数学建模与数学实验之回归分析
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
回归分析课程设计
回归分析课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握回归分析的基本概念、原理和方法，能够运用回归分析解决实际问题。
具体来说，知识目标包括：了解回归分析的定义、原理和应用；掌握一元线性回归和多元线性回归的分析方法；理解回归模型的评估和优化。
技能目标包括：能够使用统计软件进行回归分析；能够解释和分析回归结果；能够根据实际问题选择合适的回归模型。
情感态度价值观目标包括：培养学生的数据分析能力和科学思维；激发学生对回归分析的兴趣和好奇心；培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括回归分析的基本概念、原理和方法。
具体来说，教学大纲如下：1.回归分析的定义和原理–介绍回归分析的定义和基本原理–解释一元线性回归和多元线性回归的概念2.回归模型的建立和评估–介绍回归模型的建立方法和步骤–讲解如何评估和优化回归模型3.回归分析的应用–介绍回归分析在实际问题中的应用案例–引导学生运用回归分析解决实际问题三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法进行教学。
具体包括：1.讲授法：通过讲解回归分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析实际案例，让学生了解回归分析在实际问题中的应用。
3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
4.实验法：引导学生使用统计软件进行回归分析，提高学生的实践操作能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的统计学教材，作为学生学习的基础资料。
2.参考书：推荐学生阅读相关领域的参考书籍，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的PPT，展示回归分析的原理、方法和应用案例。
4.实验设备：准备计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行实际操作。
五、教学评估本节课的评估方式将采用多元化、全过程的评价体系，以全面、客观、公正地评估学生的学习成果。
多项式回归数学建模实验报告
多项式回归数学建模实验报告一、引言多项式回归是一种常用的数学建模方法，它可以通过拟合多项式函数来描述不同变量之间的关系。
多项式回归在实际问题中广泛应用，例如经济学、生物学、工程学等领域。
本实验旨在通过对一组实验数据进行多项式回归分析，探索多项式回归在模型建立和预测中的应用。
二、数据收集与预处理在实验中，我们收集了一个关于汽车油耗与发动机排量之间关系的数据集。
数据集中包含了不同车型的汽车的油耗和发动机排量的数据。
为了进行多项式回归分析，我们首先对数据进行了预处理，包括数据清洗、去除异常值和缺失值处理等。
三、多项式回归模型建立在多项式回归分析中，我们可以选择不同次数的多项式函数来拟合数据。
在本实验中，我们选择了3次多项式函数来建立模型。
通过最小二乘法将多项式函数拟合到数据上，得到了模型的系数。
四、模型评估与优化为了评估多项式回归模型的拟合效果，我们计算了模型的均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）。
通过观察这些指标的数值，我们可以评估模型的拟合效果，并根据需要进行模型优化。
五、模型预测与应用在模型建立和优化之后，我们可以使用多项式回归模型来进行预测和应用。
通过输入不同的发动机排量，我们可以预测相应的汽车油耗。
这对于汽车制造商和消费者来说都具有重要的实际意义，可以帮助他们做出更好的决策。
六、实验结果与讨论通过对实验数据的多项式回归分析，我们得到了一个拟合效果较好的模型。
模型的MSE较小，R-squared较大，说明模型对数据的拟合效果较好。
通过模型预测，我们可以得到不同发动机排量下的汽车油耗预测值，可以帮助汽车制造商和消费者做出更准确的预测和决策。
七、结论与展望本实验通过对多项式回归模型的建立和应用，探索了多项式回归在数学建模中的实际应用。
实验结果表明多项式回归模型在描述汽车油耗和发动机排量之间关系方面具有较好的效果。
未来的研究可以继续优化模型，探索更高次数的多项式函数或其他回归方法，以提高模型的精确度和预测能力。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
回归模型实验报告
北京建筑大学理学院信息与计算科学教研室实验报告课程名称数学建模实验名称回归模型实验地点大兴机房日期2014.5.14姓名渠娅静班级计122 学号04 指导教师靳旭玲成绩【实验目的】1、了解回归分析的基本原理，掌握Matlab实现的方法；2、练习用回归分析解决实际问题；【实验要求】1、独立完成各个实验任务；2、实验的过程保存成.m 文件，以备检查；3、完成实验报告。
【实验内容】1、为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量了最大积雪深度（x）与当年灌溉面积（y），得到连续10年的数据如表所示。
20和25的灌溉面积。
