绝对值不等式的常见形式及解法(终审稿)
绝对值不等式的解法步骤
绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。
绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。
绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。
三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。
2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。
四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。
2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。
五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。
2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。
3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。
4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。
六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。
另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。
解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
(完整版)含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
绝对值不等式PPT课件
方法技巧
1.形如|ax+b|≤c(≥c)(c>0)的三种解法 解法一:等价法 |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或ax+b≥c) 解法二:分类讨论法
|ax+b|≤c⇔aaxx
b b
0, c
或ax(axbb)0,
c.
解法三:平方法
|ax+b|≤c⇔(ax+b)2≤c2. 2.形如|x+a|+k|x+b|≤c(≥c)的解法
x
|
x
5 2
或x
7 2
.
(2)解法一:因为|x+1|+|m-x|≥|x+1+m-x|=|m+1|,
由题意得|m+1|≥6,
即m+1≥6或m+1≤-6,
解得m≥5或m≤-7,
即m的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞).
2x m 1, x m,
解法二:①当m<-1时, f(x)=m 1, m x 1,
2
围.
解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,
易求得f(x)min=
5 2
,
依题意得a2+ 1 a+2≤ 5 ⇔-1≤a≤1 .
2
2
2
考点突破
考点一 绝对值不等式的解法
典例1 解不等式:|x-1|-|x-5|<2. 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立, ∴x<1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解集为(-∞,4).
绝对值不等式
考点三 含绝对值不等式的综合问题 [师生共研过关]
[例 1] (2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数 f(x)＝|x－
a|＋|2x－a|(a∈R ).
(1)若 f(1)＜11，求 a 的取值范围； (2)若∀a∈R ，f(x)≥x2－x－3 恒成立，求 x 的取值范围.
绝对值不等式
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
1.绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立.❶ 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立.
3x＋2，x＞1，
∴f(x)＞4⇔x＜－32，
或－32≤x≤1，
－3x－2＞4 x＋4＞4
或3xx＞＋12，＞4 ⇔x＜－2 或 0＜x≤1 或 x＞1. 综上，不等式 f(x)＞4 的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
(2)存在 x∈－32，1 使不等式 a＋1＞f(x)成立⇔a＋1＞ f(x)min，x∈－32，1.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x|＞c 的解集为 R ，则 c≤0.
(×)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.
(√)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立. ( × )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立. ( × )
3－2a，a≤1， [解] (1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝1，1＜a＜2，
怎么解绝对值不等式
怎么解绝对值不等式1. 引言在数学中，绝对值不等式是一种常见的不等式类型。
它涉及到绝对值的概念，即一个数的非负值。
解决绝对值不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围，从而解决实际问题。
本文将介绍如何解决一元和二元绝对值不等式，并提供一些常见的技巧和例题来加深理解。
2. 一元绝对值不等式2.1 不等式的定义一元绝对值不等式可以写成以下形式：|x - a| < b 或 |x - a| > b其中 x 是变量，a 和 b 是已知常数。
