三次数学危机论文
数学的三次危机研究体会600字
数学的三次危机研究体会600字数学的三次危机是指公元十九世纪末和二十世纪初，数学领域内的一系列重要问题的解决所带来的一次变革。
这三次危机分别是实数概念的建立、集合论的发展以及公理化方法的推广。
经历这三次危机，数学发生了深刻的变革，推动了数学的进一步发展，同时也带来了一些新的问题和挑战。
实数概念的建立是数学的第一次危机。
在十九世纪初，数学家们对实数的概念模糊不清，无法准确地描述实数的性质和运算规则。
这一问题在十九世纪末得到了解决，数学家们通过引入实数的完备性概念，建立了实数的严格定义和运算规则。
这一解决方案为数学的进一步发展奠定了基础，使得数学能够更加准确地描述和分析现实世界中的问题。
集合论的发展是数学的第二次危机。
在十九世纪末，数学家们开始研究集合论，试图将数学建立在更为严谨的基础之上。
然而，集合论的发展引发了一系列的悖论和矛盾，使得数学陷入了困境。
数学家们通过对集合论的重新定义和公理化，解决了这一危机，并建立了现代数学的基础。
集合论的发展为数学提供了一种统一的框架，使得不同领域的数学可以通过集合论的语言和方法进行描述和推理。
公理化方法的推广是数学的第三次危机。
在公元二十世纪初，数学家们开始关注数学的基础理论和逻辑基础，试图通过公理化方法来建立数学的一致性和完备性。
然而，数学的公理化过程却引发了一系列的矛盾和困难，使得数学的基础受到了挑战。
数学家们通过对公理化方法的改进和扩展，解决了这一危机，并为数学的发展开辟了新的道路。
公理化方法的推广使得数学的推理和证明更加严谨和准确，推动了数学的进一步发展。
通过对数学的三次危机的研究，我深刻认识到数学的发展是一个不断变革和进步的过程。
数学家们在解决问题的过程中，不断地发现新的问题和困难，并通过创新和改进来解决这些问题。
数学的发展离不开数学家们的智慧和努力，同时也需要数学家们对数学的思考和反思。
只有不断地改进和完善，数学才能够更好地为人类社会的发展和进步做出贡献。
三次数学危机3篇
三次数学危机第一次数学危机在数学的发展历程中，曾有一次重大的危机，即第一次数学危机。
这次危机发生在20世纪初期，当时的数学家们正在努力寻找一种新的数学方法，以便更好地描述和理解现实世界中的复杂问题。
然而，这条道路并不平坦。
新的数学方法需要更加先进的数学理论支持，但当时的数学还无法满足这一需求。
同时，现实世界中的问题也变得越来越复杂，使得数学家们遇到了难以逾越的困难。
在这种情况下，数学家们开始怀疑数学的基础是否可靠。
他们发现，在数学的基础中存在着一些悖论和不完备性，这让他们陷入了困惑和迷茫。
为了解决这个问题，一些数学家开始重新审视数学的公理和证明，试图找到一种更加严格和完备的数学基础。
他们成立了一些小组，进行了长期而艰苦的研究和讨论。
这些研究最终导致了数理逻辑和公理化方法的发展，这些方法为将来的数学研究奠定了坚实的基础。
第一次数学危机虽然让数学家们苦苦思索和探讨，但也给了他们寻求新的数学方法的动力和启示。
第二次数学危机20世纪初期，数学家们在前往更为复杂的数学领域的过程中遭遇了另一次危机，即第二次数学危机。
这次危机源自对几何学和拓扑学的深入研究，数学家们发现其中存在许多令人困惑和无法解决的问题。
在几何学中，数学家们发现了一些反直觉的结果，这些结果对数学的基础产生了挑战。
例如，他们发现两个形状看似相同的物体却可能有不同的特征，这种现象被称为拓扑上的不可区分性。
在证明这些结果时，数学家不得不使用一些超出传统几何学范围的新工具，如集合论、拓扑学和代数学。
这些新工具的使用使得数学变得更加抽象和复杂，进一步挑战着数学基础的可靠性。
数学家们为了解决这些问题，开始研究数学的逻辑结构，并且发展出了公理集合论来奠定数学基础的更加牢固。
这种方法成为当代数学的基础之一，为数学家们寻找解决方案提供了关键性的工具。
第三次数学危机第三次数学危机发生在上世纪50年代和60年代，当时人们开始在计算机上使用数学模型来解决实际问题。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学发展中的三次数学危机
数学发展中的三次数学危机数学发展中的三次数学危机数学发展中的三次数学危机摘要：在数学的发展史上，出现了三次震动较大的数学危机。
三次数学危机都有其产生的背景、解决的过程、相应的产物和作出重大贡献的数学家。
哲学修养是第一流数学家与其他人的又一显著差别。
他们对整个数学的内在统一性，对数学的基础有着深刻的理解，能从哲学的高度看问题。
他们重视技巧，但不舍本逐末。
他们能够不像一般人那样只见树木，不见森林，使人对他们的广博深邃，高瞻远瞩惊叹不已。
本文以数学发展中的三次数学危机为线索，讲述在此过程发生的背景、人物思想等，联系中学课本，具体研究数学史与中学数学教材的联系。
关键词：悖论；数学危机；数学史Abstract: In the development history of mathematics, there are three shocked mathematical crisis. Three mathematical crisis had their backgrounds, the solution processes, the corresponding products and mathematicians who contributed to math. Philosophy cultivation is distinct difference between the first-class mathematicians and other people. The first-class mathematicians had deep views on the internal unity of the whole mathematics and foundation of mathematics .They can think the problem from philosophy view. They play more attention to skills, but not play attention to trifles and neglect the essentials. They are not like that everyman only can see the wood but not the forest. People are marvel at their width and depth, broad and long-term view. Based on the three mathematicalclues to the crisis in the development history of mathematics, this article describes the background of this process, the thought of people and so on. Contacted with the textbook, it researches relationship between the history