【学习课件】第三章工业机器人运动学-3逆运动学
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工业机器人课件第3章运动学3
3.6.1 D-H参数法物体
Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为关节链中的每一个杆 件建立坐标系的矩阵方法，即D-H参数法。
1.连杆坐标系的建立
连杆坐标系规定如下（参见图）： zi坐标轴沿i+1关节的轴线方向。 xi坐标轴沿zi和zi-1轴的公垂线，且指向离开zi-1轴的方向。 yi坐标轴的方向构成xiyizi右手直角坐标系。
各连杆坐标系建立后,n-1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转 来实现。从n-1系到n系的变换步骤如下:
(1) 令n-1系绕Zn-1轴旋转θn 角, 使Xn-1与Xn平行, 算子为 Rot(z,θn)。
(2) 沿Zn-1轴平移dn, 使Xn-1 与Xn重合, 算子为Trans(0,0,dn)。
(3) 沿Xn轴平移an, 使两个坐 标系原点重合, 算子为 Trans(an,0,0)
cosi
sini
0
0
-sinicosi cosicosi
sini
0
sinisini -cosisini
cosi
0
aicosi
aisini
di 1
第2章 工业机器人运动学
实际中,多数机器人连杆参数取特殊值,如αn=0或dn=0,
可以使计算简单且控制方便。
工业机器人运动学
工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵
一. 连杆参数及连杆坐标系的建立 1、连杆参数 描述该连杆可以通过两个几何参数: 连杆长度an和扭角αn。
图 2-10 连杆的几何参数
第2章 工业机器人运动学
描述相邻杆件n与n-1的关系参数的两个参数： 连杆距离dn和连杆转角θn
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
第三章 工业机器人运动学-3逆运动学
第三章 工业机器人的运动学-3
主要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析（逆运动学）
三、逆运动学方程
（ Inverse Kinematic Equations ）
3.1 引言 3.2 逆运动学方程的解 3.3 斯坦福机械手的逆运动学解 3.4 欧拉变换的逆运动学解
根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可
求出关节变量θn或 dn。
3.3 斯坦福机械手的逆运动学解
（ Inverse solution of Stanford manipulator）
在第三章我们推导出 Stanford Manipulator 的运动方程和各关节齐次变换式。 下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：
x y x y x y
－ ＋
y
x y
＋ ＋
θ x
－ －
＋ －
就不难确定欧拉角所在的象限。
为 此 ， 我 们 采 用 前 节的 方 法 ， 用 Rot (z, ø － 1 左 乘 式 ) （3.31）有 Rot－1(z,ø T ＝ Rot (y, θ) Rot (z, ψ) ) （3.46）
图3.1 正切函数所在象限
nx n T6 y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
3.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）
(3.10) (3.11) (3.12)
1T
主要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析（逆运动学）
三、逆运动学方程
（ Inverse Kinematic Equations ）
3.1 引言 3.2 逆运动学方程的解 3.3 斯坦福机械手的逆运动学解 3.4 欧拉变换的逆运动学解
根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可
求出关节变量θn或 dn。
3.3 斯坦福机械手的逆运动学解
（ Inverse solution of Stanford manipulator）
在第三章我们推导出 Stanford Manipulator 的运动方程和各关节齐次变换式。 下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：
x y x y x y
－ ＋
y
x y
＋ ＋
θ x
－ －
＋ －
就不难确定欧拉角所在的象限。
为 此 ， 我 们 采 用 前 节的 方 法 ， 用 Rot (z, ø － 1 左 乘 式 ) （3.31）有 Rot－1(z,ø T ＝ Rot (y, θ) Rot (z, ψ) ) （3.46）
图3.1 正切函数所在象限
nx n T6 y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
3.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）
(3.10) (3.11) (3.12)
1T
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
工业机器人技术(运动学)
T2=A1A2 依此类推, 对于六连杆机器人，有下列矩阵： T6=A1A2A3A4A5A6 上述等式称为机器人运动学方程。Ｔ６表示手部坐标相对 于固定参考系的位姿。
nx ox ax px
T6 n00R
n01P
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
py
pz 1
0 n
R
或前三列表示手部的姿态；
即： 实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，如αn=0、dn=0，计 算一般简单。
