典型中考反比例函数大题汇编,反比例函数综合题中考真题及答案解析
中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案.doc
中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案一、反比例函数1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C，连接 OB．（1）求 k 和 b 的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOBP 坐标，若不存在请说= S ？若存在请求出点明理由．【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：由，解得： x=4，或 x=1，∴B（ 4，1），∴，∵，∴，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，解得： t=3， t=﹣ 3，∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标是4．点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点 P 的坐标是（ 1， 4），直接写出 k 的值和△ PAB的面积；（2）设直线 PA、 PB 与 x 轴分别交于点 M、 N，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点 Q 是反比例函数图象上位于P、 B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ、BQ，比较∠ PAQ与∠ PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解： k=4， S△PAB=15．提示：过点 A 作 AR⊥ y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥y 轴于 S，连接 PO，设AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，把x=4 代入 y= x，得到点 B 的坐标为（ 4，1），把点 B（4， 1）代入 y= ，得 k=4．解方程组，得到点 A 的坐标为（﹣ 4 ，﹣ 1），则点 A 与点 B 关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线 AP 的解析式为y=mx+n，把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，求得直线AP 的解析式为y=x+3，则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC?AR+ OC?PS=× 3× 4+× 3× 1=，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P 作 PH⊥ x 轴于 H，如图 2．B（ 4， 1），则反比例函数解析式为y=，设 P（ m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线 PB 的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+﹣1，联立，解得直线PB 的方程为y=﹣x+ +1，∴M （ m﹣ 4， 0）， N（ m+4，0），∴H（ m，0），∴MH=m ﹣（ m﹣ 4） =4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH 垂直平分 MN ，∴PM=PN，∴△ PMN 是等腰三角形；（3）解：∠ PAQ=∠ PBQ．理由如下：过点 Q 作 QT⊥ x 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D， QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3．可设点 Q 为（ c，），直线AQ 的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线 AQ 的解析式为y= x+﹣1．当y=0 时， x+ ﹣1=0，解得： x=c﹣ 4，∴D（ c﹣ 4， 0）．同理可得 E （ c+4，0），∴ D T=c ﹣（ c ﹣ 4） =4， ET=c+4﹣ c=4，∴ D T=ET ，∴QT 垂直平分 DE ，∴QD=QE ，∴∠ QDE=∠ QED ．∵∠ MDA=∠ QDE ，∴∠ MDA=∠ QED ．∵PM=PN ， ∴ ∠PMN=∠ PNM ．∵∠ PAQ=∠ PMN ﹣ ∠ MDA ，∠ PBQ=∠ NBE=∠ PNM ﹣ ∠QED ，∴∠ PAQ=∠ PBQ ．【解析】 【分析】（ 1）过点 A 作 AR ⊥y 轴于 R ，过点 P 作 PS ⊥ y 轴于 S ，连接 PO ，设 AP与 y 轴交于点 C ，如图 1，可根据条件先求出点 B 的坐标，然后把点 B 的坐标代入反比例 函数的解析式，即可求出k ，然后求出直线 AB 与反比例函数的交点A 的坐标，从而得到OA=OB ，由此可得 △PAB =2S △AOP ， 要求 △ PAB 的面积，只需求 △ PAO 的面积，只需用割补S法就可解决问题；（ 2）过点 P 作 PH ⊥ x 轴于 H ，如图 2．可用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点 N 的坐标，同理可得到点 M 的坐标，进而得到 MH=NH ，根据垂直平分线的性质可得 PM=PN ，即 △ PMN 是等腰三角形；（ 3）过点 Q 作 QT ⊥ x 轴于 T ，设 AQ交 x 轴于 D ，QB 的延长线交x 轴于 E ，如图 3．可设点 Q 为（ c ， ），运用待定系数法求出直线 AQ 的解析式，即可得到点 D 的坐标为（ c ﹣ 4， 0），同理可得 E （ c+4， 0），从而得到 DT=ET ，根据垂直平分线的性质可得 QD=QE ，则有 ∠ QDE=∠ QED ．