of mathematics and the high-school math textbook.Keywords:Paradox; Crisis in mathematics; History of Mathematics目录前言 (1)第一章第一次数学危机1.1 第一次数学危机产生的背景 (1)1.2 第一次数学危机的解决 (3)1.3 第一次数学危机的产物 (3)1.4 第一次数学危机在中学课本的应用 (4)第二章第二次数学危机2.1 第二次数学危机产生的背景 (6)2.2 第二次数学危机的解决 (7)2.3 第二次数学危机在中学数学的作用 (8)第三章第三次数学危机3.1 第三次数学危机产生的背景 (9)3.1.1 数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起 (10)3.1.2 寻找数学的基础：集合论的创立 (11)3.1.3 数学的公理化 (12)3.2 悖论及其解决方法 (13)3.3 中学教材中的集合论内容 (14)第四章结束语 (15)致谢 (15)参考文献 (16)前言英国科学史家丹皮尔曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。
三次数学危机
三次数学危机近年来，全球数学教育领域出现了三次重大危机。
这些危机对数学教育和数学领域造成了巨大的影响，同时也引发了人们对数学教育的深思和反思。
第一次数学危机：学生数学素养缺失随着科技的发展和全球化的进程，数学应用范围扩大，人们对数学素养的要求也越来越高。
然而，随着教育体系的快速扩张，学生数量的大幅增加，数学教育也面临着新的挑战。
特别是在发展中国家，大量学生因为教育资源的不足，缺乏基础数学知识和实际应用能力，这就导致了数学教育与社会需求之间的差距越来越大。
首先是基本知识不够扎实。
现在，很多学生在做数学题时，经常出现漏洞百出的情况。
其中，最常见的问题是基本数学公式掌握不牢固，导致出现一些低级错误。
其次，很多学生缺乏灵活性和创造性。
很多数学问题需要学生通过思考和运用数学知识来解决，但是现在的很多学生习惯于机械式的计算，不愿意用思考去解决问题。
这也是学生数学素养缺失的一个重要原因。
为了解决这个问题，不仅需要加强数学教育的质量，还需要对数学教学方法进行改进。
一方面，教师需要注重培养学生的数学素养和思维能力，让他们能够理解数学知识的本质。
另一方面，学生也需要学习如何运用已有知识解决实际的数学问题，并且要在实践中不断探索和学习。
第二次数学危机：教师缺乏数学教育知识和技能数学教学是一个非常复杂和技术性强的工作。
对于指导学生学习数学的教师来说，他们需要掌握数学教育知识和教学技能，如何组织教育资源，如何指导学生学习，如何评估学生知识水平等等。
然而，在现实中，很多教师的数学教育知识和技能都不够充分，这就导致了数学教育的质量难以保证。
一方面，现在的数学教师很多是简单“过场”。
由于教师职业相对较为稳定，很多人并不具备数学专业背景，但仍从事数学教育工作。
因此，这些教师的数学知识水平和教育能力都比较有限，无法让学生充分理解数学的本质，更难以激发学生的兴趣和学习热情。
针对这一问题，需要提高教育工作者的素质。
对于那些无法接受正统数学教育的教师来说，应该通过系统培训来提高他们的专业素养和教育技能。
浅谈三次数学危机的启示
浅谈三次数学危机的启示“经济危机”，我在生活中听得多，“数学危机”却是第一次听说。
和经济危机发生的原因相似，数学危机发生也是由于数学基础和构架上存在本来就有的矛盾，在数学发展的过程中一点一点地显露出来。
在这三次数学危机中，我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。
正如哲学上说的：“世界观决定方法论。
”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。
如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来，希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏，希望能在众人的讨论中得到解决，但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事，他遭到别人的打压，甚至最终被投入海中淹死。
这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入，于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。
同时，也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。
先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前。
所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地。
三次数学危机也是三次数学革命，发现问题，提出问题之后就需要解决问题。
人们经过多年不懈的讨论和研究，攻克了一个又一个的难关，数学危机给数学发展带来的动力，不断促进着数学理论基础的完善和成熟。
新的时代应该是开放、包容的时代，我们应该有一种允许不同的观点存在的心态：“虽然我不赞同你的说法，但我誓死捍卫你说话的权利。
”只有大家都有机会发表看法，才能在碰撞中擦出火花，激发出新的灵感，才能推动时代的发展。
百家争鸣，求同存异，共同进步才是文化领域上应有的风气。
从我国数学的发展看三次数学危机
从我国数学的发展看三次数学危机从我国数学的发展看三次数学危机1 引言数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
2 三次数学危机第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。
毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。
但这一信条后来遇到了困难。
因为有些数是不可公度的。
这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。
这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为“第二次数学危机”[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。
牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。
他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了“无穷小悖论”[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成“第二次数学危机”.19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。
庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了!”[5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论“悖论”打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的`新争论。
3次数学危机极其影响
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)一、引言 (2)二、什么是数学危机？ (2)三、第一次数学危机 (3)四、第一次数学危机的影响 (3)五、第二次数学危机 (4)六、第二次数学危机的影响 (7)七、第三次数学危机 (7)八、第三次数学危机的影响 (8)九、数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 (8)后记 (9)参考文献 (1)一、引言：N.布尔巴基说过：“古往今来为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了粮食。
”这充分说明了数学悖论在数学发展中队数学起到的影响及其推动作用。
三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。
每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
二、什么是数学危机？为了讲清楚三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。
一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
三、第一次数学危机：发现了勾股定理的毕达哥拉斯学派认为任何俩都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。
在几何上相当于这样说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
三次数学危机
三次数学危机数学是世界上最古老的学科之一，它从古代到现代，穿越历史长河，在人类文明发展的进程中发挥了重要的作用。
不仅如此，在当今世界，数学仍然在发挥着无可替代的重要作用：它为世界经济增长和进步提供了技术支持，为人类的生活方式提供了支撑。
虽然现代数学是一项充满挑战的学科，但是它也不乏危机。
在本文中，我们将讨论过去几个世纪中出现的三次数学危机。
第一次数学危机发生在17世纪，当时俄罗斯数学家约瑟夫斯特拉斯克亚诺夫（Joseph Strelski）发现，虽然三角函数在极坐标系中有一些不确定性，但在直角坐标系中却没有。
这一发现使得当时的数学家们晕头转向，他们曾经坚信的数学定律突然被抛弃，他们无法提出任何合理的解释。
第二次数学危机则发生在18世纪，当时，法国数学家埃尔斯特居里（tienne Luneau）发现，当考虑超过三个变量时，估计十分困难。
居里表示，跨越多个变量时，数学家们必须考虑多种多样的可能性，而这往往会变得复杂至极。
最后一次数学危机发生在19世纪，当时，为解决拉格朗日不定方程组，数学家们正在使用数学证明，但英国数学家查尔斯莫尔尼（Charles Morley）发现，如果不考虑空间几何关系，则不能完美解决此问题。
这一发现使得数学家们不得不重新考虑他们的证明方法，他们必须不断地进行反复尝试来获得准确的结果。
从以上可知，数学在发展史上一直充满挑战，每次都会面临新的危机。
这就是为什么数学仍然是人类文明发展的一个重要方面，它为世界提供了无可替代的技术支持。
它不仅给予我们日常生活中所需要的有用计算，而且还有助于我们解决世界上很多其他重大技术问题和金融问题。
因此，我们应该把握好机会，积极应对数学的危机，以有效地利用数学，为人类的未来发展创造良好的基础。
让我们携起手来，共同努力，谱写好未来的美丽乐章吧！。
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。
这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。
在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。
让我们来了解一下庞加莱猜想。
庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。
该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。
庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。
庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。
这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。
让我们来看看康托尔难题。
康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。
该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。
康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。
康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。
直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。
康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。
让我们来谈谈哈尔定理。
哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。
该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。
哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。
哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。
数学的三次危机三次动摇数学根基的危机
数学的三次危机三次动摇数学根基的危机在数学几千年的发展历程上，曾发生过三次动摇数学根基的危机，其中每一次都曾使得人们尤其是数学家怀疑数学的合理性，然而经过无数数学家的力挽狂澜，这三次危机不仅没有让数学失去其合理性，反而使其变得更加强大。
第一次数学危机“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。
所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。
然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理（也就是我国俗称的勾股定理）却恰恰成了其信仰的终结者。
毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯（Hippasu）对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。
他思考了一个问题：边长为1的正方形其对角线有多长呢？一番思索演算之后，他发现这一长度既不是整数，也不是分数，“万物皆数”的信仰就此崩塌。
相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里，真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸，可悲亦可叹！自被希伯斯发现之后，√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。
然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。
更为恼火的是，面对这一打击，人们手足无措，于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机，从而导致了西方数学史上一场浩大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机自微积分被发明之后，质疑之声就从未消停过。
相当长的时间内，数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的，但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。
这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击，英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。
如果这一危机无法解除，那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。
这也就是数学史上的第二次危机。
转机出现在柯西，魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后，这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础，从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠，危机便也解除。
第三次数学危机“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。
数学危机 数学文化论文
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。
他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。
数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
大约公元前370年，欧多克斯建立起一套完整的比例论。
欧多克斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。
到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数后，拥护无理数存在的人才多起来。
到19世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
第三次数学危机
第三次数学危机数学与信息科学学院数学类摘要：本文分析了第三次数学危机产生的历史根源、思想背景，指出它在整个数学史上所占的重要地位。
关键词：数学危机；集合论；悖论；The Third Mathematical CrisisAbstract: This article analyzes the historical root which the third mathematical crisis produces, and the thought background, points out its important status in the entire history of mathematics.Key words: Mathematical crisis; Set theory; Paradox;前言从牙牙学语起，我们就同数学打交道了。
有的人喜欢数学，有的人却视数学为畏途。
因为通常采用的定义、公理、定理、证明的方法，一串串的符号、一排排的公式，实在不让人感到亲切；而一个人只有知道一个概念，一套理论，一种思想方法的背景和来龙去脉时，他才能真正深刻地掌握它。
学习数学文化正是完成这一任务的途径。
一流的数学家无一没有数学文化方面的修养，许多人就是受了大家著作的启发获得自己的重要思想的。
数学是精密的严格的、准确的、靠得住的。
这是大家对数学的普遍看法。
数学好像是我们最后的靠山。
数学不能出现危机，这似乎是理所当然的事。
不过，不可思议的事情还是发生了，危机产生了，虽然那似乎还只是大洋彼岸发生的一场地震。
原来，日常用的数学是有限的，可是研究有限的问题时，不可避免要涉及无穷。
当我们要用有限的人力去对付只有上帝才能驾驭的无穷时，自然而然出现了矛盾，产生了危机。
1预备知识为了见清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明说明什么是数学危机。
一般来讲危机是一种激化的、非解决不可矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
关于数学危机论文
关于数学危机论文数学危机是数学在发展中种种矛盾，你知道哪些关于数学危机的论文?接下来店铺为你推荐关于数学危机论文，一起看看吧!关于数学危机论文篇一：数学课堂教学中教学危机公关探微摘要：在数学课堂教学中，教师对教学危机的处理会直接影响课堂效果，影响着学生的学习方式和效果，甚至对学生的后续学习产生巨大的影响力，因此，加强对教学危机公关和数学课堂教学的有效整合的探微就尤为重要.关键词：教学危机;危机公关;教学细节危机公关一词在百度全科里面原意是指“当事情遇到严重危机的时候，为了避免或者减轻危机所带来的严重损害和威胁，从而有组织、有计划地学习、指定和实施一系列管理措施和应对策略，包括危机的规避、控制、解决以及危机解决后的复兴等不断学习和适应的动态过程”. 危机公关没有固定的模式和解决套路，但却是能否控制事态、减少损失，让相关事件朝着良好轨道持续发展，并最终成功脱困，获得成功的关键所在.在数学教学中，不可避免也会存在着很多容易被忽视的教学细节或者教学突发事件，假如教师和学生在学习的过程中并没有引起足够的注意，那么这些细小的事件往往就会引发严重的教学后果，也就是出现了教学危机，而教学危机公关由于它本身造成损失的不可预判性，在近来的数学课堂教学过程中越来越得到教师的重视. 在出现教学危机的时候，一个教师如果能够积极反应、快速疏通，成功地利用危机公关的策略将教学危机化险为夷，也许对整个教学过程的积极发展会有更为广阔的意义.