2、水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4有关，今测得一组数据如下，试用逐【实验步骤】一、试建立灌溉面积对于最大积雪深度的回归模型，对模型和回归系数进行检验，并预测最大积雪深度是20和25的灌溉面积。
1、问题分析：求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) Bint--回归系数的区间估计; r--残差; rint--置信区间; stats--用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p; alpha--显著性水平（缺省时为0.05） 2 、求解过程：（1）输入数据，建立模型：x=[28.6 19.3 40.5 35.6 48.9 45.0 29.2 34.1 46.7 37.4 ]'; X=[ones(10,1) x];Y=[15.2 10.4 21.2 18.6 26.4 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1]'; （2）、回归分析及检验：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b,bint,stats 3、实验结果：b = 2.3564 1.8129bint = -1.8587 6.5715 1.5962 2.0297stats = 0.9789 371.9453 0.0000 2.0133 4、结果分析：即01ˆˆ 2.3564 1.8129ββ==；0ˆβ的置信区间为[-1.8587，6.5715], 1ˆβ的置信区间为[1.5962，2.0297]; r2=0.9789, F=371.9453, p=0.0000，p<0.05, 可知回归模型 y=2.3564+1.8129x 成立.预测最大积雪深度是20和25的灌溉面积： X=20时，y =38.6144 X=25时，y = 47.6789 残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint)预测及作图：z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')二、水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个线性模型.1、问题分析:○1逐步回归的命令是: stepwise（x，y，inmodel，alpha）X--自变量数据, 阶矩阵; y--因变量数据, 阶矩阵; inmodel--矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）; alpha--显著性水平（缺省时为0.5）.○2运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.2、求解过程及结果：（1）输入数据，建立模型：x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]';（2）逐步回归：先在初始模型中取全部自变量x=[x1 x2 x3 x4];stepwise(x,y)（2）对变量y和x1、x2、x3、x4作线性回归X=[ones(13,1) x1 x2 x3 x4];b=regress(y,X)结果：b = 62.40541.55110.51020.1019-0.14413、结果分析：故最终模型为：y=62.4054+1.5511x1+0.5102x2+0.1019x3-0.1441x4【实验小结】心得体会：根据题目建立数学模型来求解，熟悉掌握MATLAB中线性规划的命令，注意自变量是X还是Y；总之多多练习、多多交流来不断提高自己应用MATLAB的能力。
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
数学建模 回归分析模型
非线性回归模型的实际应用
预测人口增长
非线性回归模型可以用来描述人口增长的动态变 化，预测未来人口数量。
医学研究
在医学研究中，非线性回归模型可以用来分析药 物对病人体内生理指标的影响。
经济预测
在经济领域，非线性回归模型可以用来预测经济 增长、通货膨胀等经济指标。
多元回归模型的实际应用
01
社会学研究
模型检验
对模型进行检验，包括残差分析、拟 合优度检验等，以确保模型的有效性 和可靠性。
非线性回归模型的参数估计
最小二乘法
梯度下降法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误 差，求解出模型中的未知参数。
通过迭代计算，不断调整参数值，以最小 化预测值与实际值之间的误差。
牛顿法
拟牛顿法
基于泰勒级数展开，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数。
线性回归模型的评估与检验
残差分析
分析残差分布情况，检查是否 存在异常值、离群点等。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整判定 系数等指标，评估模型的拟合 优度。
显著性检验
对模型参数进行显著性检验， 判断每个自变量对因变量的影 响是否显著。
预测能力评估
利用模型进行预测，比较预测 值与实际值的差异，评估模型
