数学分析 第二型曲面积分
数学分析22-2222 第二型曲面积分
R( i
,i
,
i
)( Si
) xy
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,
把Σ分成n块小曲面Si (Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积),Si 在 xoy面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,
如果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ 上连续, 求在单位
时间内流向Σ 指定侧的流
体的质量.
o
y
x
v
A
n
0
如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v 又 设 n 为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流 过这闭区域的流体组成一个底面积为 A、斜高为|v| 的斜柱体
该ni0点 处co曲s面i iΣ
的单位法向量
cos i j cos
i
k
,
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi niSi (i 1,2,, n).
2. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i 1 n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
〖提示〗把Si 看成是一小块平面 其法线向量为 ni 则通过Si 流向指定侧的流量近似地等于一 个斜柱体的体积
此斜柱体的斜高为|vi| 高为|vi|cos(vi^ni)vi·ni 体积为 vi·niSi
曲面积分三大公式
曲面积分三大公式曲面积分是数学分析中的一个重要概念，在物理学、工程学、计算机图形学等领域的应用极为广泛。
曲面积分可以看作是对曲面上的某个量进行积分运算，其本质是对曲面的局部几何性质（如曲率、法向量、面积等）进行计算，常用于求取曲面质量、曲线弧长、电场场强等问题。
在曲面积分的求解中，有三个重要的公式，分别是第一型、第二型和第三型曲面积分公式。
下面我们将对这三个公式进行详细介绍。
第一型曲面积分公式第一型曲面积分公式，又称为曲面上的标量积分，是指对曲面上某个标量场进行积分的运算。
其数学表达式为：$$\\iint_{S}f(x,y,z)dS$$其中，S为曲面，f(x,y,z)为在曲面上的某一点(x,y,z)上的标量场值。
该公式中的dS表示曲面元素，可以看作曲面上一个小面积的微元素。
在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据表面积元素的定义进行求解。
第二型曲面积分公式第二型曲面积分公式，又称为曲面上的向量积分，是指对曲面上某个向量场进行积分的运算。
其数学表达式为：$$\\iint_{S}\\vec{F}\\cdot\\vec{n}dS$$其中，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$\\vec{n}$ 为曲面上某一点的法向量。
该公式中的dS含义同上。
在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。
第三型曲面积分公式第三型曲面积分公式，又称为曲面上的第二型线积分，是指对曲面边界上的某个向量场进行积分的运算。
其数学表达式为：$$\\oint_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot d\\vec{r}$$其中，$\\partial S$ 为曲面S的边界，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$d\\vec{r}$ 为曲线元素。
该公式中的 $\\oint$ 表示沿曲线逆时针方向进行积分。
在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。
综上所述，第一型、第二型和第三型曲面积分公式是曲面积分求解中的三个重要工具。
数学分析第二曲面积分解析
(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别， 当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
数学分析22-222.2 第二型曲面积分
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中cos0也就是()xy0的情形
类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投 影(S)yz及(S)zx
实例 流向曲面一侧的流量. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
D
前者可正可负,是 (Si )xy 的象征,后者恒正,是 i 的
象征.
