《0的认识》课件.PPT
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小学1年级数学课前3分钟-零的认识 ppt课件
10
wēn dù jì
温 度计
zhí chǐ chǐ zi
直 尺（尺 子）
jìsuàn qì
计算 器
mén pái háo
门 牌号
205
shǒu jī
手 机ppt课件
diàn huà jī
电 话11 机
zhí chǐ 直尺
chǐ zi shǎng de líng biǎo shìqǐ diǎn kāi shǐ
尺子上 的 ‘0’表 示起点、开始。
ppt课件
12
zhí chǐ 直尺
sān jiǎo bǎn 三角 板
chǐ zi shǎng de líng biǎo shì qǐ diǎn kāi shǐ
尺子上 的 ‘0’表 示起点、开
ppt课件
13
wēn dù jì shǎng de líng biǎo shì
今天，我跟大家分 享 的是：
líng
de rèn shi
'0'的认识
yī nián jí sì bān zhòng chén
ppt课件 一年级四班：仲 1 辰
líng
xiàng shén me
“0”像什么？
ppt课件
2
líng xiàng jī dàn
“0”像鸡蛋
ppt课件
3
líng
zěn me xiě
0biǎo shì méi yǒu
表 示没 有
ppt课件
8
biǎo shìΒιβλιοθήκη éi yǒu表 示没 有4310
ppt课件
9
wǒ men shēn biān hái yǒu nǎ xiē
我们 身 边 还有哪些
苏教版一年级上册数学课件：认识0 (共11张PPT)
（时间4分钟，比比谁的坐姿最端正，自学最认真）
唉！一个蘑菇 也没有采到。
从0开始。
1.
2.
3.
4.你在哪儿见过0？ 电话号码84205103。
住要求： 认真思考
坐姿端正
独立完成 书写工整
认识0
学习目标：
探索“0”的意义，表示一个也没有，并理解“0”的其它含义起点，分界线等，规范 “0”的写法，使学生能较工整地书写“0”。
自学指导： 把书翻到17页，请同学们观察例3-4的场景图 思考：
（1）小蓝兔、小粉兔和小灰兔采了几个蘑菇，可以用数字几来表示呢？ （2）小白兔一个也没采到，应该用数字几表示呢？ （3）在这里0表示什么呢？ （4）你能大声的把直尺上的数字读一遍吗？ （5）直尺上的数是怎样排列的？这些数是从几开始的？ （6）这个0表示什么呢？ （7）0应该怎么写呢？你们看这个0像什么？ （8）你认为写0的时候要注意什么？
唉！一个蘑菇 也没有采到。
从0开始。
1.
2.
3.
4.你在哪儿见过0？ 电话号码84205103。
住要求： 认真思考
坐姿端正
独立完成 书写工整
认识0
学习目标：
探索“0”的意义，表示一个也没有，并理解“0”的其它含义起点，分界线等，规范 “0”的写法，使学生能较工整地书写“0”。
自学指导： 把书翻到17页，请同学们观察例3-4的场景图 思考：
（1）小蓝兔、小粉兔和小灰兔采了几个蘑菇，可以用数字几来表示呢？ （2）小白兔一个也没采到，应该用数字几表示呢？ （3）在这里0表示什么呢？ （4）你能大声的把直尺上的数字读一遍吗？ （5）直尺上的数是怎样排列的？这些数是从几开始的？ （6）这个0表示什么呢？ （7）0应该怎么写呢？你们看这个0像什么？ （8）你认为写0的时候要注意什么？