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到 ∠ PAQ=∠ PBQ ．3．如图，一次函数 y 1=k 1 x+b 与反比例函数 y 2= 的图象交于点 A （4， m ）和 B （﹣ 8，﹣2），与 y 轴交于点C．（1） m=________， k1=________；（2）当 x 的取值是 ________时， k1 x+b＞；（3）过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段 AD 交于点 E，当 S四边形ODAC： S△ODE=3： 1 时，求点 P 的坐标．【答案】（1） 4；（2）﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞4（3）解：由（ 1）知， y1= x+2 与反比例函数 y2= ，∴点 C 的坐标是（ 0，2），点 A 的坐标是（ 4， 4）．∴CO=2， AD=OD=4．∴S 梯形ODAC= ?OD= × 4=12，∵S 四边形ODAC： S△ODE=3： 1，∴S△ODE= S 梯形ODAC= × 12=4，即OD?DE=4，∴D E=2．∴点 E 的坐标为（ 4，2）．又点 E 在直线 OP 上，∴直线 OP 的解析式是y=x，∴直线 OP 与 y2=的图象在第一象限内的交点P 的坐标为（ 4，2）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数 y2= 的图象过点 B（﹣ 8，﹣ 2），∴ k2=（﹣8）×（﹣ 2） =16，即反比例函数解析式为y2=，将点 A（ 4， m）代入 y2= ，得： m=4，即点 A（ 4，4），将点 A（ 4， 4）、 B（﹣ 8，﹣ 2）代入 y1=k1 x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1=x+2，故答案为：4，；（ 2 ）∵ 一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数y2= 的图象交于点A（ 4，4）和 B（﹣ 8，﹣ 2），∴当 y ＞ y 时， x 的取值范围是﹣ 8＜ x＜0 或 x＞ 4，1 2故答案为：﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞ 4；【分析】（ 1）由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点，将 B 坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将 A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出 A 的坐标，将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k1 的值；（ 2）由 A 与 B 横坐标分别为4、﹣ 8，加上0，将 x 轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x 的范围即可；（ 3 ）先求出四边形ODAC 的面积，由S 四边形ODAC：S△ODE=3： 1 得到△ ODE 的面积，继而求得点 E 的坐标，从而得出直线OP 的解析式，结合反比例函数解析式即可得．4．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为________；（3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值．（4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围．【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得，所以双曲线的解析式为y=；（2） 2（3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（ 6， 2），抛物线G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±，即 a 的值为 6±；（4）抛物线 G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ；把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ；∵G1与 G2有两个交点，∴3+≤ a≤﹣12 ，设直线 DE 的解析式为y=px+q，把 D（ 3，4）， E（12， 1）代入得，解得，∴直线 DE 的解析式为y=﹣x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于 M、 N 两点，∴M （ a，﹣a+5）， N（ a，），∵MN ＜，∴﹣a+5﹣＜，整理得 a2﹣13a+36 ＞0，即（ a﹣ 4）（ a﹣ 9）＞ 0，∴a＜ 4 或 a＞ 9，∴a 的取值范围为9＜ a ≤ 12﹣ 2．【解析】【解答】解：（2）当 y=0 时，﹣ x2+9=0，解得 x1=﹣ 3， x2=3，则 B（﹣ 3， 0），而 D（ 3，4），所以 BE==2．故答案为 2；【分析】（ 1）把 D（ 3，m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、 E 点坐标；（ 2）先解方程﹣x2+9=0 得到 B（﹣ 3， 0），而D（3， 4），然后利用两点间的距离公式计算DE 的长；（ 3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6， 2），然后把（ 6 ， 2）代入y=﹣（ x ﹣a）2+9 得 a 的值；（ 4）分别把 D 点和 E 点坐标代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得 a 的值，则利用图象和 G1与 G2有两个交点可得到3+≤ a≤﹣122 ，再利用待定系数法求出直线DE 的解析式为y=﹣ x+5，则 M（ a，﹣a+5）， N（ a，），于是利用MN ＜得到﹣a+5 ﹣＜，然后解此不等式得到a＜ 4 或 a＞ 9，最后确定满足条件的 a 的取值范围．