基于牛顿法的改进，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数，同时避免计算高阶 导数。
非线性回归模型的评估与检验
残差分析
对模型的残差进行统计分析，包括残差 的分布、自相关性、异方差性等，以评
估模型的可靠性。
预测能力评估
使用模型进行预测，比较预测值与实 际值的误差，评估模型的预测能力。
拟合优度检验
通过比较实际值与预测值的相关系数 、决定系数等指标，评估模型的拟合 优度。
数学中的数据建模与统计分析方法
数学中的数据建模与统计分析方法随着信息技术的发展以及数据产生和集成的速度增加，数据分析和建模的需求也在逐渐增长。
在众多的数据分析和建模方法中，数学方法的应用也越来越广泛。
本文将介绍一些常见的数学数据建模和统计分析方法。
一、线性回归线性回归是一种基本的数据建模方法，用于研究变量之间的关系。
在线性回归中，我们将自变量与因变量之间的关系表示为一个线性方程，通过线性拟合找到最优解。
线性回归可用于预测和建模连续型数据，如销售额和房价等。
在线性回归中，我们需要选择合适的自变量和最优的拟合函数。
这可能需要对数据进行预处理和特征选择。
线性回归的依据是数据的相关性，因此在样本数量较少时，需要进行显著性检验，确保模型的可靠性。
二、非线性回归与线性回归不同，非线性回归研究的是自变量和因变量之间的非线性关系。
非线性回归可以用于建模非线性系统，例如天气、地震等。
与线性回归不同，非线性回归需要找到合适的拟合函数，因此需要更多的建模经验和计算资源。
在实践中，非线性回归常常与深度学习相结合，以辅助建模和预测。
深度学习可以自动选择和训练适当的模型和数据特征，从而提高预测的准确性和可靠性。
三、分类和聚类分类和聚类是常用的数据挖掘技术。
它们可用于将数据分为不同的类别或组，以便更好地理解和分析数据。
分类和聚类可以用于市场调研、客户分析、图像识别和自然语言处理等方面。
在分类和聚类中，我们需要选择合适的算法和特征工程，以识别和分类数据。
例如，在图像识别中，我们可以使用卷积神经网络 (CNN) 将图像分为不同的类别。
在文本分类中，我们可以使用词袋模型 (Bag of Words) 分析词频和共现关系，以便确定文本的主题和情感。
四、时间序列分析时间序列分析是研究时间序列数据的一种方法。
时间序列数据是一组按时间顺序排列的测量结果，例如天气、股票交易和实验数据等。
时间序列分析可以用于预测趋势、周期性和周期性波动。
时间序列分析中，我们需要进行时间序列的平稳性检验和趋势分析，以便找到相关模型和参数。
回归分析
科海拾贝—回归分析在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。
变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。
确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达的。
另一种非确定性的关系即所谓相关关系。
例如，人的身高与体重之间存在着关系，一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样高度的人的体重往往不相同。
人的血压与年龄之间也存在着关系，但同年龄的人的血压往往不相同。
气象中温度与湿度之间的关系也是这样。
这是因为涉及的变量（如体重、血压、湿度）是随机变量。
上面说的变量关系是非确定性的。
回归分析是研究相关关系的一种数学方法。
使用这种方法可以用一个变量取得的值去估计另一个变量所取的值，或者使用一个变量去解释另外一个变量变化的原因。
这两个量，我们分别称为自变量和因变量。
回归分析是数学建模的有力工具，那么我们要建立回归分析的数学模型，需要以下几个步骤：1、收集一组包含因变量和自变量的数据；2、选定因变量与自变量之间的模型，利用数据，按照最小二乘准则计算模型中的系数；3、利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合地最好的模型；4、判断得到的模型是否适合于这组数据，诊断有无不适合回归模型的异常数据；5、利用模型对因变量做出预测或解释。
注：在第二步中，选定因变量与自变量的模型时，一般是凭经验选取模型，所以此模型又称为经验公式。
回归分析主要包括一元线性回归，多元线性回归以及非线性回归，这里主要是介绍一元线性回归的MA TLAB实现。
实验目的：1、了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB的实现方法；2、联系实际用回归分析方法解决实际问题。
一、一元线性回归模型例：用切削机床加工时，为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度，先每隔一小时测量刀具的厚度得到以下的数据:试建立刀具厚度关于切削时间的回归模型，对模型和回归系数进行检验，预测15小时后刀具的厚度。
分析：首先对原始数据进行观察，确定回归模型，然后通过计算最终确定模型和模型参数，并对模型和回归系数进行检验。
第10讲 回归分析
Q Q ( 0 , 1 ) y i 0 1 xi
i 1 2 i i 1
n
n
2
最小二乘法就是选择
0
ˆ 0 和 1 的估计
0 , 1
ˆ 1 使得 ，
ˆ ˆ Q ( 0 , 1 ) min Q ( 0 , 1 )
2013-6-10 12
3、预测与控制 （1）预测
ˆ ˆ ˆ 用 y0 的回归值 y0 0 1 x0 作为 y0 的预测值.