0的认识PPT免费
任何数与0相乘，结果都是0。 0乘以任何数的结果都是0。
在算术中，0是乘法的吸收元，即a * 0 = 0。
0的除法运算
任何非零数除以0都是无意义的 （在数学中不允许除以0）。
0除以任何非零数的结果都是0。
在算术中，0没有除法逆元，即 不存在一个数b使得0 * b = 1 （除了在数学中的一些特殊定 义，如无穷大）。
因此，在编写程序或进行数学运 算时，应注意区分正0和负0的概 念，以避免产生不必要的错误或
误解。
正确理解0在数学中的作用和意义
01
02
03
04
0是自然数集合的起始数，自 然数集合是由所有非负整数组
成的集合。
0是整数集合、有理数集合、 实数集合的起始数，也是这些
集合的最小数。
0在数学中扮演着非常重要的 角色，它是许多数学概念的基 础，如加法、减法、乘法、除
几何中的
01
02
03
0表示点的位置
在几何学中，点用坐标表 示，而坐标的原点即为 (0,0)，表示X轴和Y轴的交 点。
0表示线段的长度
当线段的长度为0时，表 示该线段实际上是一个点。
0表示角度的大小
在角度制中，0度表示两 个射线完全重合，没有夹 角。
概率统计中的
0表示不可能事件
在概率论中，不可能事件的概率被定义为0，表示该事件不会发生。
法等。
正确理解0在数学中的作用和 意义对于提高学生的数学素养 和解决问题的能力具有重要意
义。
谢谢
THANKS
03 0在生活中的应用实例
CHAPTER
温度计上的0度
0度是温度的基准点
在摄氏温标中，0度被定义为冰点，即水开始结冰的温度。
在算术中，0是乘法的吸收元，即a * 0 = 0。
0的除法运算
任何非零数除以0都是无意义的 （在数学中不允许除以0）。
0除以任何非零数的结果都是0。
在算术中，0没有除法逆元，即 不存在一个数b使得0 * b = 1 （除了在数学中的一些特殊定 义，如无穷大）。
因此，在编写程序或进行数学运 算时，应注意区分正0和负0的概 念，以避免产生不必要的错误或
误解。
正确理解0在数学中的作用和意义
01
02
03
04
0是自然数集合的起始数，自 然数集合是由所有非负整数组
成的集合。
0是整数集合、有理数集合、 实数集合的起始数，也是这些
集合的最小数。
0在数学中扮演着非常重要的 角色，它是许多数学概念的基 础，如加法、减法、乘法、除
几何中的
01
02
03
0表示点的位置
在几何学中，点用坐标表 示，而坐标的原点即为 (0,0)，表示X轴和Y轴的交 点。
0表示线段的长度
当线段的长度为0时，表 示该线段实际上是一个点。
0表示角度的大小
在角度制中，0度表示两 个射线完全重合，没有夹 角。
概率统计中的
0表示不可能事件
在概率论中，不可能事件的概率被定义为0，表示该事件不会发生。
法等。
正确理解0在数学中的作用和 意义对于提高学生的数学素养 和解决问题的能力具有重要意
义。
谢谢
THANKS
03 0在生活中的应用实例
CHAPTER
温度计上的0度
0度是温度的基准点
在摄氏温标中，0度被定义为冰点，即水开始结冰的温度。
大班数学认识0PPT课件
感谢您的观看
THANKS
数学符号的表示
在数学中，数字0还可以用来表示空 集、零向量、零矩阵等概念。
培养孩子对数字0的敏感度
增强对数字的认知
培养良好的学习习惯
通过让孩子了解数字0在日常生活和 数学中的应用，增强他们对数字的认 知和理解。
通过引导孩子认真观察、思考和总结 数字0的特点和规律，培养他们良好 的学习习惯和自主学习能力。