一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片 光滑曲面上对坐标的曲面积分之和
对坐标的曲面积分的性质:
1（. 曲面可加性）
Hale Waihona Puke Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们 的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
2（. 方向性）设是有向曲面，－表示与取相反侧的 有向曲面，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
对坐标的曲面积分的性质:
y, z)dzdx
lim
0
Q(i ,i , i )(Si )zx
i1
定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n(cos cos cos)是其
-第二型曲面积分ppt课件
n {cos ,
cos,
cos} ，则
A( x, y,z)ndS (PcosQcos Rcos)dS
其 中dS是 曲 面的 面 积 元 素。
记
dS
ndS
{cos
dS
,cosdS
,cos
dS
}{dy
dz,dz
dx,dx
dy}
，
称 dS 为曲面 的面积微元向量。
则
AndS AdS PdydzQdzdx
Rdxdy
，
从而
AndS
Pdydz
Qdz
dx
Rdx
dy
。
A(x, y,z)ndS PdydzQdzdx Rdxdy
dydz 是 dS 在 yoz 面上的投影 ；dzdx 是 dS 在
zox 面上的投影 ；dxdy 是 dS 在 xoy 面上的投影 。
它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos 0 时， dxdy 取正号；当 cos 0 时，dxdy 取负号。
))i
D
R(
xy
x,
y,z(
x,
y))dxdy
。
若 取下侧，则cos i 0 ， i cos i Si ，
R( x, y,z)dxdy R( x, y,z( x, y))dxdy 。
Dxy
定理 2.1：设函数 R( x, y,z) 在 有向光滑曲面 ： zz( x, y) ，
(x, y)Dxy 上连续，则有
x
6 ： z0 (0 xa, 0 ya) 的下侧；
I y( xz)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy
∵除 1 、 2 外，其余四片曲面在yoz 面上的投影均为零，
二型曲面积分
二型曲面积分
二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场的积分。
在物理学、工程学等领域中，二型曲面积分被广泛应用，例如计算电场、磁场等物理量。
二型曲面积分的计算方法与一型曲线积分类似，都是将曲面分成小块，然后对每个小块进行积分。
不同的是，二型曲面积分需要考虑曲面的法向量，因为向量场的积分方向必须与曲面的法向量方向一致。
具体来说，设曲面S的方程为F(x,y,z)=0，向量场为F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，曲面S的法向量为n，则二型曲面积分的计算公式为：
∬S F·n dS = ∬D F(x,y,z)·n(x,y,z) dS
其中，D是曲面S在xy平面上的投影区域，n(x,y,z)是曲面S在点(x,y,z)处的单位法向量。
需要注意的是，二型曲面积分的计算需要满足一定的条件，例如曲面必须是光滑的、有向的等。
此外，对于一些特殊的曲面，如球面、柱面等，可以采用特殊的计算方法，简化计算过程。
二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
掌握二型曲面积分的计算方法，可以帮助我
们更好地理解和应用数学知识。
第二型曲面积分
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第二型曲面积分
§2 第二型曲面积分教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议：(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序： 曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一 第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以yzi S ∆，zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如iS 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xyi S ∆为负（n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆ni i iiiT yzSP 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT zxSQ 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,, (1)上述积分(1)也可写作()⎰⎰Sdydz z y x P ,,+()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,+()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,第二型曲面积分的性质（1） 若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则有dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=∑⎰⎰=++ni Si i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1（2）若曲面S 由两两无公共内点的曲面块21,S S …n S 所组成，⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz （n i ,,2,1 =）都存在，则()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,也存在，且()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,=∑⎰⎰=++ni S iRdxdy Qdzdx Pdydz 1二 第二型曲面积分的计算定理22．2设R 为定义在光滑曲面S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角 ），则有()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,, （2）证 由第二型曲面积分的定义()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()∑=→∆n i i iiiT xyS R 1,,limζηξ=()()∑=→∆ni i iiiid xyS R 1,,,lim ηξζηξ这里()xyiS d ∆=max ，因{}的直径i ni S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得()xyi S d ∆=max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,,=()()∑=→∆ni i iiiid xySR 1,,,limηξζηξ所以()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,,类似地：P 为定义在光滑曲面S ：()()yz D z y z y x x ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdydz z y x P ,,=()()⎰⎰xyD dydz z y z y x P ,,,Q 为定义在光滑曲面S ：()()zx D x z x z y y ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,=()()⎰⎰ZXD dzdx y x z y x Q ,,,注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S ： 2211y x z --=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy 2S ：2221y x z ---=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰----xyD dxdy y x xy 221 =⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212=⎰⎰=-201231521sin cos 2πϑθθdr r r d ．