基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

非奇非偶 无
对称中心 (0, ) 2
反余切函数 y arccot x
是 y cot x，x 0, 的反函数
定域义 值域 单调性
(, , )
2
,
2
在(, , )上递增
奇偶性 奇函数
周期性 无
对称性 对称中心（0，0）
(, , )
0, 在(, , )上递减
非奇非偶 无 对称中心（0，π/2）
2a
时，fmin (x)
4ac b2 4a
；当 a
0 时，抛物线开口向下，函数在 (,
b ] 上递增，在[ 2a
b 2a
, )
上递减，当
x
b 2a
时，
f max
(x)
4ac 4a
b2
．
二、幂函数 （1）幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
（2）幂函数的图象
等于 0．
②正数的负分数指数幂的意义是：a
m n
(
1
)
m n
a
n
(1)m (a a
0, m, n N , 且 n
1) ．0
的负
分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
① ar as ars (a 0, r, s R)
② (ar )s ars (a 0, r, s R)
③ (ab)r arbr (a 0,b 0, r R)
loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1) loga x 0 (0 x 1)
a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．
五、反函数 （1）反函数的概念
设函数 y f (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y f (x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．如果 对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x ( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么 式子 x ( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数，记作 x f 1( y) ， 习惯上改写成 y f 1(x) ．
②减法： loga
M
loga
N
loga
M N
a ④ loga N N
⑤ logab
M
n
n b
loga
M (b
0, n R)
（5）对数函数
⑥换底公式： loga
N
logb logb
N a
(b
0, 且b
1)
函数名称
对数函数
定义
函数 y loga x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a 1
递增
b 2a
,
递减
①.二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 顶点坐标 2a
是 (
b
4ac b2
,
)
2a 4a
②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在 (, b ] 上递减，在[ b , ) 上递增，当 x b
2a
2a
六、三角函数的图像和性质
（一）正弦与余函数的图像与性质
函数
y sin x
图像
y cosx
定域义 值域 最值
单调性
奇偶性 周期性 对称性
R
1,1
x
2
2k时,
y最大
1，
kZ
x
2
2k时,
y最小
1，k
Z
在每个[ 2k , 2k ]上递增
2
2
在每个[ 2k , 3 2k ]上递减
2
2
kZ
（4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1 y y ax
0 a 1
y ax y
图象
y1
y1
(0, 1)
(0, 1)
1
O
0x
1
O
0x
定义域 值域
R (0, )
过定点 奇偶性 单调性
函数值的 变化情况
图象过定点 (0,1) ，即当 x 0 时， y 1．
2 对称轴: x k , (k Z )
2. 正切与余切函数的图像与性质
函数
y tan x
y cot x
图像
定域义 值域 单调性
奇偶性 周期性 对称性
{x | x R且x k , k Z} 2
R
在每个( k , k )上递增
2
2
kZ
奇函数
{x | x R且x k , k Z}
R
在每个(k , k )上递减 kZ
奇函数
是周期函数， 为最小正周期 对称中心 ( k , 0)
2
是周期函数， 为最小正周期 对称中心 ( k , 0)
2
七、反三角函数的图像与性质
1. 反正弦与反余函数的图像与性质
函数
反正弦函数 y arcsin x
是
y
sin
x，x
2
,
2
的反函数
反余弦函数 y arccos x
②顶点式： f (x) a(x h)2 k(a 0)
③两根式： f (x) a(x x1)(x x2 )(a 0)
（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x) 更方便．
（2）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式 y f (x) 中反解出 x f 1( y) ； ③将 x f 1( y) 改写成 y f 1(x) ，并注明反函数的定义域．
（3）反函数的性质
①原函数 y f (x) 与反函数 y f 1(x) 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x) 的图象上． ④一般地，函数 y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数．
一、一次函数与二次函数
（一）一次函数
一次 函数
k ，b 符号
b0
k 0 b0
k kx bk 0
b0
b0
k 0 b0
b0
y
y
y
y
y
y
图象
O
xO
xO
xO
x
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
（二）二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： f (x) ax2 bx c(a 0)
（1）对数的定义： ①若 ax N (a 0, 且a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x loga N ， 其中 a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： x loga N ax N (a 0, a 1, N 0) ． （2）几个重要的对数恒等式： loga 1 0 ， loga a 1 ， loga ab b ．
是 y cos x，x 0, 的反函数
图像
定域义 值域
单调性 奇偶性 周期性 对称性
1,1
2
,
2
在[1, 1]上递增
奇函数
无
对称中心 (0, 0)
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
函数
反正切函数 y arctan x
图像
是 y tan x，x ( , ) 的反函数
22
1,1
0, 在[1, 1]上递减
奇函数
是周期函数，2 为最小正周期
对称中心 (k , 0) ， 对称轴 : x k , (k Z )
2
R
1,1
x 2k时, y最大 1， k Z x 2k时, y最小 1，k Z
在每个[ 2k , 2k ]上递增 在每个[2k , 2k ] 上递减
kZ
偶函数
是周期函数，2 为最小正周期 对称中心 ( k , 0) ，
（3）常用对数与自然对数
常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： ln N ，即 loge N （其中 e 2.71828 …）．
（4）对数的运算性质 如果 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么
①加法： loga M loga N loga (MN ) ③数乘： n loga M loga M n (n R)
0 a 1
图象
y
x1 y loga x
y
x1 y loga x
1
O
0 (1, 0)
x
1(1, 0)
O
0x
定义域
(0, )
值域
R
过定点
图象过定点 (1, 0) ，即当 x 1 时， y 0 ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在 定义域 上是增函数
在 定义域 上是减函数
函数值的 变化情况
loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1) loga x 0 (0 x 1)
过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ．
三、指数函数
（1）根式的概念：如果 xn a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．
（2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是：a n n am (a 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂
（3）二次函数图象的性质
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac b2 4a
值域
4ac b2
4a
,
,
4ac b2 4a
单调区间
,
b 2a
递减
b 2a
,
递增
,
b 2a
非奇非偶
在 R 上是增函数 ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0)
在 R 上是减函数 ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0)
a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．
四、对数函数