y0 的置信水平为1 的预测区间为 ˆ ˆ y0 ( x0 ), y0 ( x0 )
1 x0 x ˆ 其中 ( x0 ) e t (n 2) 1 1 n Lxx 2
2013-6-10 16
通常选择的六类曲线如下：
1 b （1）双曲线 a y x
（2）幂函数曲线 y=ax b , 其中 x>0,a>0
（3）指数曲线 y=ae bx 其中参数 a>0.
e （4）倒指数曲线 y=a b / x 其中 a>0，
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
（6）S 型曲线 y
2、多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为
Y 0 1 x 2 x 2 ... p x p
其中 p 是已知的， i (i 1, 2, , p ) 是未知参数， 服从正态分布
N ( 0, 2 ) .
Y 0 1 x 2 x 2 ... k x k
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是：
返回
（1）用试验值（样本值）对未知参数
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
回归分析
准差
r剩
S剩 （n r 1）
r 为进入回归模型的变量个数。上述公式表示对于任一给定 的自变量(x1, x2, xm)，所对应因变量的实际值 y 以95%的概率落 在区间 ( yˆ 2r剩，yˆ 2r剩)，即预测值 yˆ 与实际值 y之差有95%的概
率，使得 y yˆ 2r剩， 所以r剩 越小其预测精度越高。
此外，在检验得知方程是显著之后，还需检验方程中哪些变量 x1, x2 , xm
是影响 y 的重要变量，哪些是不重要变量，进而剔除不重要的变量，简化
方程，得到优化回归方程，这就是所谓的对每个变量要进行显著性检验 （t检验）
n
总离差平方和 S总 ( yi y)2 ，自由度为 n 1，如果观测值给定，S总 i 1
i 1
化对 y 的波动，其自由度为 m 。
n
记 S剩 ( yi yˆi )2 称为剩余平方和（或残差平方和），它是由实验 i1
误差以及其他因素引起的。它反映了实验误差以及其他因素对实验结果的
影响程度，其自由度为n m1。
于是
S总 S回 S剩
当 S总确定时， S剩 越小， S回 越大，则 S回 就越接近 S总，于是用 S回 是否接
一组回归系数 b1 ,b2 , bm 值。 设 b1 ,b2 , bm 分别为 0, 1, , m 的最小二乘估计值，于是
有
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
其中 yˆ 是 y 的一个最小二乘估计。
下用最小二乘法求b1 ,b2 , bm
令
1 x11 x12 x1m
4、回归分析预测法的步骤
（1）．根据预测目标，确定自变量和因变量 明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体
在mathematica中的合并两组数据求解回回归模型-概述说明以及解释
在mathematica中的合并两组数据求解回回归模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数据分析和预测建模中，合并多组数据并求解回归模型是一个常见的需求。
通过合并两组数据，我们可以获得更全面和准确的数据集，进而提高回归模型的预测能力。
本文将介绍如何在Mathematica中使用其丰富的函数和工具来实现数据的合并和回归模型求解。
首先，我们将讨论数据合并的重要性和意义。
数据的合并可以将来自不同来源、不同时间段或不同数据集的信息整合在一起，从而得到更为全面和具有代表性的数据集。
这样一来，我们可以从更广泛的角度来观察和分析数据，发现其中的规律和趋势。
合并数据还可以避免信息的重复和缺失，提高数据的完整性和一致性。
接下来，我们将介绍回归模型的求解方法。
回归分析是一种用于描述和预测变量间关系的统计分析方法，通过建立数学模型来解释自变量对因变量的影响。
回归模型可以帮助我们理解变量之间的相关性，并用于预测和预测未来的数值。
最后，我们将详细讲解如何在Mathematica中应用这些方法来合并两组数据和求解回归模型。
Mathematica是一种功能强大且易于使用的数学建模和数据分析软件，提供了丰富的函数和工具，可以简化和加速我们的工作流程。
我们将演示如何使用Mathematica中的内置函数来导入、处理和合并数据，以及如何使用回归分析函数来求解回归模型。
通过本文的学习，读者将了解到如何合并两组数据并求解回归模型的基本方法和步骤，以及如何利用Mathematica工具来简化和加快这一过程。
这将帮助读者在进行数据分析和建模时更加高效和准确。
在结论部分，我们还将对实验结果进行分析，并讨论方法的优劣和可能的改进方向，以期为读者提供更多的思考和启示。
综上所述，本文的目的是介绍如何在Mathematica中合并两组数据并求解回归模型。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法，从而在数据分析和建模的过程中取得更好的结果。