案例1：某教师在讲授平方根一节课的时候，先对平方的概念进行了复习：32，(-4)2，02的结果分别是多少?学生回答得很整齐，教师一看效果不错，马上接着提问：平方等于9的数是几?学生异口同声的回答：3. 教师这个时候并没有意识到问题出在哪里，于是提高了声音再问是几?学生都以为教师是嫌回答的声音不够响亮，于是乎也提高了声音回答：3. 教师这个时候感觉到有问题，但又不知道问题出在哪里，只得再次加大声音提问：到底是不是3?学生也顺着教师的口吻继续响亮回答：是3!到这个时候，教师也没有弄清楚为什么学生会这样回答，只得作罢，说：其实大家都答错了，平方等于9的数有两个，是±3.这样一个教学活动，最终的结果可能是学生也能记住最后的结果，但是与新课程的探索型课堂的理念是格格不入的，教师在教学的过程中缺少对教学细节的预判、课堂教学的掌控、课堂语言的婉转，因此就造成了被动的局面. 其实这个问题很有特征，在开始引入的时候，虽然教师注意到了要设计正负数的平方问题提问，但是没有充分考虑学生的认知特点，初一学生的正向性思维占据了整个思维体系的大部分，而逆向思维在学生的思考体系中仍很不成熟. 正因为学生的认知特点决定教学的设计与过程，在教学中，教师就可以指导学生分析：一个正数的平方是一个正数，一个负数的平方还是一个正数，那么如果一个数的平方是一个正数，这个数可能有几种情况?这样讲解之后，学生的概念理解自然而然就清晰了. 又或者在提问的时候，教师可以修改例题为：32、(-3)2、02的结果分别是多少?让学生在形成已有认识的基础上再去解题，可能教学的效果会大不相同. 再或者当学生已经回答出一个答案是3的时候，教师可以因势利导继续提问，“大家认为除了3，有没有其他的结果了”，既肯定了3的正确性，又提示了学生还有其他的结果，为学生进一步的思考就提供了舞台.教学细节往往反映了教师的教学水平，折射了教师的教学思想，反映了教师掌控教学的能力. 数学课堂中的教学细节很多，容易忽略的问题也很多，同样教学危机也很多，教师在教学中，一定要多考虑教学危机，多思考教学危机公关，来达到丰富和完善课堂教学的效果，抓住细节去突破，就能在课堂上得心应手，游刃有余，创造精彩的课堂.案例2：某公开课上，内容是《去括号》，上课教师自信满满，踌躇满志. 上课开始，第一个教师设计的环节是一个情景导入：我是魔术师，将手中的扑克牌平均分成左、中、右三堆，再按下列要求操作：1. 从中间的一堆中移3张到左堆;2. 从右堆中移1张到中堆;3. 请你数一数此时中间的一堆有多少张?再从左堆中移走与中堆相同的张数到右堆，你知道现在左堆中还有几张?这个导入游戏教师准备了很久，在几次试上课的时候都没有发生任何的问题，因此，教师在课堂上为了避嫌，当请了一名学生上台操作之后，自己就走到了教室的一角，远离了操作的学生.当学生操作结束，为了制造气氛，教师先让学生起来回答，结果学生的答案是五花八门，这个时候，教师故作神秘地伸出了手说：“我在游戏之前就有预感，已经把答案写在了我的手心”，学生注意到教师的手中写的数字是5，但是这个时候操作的学生却说了：“老师，我这里只有4张牌!”学生们都开始疑惑起来，教师也被这一变化愣住了，本来心里面设计好的诸多言语此时都不能派上用场，整个课堂的气氛就此凝固了起来，过了好一会儿，教师才转过神来，对着学生尴尬地说：可能在操作的过程中，这位同学出现了错误，因此出现了两个数据不一致，好了，我们重新来看今天我们所要学习的内容. 准备的很多导入语由于突发事件的关系，都失去了用武之地，整堂课就在一个乱哄哄的氛围下继续下去，很多学生一直在思考为什么教师的结果和实际操作的结果不一致，而对这堂课的教学内容就失去了应有的关注.其实这种事件在数学教学过程中并不少见，往往教师准备的没有发生，而意想不到地却发生了，说到底还是教师对整个教学过程的掌控不到位，没有充分地考虑各种外在或者内在的因素，譬如：进行游戏操作的学生的能力水平、学生操作过程中会不会失误、教师准备的教具有没有在无意中被破坏等等. 整个教学过程中，教师能想到的可能只有其中的一部分，有很多的教学细节和突发事件是没有办法想象得到的.在上准备课的时候，教师往往是自己熟悉的班级、熟悉的学生，进行操作的往往属于自己信得过的学生，这部分学生分析能力、思维能力以及动手实践能力都比较强，往往很容易达到教学效果，而在公开课上，由于是借班上课，教师对学生的能力并不会很了解，进行操作的学生也是随机产生，能否配合教师完成相应任务就变成了一个疑问!在这个问题的危机公关上，可以这样来解决：教师在找学生的时候，可以再给操作员配备一个助手，这个助手一定要能力出色，能预判问题，教师可以有意识地在课前在班中了解一下情况，哪些是班长、学习委员、数学课代表等等数学基础较好的学生，做到心中有数、有的放矢，面对不同难度的问题去提问不同程度的学生. 多重保护之下，风险就会大大减少，教学辅助活动成功的概率就会大大增加!又或者当问题已经产生的时候，这个时候大可不必惊慌失措，有的时候，教学事故是防不住的，当出现两个不同的数据之后，教师可以故作神秘的说：现在出现了两种结果，到底是老师的结果正确呢?还是这个同学的结果正确?当我们学习了今天的去括号的相关知识之后，答案就会自然分晓. 下面，就让我们带着疑问走进今天的知识世界!同样的意思，不一样的表达，最终的结果可能完全是不一样的. 学生对问题的困惑之心会一直影响着他，让他产生去接受并掌握本节课内容，从而可以更快地解开心中疑问的想法. 当各种不同教学危机产生时，教师应当多思考的是如何有效地把“危机”转化为“机会”，正确因势利导. 成功的教学危机公关，反而可以促进学生积极思维的产生，学习兴趣更加投入，并形成对课堂知识学习的深入探究.数学课堂教学本来就是多姿多彩的，它虽然不能预判下一步即将发生什么而充满了未知性与神秘性，但是只要教师有丰富的教学能力，在课堂教学的前奏曲上下工夫、做文章;在教学危机处理与公关上多探讨、研究，多预设可能发生的情景;多预想学生可能出现的问题，多思考教学过程中的细节;在教学闲暇之时多充实自己的教学理论与业务素养，适时对自己的教学语言、教学经验、教学手段进行再丰富，数学课堂教学的过程就会更加的出色!滴滴小水珠，颗颗小沙粒，都会形成浩瀚的海洋与宜人的土地. 数学课堂中的每一个教学细节，正如这一滴滴小水珠或是一粒粒小沙粒一样，每一个细节都关乎整个阶段学生数学教育的成功与否，每一次的教学危机都有可能会影响着后续的教学过程与学生的学习兴趣. 我们教师要做的就是捕捉每一个教学的细节，预判每一个可能出现的教学危机，成功地运用危机公关的理念去转化危机，让数学课堂教学成为发现学生灵感、展示学生风采、肯定学生行为的一块主阵地，让学生在学习的每一分钟都过得充实，充满探索欲望与无穷动力，那么，我们的数学课堂也就焕发了新的活力，我们的教育也会眼前一亮，充满光明.关于数学危机论文篇二：数学危机不危机【摘要】本文以历史上的三次数学危机为基础，通过解决三次数学危机为何发生在西方、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用、三次数学危机对我们的研究和教学的启示这三个的问题，以此证实数学危机，其实不危机，它对数学的发展有很大的影响.【关键词】数学危机;西方;数学分支;启示一、三次数学危机简介(一)第一次数学危机公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知.