大班数学认识0PPT课件
目录
• 引入：认识数字0的重要性 • 知识讲解：数字0的基本概念 • 互动环节：让孩子们参与进来 • 拓展延伸：数字0在数学中的应用 • 课堂练习：巩固所学知识 • 总结回顾：加深对数字0的认识
01
引入：认识数字0的重要性
数字0在日常生活中的应用
时间表示
在时钟和日历上，数字0用来表示时间的起点 和分界点，如午夜12点、每月的第1天等。
数字0是自然数集合 的起点，其他自然数 都是从0开始计数的 。
在乘法运算中，任何 数与0相乘，结果都 是0。
在加减法运算中，任 何数与0相加或相减 ，结果仍然是原数。
数字0的运算规则
01
02
03
04
加法规则
任何数+0=原数，例如 5+0=5。
减法规则
任何数-0=原数，例如8-0=8 。
乘法规则
任何数×0=0，例如7×0=0。
提高数学思维能力
通过让孩子掌握数字0的基本性质和 运算规则，提高他们的数学思维能力 和解决问题的能力。
02
知识讲解：数字0的基本概念
数字0的定义和表示方法
定义
数字0是自然数集合中的一个元素 ，表示“没有”或“空”的概念 。
表示方法
0的认识课件数学一年级上册(共15张PPT)
某日北京和漠河两地的温度
表示 分界限
• 如温度计上，0 摄氏度 是零上温度和零下温 度的分界限。
0 的意义
• 如直尺上，0 是测量的
表示起点 起点。
0 的意义
北京市邮政编码 100000
表示占位
• 如某市一个车牌号为MMA000 • 北京市的邮政编码是100000
1 【 知识精讲】 2 【 名师点睛 】
3 【典型例题】
1. 看图写数。
2. 看图先画“〇”，再写数。
3. 南曹站距火车站还有几站？
210
答：还有 2 站。
同学们，再见！
实物
数量
图形 读法 写法
4
四
2
二
0
零
书写 0 时，要从上到下，从左到右写， 起笔和收笔处要相连，并且要写得圆圆的。
1 【 知识精讲】 2 【 名师点睛 】
3 【典型例题】
0 的意义
表示“一个 • 如盘子里原有 3 个苹
也没有”
果，连续吃了 3 个以 后，还剩下 0 个
0 的意义
0 的这个意义在四ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 级的时候，将会进 一步学习哦。
今天，一（1）班 一个迟到的学生 都没有。
你知道今天一（1） 班迟到的人数可以 用哪个数字表示吗？
一（1）班
1 【 知识精讲】 2 【 名师点睛 】
3 【典型例题】
0 的认、读、写
0 和数字 1，2，3… 一样，也是一个数， 表示一个也没有。
上图中分别有 4 朵花、2 朵 花、0 朵花。
0 的认、读、写
人教版新一年级数学0的认识课件(谷风教学)
1只 1 ＞0（0）只
1比0大,所以1＞0或0＜1.
沐风教育#
20
4-0= 0+2=
3-0= 5-4=
1-1= 0+0=
沐风教育#
21
0+5＝ 5+0＝ 5-0＝
0+4＝ 0+3＝ 4+0＝ 3+0＝ 4-0＝ 3-0＝
沐风教育#
0+2＝ 2+0＝ 2-0＝
22
0在1的 前面。
直尺上从“0”开始 越往后数越大，反 过来，数越大，离 “0”就越远。
沐风教育#
10
沐风教育#
11
写0时要注意 什么？
从上到下，从左到右，起笔收笔都要相连，
并且要写圆滑，写成椭圆形，不能有棱角。
0是一笔写成的，起笔、落笔都在0的右上角。
多练就可以把0写得美沐风观教育#、正确.
