MPH，∠ PFD=∠ NPH ∵ ∠ MPN=90° ∴ ∠ MPH＋∠ NPH=90° ∴ ∠ PFD＋∠ AEM=90° 故答案为：∠ PFD＋∠ AEM=90°； 【 分 析 】 （ 1 ） 过 点 P 作 PH∥ AB ， 然 后 根 据 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 直 线 平 行 可 得 PH∥ AB∥ CD，根据平行线的性质可得∠ AEM=∠ MPH，∠ PFD=∠ NPH，然后根据∠ MPH＋ ∠ NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点 P 作 PG∥ AB，然后根据平行于同一条直 线 的 两 直 线 平 行 可 得 PG∥ AB∥ CD ， 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ∠ AEM=∠ MPG ， ∠ PFD=∠ NPG，然后根据∠ NPG－∠ MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设 AB 与 PN 交 于 点 H ， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 即 可 求 出 ∠ PHE ， 然 后 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ∠ PFO=∠ PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．
数，即得∠ BCD 的度数.
（3）分两种情况讨论， ①如图 1 所示，当 AB∥ CE 时，∠ BCE=180°-∠ B=120°，②如
图 2 所示，当 AB∥ CE 时， ∠ BCE=∠ B=60°，分别求出∠ BCD 的度数即可.
3．如图，直线 m 与直线 n 互相垂直，垂足为 O,A、B 两点同时从点 O 出发，点 A 沿直线 m 向左运动，点 B 沿直线 n 向上运动.
【 解 析 】 【 分 析 】 根 据 角 平 分 线 定 义 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得 到 ∠ APB=180° − （∠ OAB+∠ ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠ CAQ=∠ QBP=90°，由∠ APB 的 度数，求出∠ Q 和∠ C 的度数.
4．如图，点 C 在∠ AOB 的边 OA 上，过点 C 的直线 DE∥ OB ， CF 平分∠ ACD ， CG⊥CF 于 C.
（1）若∠ O＝40°，求∠ ECF 的度数；
（2）试说明 CG 平分∠ OCD；
（3）当∠ O 为多少度时，CD 平分∠ OCF？并说明理由．
【答案】 （1）解：∵ DE//OB ，∴ ∠ O=∠ ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ O =40°，
∴ ∠ ACE =40°，∵ ∠ ACD+∠ ACE=