5 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b（ k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 B 的坐标为（ 6 ，n ），线段 OA=5 ， E 为 x 轴负半轴上一点，且 sin∠ AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△ AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围．【答案】（1）解：作 AD⊥ x 轴于 D，如图，在 Rt△ OAD 中，∵ sin∠ AOD==，∴AD= OA=4，∴OD==3，∴A（﹣ 3， 4），把 A（﹣ 3， 4）代入 y=得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（ 6，n ）代入 y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把 A（﹣ 3， 4）、 B（6，﹣ 2）分别代入y=kx+b 得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当 y=0 时，﹣x+2=0，解得 x=3，则 C（3， 0），所以 S△AOC× 4× 3=6=（3）解：当 x＜﹣ 3 或 0＜ x＜ 6 时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作 AD⊥ x 轴于 D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣ 3 ，4），再把 A 点坐标代入y= 可求得 m=﹣ 12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（ 6， n）代入反比例函数解析式求出n，然后把 A 和 B 点坐标分别代入 y=kx+b 得到关于 a、 b 的方程组，再解方程组求出 a 和 b 的值，从而可确定一次函数解析式；（ 2 ）先确定 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．6．理数学兴趣小组在探究如何求tan15 °值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：的思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点 D，使 BD=BA，连接AD ．设AC=1，则BD=BA=2， BC=．tanD=tan15 =°== ．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan （α±β）=．假设α =60，°β =45代°入差角正切公式：tan15 °=tan（ 60°﹣ 45°） ===．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75 °的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为测得 A， C 两点间距离为60 米，从 A 测得电视塔的视角（CD 的高度；30 米，在地平面上有一点A，∠CAD）为 45°，求这座电视塔（3）拓展：如图将直线 AB 绕点3，直线与双曲线交于A，B两点，与y 轴交于点C，C 旋转 45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=30°，延长 CB 至点 D，使 BD=BA，连接 AD．设 AC=1，则BD=BA=2， BC=．tan∠ DAC=tan75°====；方法二： tan75 °=tan（45°+30°）====（2）解：如图2，在Rt△ ABC 中， AB===，sin∠BAC=，即∠BAC=30 ．° ∵ ∠ DAC=45 ∴DB=AB?tan∠ DAB= °，∴ ∠ DAB=45+30° ?（） =°=75 °．在R t△ ABD 中， tan∠ DAB=，∴ DC=DB﹣ BC=，=．答：这座电视塔CD的高度为（）米（3）解：①若直线AB 绕点 C 逆时针旋转作 CD∥ x 轴，过点P 作 PE⊥ CD于 E，过点45°后，与双曲线相交于点A 作 AF⊥ CD于 F．P，如图3．过点 C解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣ 2，﹣ 2）．对于，当x=0 时， y=﹣ 1，则C（ 0 ，﹣ 1 ）， OC=1，∴ CF=4， AF=1﹣（﹣ 1 ） =2 ，∴ tan∠ACF=，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF） ===3，即=3．设点P 的坐标为（ a， b），则有：，解得：或，∴点 P 的坐标为（﹣ 1，﹣ 4）或（，3）；②若直线 AB 绕点 C 顺时针旋转45°后，与 x 轴相交于点 G，如图 4．由①可知∠ ACP=45°， P （，3），则C P⊥ CG．过点P 作PH⊥ y轴于H ，则∠GOC=∠ CHP=90 ，°∠ GCO=90 ﹣°∠ HCP=∠ CPH，∴△ GOC∽△ CHP，∴．∵CH=3 ﹣（﹣ 1） =4， PH=，OC=1，∴，∴ GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG 的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为．联立：，消去y，得：，整理得：，∵ △ = ，∴方程没有实数根，∴ 点P 不存在．综上所述：直线AB 绕点 C 旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为（﹣1，﹣ 4）或（， 3）．【解析】【分析】 tan∠DAC=tan75°， tan∠ DAC 用边的比值表示 .在 Rt△ ABC 中，由勾股定理求出 AB，由三角函数得出∠ BAC=30°，从而得到∠ DAB=75°，在 Rt△ ABD 中，可求出DB， DC=DB﹣ BC.