符号“<” 和“>” 分别表示小于和大于。
2.2 解决步骤要解决一元绝对值不等式，我们可以按照以下步骤进行：Step 1: 将不等式分为两个情况，即|x - a| < b 和 |x - a| > b。
Step 2: 对每种情况应用绝对值定义，得到两个新的不等式：•当 |x - a| < b 时, x - a < b 和 x - a > -b•当 |x - a| > b 时, x - a > b 或 x - a < -bStep 3: 对新的不等式进行求解，得到 x 的范围。
Step 4: 根据题目要求，确定 x 的取值范围。
2.3 解决技巧在解决一元绝对值不等式时，我们可以使用一些常见的技巧来简化问题：•如果不等式中的常数 b 是正数，则可以将其转化为两个不等式：x - a < b 和 x - a > -b。
•如果不等式中的常数 b 是负数，则可以将其转化为一个不等式：x - a < b。
•如果不等式中的常数 b 是零，则需要特殊处理。
2.4 示例让我们通过以下示例来解决一元绝对值不等式：示例 1:解决不等式 |x - 3| < 5首先我们将这个不等式分为两种情况：情况1: x - 3 < 5 情况2: x - 3 > -5对于情况1，我们可以解得 x < 8 对于情况2，我们可以解得 x > -2因此，综合两种情况的结果，我们得到 -2 < x < 8。
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
解绝对值不等式的方法
解绝对值不等式的方法绝对值不等式是数学中常见且重要的一种不等式类型。
解绝对值不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，从而求解问题。
本文将介绍三种常用的方法来解绝对值不等式。
一、符号法符号法是解绝对值不等式最简单直观的方法之一。
当我们遇到简单的一元一次绝对值不等式时，可以通过考虑绝对值的取正负两种情况来解决。
例如，对于不等式|x-2|<5，我们可以先考虑取正的情况：x-2<5 --> x<7然后再考虑取负的情况：-（x-2）<5 --> x>-3综合两个不等式的解集，我们得到-3<x<7，即解为(-3,7)。
二、区间法区间法是一种更加系统和严谨的方法，适用于更复杂的绝对值不等式。
该方法基于绝对值的定义，将不等式转化为分段函数的形式。
例如，对于不等式|2x-1|≥3，我们可以先将其拆分为两个情况：1. 当2x-1≥0时，不等式变为2x-1≥3，解得x≥2。
2. 当2x-1<0时，不等式变为-(2x-1)≥3，解得x≤-1。
综合两个情况的解集，我们得到解为x≤-1或x≥2。
三、平方法平方法是解决带有二次项的绝对值不等式的常用方法。
该方法的关键是利用平方的非负性。
例如，对于不等式|x^2-4|<3，我们可以先对不等式进行拆分：1. 当x^2-4≥0时，不等式变为x^2-4<3，解得-1<x<3。
2. 当x^2-4<0时，不等式变为-(x^2-4)<3，展开后得到x^2-4>-3，解得-√7<x<√7。
综合两个情况的解集，我们得到解为-√7<x<-1或1<x<√7。
绝对值不等式的解方法还有其他变种，上述仅是其中常用的三种方法。
在解题过程中，我们需要根据不等式的形式和特点选择合适的方法。
此外，需要注意绝对值不等式的符号翻转和取等问题。
总结起来，解绝对值不等式的方法有符号法、区间法和平方法等。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一. 前提: 0a >;形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1. (1) |2x －3|＜5解：－5＜2x －3＜5，得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2－3x －1|＞3解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3)2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或 2x 3x 2－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜13或 x ＜－2或x ＞5∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13或x ＞5反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。
(2)规范解答，可以避免少犯错误。
二. 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);（4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它涉及到绝对值的大小关系。
解绝对值不等式的关键是确定不等式中的变量可能取的范围，并结合绝对值的性质进行推导。
下面将从基本方法、分析方法和图像法等角度给出解绝对值不等式的方法总结。
一、基本方法1.消去绝对值：当绝对值不等式中只有一个绝对值符号时，我们可以通过将绝对值号内的条件进行分类讨论来消去绝对值。
例如，对于不等式，x-2，<3，我们可以将其分类讨论为两种情况：x-2>0时，不等式可转化为x-2<3，即x<5；x-2<0时，不等式可转化为-(x-2)<3，即-x+2<3，即x>-1、因此，原不等式的解集为-1<x<52.分离绝对值：当绝对值不等式中有两个绝对值符号时，我们可以通过分离绝对值的方法将其转化为一个带有正负号的二次不等式。
例如，对于不等式，x-2，>，x+3，由于绝对值的性质，我们有两种情况：x-2>x+3，即-5>0，这个情况显然不成立；x-2<-(x+3)，即-2x-1>0，即x<-1/2、综上所述，原不等式的解集为x<-1/23.基本不等式法：针对绝对值不等式中的特殊形式，f(x)，>c或，f(x)，<c，其中c是正实数，通过化简找到f(x)的取值范围。
