方向角与方位角问题

年级：九年级下册科目：数学主备: 审核：课题：28.2 方位角与方向角问题学习目标：能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．重点与难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

一、用一用用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．方位角与方向角1．方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．（1）（2）2．方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．解：如图，在Rt△APC中，∵ cos（90°-65°）=___________________∴ PC=_____________________________=在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=__________________，∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．例2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如图（1）所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如图（2）所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．（1）（2）与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图（3）表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．（3）在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的容．二、总一总利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．三、做一做（一）、选择题．1．如图，轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ）．A ．南偏西35°B ．东偏西35°C ．南偏东55°D ．南偏东35° 东北B C(第1题) (第5题) (第8题)2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m ，250m ，200m ，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m ，则树在地面上影长h 的围是（ ）．A ．5<h ≤3B ．10≤h ≤3．10<h<15 D ．3 4．△ABC 中，AB=6，AC=3，则∠B 最大值是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m ，坝高2m ，斜坡AB 的坡角为45°，•斜坡CD 的坡度i=1：2，则坝底AD 的长为（ ）．A ．42mB ．（3mC ．78mD ．（3）m6．△ABC 中，已知1cos 2A -+（tanB-3）2=0且AB=4，则△ABC 的面积是（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．27．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ）．A ．72B ．142C ．7D ．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m ；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，•使午间光线不能直接射入室，那么挡光板AC 的宽度应为（ ）．A ．1.8tan80°mB ．1.8cos80°mC ． 1.8sin 80︒D ．1.8cot80°m 9．若菱形的边长为4，它的一个角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，•请你计算电线杆AB的高为（）．A．5米 B．6米 C．7米 D．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v ．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？60︒ 45︒B A C。