该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示.希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解.这就是第一次数学危机.最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了.(二)第二次数学危机十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论.柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾.无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机基本解决.(三)第三次数学危机1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾.罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合.因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的.因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合.数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论.德国数学家策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统，这场数学危机到此缓和下来.二、三次数学危机为何在西方(一)西方人更注重逻辑思维西方有一句话叫做“富人创造世界”，从这三次数学危机，我们知道西方人善于发现问题，主张去探究“这个东西是什么”，从逻辑和本质出发思考问题，不断地将问题呈现出来，不断思考和挖掘，朝着困难进发，不断地思考事物的根源，而不是将理论推倒去重新建立，在此基础上，通过人们逐渐地去深入，或者是变换一种思考问题的方式，都能使新的问题得到解决.西方人长期是以这种逻辑思维来做事情、搞研究的，那么此时西方的数学才会出现危机.(二)西方人更注重体系的完善第一次数学危机是由于实数系不完整，第二次数学危机是由于极限理论不完整，第三次数学危机是由于公理化体系不完整.当西方人发现在现有的理论基础之上，解决这些问题的理论不能够得到落实，不能支撑起问题的解决，那么西方人会在此基础上去完善数学理论，不断地充实体系，使理论体系更加完善，以此来解决数学危机.因此说，西方是先有理论，由理论来指导实践，并且对于西方来说，建立起来的理论要达成一个完整的链条，使得它们完成整个数学界的连贯性和体系性.反之，东方人则不在意理论的完善，他们认为只要将理论建立起来就可以了，即使一些理论是零敲碎打，只要不影响使用就可以.因此，我们可以发现历史上的三次数学危机发生在西方不是偶然的，而是必然的.三、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用(一)三次数学危机的共同之处通过对三次数学危机的研究，我们可以发现，这些危机都是在理论有缺陷的情况下发生的，数学家们研究不下去这些问题了，所以才将理论不断地充实下去，使得解决问题的依据更加充足.学者们都拥有永无止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解决一次又一次的数学危机，从而引起深远的影响.(二)对实数系的推动作用从第一次数学危机中，我们可以发现，导致其发生的原因是由于当时的人们只知道有理数，有理数就是整个实数系，而当一个数不能用整数表示时，人们就发现了存在于有理数之外的数，即无理数.所以说，无理数必须建立在有理数之上，有理数又是整数的扩展，整数则是由自然扩充而来，那么才能建立严格的实数理论.这样而来，无理数的出现促进了最根本的实数系的完善，并且为极限理论做下铺垫.(三)对分析学分支的推动作用分析学是三大基础数学的一大分支，其中数学分析则是以极限为工具来研究函数的学科.从第二次数学危机，我们可以看出极限的思想就蕴含在其中，无穷小量的出现引起了人们对极限的认识.极限思想是人们从有限认识无限、从近似认识精确、从已知认识未知、从量变认识质变，推动了数学哲学的形成和发展.如数理统计、图论、模糊数学等等，都是由第二次数学危机的产生而人们在充实理论中引出的新概念，这为现代数学奠定了基础.(四)对理论数学之外的分支的推动作用第三次数学危机的发生引出公理化体系，那么公理化体系的出现就将游离在数学之外的一些分支视为数学范围.如概率论，概率论研究的是随机现象，而在第三次危机之前，我们将数学的特点定义为严密和精确，因此我们没有将概率论收入为数学的范畴，但是当公理化体系出现后，承认并证实了随机现象，这时人们才认可概率论.像应用数学中的运筹学，泛函分数等等，都是公理化体系最直接的受益者. 四、三次危机的启示(一)坚持与信仰人们在面对数学危机时，并没有因为害怕难题而逃脱，而是克服困难，及时补充理论并改正错误.能够用更大的麻烦来解决麻烦，危机促进了数学的发展，每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争.先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前.所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地.给数学史带来了深远影响.(二)理论与实践通过这三次数学危机，我们发现在指导实践的过程中，理论的空缺是很致命的，因此完整理论是很重要的，要在理论和实践相结合的同时，逐渐完善理论.比如说，我们在小学教学中，应该多让学生去亲自体验和感知所学习的知识，踏实下来计算一下，也许会有更好地教学效果.(三)数与形的结合从三次危机中，我们发现了数形结合的重要性，“数”是抽象的，“形”是具体的，结合起来才能有更大的成就，这是重要的数学方法和思想.像第一次数学危机，本质就是数形结合，通过刻画长短来形成对长度的感性认识，深刻理解概念和性质.具体到小学教学中就是在讲平均数的时候，“数”代表的就是计算平均数的公式，“形”的思想就是移多补少、齐平.五、小结从公元前580的第一次数学危机开始，西方人不断思索，善于发现的品质使得他们发现了前人的不足，敢于推翻过去，同时也努力追求真相.这就意味着数学在一次次危机中不断完善，理论更加严密更加有据可循.所以西方的实数、分析学、数学之外的知识体系更加完整，成为了经典的理论让后人学习.中国早期的数学发展的很好，但是却满足现状，所以才让西方反超.同时我们也发现，只有不断的发现问题，才能想办法去解决问题.这也成为了我们数学学习的思路.当我们发现一个问题，然后想办法用之前学习的数学知识去解决的时候，这时候我们便具备了数学思想，并可以再此基础上获得更上一层的数学理论.所以我们经过这次研究也得到了巨大的收获.在面对问题时，逃避是不能解决问题的，要敢于思考，不要被过去所束缚，才能有新的发现.