特殊角的三角函数值-人教版九年级数学下册优秀教案设计

28．1锐角三角函数

第3课时 特殊角的三角函数

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算

计算：

(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．

解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－3

2＝－1；

(2)原式＝

12

－22

12

＋22

＝22－3. 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围

若cos α＝2

3，则锐角α的大致范围是( )

A ．0°＜α＜30°

B ．30°＜α＜45°

C ．45°＜α＜60°

D ．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝

32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜2

2

，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度

若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°

解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝

33.∵tan30°＝3

3

，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长

如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，

AD ＝4，求BC 的长．

解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．

解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33

，解得BC ＝2(3＋1)．

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列

出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状

已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －

3

2

|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tan A )2＋|sin B －

32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝3

2

，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C

＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝1

3＝

3

3

.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD

BC

，

tan75°＝BC

CD

求出即可．

解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE

中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－3

3＝2－3，

tan75°＝BC CD ＝3

23－3

＝2＋ 3.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计

1．特殊角的三角函数值：

30° 45° 60° sin α 12 22 32 cos α 32 22 12 tan α

33

1

3

2.应用特殊角的三角函数值解决问题．

课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的

教学很成功，学生理解的很好.