分两种情况讨论，设点 P 的坐标为（ a， b），根据 tan∠ PCE 和 P 在图像上列出含有 a， b 的方程组，求出 a，b.利用已知证明△ GOC∽ △ CHP，根据相似三角形的性质可求出G 的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△ <0 点 P 不存在 .7．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A， B 两点，点 A 的坐标为（ 2， 6），点 B 的坐标为（ n， 1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△AEB=10，求点 E 的坐标．【答案】（1）解：把点A（ 2， 6）代入 y=，得m=12，则y=．把点 B（n，1）代入 y=，得n=12，则点 B 的坐标为（ 12， 1）．由直线 y=kx+b 过点 A（2， 6），点 B（ 12，1）得，解得，则所求一次函数的表达式为（2）解：如图，直线AB 与y=﹣x+7y 轴的交点为P，设点 E 的坐标为（0， m），连接AE， BE，则点 P 的坐标为（ 0， 7）．∴P E=|m ﹣ 7| ．∵S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10，∴× |m﹣7| ×（ 12﹣ 2） =10．∴|m ﹣ 7|=2 ．∴m1=5， m2=9．∴点 E 的坐标为（ 0，5）或（ 0，9）．【解析】【分析】（ 1 ）把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点 B 的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出 n 的值，得出点 B 的坐标，再把A、 B 的坐标代入直线 y=kx+b，求出 k、 b 的值，从而得出一次函数的解析式；（ 2）设点 E 的坐标为（ 0，m），连接 AE， BE，先求出点 P 的坐标（ 0， 7），得出 PE=|m ﹣7| ，根据S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10，求出m 的值，从而得出点 E 的坐标．8．如图，已知二次函数的图象与y 轴交于点A(0， 4），与x 轴交于点B， C，点 C 坐标为(8， 0），连接AB，AC.（1）请直接写出二次函数的解析式.（2）判断△ ABC 的形状，并说明理由 .（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A， N， C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 N 的坐标 .【答案】（ 1）解：∵二次函数的图象与y 轴交于点A(0,4),与x 轴交于点 B.C,点C 坐标 (8,0),∴解得∴抛物线表达式：（2）解：△ ABC 是直角三角形 .令y=0,则解得 x1=8,x2=-2,∴点 B 的坐标为 (-2,0),由已知可得 ,在Rt△ ABO 中AB2=BO2+AO2=22+42 =20,在Rt△ AOC中AC2=AO2+CO2 =42+82=80,又∴ BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ ABC是直角三角形（3）解：∵ A(0,4),C(8,0),AC= =4,①以 A 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆 ,交轴于 N,此时 N 的坐标为 (-8,0),②以 C 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆, 交 x 轴于 N, 此时 N 的坐标为 ( ,0) 或( ,0)③作 AC 的垂直平分线 ,交 g 轴于 N,此时 N 的坐标为 (3,0),综上 ,若点 N 在轴上运动 ,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(-8,0) 、( ,0)、 (3,0)、,0)【解析】【分析】 (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得 B 的坐标 ,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10 然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形 (3)分别以 A.C 两点为圆心 ,AC 长为半径画弧 ,与 m 轴交于三个点 ,由 AC 的垂直平分线与 c 轴交于一个点 ,即可求得点 N 的坐标9．已知抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a≠0）过点 A（ 1，0）， B（3， 0）两点，与 y 轴交于点 C ，OC ＝ 3．（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P 的坐标；（3）若点 Q 为线段 OC上的一动点，问： AQ+ QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）解：函数的表达式为：y＝ a（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）＝ a（ x2﹣ 4x+3），即： 3a＝3，解得： a＝1，故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ 4x+3，则顶点D（ 2，﹣ 1）；（2）解：将点B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：直线 BC的表达式为： y＝﹣ x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC于点 H ，设点P（ x ， x2﹣ 4x+3），则点 H（x ，﹣ x+3），则 S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜ 0，故 S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（3）解：存在，理由：如上图，过点 C 作与 y 轴夹角为30°的直线 CH ，过点 A 作 AH⊥ CH ，垂足为 H ，则HQ＝ CQ ， Q+ QC最小值＝ AQ+HQ＝AH ，直线 HC所在表达式中的k 值为，直线HC的表达式为：y＝x+3①则直线 AH 所在表达式中的k 值为﹣，则直线 AH 的表达式为： y＝﹣x+s ，将点 A 的坐标代入上式并解得：则直线 AH 的表达式为： y＝﹣x+② ，联立①②并解得：x＝，故点 H（，），而点A（ 1， 0），则AH＝，即：AQ+QC 的最小值为.