同时理论是建立在实践的基础上的，我们在教学中也可以去应用这一点让孩子们动手操作，化抽象数学知识为具体的数学模型，从而在脑海中建立数学知识的概念，这样更有助于学生的接受，是课堂教学的一个好方法.【参考文献】[1] 戴峰.哲学视域下的第三次数学危机[D] .太原科技大学，2010.[2] 吕蕊.三次数学危机对数学发展的影响[J] .数学学习与研究，2010，(12)，08.[3] 汪晓梦.极限思想的形成、发展及其哲学意义[J] .中共合肥市委党校学报，2004，(09)，15.[4] 高星海.中西方思维方式之差异[J] .学习与探究，2014，(11)，15.关于数学危机论文篇三：你知道第一次数学危机吗?一、毕达哥拉斯学派——毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯是一位与孔子、释迦牟尼几乎同时代的古希腊著名的数学家和哲学家. 出身于贵族家庭的他，年轻时曾到过埃及和巴比伦学习数学，之后到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和他的信徒们组成了一个叫“毕达哥拉斯学派”的集政治、学术、宗教三位于一体的组织. 在中学的平面几何中，有一个定理叫“毕达哥拉斯定理”(即“勾股定理”)，就是以他的名字命名的.毕达哥拉斯学派提出一著名的观点：“一切都是数”. 就是说不论什么事物，大到天体，小到尘埃，都有一定的长短、高低、大小、轻重等数量，没有数量的事物是不存在的. 那么，数是如何构成世界上的事物呢?毕达哥拉斯学派解释说：“数”是一种单位，它占有一定的空间，是有形的. 数的开端是“1”，“1”就是一个小点(·)，“2”这个数是两点的排列，即成为一条线(—)，同样，“3”这个数是面(△)，而“4”这个数就是体(■). 数的排列到了“4”，就出现了有形的事物. 由这四个数就构成了土(立方体)、火(四面体)、气(八面体)、水(二十四面体)四大基本要素，这四种要素的不同排列组合就构成了世界上形形色色的具体事物. 可见，一切事物都由数构成.毕达哥拉斯学派认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比. 因此，毕达哥拉斯学派非常重视数学的研究，他们基本建立了所有直线形的理论，包括三角形全等的定理、平行线理论、相似理论、三角形的内角和定理等. 他们还发现了有名的“毕达哥拉斯三数”，即可以组成直角三角形三条边的整数组，他们除了给出具体的特例外，还给出了一般法则：如果m为一直角边，则m，■，■就是这样的整数组. 他们证明了关于直角三角形斜边与两直角边关系的定理，即著名的“毕达哥拉斯定理”(即“勾股定理”)：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和. 在当时，中国人、巴比伦人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情况，但都没有给出一般的证明. 因此，毕达哥拉斯和他的门徒在给出这条定理的证明后欣喜若狂，后来主张简朴节俭的师徒们也破例举行隆重、热烈的庆贺. 据说，他们宰了100头牛举办了盛大的“百牛宴”，以致有人议论说，人们喜悦，牛却遭了殃. 因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”.二、无理数的出现犹如晴天霹雳正当兴致未尽之时，他们的狂热却被一个人狠狠地泼了一盆冷水，这就是入会不久的希帕索斯. 希帕索斯是个勤奋好学的青年，他善于独立思考，不盲目附和. 他学了勾股定理以后，在研究边长为整数的正方形的对角线时发现，这条对角线(亦即等腰直角三角形的斜边)既不能用整数表示，也不能用整数之比(分数)表示. 证明如下：。
数学三次危机的启示和感悟
数学三次危机的启示和感悟聊起数学三次危机，感觉就像翻开了一本充满波折与智慧的探险日记。
咱们都知道，数学这东西，平时看起来挺高冷，但其实它也有热血沸腾、让人揪心的时候。
今天，咱们就来聊聊数学历史上那三次让人目瞪口呆的“大事件”，看看它们能给我们带来啥启示和感悟。
话说第一次数学危机，发生在古希腊那会儿。
那时候的人们特别爱思考，他们想啊，这世界上的一切是不是都能用数学来解释呢？于是，毕达哥拉斯学派的大佬们就提出了一个牛气冲天的观点：万物皆数。
但好景不长，有个叫希帕索斯的家伙，不小心踢到了数学的“铁板”——他居然发现了个不能表示为两个整数比的数，也就是咱们现在说的无理数。
这事儿一出，整个学派都炸了锅，毕竟他们的信仰受到了严重挑战。
这场危机告诉我们，世界远比我们想象的要复杂得多。
有时候，你以为已经掌握了真理，结果却发现只是冰山一角。
所以，咱们得保持谦逊，别轻易说“我懂了”。
生活中也一样，别总觉得自己啥都知道，多听听别人的意见，说不定会有新发现呢。
第二次数学危机，发生在17世纪。
那时候，微积分这个超级工具刚刚问世，牛顿和莱布尼茨两位大佬争得不可开交，都说是自己发明的。
但微积分这东西，虽然好用，却有点“模糊”，比如无穷小量这个概念，就让人头疼不已。
数学家们开始质疑：这玩意儿到底靠不靠谱啊？于是，数学界又陷入了一片混乱。
这场危机教会我们，创新总是伴随着风险和挑战。
微积分虽然厉害，但一开始也遇到了不少麻烦。
就像咱们创业或者尝试新事物一样，刚开始可能会遇到很多困难和质疑，但只要坚持下去，不断完善，总会找到属于自己的路。
所以，别怕困难，别怕质疑，相信自己，勇往直前就对了。
第三次数学危机，发生在20世纪初。
这次的主角是罗素和他的“理发师悖论”。
简单来说，就是有个理发师只给那些不给自己剪头发的人剪头发。
那么问题来了：理发师到底应不应该给自己剪头发呢？如果他给自己剪头发，那他就违反了只给不给自己剪头发的人剪头发的规则；如果他不给自己剪头发，那他又符合给自己剪头发的条件。
三次数学危机论文精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）浅谈数学发展史中的三次“危机”数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了我对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
一、数学史上的第一次“危机”第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，特别是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。
但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。
这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。
二、数学史上的第二次“危机”第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
数学史上的三次数学危机的成因分析
江西科技师范学院学年论文数学史上的三次数学危机的成因分析吕少珍（数学与应用数学 20081444）指导老师：王亚辉摘要从哲学上来看，矛盾是无处不在的，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。