12
小学数学第一册
０的认识和加减法
沐风教育#
1
沐风教育#
2
哎！一个蘑菇 也没有采到。
沐风教育#
3
沐风教育#
4
地上没有萝卜了！
沐风教育#
5
什么也没有， 用“0”表示
沐风教育#
6
沐风教育#
7
沐风教育#
8
表示什么也没有时用“0”， 直尺上也有“0”。看看“0”在 哪儿？在几的前面？
沐风教育#
9
3–3=0
沐风教育#
13
4 + 0=4
沐风教育#
14
1、填一填
（5）
（2 ）
（0 ）
沐风教育#
15
填一填 （ 0） （ 1 ） （ 2 ） （ 3） （ 4） （ 5 ）
认识数字0微课ppt课件
5
小熊袋子里有几根玉米？
0
6
7
“0”的书写
数字0， 像鸡蛋。 上下长， 左右扁。
8
注意0要封住口，要写得长长圆圆、要圆 滑，没有棱角。
9
（1）
（0）
10
（3）
（0） 11
4
2
0
12
小朋友们，你们知道生活 中在哪里见过“0”呢？
13
小朋友们，你们认识数字“0” 了吗？ “0”就代表没有，让我们一起发现 生活中的“0”吧。
14
认识数字“0”化德县Fra bibliotek丫幼儿园 高文婧
1
活动目标：
1、认识数字“0”，感知数字“0” 的实际意义，激发幼儿对周围生活 中“0”的探究兴趣。
2、初步了解“0”在数字中的重要 性，知道“0”和其它数字结合后表 示的意义。
2
一、激情导入
2
1
0
3
什么也没有可 以用“0”来表 示。
0
4
小熊袋子里有几根玉米？
《0的认识》(幼儿园课件
《0的认识》(幼儿园课件一、教学内容本节课我们学习的是《0的认识》，该内容属于幼儿园数学教材的第四章“数字与计数”第一节。
详细内容包括0的含义、0在数字中的位置和作用，以及0在实际生活中的应用。
二、教学目标1. 让学生理解0的含义，认识到0是一个数字，表示没有数量。
2. 培养学生能够正确书写0，并在数字中找到0的位置。
3. 使学生能够运用0进行简单的计数，感受0在实际生活中的重要性。
三、教学难点与重点教学难点：0的含义和作用，0在数字中的位置。
教学重点：正确书写0，运用0进行计数。
四、教具与学具准备教具：数字卡片、计数器、磁性黑板、0的闪卡。
学具：练习本、铅笔、彩色笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）教师展示一个空盘子，引导学生观察盘子里有什么。
学生回答“没有”，教师趁机引出0的概念。
（2）教师邀请一名学生上台，演示数字卡片，找出0的位置。
2. 例题讲解（1）教师通过磁性黑板，展示0的正确书写方法，并引导学生一起书写。
（2）教师用计数器演示0在数字中的位置，让学生直观地感受0的作用。
3. 随堂练习（1）学生在练习本上书写0，教师巡回指导。
（2）教师出示0的闪卡，学生抢答说出0的位置。
六、板书设计板书分为两部分：一部分是0的含义和书写，另一部分是0在数字中的位置。
七、作业设计1. 作业题目：请在练习本上写出数字0，并在数字卡片中找出0的位置。
2. 答案：数字0的书写见附图，0的位置在数字卡片中的最左边。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，使学生掌握了0的含义、书写和位置。
课后，教师应关注学生对0的理解程度，并进行针对性的辅导。
拓展延伸方面，教师可以引导学生观察生活中哪些地方用到了0，进一步加深对0的认识。
重点和难点解析1. 实践情景引入中0的含义的传达。
2. 例题讲解中0的正确书写方法的演示。
3. 教学过程中学生书写0的实践和指导。
4. 作业设计中数字0书写的准确性。
《认识0》 PPT课件 图文
按从小到大的顺序排一排。
1 43 0 5 2 0 12 3 4 5
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前单位有一个姑娘，工作特别拼命， 只要说 起她的 名字，