3.1.4工业机器人运动学方程
齐次变换矩阵Ai表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系i-1的位 姿变换矩阵。
如A1表示连杆1相对连杆0（基座），A2矩阵表示连杆1坐 标系相对于连杆1坐标系的位姿变换。连杆2相对固定坐标系 的位姿可用可用A2 和A1 的乘积表示
机设专业本科生课程
工业机器人技术
Industrial Robot
第3章 工业机器人 运动学和动力学
1
第三章工业机器人运动学和动力学
3.1工业机器人的运动学 3.2工业机器人的动力学 3.3 工业机器人的运动轨迹规划
3.1工业机器人的运动学
正向运动学：所有关节变量已知，可用正向运动学来确定机 器人末端手部的位姿。
如图3.10，相邻连杆n与n-1 的关系参数可由连杆转角和 连杆距离描述。
沿关节n轴线两个公垂线间 的距离dn即为连杆距离。
垂直于关节n轴线的平面内 两个公垂线的夹角θn即为连 杆转角。
每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、 连杆距离。 前两个是连杆自身参数，后两个表示与相邻连杆的连接关系。 旋转关节θn改变, 为关节变量，其它三个参数不变； 滑动关节dn改变, 为关节变量。
x ' x
nx ox ax px
T6 n00R
n01P
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
py
pz 1
0 n
R
或前三列表示手部的姿态；
即： 实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，如αn=0、dn=0，计 算一般简单。
3.1.4工业机器人运动学方程
齐次变换矩阵Ai表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系i-1的位 姿变换矩阵。
如A1表示连杆1相对连杆0（基座），A2矩阵表示连杆1坐 标系相对于连杆1坐标系的位姿变换。连杆2相对固定坐标系 的位姿可用可用A2 和A1 的乘积表示
机设专业本科生课程
工业机器人技术
Industrial Robot
第3章 工业机器人 运动学和动力学
1
第三章工业机器人运动学和动力学
3.1工业机器人的运动学 3.2工业机器人的动力学 3.3 工业机器人的运动轨迹规划
3.1工业机器人的运动学
正向运动学：所有关节变量已知，可用正向运动学来确定机 器人末端手部的位姿。
如图3.10，相邻连杆n与n-1 的关系参数可由连杆转角和 连杆距离描述。
沿关节n轴线两个公垂线间 的距离dn即为连杆距离。
垂直于关节n轴线的平面内 两个公垂线的夹角θn即为连 杆转角。
每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、 连杆距离。 前两个是连杆自身参数，后两个表示与相邻连杆的连接关系。 旋转关节θn改变, 为关节变量，其它三个参数不变； 滑动关节dn改变, 为关节变量。
x ' x
机器人正运动学和逆运动学
i
αi-1
ai-1
di
θi
•
•
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程 12..确确定定各D-连H杆坐D标-H系参数和关1234节αadiii-=-1变1沿==量绕沿ααZ0023iXX轴ii--1,1从轴轴--9900X,,从00从° °i°°-1ZZ到ii--11X到到i的ZZdd00i24距i的的离角距;度离θθθθ31(；24；(-((990000°°°°))
3. 机器人正逆运动学
本章主要内容
机器人运动学研究的问题： 机器人末端在空间的运动与各个关节的运动之间
的关系。
3.1 机器人正运动学方程 3.2 机器人逆运动学方程
3.1 机器人正运动学方程
• 定义：
– 描述机器人末端相对于绝对坐标系或基座坐标 系的位置姿态的数学表达式
• 运动学方程的模型：
•
M f (qi )
3 L2 0
0
θ3 i 绕Zi轴, 从Xi1旋转到Xi的角度;
3.1.4操作臂运动学方程
目的：求出相邻连杆间的坐标
变换的形式，进一步求出连杆
T i 1 i
{R}
{P}
（n相1）对推于导连过杆0程的：位置和姿态。
{Q}
1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成
的函数，其中只有一个变量。
坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
0 N
T(q1
,
q2
,
, qN
)
01T(q1)12T(q2 )
N
1 N
T(qN
)
0N00R0
0
PN 1
0
课件：第三章机器人运动学
• 3.1 机器人运动方程的表示
• 3.1.2 运动位置和坐标
• 一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基坐标系中的 位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定。
1 0 0 px
T6
0 0
1 0
0 1
p
y
某姿态变换
pz
0 0
0
1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆(D-H坐标)
所有关节全为转动关节时: Zi坐标轴; Xi坐标轴; Yi坐标轴;
连杆长度ai;连杆两端关节公共法线距离 连杆扭角αi;垂直于ai所在平面内两轴的夹角 两连杆距离di;两连杆的相对位置di 两杆夹角θ 两连杆法线的夹角
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
s c 0 0ny
oy
ay
p
y
s
c
0 0
0
0
0 0
1 0
0 1
nz 1
oz 1
az 1
pz 1
sc
0
ss
0
c 0
0 1
(3-39)
Robotics运动学
3.2 机械手运动方程的求解
3.2.1欧拉变换解
重写为
f11(n) f11(o) f11(a) f11( p) cc cs s 0
保持姿态,执行器要绕其自身Y和Z轴反向旋转.