例2 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(， ∑为球面2222R z y x =++取外侧.解 对积分⎰⎰∑+dydzy x )(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑ : ,222z y R x --= 222 :R z y D yz ≤+; 后∑: ,222z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+. 因此, ⎰⎰∑+dydzy x )(=⎰⎰∑前+⎰⎰∑后=()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R 222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()323223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===.对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有 上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+;下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+. 因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上,⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯作业P 289:1;2.。
第二型曲面积分【高等数学PPT课件】
Σ
其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
y
原式 3 (z x)d x d y
x
Σ
的顶部
1 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2
:
z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
(z x)d xdy]
2
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上第二型曲面积分。
记作
dx
Pd y d z Qd z d x Rd x d y
Σ
dy dz
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
n
{( x, y) x2 y2 R2 }
o y Dxy R
z d x d y R2 x2 y2dxdy
x
D
2
d
R
R2 r 2 rdr
0
0
2
[
1 3
(
R2
r
2
3
)
2
]0R
2 R3
3
例2. 计算 ( x d x d y
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y)
数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。
设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。
动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。
取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为 函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。
数学分析第二型曲面积分
数学分析第二型曲面积分第二型曲面积分练习题2012.12.28--------陈科豪1计算（1）Sxyzdxdy ??，其中S 是球面2221x y z ++=在0,0x y ≥≥部分，并取球面外侧。
（2）3S x dzdy ??，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，并选取外侧。
（3）S(2)x z dzdy zdxdy ++??，其中[]{}22(,,)/z=,0,1S x y z x y z =+∈，选取上侧。
（4）222S x dzdy y dzdx z dxdy ++??，其中S 是球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=，并选取外侧为正向。
（5）Syzdzdx ??，其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分，并选取外侧为正向。
(6) S xydydz yzdzdx xzdxdy ++??,其中S 是由平面0x y z ===和1x y z ++=所围的四面体表面病区外侧为正向。
(7) S()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy +++++??其中S 是以原点为中心,边长为2的立方体表面,选取外侧为正向。
(8) 22S ()()y x z dydz xdzdx y xz -+++??,其中S 是0x y z ===和x y z a ===六个平面所围的立方体的表面, 选取外侧为正向。
(9) S ()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-??,其中S 是圆锥面z =,z h ≤,(0)h >,并选取曲面外侧。
(10) 22S (1)x dydz y dzdx x dxdy ++-??，其中S 是上半球面z =选取其上侧。
斯托克斯公式化为第二型曲面积分
一、引言斯托克斯公式是向量分析中的重要定理之一，它将曲面积分和线积分联系了起来，为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
斯托克斯公式最初是由苏格兰数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的，它的第一型形式和第二型形式都有着重要的应用价值。
本文将重点讨论斯托克斯定理的第二型形式的推导和应用。
二、斯托克斯定理的第二型形式1. 斯托克斯定理的表述斯托克斯定理是向量分析中的基本定理之一，它建立了曲面积分和线积分之间的联系。
用数学语言描述，斯托克斯定理的第二型形式可以表述为：设M是一个分片光滑的有向曲面，边界为C，f是定义在M 上的有连续偏导数的向量场，则有∮c f·dr=∬s curl f ·n dS其中C为曲面M的边界，f是定义在M上的向量场，curl f是f的旋度，n是曲面M的单位法向量，dS表示曲面元素面积。
2. 斯托克斯公式的推导斯托克斯定理的第二型形式可以通过对曲面积分和线积分的定义以及向量场的旋度的概念进行推导得出。
通过对曲面积分和线积分的定义进行推演，可以得出斯托克斯公式的第二型形式。
在推导的过程中，需要运用高等数学中的向量分析、曲面积分和线积分等知识，并进行一系列的变量替换和积分运算，并且需要注意符号的处理和积分路径的选择。
3. 斯托克斯公式的应用斯托克斯公式的第二型形式在物理学、工程学、地球科学等领域有着广泛的应用。
例如在电磁学中，可以利用斯托克斯公式将曲面积分转化为线积分，从而更方便地求解电场的分布情况。
在流体力学中，斯托克斯公式也可以用来分析流体在曲面上的旋转情况，对于解决流体运动问题具有重要意义。
斯托克斯公式也为工程计算、地质勘探等领域提供了重要的数学工具。
三、结论斯托克斯公式的第二型形式是向量分析中的重要定理，它建立了曲面积分和线积分之间的联系，为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
通过对斯托克斯公式的第二型形式进行推导和应用，可以更深入地理解向量分析和曲面积分等数学知识，并且可以更灵活地运用这些知识解决实际问题。
数学分析第五版
14.2 曲面积分一．第一型曲面积分第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。
例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。
设在三维欧式空间错误!未找到引用源。
中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。
首先，用曲面S 上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。
，…，错误!未找到引用源。
，将此分法记为T。
设第k个小曲面错误!未找到引用源。
的面积是错误!未找到引用源。