小学数学人教版(2024)一年级上册(2024)0的认识课件(共23张PPT).ppt
任何数和0相加，还得原数。
5-0=5
1.为什么还等于5？
5-0表示从5里面去掉0个，也就是从5里面一个 也没有减掉，所以结果还是5。
2.这样的例子你还能再举出几个吗？
任何数减0，还得原数。
比赛胜计1分，平计0分，负计-1分
温度计上的0表示0℃
练习
1.按从小到大的顺序写一写。
2
5
3
0
4
1
2.看图填一填，算一算。
012345
直尺上的“0”在什么位置？
直尺上的“0”表示起点,在1的前面。我们 测量长度时，要从“0”量起。
鸟窝里还剩下几只小鸟？
3-3=0
4-4=0
3-3=0 4-4=0 一个数减去它自己，就等于0。
两个荷叶上一共有几只青蛙？ 4+0=4
3＋0＝ 3
0＋3＝ 3
4+0=4 3+0=3 0+3=3
第一天
第二天
2－ 1 ＝ 1
2－ 2 ＝ 0
3.想一想，填一填。
－ ＝0
0＋ ＝
－0 ＝
你还能写出哪些算式？
0的认识
请同学们认真观察，盘子里有几个桃子呢？用哪个数字来表示？
一个桃子也没有，用哪个数表示呢？
一个也没有就用数字“0”表示，0和1、2、3、4、5 一样都是数，可以用来表示事物的数量。
我带了10元钱买了一本书，一本书正好是10元， 买完书，我还有多少钱？
我有三颗糖果，送给小明一颗，送给小红一颗， 送给小军一颗，现在我还有几颗糖果？ 你能举几个这样的例子吗？
5-0=5
1.为什么还等于5？
5-0表示从5里面去掉0个，也就是从5里面一个 也没有减掉，所以结果还是5。
2.这样的例子你还能再举出几个吗？
任何数减0，还得原数。
比赛胜计1分，平计0分，负计-1分
温度计上的0表示0℃
练习
1.按从小到大的顺序写一写。
2
5
3
0
4
1
2.看图填一填，算一算。
012345
直尺上的“0”在什么位置？
直尺上的“0”表示起点,在1的前面。我们 测量长度时，要从“0”量起。
鸟窝里还剩下几只小鸟？
3-3=0
4-4=0
3-3=0 4-4=0 一个数减去它自己，就等于0。
两个荷叶上一共有几只青蛙？ 4+0=4
3＋0＝ 3
0＋3＝ 3
4+0=4 3+0=3 0+3=3
第一天
第二天
2－ 1 ＝ 1
2－ 2 ＝ 0
3.想一想，填一填。
－ ＝0
0＋ ＝
－0 ＝
你还能写出哪些算式？
0的认识
请同学们认真观察，盘子里有几个桃子呢？用哪个数字来表示？
一个桃子也没有，用哪个数表示呢？
一个也没有就用数字“0”表示，0和1、2、3、4、5 一样都是数，可以用来表示事物的数量。
我带了10元钱买了一本书，一本书正好是10元， 买完书，我还有多少钱？
我有三颗糖果，送给小明一颗，送给小红一颗， 送给小军一颗，现在我还有几颗糖果？ 你能举几个这样的例子吗？
2024版大班数学认识0课件
数学建模
在数学建模中，0常常用来表示某种状态的缺失或 不存在。例如，在概率论中，事件发生的概率为0 表示该事件不可能发生；在图形中，点的坐标为 (0,0)表示原点或中心。
06
总结回顾：回顾本次课程 的主要内容和收获
总结数字0的基本概念和性质
数字0表示没有数量 或空的概念，是自然 数集合中的一个特殊 元素。
数字0在数学中的应用场景举例
计数与排序
在计数和排序时，0通常表示没有或空。例如，在 数列1, 2, 3, 0, 5中，0表示该位置没有值或为空。
时间计量
在时间计量中，0表示起点或基准点。例如，在24 小时制中，0点表示午夜12点；在分钟和秒钟计量 中，0分或0秒表示开始计时的时间点。
温度计量
在温度计量中，0°C表示冰点，是温度计量的基准 点之一。
01
02
03
问题收集
提前收集孩子们关于数字 0的问题，或者现场让孩 子们提问。
问题解答