模型建立第5讲 回归分析
),
SSE
2
~ (n 2),
2
l xx t b ~ T (n 2), SSE (n 2)
当|t|≥t1-0.5α(n-2)时应该放弃原假设H0。
5.1 一元线性回归
(3) r检验法： 根据x与Y的观测值的相关系数
r
可以推出 当H0为真时，
l xy l xx l yy
r
2
,r
ˆ0 a bx0预测Y0的观测值 ⑴ 当x＝x0时， 用y
y0称为点预测。 ˆ0 ) x0 E(Y0 ), 由于E( y
Y0的观测值y0的点预测是无偏的。
5.1 一元线性回归
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)} ≥1-α 的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称 为Y0的1-α 预测区间。
~ t ( n 2).
因此，Y0的1-α预测区间为 a+bx0±Δ(x0)，
SSE 1 ( x0 x ) ( x 0 ) t10.5 ( n 2) (1 ). n2 n l xx
2
5.1 一元线性回归
例5.1 《吸附方程》某种物质在不同温度下 可以吸附另一种物质，如果温度x(单位：℃)与 吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：
温度x 5.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0
重量y 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3
试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若 x0＝2， 求Y0的0.95预测区间。
解：根据上述观测值得到n＝9，
5.1 一元线性回归
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H 0 : 1 0; H 1 : 1 0
进行检验.
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
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（Ⅰ）F检验法
X Y
1 T
ˆ 服从 p+1 维正态分 注意：
布，且为
ˆ 代入回归平面方程得： 得到的 i
的无偏估
ˆ ˆ x ... ˆ x y 0 1 1 k k
称为经验回归平面方程. i 称为经验回归系数.
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2 计，协方差阵为 C . C=L-1 =(cij), L=X’X
ˆ ( x ) y , y ˆ ( x ) y y ˆ ( x ) y , y ˆ ( x ) y 分别有解 x 要求 y y 2 ( x ) . 若 y
只要控制 x 满足以下两个不等式
ˆ ( x ) y , y ˆ ( x ) y . 和 x ，即 y
作点估计；
0 、 1 作假设检验； 2、对回归系数
3、在 x=x 0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
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二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值， （x1 ，y1 ） ， （x2 ，y2 ） ，„， （xn ，yn ）
y i 0 x1 i , i 1,2,...,n 设 2 E 0 , D 且 1 2， ..., n 相互独立 i i
2
特别，当 n 很大且 x0x 在 附近取值时, y 的置信水平为1 的预测区间近似为
ˆ ˆ eu , y ˆ ˆ eu y 1 1 2 2
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（2）控制
y, y 要求： y 0 1 x 的值以1 的概率落在指定区间
1 a be x
eb / x 解例 2. 由散点图我们选配倒指数曲线 y=a
ˆ 1.1107 , A ˆ 2.4587 根据线性化方法，算得 b
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由此 最后得
ˆ e A 11 .6789 a
ˆ
y 11 .6789 e
1.1107 x
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一、数学模型及定义
当H 0 成立时， 其中 U 故 F>
n
U F ~F（1，n-2） Qe /(n 2)
2 ˆ y y （回归平方和） i i 1
F1 (1, n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H0
.