在第k个小曲面错误!未找到引用源。
上任取一点错误!未找到引用源。
，作和错误!未找到引用源。
∑=∆=nkkkkkn fQ1),,(σζηξ(1)称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。
令错误!未找到引用源。
定义设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。
若当错误!未找到引用源。
时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1）存在极限L，即错误!未找到引用源。
=L,则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为L=错误!未找到引用源。
,期中是曲面S的面积微元。
不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。
，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即m=错误!未找到引用源。
,第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。
关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。
定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。
,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。
三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
(2)其中E=错误!未找到引用源。
F=错误!未找到引用源。
G=错误!未找到引用源。
证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。
公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。
数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。
设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。
动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。
取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为 函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。
数学分析3课件：数学分析_22-2 第二型曲面积分
S
D yz
(前正后负)
若曲面 S 是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于 yz 坐
标面） S : ( y, z) 0
则 P(x, y, z)d y d z 0
S 首页 ×
积分 Q( x, y, z)d z d x 的计算方法
S
将曲面 S 表示为
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x
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三、第二型曲面积分的计算 定理22.2 设光滑曲面
取上侧,
是 S 上的连续函数, 则
R( x, y, z)d x d y R( x, y, z(x, y) )d x d y
S
Dxy
注：积分 R( x, y, z)d x d y 的计算，必须先将曲面Sຫໍສະໝຸດ 表示成：再代公式计算
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n
§2 第二型曲面积分
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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设连通曲面 S 上处处有连续
L
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定 曲面在M0 点的一个法线 方向为正方向，另一个方向为负方向.
L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线. 设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0 有相同的法线方向，当点 M 连续移动时，其法线方向
z
S1 : z 1 x2 y2
S1
S2 : z 1 x2 y2
O
x2 y2 1
( x,
y)
Dx y
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Σ
Σ
记 dσ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy), 这三个分量分别是有向面积元在 yz 平面, zx 平面, xy 平面上的投影.
这样 Φ 又常表示为 Σ P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy .
第二型曲面积分
设 F = (P, Q, R) 是 Σ 上的连续向量值函数, 它沿 Σ 的第二型曲面积分 定义为
曲面的方向
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向).
如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定向, 否则就称该曲面不 可定向.
本节所涉及的曲面都假定是可定向的. 对于可定向曲面, 其定向(方向) 是指一个 给定的连续单位法向量场 n.
记 n = (cos α, cos β, cos γ), 其中 α, β, γ 分别是 n 与三个坐标轴的夹角. 当 cos γ ≥ 0 时, n 所决定的方向称为曲面的上侧方向; 反之, n 所决定的方向称为 曲面的下侧方向.
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 记 N = ϕu × ϕv , 则 N 为曲面的法向量. 如果 N/ N = n, 则称 ϕ 是与给定定向相容的参数表示. 我们总是选取与给定 定向相容的参数表示. 在参数表示下, 我们知道 dσ = N dudv , 因此有向面积元可以表示为 dσ = Ndudv .
=
∂(x, y ) ∂(u, v )
du dv .
此时 Φ 可以写为
∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y)
Φ=
F · Ndudv =
D
D
P
+Q
+R
∂(u, v ) ∂(u, v ) ∂(u, v )
du dv .
第二型曲面积分
在参数表示下, dσ = N du dv , N = ϕu × ϕv , 可见
Σ
Σ
记 dσ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy), 这三个分量分别是有向面积元在 yz 平面, zx 平面, xy 平面上的投影.
第二型曲面积分
设 F = (P, Q, R) 是 Σ 上的连续向量值函数, 它沿 Σ 的第二型曲面积分 定义为
Φ = F · dσ = F · ndσ.
du dv .
例1 计算积分 Σ xyz dx ∧ dy , 其中 Σ = {x2 + y 2 + z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, 方向为外侧.
例子
解. 将 Σ 分成两部分, 即
Σ1 : z = 1 − x2 − y 2, (x, y ) ∈ D = {x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0},
曲面的方向
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向).
如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定向, 否则就称该曲面不 可定向.
本节所涉及的曲面都假定是可定向的. 对于可定向曲面, 其定向(方向) 是指一个 给定的连续单位法向量场 n.
记 n = (cos α, cos β, cos γ), 其中 α, β, γ 分别是 n 与三个坐标轴的夹角. 当 cos γ ≥ 0 时, n 所决定的方向称为曲面的上侧方向; 反之, n 所决定的方向称为 曲面的下侧方向.
对于封闭的曲面, 指向曲面所围区域外部的单位法向量所决定的方向称为曲面 的外侧方向, 指向曲面所围区域内部的单位法向量所决定的方向称为曲面的内 侧方向.