针对孩子们的问题，用简 单易懂的语言进行解答， 可以配合实例或图示。
知识扩展
在解答问题的过程中，可 以穿插一些与数字0相关 的数学知识和趣味故事， 激发孩子们的学习兴趣。
分享：孩子们分享自己找到的数字0的例子
分享内容
游戏：寻找生活中的数字
01
游戏目的
通过寻找生活中的数字0，让孩 子们理解0在生活中的广泛应用
和重要性。
02
游戏规则
分组进行，每组在规定时间内寻 找教室或学校中数字0的出现， 并记录下来。找到最多数字0的
小组胜。
03
游戏建议
可以引导孩子们关注钟表、温度 计、电话号码等常见物品上的数
字0。
问答：解答孩子们关于数字0的疑问
在数学建模中，0常常用来表示某种状态的缺失或 不存在。例如，在概率论中，事件发生的概率为0 表示该事件不可能发生；在图形中，点的坐标为 (0,0)表示原点或中心。
06
总结回顾：回顾本次课程 的主要内容和收获
总结数字0的基本概念和性质
数字0表示没有数量 或空的概念，是自然 数集合中的一个特殊 元素。
数字0在数学中的应用场景举例
计数与排序
在计数和排序时，0通常表示没有或空。例如，在 数列1, 2, 3, 0, 5中，0表示该位置没有值或为空。
时间计量
在时间计量中，0表示起点或基准点。例如，在24 小时制中，0点表示午夜12点；在分钟和秒钟计量 中，0分或0秒表示开始计时的时间点。
温度计量
在温度计量中，0°C表示冰点，是温度计量的基准 点之一。
01
02
03
问题收集
提前收集孩子们关于数字 0的问题，或者现场让孩 子们提问。
问题解答
针对孩子们的问题，用简 单易懂的语言进行解答， 可以配合实例或图示。
知识扩展
在解答问题的过程中，可 以穿插一些与数字0相关 的数学知识和趣味故事， 激发孩子们的学习兴趣。
分享：孩子们分享自己找到的数字0的例子
分享内容
游戏：寻找生活中的数字
01
游戏目的
通过寻找生活中的数字0，让孩 子们理解0在生活中的广泛应用
和重要性。
02
游戏规则
分组进行，每组在规定时间内寻 找教室或学校中数字0的出现， 并记录下来。找到最多数字0的
小组胜。
03
游戏建议
可以引导孩子们关注钟表、温度 计、电话号码等常见物品上的数
字0。
问答：解答孩子们关于数字0的疑问
2024版《认识0》PPT课件大班数学活动
实践操作（20分钟）
组织幼儿进行与0相关的数学游戏或 操作活动，如“0的加减法”、“寻 找0的秘密”等。
课程总结（5分钟）
回顾课程内容，总结学习成果，鼓励 幼儿在日常生活中应用所学知识。
PART 02
数字0的基本概念
REPORTING
0的定义与表示方法
01
02
03
04
0是一个自然数，自然数 集合是由所有非负整数 组成的集合。
《认识0》PPT课件大 班数学活动
REPORTING
• 课程介绍与目标 • 数字0的基本概念 • 0在加减法中的运算规则 • 0在乘法与除法中的特性 • 认识0的拓展知识 • 课程总结与回顾
目录
PART 01
课程介绍与目标
REPORTING
认识0的重要性
0是数学中的基本概念
0是自然数集合的起始数，是自然数、 整数、有理数、实数等集合的重要元 素。
0在数学运算中的意义
在加减乘除等运算中，0有着特殊的 运算规则，掌握这些规则有助于理解 更复杂的数学概念。
0在日常生活中的应用
在温度计量、时间计量、计数等方面 都有广泛应用，如0度表示冰点，0点 表示一天的开始等。
教学目标与要求
知识与技能目标
01
了解0的基本含义和特性，掌握0在加减法中的运算规则。
0减去一个数时，结果等于该数的相反数。例如，0-5=-5。
0在加减法中的实际应用
用于占位和计数
在实际问题中，0常常用来占位和计数，例如在电话号码、身份证号码等场合中，0用来表示 空位或计数起点。
简化计算过程
在进行加减运算时，如果遇到与0相关的计算，可以直接利用0的运算规则进行简化，从而提 高计算效率。