例如，对于不等式，2x-3，>5，我们可以将其转化为两个不等式：2x-3>5和2x-3<-5、从第一个不等式中解得x>4，从第二个不等式中解得x<-1、因此，原不等式的解集为x<-1或x>4二、分析方法1. 区间法：对于绝对值不等式，ax+b， < c （或 > c），我们可以通过给定 a、b 和 c 的符号情况来确定 x 的取值范围。
例如，对于不等式，4x+5， < 3，我们可以根据 4x+5 和 -4x-5 的正负号进行分类讨论。
高中数学绝对值不等式公式大全
高中数学绝对值不等式公式大全1、绝对值不等式：（1）一般表示式：|x|≠|y|（2）相等情况：|x|=|y|（3）不相等情况：|x|≠|y|2、绝对值不等式的特殊形式：（1）x≠0：|x|=a，a>0（2）x=m：|x|≠m（3）|x|<b：x<b（4）|x|≤b：x≤b（5）|x|>a：x>a（6）|x|≥a：x≥a3、绝对值不等式的解法：（1）把绝对值当作不计符号类型的线性方程，即把等号左边的绝对值画成两个相反数的图形，等号右边的绝对值也可以画成两个相反数的图形。
即可确定有解的条件，然后求出所有的可行解。
（2）将绝对值拆分成幂函数求解。
绝对值不等式=ax2 + bx + c≠d可以拆分成（x-x1）2+4dFalse=b2-4ac， b2-4ac>0时有解，反之无解。
（3）利用中值定理来求解。
设绝对值不等式|x-a|=|x-b|，按照中值定理，即可得到可解解 x = （a+b）/ 2。
（4）通过几何方式来求解。
即直线 y=|x-a| 的图形和y=|x-b|的图形有相等的两个交点，将这些交点的 x 坐标求出即可。
4、绝对值不等式的特殊问题：（1）当x=a时：绝对值不等式|x-a|≠|x-b|可解成x=（a+b）/2（2）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|=|x-b|可解成x=a或x=b（3）当x=0时：绝对值不等式|x|=|y|可解成x=y（4）当x≥b时：绝对值不等式|x-a|<|x-b|可解成x≥b（5）当x≤a时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x≤a（6）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x<a或x>b（此处的a和b指的是参数值）5、绝对值不等式的应用：绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们看起来结构简单，而求解又显得很有技巧。
其在涉及数理计算机科学，物理电学、金融学等方面具有重要价值。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
绝对值不等式的解法 课件
归纳升华 1．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不 等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法．分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图 象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋ a |－|x － 1－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥12的解集； (2)若对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空 集，求实数b的取值范围．
[规范解答]
(1)当a＝1时，f(x)≥
1 2
等价于|x＋1|－|x|
≥12.(1分)
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解；
②当－1＜x＜0时，不等式化为x＋1＋x≥12，
解得－14≤x＜0；
③当x≥0时，不等式化为x＋1－x≥12，解得x≥0. (3分) 综上所述，不等式f(x)≥1的解集为－14，＋∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞ [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值．
法一：因为f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|(0≤a≤1)， 当x≤－ a时，f(x)＝－x－ a＋x－ 1－a＝－ a－ 1－a＜0. 当－ a＜x＜ 1－a时，f(x)＝x＋ a＋x－ 1－a＝ 2x＋ a－ 1－a≤2 1－a＋ a－ 1－a＝ a＋ 1－a. 当x≥ 1－a 时，f(x)＝x＋ a －x＋ 1－a ＝ a ＋ 1－a. 所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
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绝对值不等式的常见形
式及解法
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。
常见的形式有以下几种。
1.形如不等式：
利用绝对值的定义得不等式的解集为：。
在数轴上的表示如图1。
2.形如不等式：
它的解集为：。
在数轴上的表示如图2。
3.形如不等式
它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。
4.形如
它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。
例如：解不等式：
（1）
（2）
（3）
解：（1）由绝对值的定义得：或解得
（2）两边同时平方得：
（3）令
得。
所以和3把实数分为三个区间，
即：；。
在这三个区间内来讨论原不等式的解集。
以上所举例子，说明在运用上述方法求绝对值不等式的解集时，如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它的解集，而且有利于培养学生思维灵活性。
因为题是活的，用既得方法去解决具体的问题，还得有灵活多变的大脑，让学生自己去体会数学方法的有效和巧妙，这样才能行万里船、走万里路时，轻松如意。
（初二）。