有向面积元
设 dσ 是曲面 Σ 的面积元, 记 dσ = ndσ, 称为 Σ 的有向面积元.
有向面积元
设 dσ 是曲面 Σ 的面积元, 记 dσ = ndσ, 称为 Σ 的有向面积元. 设 ϕ : D → R3 为 Σ 的参数表示, 其中
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 记 N = ϕu × ϕv , 则 N 为曲面的法向量.
有向面积元
设 dσ 是曲面 Σ 的面积元, 记 dσ = ndσ, 称为 Σ 的有向面积元. 设 ϕ : D → R3 为 Σ 的参数表示, 其中
dy
∧ dz
=
∂(y , z) ∂(u, v )
du
dv ,
dz
∧ dx
=
∂(z, x) ∂(u, v )
du dv ,
dx
∧ dy
=
∂(x, y ) ∂(u, v )
du dv .
此时 Φ 可以写为
∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y)
Φ=
F · Ndudv =
D
D
P
+Q
+R
∂(u, v ) ∂(u, v ) ∂(u, v )
dz ∧ dy = −dy ∧ dz, dx ∧ dz = −dz ∧ dx, dy ∧ dx = −dx ∧ dy.
第二型曲面积分
在参数表示下, dσ = N du dv , N = ϕu × ϕv , 可见
dy
∧ dz
=
∂(y , z) ∂(u, v )
du
dv ,
dz
∧ dx
=
∂(z, x) ∂(u, v )
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向). 如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定向, 否则就称该曲面不 可定向.
曲面的方向
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向). 如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定向, 否则就称该曲面不 可定向. 本节所涉及的曲面都假定是可定向的. 对于可定向曲面, 其定向(方向) 是指一个 给定的连续单位法向量场 n.
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
4.4 第二型曲面积分
4.4 第二型曲面积分
内容提要: 曲面的定向(方向);
4.4 第二型曲面积分
内容提要: 曲面的定向(方向); 第二型曲面积分.
曲面的方向
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向).
曲面的方向
du dv ,
dx
∧ dy
=
∂(x, y ) ∂(u, v )
du dv .
第二型曲面积分
在参数表示下, dσ = N du dv , N = ϕu × ϕv , 可见
dy
∧ dz
=
∂(y , z) ∂(u, v )
du
dv ,
dz
∧ dx
=
∂(z, x) ∂(u, v )
du dv ,dx源自∧ dyΣ2 : z = − 1 − x2 − y 2, (x, y ) ∈ D = {x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.
在曲面上, 参数 (x, y ) 决定的法向量为 (1, 0, zx ) × (0, 1, zy ) = (−zx , −zy , 1), 因此, 这个参数在 Σ1 上决定的方向就是外侧方向, 在 Σ2 上决定的方向是内侧方向. 按照 定义, 有
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 记 N = ϕu × ϕv , 则 N 为曲面的法向量. 如果 N/ N = n, 则称 ϕ 是与给定定向相容的参数表示. 我们总是选取与给定 定向相容的参数表示.
有向面积元
设 dσ 是曲面 Σ 的面积元, 记 dσ = ndσ, 称为 Σ 的有向面积元. 设 ϕ : D → R3 为 Σ 的参数表示, 其中
第二型曲面积分
设 F = (P, Q, R) 是 Σ 上的连续向量值函数, 它沿 Σ 的第二型曲面积分 定义为
Φ = F · dσ = F · ndσ.
Σ
Σ
第二型曲面积分
设 F = (P, Q, R) 是 Σ 上的连续向量值函数, 它沿 Σ 的第二型曲面积分 定义为
Φ = F · dσ = F · ndσ.
Φ = F · dσ = F · ndσ.
Σ
Σ
记 dσ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy), 这三个分量分别是有向面积元在 yz 平面, zx 平面, xy 平面上的投影.
这样 Φ 又常表示为 Σ P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy . 我们规定
xyz dx ∧ dy = xyz dx ∧ dy + xyz dx ∧ dy
Σ
Σ1
Σ2
= xy 1 − x2 − y 2 dx dy − xy − 1 − x2 − y 2 dx dy
D
D
=2
π 2
dθ
1
r 3 sin θ cos θ
1 − r 2 dr =
2 .
0
0
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