【解析】【分析】（ 1）将坐标（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出 D 的坐标 .（2）将点 B、 C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（ x ， x2﹣ 4x+3），则点H（ x ，﹣x+3），求出 x 的值即可 .（3）存在，过点 C 作与 y 轴夹角为 30°的直线 CH ，过点 A 作 AH⊥ CH ，垂足为 H ，则HQ＝CQ ， Q+ QC最小值＝ AQ+HQ＝ AH，求出k值，再将 A 的坐标代入计算即可解答.10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；（ 3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．【答案】（ 1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，，得，此抛物线的表达式是（2）解：抛物线交轴于点，点的坐标为，轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，点的纵坐标是5，点到的距离是10，当时，，得或，点的坐标为，，的面积是：（3）解：设点的坐标为，如图所示，设过点，点的直线的函数解析式为，，得，即直线的函数解析式为，当时，，，的面积是：，点是直线下方的抛物线上一动点，，当时，取得最大值，此时，点的坐标是，，即点的坐标是，时，的面积最大，此时的面积是．【解析】【分析】（ 1 ）根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式；（ 2）根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题11 ．已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作，交于点，过点作，分别交，于点，.连接，.设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，点在的平分线上？（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（ 1）解：在中，∵，，，∴，∵垂直平分线段，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∠ BPE=∠ BCA=90 °又∠ B=∠B∴△ BPE∽△ BAC∴即∴，，当点∵∴在，，的平分线上时，，∴，∴.∴当为 4 秒时，点在的平分线上. （2）解：如图，连接，..（3）解：存在 .如图，连接.∵，∴∵，，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得或 10(舍 )∴当秒时，.【解析】【分析】（ 1）根据勾股定理求AC，根据证，求出CD、OD 的值，根据△ BPE∽ △BAC 得到比例式，用含有t 的代数式表示出PE、 BE，当点 E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP⊥ AB， EC⊥ AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据构建函数关系式即可．（ 3）证明∠EOC=∠ QOG，可得，推出，由此构建方程即可解决问题．12．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （ 1， 3）的特征线有：x=1， y=3 ，y=x+2， y=﹣ x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、 C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物线经过B、C两点，顶点 D 在正方形内部．（1）直接写出点 D（ m， n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接OP ，将△ OAP沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A′的位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（ 2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？【答案】（1）解：∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣ m ， y=﹣ x+m+n；（ 2 ）解：点 D 有一条特征线是y=x+1 ，∴ n ﹣ m=1 ，∴ n=m+1 ．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（ m，n），∴ B（ 2m，2m），∴，将n=m+1 带入得到m=2， n=3；∴D（ 2， 3），∴抛物线解析式为．（3）解：①如图，当点A′在平行于y轴的 D 点的特征线时：根据题意可得，D（ 2，3 ），∴ OA′=OA=4，OM=2，∴∠ A′OM=60°，∴∠ A′OP=∠ AOP=30°，∴MN = = ，∴抛物线需要向下平移的距离= = ．② 如图，当点A′在平行于x 轴的 D 点的特征线时，设A′（ p ， 3），则OA′=OA=4， OE=3， EA′= = ，∴ A′F=4﹣，设P（ 4，c）（ c＞ 0），，在Rt△ A′FP 中，（4﹣） 2+（3﹣ c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x ，∴ N（ 2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP 上．【解析】【分析】（ 1）根据特征线直接求出点 D 的特征线；（ 2）由点 D 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．。