Sph( , , r) Rot(z, )Rot( y, )Trans(0,0, r)Rot( yA, )Rot(zA, )
1 0 0 rcs
0
1
0
rss
工业机器人课件第三章 机器人运动学
T3= A1 A2 A3
称这些A矩阵的乘积为T矩阵，其前置上标若为0，则可省略。对于六 连杆机械手，有下列T矩阵
T6= A1 A2 A3 A4 A5 A6
手爪坐标系
机械手的运动方向 原点由矢量p表示。 接近矢量a：z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 方向矢量o：y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量 法线矢量n：x轴由右手系确定， 即 n = o a ，称为法向矢量。
0 sin i cos i 0
0 0 0 1
对于在第i坐标系中的点ri在第i—1坐标系中表示为:
ri 1 i 1Ai ri
确定第i坐标系相对于机座坐标系的位置的齐次变换矩阵i-1Ti是 各齐次变换矩阵Ai的连乘积，可表示成
0
Ti A1 A2 A3 A4 A5 A6 A j
பைடு நூலகம்
cos i sin cos i i 1 sin i sin i 1 0
例 建立右图所示机器人相邻坐标 系间的转换矩阵 解：建立的坐标系如右图，这是二维坐 标系(在三维空间中，各坐标系的z轴垂 直于纸面)，其相邻坐标系的变换矩阵 为
A1 Rz ,Tx ,l1
第三章 机器人运动学
§ 3.1 机器人运动方程的表示
机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机 械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间 的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的 齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移 和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态， A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，则第二个连杆在 基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出 T2= A1 A2 同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有
第三章机器人运动学PPT课件
用一组关节变量(di或i)来描述。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
工业机器人运动学课件
06
机器人运动学实验与案例分 析
基于MATLAB的机器人运动学仿真实验
• 实验目的：通过MATLAB软件对工业机器人进行运动学仿真，分析机器人的运 动学性能，为机器人的优化设计和控制提供理论支持。
基于MATLAB的机器人运动学仿真实验
实验步骤
1. 建立机器人运动学模型：根据机器人的实际结构和参数，建立相应的运动学模型。
分类
根据应用场景和功能，工业机器 人可分为搬运机器人、装配机器 人、喷涂机器人等。
机器人运动学的研究内容与方法
研究内容
机器人运动学主要研究机器人的运动 规律及其与机械系统之间的关系。
研究方法
基于几何学和代数的运动学分析方法， 如D-H参数法、雅可比矩阵法等。
机器人运动学的发展与应用
发展历程
从第一台工业机器人的诞生到现在，机器人运动学经历了多个发展阶段，包括 技术突破、优化改进和跨界融合等。
基于梯度下降法的优化算法
梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过不断调整变量的值，使得目标函数的值逐渐减 小，最终得到最优解。在机器人轨迹规划中，梯度下降法可以用来优化机器人的运动轨迹， 以满足机器人的运动性能要求。
基于遗传算法的优化算法
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉 和变异等过程，寻找最优解。在机器人轨迹规划中，遗传算法可以用来优化机器人的运动 轨迹，以满足机器人的运动性能要求。
求解方法
通过已知的末端执行器位置和姿态，建立数学方程， 求解关节角。
05
机器人轨迹规划
机器人轨迹规划的基本概念
轨迹规划定义
轨迹规划是指根据给定的路径条件，通过计算得到机器人末端执行 器的位姿随时间变化的轨迹。