历史上的三次数学危机
数学史上的三大危机
数学史上的三大危机无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
三次数学危机
三次数学危机（1013）第一次数学危机由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该毕达哥拉斯学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派是一个合政治、学古希腊哲学家毕达哥拉斯术、宗教三位一体的神秘主义派别。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号二的诞生。
小小根号二的出现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
但经过牛顿和莱布尼兹等著名科学家的努力（主要是柯西用极限的方法定义了无穷小量），微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌。
第三次数学危机十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，集合论成为现代数学的基石。
可是，好景不长。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。
然后罗素问：对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。
但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。
如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上三次危机
数学史上三次危机对于数学仅限于学校里学的那点东西，薄如蝉翼，谈不上什么深刻理解，但也听说过数学史上有三次危机。
限于老郭水平不高，能力有限无法深入，蜻蜓点水的说一下。
第一次数学危机-无理数的发现勾股定理是咱们小伙伴们都熟悉的，a^2+b^2=c^2。
这个公式出来之后就用到了已知两条边长求解直角三角形第三条边的边长问题上。
很明显，开平方之后会出现根号2、根号3这种情况，这种不能完全开平方的数是无限不循环的小数，我们现在叫做无理数。
我们现在理解这些数当然是没问题的，不过在当时，这种数的出现，打破了毕达哥拉斯学派认为的世界的和谐性质。
他们认为宇宙万物都可以归结为整数或者是整数之比。
这就导致了一种认识上的“危机”，这个危机被称为第一次数学危机。
其实，这次“危机”（我并不认为这是什么危机）给几何的发展带来了一次推动。
因为，出现了无理数意味着，人类依靠直觉和经验建立的科学不一定是可靠的，而严格的推理证明才是靠得住的。
从那以后，希腊人开始重视演绎推理，并且建立了几何公理体系。
这就是危难之中的机遇，古希腊人抓住了这个机遇，创造了平面几何的第一次辉煌。
第二次数学危机-阿基里斯追不上乌龟“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个数学悖论故事是很有名的，其实我们现在的小伙伴都能知道，这是不可能发生的事，只要求一个极限，这个事就搞定了，跟本不存在追不上乌龟的事情。
然而在17世纪，微积分刚刚诞生那个时代，这个事还真是个大事。
当时包括牛顿、莱布尼茨等等大佬都没有找到解决这个问题的办法。
当时微积分刚刚初创，逻辑基础非常的不牢固。
很多基础问题，无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
那时候，这个问题争论的焦点就在于无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
史上三大数学危机——你听说过吗？
史上三大数学危机——你听说过吗？在数学的历史上，有过三次比较重大的危机，第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题；第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程度就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。
但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。
这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。
这就是典型的学术迫害啊。
纸当然是包不住火的，死了一个希帕索斯，自然会有更多的学者发现√2，√3，√5；第一次数学危机使得纯代数的地位下降，几何学的地位上升，因为几何量不能完全由有理数来表示，但数却完全可以用几何量来表示，从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。
正是因为这次危机，使得东西方数学体系完全走向不同的路，像中国这样的大国，因为没有这次数学危机，就没能完全形成真正的数学体系，尽管很多方面表现得很优秀。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
数学史上的三大危机是什么
数学史上的三大危机是什么？数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，所以我们应该辨证地看待这三大危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的理解还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不但严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这个发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存有一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存有能同时量尽它们的第三线段，所以它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存有使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存有了。
我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。
但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机数学史上的三次危机数学，一直以来被视为完美的学科，其严密性和精确性使其成为科学领域中不可或缺的一部分。
然而，在数学发展的历史中，也曾出现了一些危机，这些危机在当时给数学发展带来了危机和挑战，同时也促进了数学的进一步发展。
本文将介绍数学史上的三次危机。
一、欧几里得的几何第五公设的危机欧几里得的几何学被誉为数学的经典之一，其《几何原本》一书是数学史上的重要著作之一。
在几何学中，第五公设曾给欧几里得的几何学带来了极大的困扰。
第五公设即欧几里得互异公设，它表述为：通过点外一直线上的一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
第五公设表明了直线是永远不接近的，并且得到了广泛的认可。
然而，在欧几里得时代之后，这一公设被证明存在问题：第五公设不能从其他的公设中推导出来，故其并不是基本公设之一。
这一问题被称为欧几里得几何学的第五公设危机。
在十九世纪，对第五公设进行了广泛的探究和研究，最终发现几何学并非只有欧几里得几何一种形态，而且在非欧几何学中，也可以建立独立的公设，而且可以在这些公设的基础上推导出与欧几里得几何学不同的结论。
二、无穷的危机无穷在数学中一直是一个重要的概念，在数学的发展中，无穷也曾带来了不少的问题和困扰。
十九世纪初，数学家们对狄利克雷级数进行了研究，这些级数在数学上存在一些人们无法解决的问题，比如说，对于一些狄利克雷级数，其和似乎可以按照任意数值来指定。
一个明显的例子是1 - 1 + 1 - 1 +…这个级数显然没有收敛值，因为无论加上还是减去一个1，它的和都不会发生变化。
因此，许多数学家为了避免这类问题的出现，尝试将无穷作为一个不可达到的限制。
然而，这种被限制的观点导致了数学在某些方面的停滞。
对于无穷的概念和理解，人们渐渐地摆脱这样的限制，开始主张在数学中应该采用更广泛的思想，这一思想成为了20世纪数学研究的基础。
三、集合论的危机集合论是数学中一个不可或缺的概念，在数学研究中发挥了至关重要的作用，然而，尽管在今天看来集合论是异常清晰明确的，但在19世纪末和20世纪初，集合论曾经引起过一场危机。
三次数学危机及其影响
整理课件
12
❖ 最后，这些既属于自己而又不属于自己 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾，引 发起第三次数学危机。
整理课件
13
危机的消除
❖ 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
整理课件
10
罗素悖论
❖ 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 的第三次数学危机。
整理课件
11
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 问：理发师是否给自己刮脸？
整理课件
9
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
数学历史之： 三次数学危机及其影响
一. 第一次数学危机
❖ 一. 第一次数学危机
❖ 1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写2 成两个整数 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
整理课件
2
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
数学发展史上三次数学危机
数学发展史上三次数学危机第一次数学危机“无理数的产生”第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为 1 的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。
1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机“罗素悖论”到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。
但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机摘要①公元前580～568年之间，希帕索斯发现了第一个无理数√2，促使了第一次数学危机的发生。
而后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。
②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危机的发生。
而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。
③十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。