反比例函数大题(二大题型)—2024年中考数学压轴题专项训练(全国通用)解析版
反比例函数大题（二大题型）通用的解题思路：题型一．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型二．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线1k y x =与直线232y x =交于A ，B 两点．点(2,)A a 和点(,3)B b −在双曲线上，点C 为x 轴正半轴上的一点．（1）求双曲线1k y x =的表达式和a ，b 的值； （2）请直接写出使得12y y >的x 的取值范围；（3）若ABC ∆的面积为12，求此时C 点的坐标．【分析】（1）把点(2,)A a 和点(,3)B b −代入232y x =，求出a 与b 的值，再将A 点坐标代入1k y x=，即可求出反比例函数解析式；（2）根据A 与B 横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x 的范围即可；（3）根据12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=，求出OC 的长，进而得到此时C 点的坐标．【解答】解：（1）直线232y x =过点(2,)A a 和点(,3)B b −， 3232a ∴=⨯=，332b =−， 2b ∴=−． 双曲线1k y x=过点(2,3)A ， 236k ∴=⨯=，∴双曲线1k y x =的表达式为16y x=；（2）观察图象，可得当2x <−或02x <<时，反比例函数值大于一次函数值，即使得12y y >的x 的取值范围是2x <−或02x <<；（3）(2,3)A ，(2,3)B −−，12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=， ∴11331222OC OC ⨯+⨯=， 4OC ∴=，∴此时C 点的坐标为(4,0)．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．2．（2023•苏州）如图，一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点(4,)A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B ，D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接BD ，BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上． （1）求n ，k 的值；（2）当m 为何值时，AB OD ⋅的值最大？最大值是多少？【分析】（1）首先将点(4,)A n 代入2y x =可求出n ，再将点A 的坐标代入/y k x =即可求出k ；（2）过点C 作直线EF x ⊥轴于F AB 于E ，先证ECB ∆和FCD ∆全等，得BE DF =，4CE CF ==，进而可求出点(8,4)C ，根据平移的性质得点(4,8)B m +，则4BE DF m ==−，12OD m =−，据此可得出(12)AB DD m m ⋅=−，最后求出这个二次函数的最大值即可．【解答】解：（1）将点(4,)A n 代入2y x =，得：8n =，∴点A 的坐标为(4,8)，将点(4,8)A 代入k y x=，得：32k =． （2）点B 的横坐标大于点D 的横坐标，∴点B 在点D 的右侧．过点C 作直线EF x ⊥轴于F ，交AB 于E ，由平移的性质得：//AB x 轴，AB m =，B CDF ∴∠=∠，点C 为BD 的中点，BC DC ∴=，在ECB ∆和FCD ∆中，B CDF BC DC BCE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ECB FCD ASA ∴∆≅∆，BE DF ∴=，CE CF =．//AB x 轴，点A 的坐标为(4,8)，8EF ∴=，4CE CF ∴==，∴点C 的纵坐标为4，由（1）知：反比例函数的解析式为：32y x=， ∴当4y =时，8x =，∴点C 的坐标为(8,4)， ∴点E 的坐标为(8,8)，点F 的坐标为(8,0)，点(4,8)A ，AB m =，//AB x 轴，∴点B 的坐标为(4,8)m +，484BE m m ∴=+−=−，4DF BE m ∴==−，8(4)12OD m m ∴=−−=−2(12)(6)36AB OD m m m ⋅=−=−−+∴当6m =时，AB OD ⋅取得最大值，最大值为36．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最值．3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数1k y x =的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于点(1,2)A −，1(4,)2B −． （1）求函数1k y x=和2y k x b =+的表达式； （2）若在x 轴上有一动点C ，当2ABC AOB S S ∆∆=时，求点C 的坐标．【分析】（1）将点(1,2)A −，1(4,)2B −分别代入反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的解析式，求解即可；（2）设AB 与y 轴交于点D 作//CE y 轴交AB 于点E ，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．