数学常常被人们认为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
但在数学的发展史中，却经历了三次危机，本文回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
关键词：数学危机；无理数；微积分；无穷小量1第一次数学危机1.1背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2 起源1.2.1 “万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学三次危机，是指19世纪末20世纪初数学领域内的三次危机，分别是克里斯托弗·沃尔夫（Christopher Wolfe）在美国《数学评论》上提到的第一次危机、大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提到的第二次危机以及数学家布朗在1960年代关于数学逻辑基础的研究中提出的第三次危机。
第一次危机是指19世纪末20世纪初，数学家们对欧几里得几何学的基础进行重新审视的过程。
欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的一种几何学体系，至今被广泛运用。
19世纪末出现了一些疑问，比如平行公设、非欧几何学等问题，这些问题对欧几里得几何学的基础提出了挑战。
数学家们面临的困境是如何从最基础的公设出发重新建立几何学的基础。
数学家们开始重新思考几何学的基础，试图通过推导出新的公设来建立一个更加完善的几何学体系。
第二次危机是在1900年，当时大卫·希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个重要的数学问题，其中有一些问题一直未能得到解决。
这些问题涉及到了数学领域的各个方面，如代数、几何、数论等。
这些问题的存在引发了数学家们对数学的基础是否牢固的疑问，希尔伯特提出的这些问题为后来20世纪的数学家们提供了方向。
第三次危机是在1960年代，数学家布朗在研究数学逻辑基础时提出了关于数学的第三次危机。
他指出，数学家们面临的一个重要问题是如何确立数学的基础，并且确定数学体系的完备性。
这些问题涉及到了尤里·奈斯特林和阿尔弗雷德·特斯克勒等数学家们提出的不完全定理。
这些定理表明，数学体系内部存在无法证明的命题，这对数学的基础产生了挑战。
数学家们为了解决这些问题，开始研究递归理论、模型论等新的理论方法，以确保数学的基础是牢固的。
数学三次危机是数学领域内的三次挑战，数学家们通过不断的努力和研究，逐渐解决了这些问题，使得数学体系更加完善和牢固。
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浅谈数学发展史中的三次“危机”
数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了我对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
一、数学史上的第一次“危机”
第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，特别是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。
但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。
这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。
二、数学史上的第二次“危机”
第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass 创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
三、数学史上的第三次“危机”
1.悖论的产生及意义
（1）什么是悖论
悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。
这个次的意义比较丰富，它包括一
切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
（2）悖论产生的意义
悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。
它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。
虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供了新的课题和研究方向。
2.第三次数学危机的产生与解决
（1）什么是数学危机
为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。
一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
（2）“罗素悖论”与第三次数学危机
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。
首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。
十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。
而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理。
1919年罗素提出著名的罗素悖论，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
于是终结了近12年的刻苦钻研。
罗素悖论除了集合概念外并不涉及任何其他概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛盾，在数学界引起了一片震惊。
因为，此时的数学大厦几
乎完全建立在集合论基础上。
第三次数学危机出现了，并且其危险程度远远高于前两次，人们进行极大的努力试图消除这个危机，却都没有获得满意的结果，但这个过程同样极大地发展了数学，同时也改变了人们的数学观念。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
（3）第三次数学危机的解决
罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。
首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。
而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。
四、结论
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。
首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。