而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理系统，使得集合论得到了发展。
关键词危机无理数无穷小罗素悖论正文数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。
是在人类长期的实践活动中产生和发展的。
发源于计数和度量，随着生产力的发展，越来越多地要求对自然现象作定量研究；同时由于数学自身的发展，使其具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。
它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。
因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，它常常被人们认为是自然科学中发展得最完善，最具有严谨的逻辑性的一门学科，但是在数学的发展史中，人们为了使数学更快的向前发展，从而引入一些新的东西使问题得到化解，在这样的基础上，引发了三次危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
数学史上三大危机
数学史上三大危机数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)建立了毕达哥拉斯学派。
他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。
经过一番刻苦实践，他提出"万物皆为数"的观点:数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数)，这一不可公度性与毕氏学派的"万物皆为数"(指有理数)的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。
被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。
科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的"孔隙"。
而这种"孔隙"经后人证明简直多得"不可胜数"。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
数学史上的三大数学危机
a
d
t
a mt
d nt
5
实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
6
三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
实数理论—极限理论—微积分。 而“历史顺序”则正好相反。
29
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何 的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和 极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的 理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的 基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
34
罗素悖论是：以 M表示“是其本身成员的
所有集合的集合”（所有异常集合的集合），
而以 N表示“不是它本身成员的所有集合的集
合”（所有正常集合的集合），于是任一集合
或者属于M ，或者属于 N ，两者必居其一，且
只居其一。然后问：集合N 是否是它本身的 成员？（集合 N 是否是异常集合？）
35
如果 N 是它本身的成员，则按 M 及 N 的定 义，N 是 M 的成员，而不是 N 的成员，即N 不
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
数学概览课程 第三章 数学发展史中的三次数学危机
所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序” 是：实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反 。实数理论是学习数学分析的难点，诸如区间套定理，有限复盖 定理等，在数学学院，通常也只有数学专业才比较彻底地讲授。
“ ”语言。
•24
“ ”语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述
，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近 于”，等等。
这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基 本运算和关系精确地表述出来。
总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西 的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。
这些例子使数学家们越来越明白，在为分析建立一个完善的 基础方面，还需要再深挖一步：即需要理解实数系的更深刻的性 质。
② 魏尔斯特拉斯的贡献
德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815— 1897）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和 几何概念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，主要表现 在两方面，一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的
4）极限的“ ”定义及“贝克莱悖论” 的消除 ① 极限的“ ”定义
定义：设函数 f (x)在 x1的附近都有定义，如果有一个确定的
实数 a, 0 （无论多么小的正数 ）。都 0（都能找 到一个正数 ，依赖于 ），
使当0 | x x1 | 时（满足不等式 | x x1 | Βιβλιοθήκη 的所有t 01 2
g (t )
然后再求极限得
gt0 0 gt0
上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有
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历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)
在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.
在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.
第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0.
/悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.
今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!
第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.
第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:
(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)
2
#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得
v y
v x=
(x+v x)n-x n
v x
=n#x n-1+
n(n-1)
2
#x n-2#v x
+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,
最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.
哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.
现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.
十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.
第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.
一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.
十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的
实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)
文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!
笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.
第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、
F.
第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).
第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.
显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.
参考文献
1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期
/罗素悖论0影响最大.
罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?
回答试试看!
若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;
若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.
真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!
罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.
怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?
德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.
在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.
纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.
经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0
参考文献
1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,8
2张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。