【解答】解：（1）将点(1,2)A −，1(4,)2B −分别代入反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的解析式， 1122k ∴=−⨯=−，222142k b k b −+=⎧⎪⎨+=−⎪⎩， 12k ∴=，21232k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴反比例函数的解析式为：2y x =，一次函数的解析式为：1322y x =−+． （2）如图，设AB 与y 轴交于点D ，过点C 作//CE y 轴交AB 于点E ，设(,0)C m ，13(,)22E m m ∴−+．13||22CE m ∴=−+．令0x =，则32y =， 3(0,)2D ∴， 32OD ∴=， 11315()[4(1)]2224AOB B A S OD x x ∆∴=⋅−=⨯⨯−−=． 1522ABC AOB S S ∆∆∴==． ∴115()22B A CE x x ⋅−=，即11315||52222m ⋅−+⋅=． 解得3m =−或9m =，∴点C 的坐标为(3,0)−或(9,0)．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．（2024•常州模拟）如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠与函数为2(0)m y x x =>的图象交于1(4,1),(,)2A B a 两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足120y y −>时x 的取值范围；（3）点P 在线段AB 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交函数2y 的图象于点Q ，若POQ ∆的面积为3，求点P 的坐标．【分析】（1）将A 点坐标代入即可得出反比例函数2(0)m y x x=>，求得函数的解析式，进而求得B 的坐标，再将A 、B 两点坐标分别代入1y kx b =+，可用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）由题意即求12y y >的x 的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x 的取值范围；（3）由题意，设(,29)P p p −+且142p ……，则4(,)Q p p ，求得429PQ p p=−+−，根据三角形面积公式得到14(29)32POQ S p p p∆=−+−⋅=，解得即可． 【解答】解：（1）反比例函数2(0)m y x x=>的图象经过点(4,1)A ， 14m ∴=． 4m ∴=．∴反比例函数解析式为24(0)y x x=>． 把1(2B ，)a 代入24(0)y x x=>，得8a =． ∴点B 坐标为1(2，8)， 一次函数解析式1y kx b =+图象经过(4,1)A ，1(2B ，8)， ∴41182k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．解得29k b =−⎧⎨=⎩． 故一次函数解析式为：129y x =−+．（2）由120y y −>，12y y ∴>，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得，142x <<．（3）由题意，设(,29)P p p −+且142p ……， 4(,)Q p p∴． 429PQ p p∴=−+−． 14(29)32POQ S p p p∆∴=−+−⋅=． 解得152p =，22p =． 5(2P ∴，4)或(2,5)． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx n =+的图象相交于(,1)A a −，(1,3)B −两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点(,0)N t 是x 轴正半轴上的一个动点，过点N 作NM x ⊥轴交反比例函数k y x =的图象于点M ，连接CN ，OM ．若3COMN S >四边形，求t 的取值范围．【分析】（1）将点B ，点A 坐标代入反比例函数的解析式，可求a 和k 的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；（2）先求出点C 坐标，由面积关系可求解．【解答】解：（1）反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx n =+的图象相交于(,1)A a −，(1,3)B −两点， 13(1)k a ∴=−⨯=⨯−，3k ∴=−，3a =，∴点(3,1)A −，反比例函数的解析式为3y x−=，由题意可得：313m n m n =−+⎧⎨−=+⎩，解得：12m n =−⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为2y x =−+；（2）直线AB 交y 轴于点C ，∴点(0,2)C ，31222OMN OCN COMN S S S t ∆∆∴=+=+⨯⨯四边形， 3COMN S >四边形， ∴312322t +⨯⨯>， 32t ∴>． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．6．（2024•宿迁二模）已知函数1y x=的图象与函数(0)y kx k =≠的图象交于点(,)P m n （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标．（2）当||||m n …时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围．【分析】（1）由(0)y kx k =≠得n k m =，然后由2m n =可得到k 的值，设(2,)P n n ，将点P 的坐标代入反比例函数解析式可求得n 的值；（2）由(0)y kx k =≠得n k m =，然后结合条件||||m n …可得k 的取值范围． 【解答】解：（1）(0)y kx k =≠， 122y n n k x m n ∴====．