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保险精算（第二版）

第一章：利息的基本概念

练 习 题

1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1

(5)25 1.8

0.8

,1

25300*100

(5)300180300*100300*100(8)(64)508

180180

a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)

0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)

A A A A A A i i i A A A ---=

=====

(2)假设()()100 1.1n

A n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)

0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)

A A A A A A i i i A A A ---=

=====

3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5

年后的积累值。

1113

2153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120

500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97

a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=

4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1

A A i i i A ==+++⇒=

5．确定10000元在第3年年末的积累值:

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12

3

4

1()410000(3)10000(1)11956.18

4

10000(3)10000111750.08

14i a i a =+=⎛⎫ ⎪

=+= ⎪ ⎪⎝⎭

6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()

()m m d d

i i δ<<<<。

7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、

12

00.7210000(12)100001000020544.33t dt a e e δ⎰===

8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

(4)(2)4

1

42

12(1)(1)(1)(1)(1)

42

1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.3332658580.74556336

i i i i d i -+=+-++==⇒= 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6

t t

δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

()()

20212112

21212

() 1.01()1.01, 1.432847643

t

t t

t dt

t t

a t a t e e

e t δ=⎰==⇒==

10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。

()()()

2

2

10.010.12

20.01*200.1*2020

4

2

3

()1()11 1.8221

t

t t

t t dt

a t i a t e e

i e

e i δ++=+⎰==⇒+==+=

11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。

A. 7.19

B. 4.04

C. 3.31

D. 5.21

(3)3*5

153(1)3*1.02 4.03763

i +==

12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。

A.7 225

B.7 213

C.7 136

D.6 987

(2)2*24(1) 1.03 1.12552

i +==

第二章：年金

练习题

1．证明()

n m m n v v i a a -=-。

()11()m n

n m m n v v i a a i v v i i

---=-=-

2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。

120

12011000100079962.96(8.7%/12)

16000079962.9680037.04

v a i i

-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。

7

18711110.08299

a a a i i ⎛⎫

=+ ⎪+⎝⎭

∴=

4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。

10

101015000112968.7123

a x a i x ⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

∴=

5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10

1

2

v

=

，计算K 。 10

20

101010

20

1010

1110002000100011111800

A a a a i i

B Ka K a i A B K ⎛⎫⎛⎫

=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫

=+ ⎪+⎝⎭

=∴=

6． 化简()

1020101a v v ++ ，并解释该式意义。