（Ⅱ）t检验法
当H 0 成立时，T
ˆ Lxx 1 ~t（n-2） ˆ e
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检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元 归非 ）线
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
检 验多 与元 预线 测性 回 归 中 的
逐 步 回 归 分 析
3
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高 腿长
143 88 145 85 146 88 147 91 149 92 150 93 153 93 154 95 155 96 156 98 157 97 158 96 159 98 160 99 162 100 164 102
记
Q Q ( 0 , 1 ) y i 0 1 xi
i 1 2 i i 1
n
n
2
最小二乘法就是选择
0
ˆ 0 1 的估计 和
0 , 1
ˆ ，1 使得
ˆ , ˆ ) min Q ( , ) Q( 0 1 0 1
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3、预测与控制 （1）预测
ˆ ˆ x 作为 y0 的预测值. ˆ0 用 y0 的回归值 y 0 1 0
y0 的置信水平为1 的预测区间为 ˆ 0 ( x0 ), y ˆ 0 ( x0 ) y
1 x0 x ˆ e t (n 2) 1 其中 ( x0 ) 1 n Lxx 2
解答
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11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 2 4 6 8 10 12 14 16
散 点 图
此即非线性回归或曲线回归 问题（需要配曲线） 配曲线的一般方法是：
先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得 ( x i , y i ), i 1, 2,...,n 画出散点图， 根据散点图确定须配曲线的类型. 然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知 参数 a 和 b. 采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用 非线性回归线性化的方法.
ˆ
19
2、多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为
Y 0 1 x 2 x 2 ... p x p
其中 p 是已知的， i (i 1, 2, , p ) 是未知参数， 服从正态分布
N ( 0, 2 ) .
Y 0 1 x 2 x 2 ... k x k
( xi x )
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
其中 r1
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1 1 n 2 F1 1, n 2
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2、回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α 的置信区间分别为
2 2 1 x 1 x ˆ t (n 2) ˆ t (n 2) ˆe ˆe , 0 0 1 1 n Lxx n Lxx 2 2
6
解得
ˆ y ˆx 0 1 ˆ xy x y 1 2 x x2
ˆ 或 1
x
i 1 n
n
i
x yi y
2 x x i i 1
n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 其中 x xi , y yi ， x 2 xi , xy xi yi . 1 n 1 n 1 n 2 1 n
则 x , x 就是所求的 x 的控制区间.
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四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）
例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
使用次数 2 3 4 5 6 7 8 9 增大容积 6.42 8.20 9.58 9.50 9.70 10.00 9.93 9.99 使用次数 10 11 12 13 14 15 16 增大容积 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
.
H 0 ，否则就接受 H0 故 T t1 ( n 2) ，拒绝
2
其中Lxx ( xi x ) xi2 nx 2
2
n
n
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i 1
i 1
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（Ⅲ）r检验法
记
r
(x
i 1 n i 1
n
i
x )( y i y )
2 2 ( y y ) i i 1 n
y 0 1 x 2 E 0 , D
固定的未知参数
0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量. Y 0 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
0 1、用试验值（样本值）对
1 和 、
数学建模与数学实验
之回归分 析
后勤工程学院数学教研室
2016/2/16 1ห้องสมุดไป่ตู้
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。
2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。
3、实验作业。
回归分析
一元线性回归 多元线性回归
* 模 型 参 数 估 计
*
*
*
数 学 模 型 及 定 义
2
x12 x 22 ... xn2
... x1k 0 1 ... x 2 k ， 1 ， 2 ... ... ... ... ... x nk k n
y 0 1 x1 ... k xk 称为回归平面方程.
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通常选择的六类曲线如下：
1 b （1）双曲线 a y x
（2）幂函数曲线 y=ax b , 其中 x>0,a>0
（3）指数曲线 y=ae bx 其中参数 a>0.
e b / x 其中 a>0， （4）倒指数曲线 y=a
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
（6）S 型曲线 y
称为回归多项式.上面的回归模型称为多项式回归.
一般称
Y X 2 E ( ) 0, COV ( , ) I n
2 为高斯—马尔柯夫线性模型(k 元线性回归模型 )，并简记为 (Y , X , I n )
y1 1 x11 ... 1 x 21 Y ，X ... ... ... y n 1 x n1
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