2m n =，(2,)P n n ∴，21n n ∴=，解得：2n =±．m ∴=P ∴或(．（2）y kx =， y n k x m ∴==，||||m n …，1k ∴…．【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =−的图象相交于点A ，反比例函数k y x =的图象经过点A ． （1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数k y x=的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO ∆的面积．【分析】（1）联立方程求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）联立方程求得交点B 的坐标，进而求得直线与x 轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）由1522y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=−⎩得24x y =−⎧⎨=⎩，(2,4)A ∴−， 反比例函数ky x =的图象经过点A ，248k ∴=−⨯=−，∴反比例函数的表达式是8y x =−； （2）解8152y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得24x y =−⎧⎨=⎩或81x y =−⎧⎨=⎩，(8,1)B ∴−，由直线AB 的解析式为152y x =+得到直线与x 轴的交点为(10,0)−，111041011522AOB S ∆∴=⨯⨯−⨯⨯=． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于点(2,4)A 、(4,)B n ．C 是y 轴上的一点，连接CA 、CB ．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若ABC ∆的面积是6，求点C 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）先求得(0,6)D ，再根据ABC BCDACD S S S ∆∆∆=−得1(42)62CD ⨯⋅−=，进而得出6CD =，据此可得点C 的坐标．【解答】解：（1）点(2,4)A 在反比例函数m y x =的图象上， 248m ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为8y x =； 又点(4,)B n 在8y x =上，2n ∴=， ∴点B 的坐标为(4,2)，把(2,4)A 和(4,2)B 两点的坐标代入一次函数y kx b =+得2442k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =−⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析为6y x =−+．（2）对于一次函数6y x =−+，令0x =，则6y =，即(0,6)D ， 根据题意得：1(42)62ABC BCD ACD S S S CD ∆∆∆=−=⨯⋅−=， 解得：6CD =，0OC ∴=或12，(0,0)C ∴或(0,12)．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数12y x a =−+的图象与反比例函数2(0)k y k x=>的图象在第一象限相交于点(,)A m n ，(2,3)B m n −．（1）求a 、k 的值；（2）当120y y >>时，直接写出x 的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到3m =，代入A 、B 点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出n 和a ，最后求出k 值即可；（2）根据函数图象直接写出当120y y >>时自变量取值范围即可．【解答】解：（1）点(,)A m n ，(2,3)B m n −都在反比例函数图象上，3(2)mn n m ∴=⨯−，整理得：2(3)0n m −=，0m ≠，0n ≠，30m ∴−=，解得3m =．(3,)A n ，(1,3)B n 在直线12y x a =−+的图象上，∴623a n a n −+=⎧⎨−+=⎩，解得28n a =⎧⎨=⎩，(3,2)A ∴，(3,2)A 在反比例函数图象上，6k ∴=．8a ∴=，6k =．（2）由（1）可知：(3,2)A ，(1,6)B ，根据函数图象可知，120y y >>时，x 的取值范围为：13x <<．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数11(0)y k x b k =+≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)−，点B 的坐标为(1,)n ．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围； （3）求ABO ∆的面积．【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；（3）根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+代入数据计算即可．【解答】解：（1）(2,1)A −，(1,)B n 在反比例函数图象上，221k n ∴=−⨯=，22k n ∴==−，∴反比例函数解析式为：2y x =−， (2,1)A −，(1,2)B −在一次函数图象上，∴11212k b k b +−=⎧⎨+=−⎩，解得111k b =−⎧⎨=−⎩，∴一次函数解析式为：1y x =−−．（2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式21k k x b x +>的解集为：2x <−或01x <<． （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，则(0,1)C −即1OC =，1131211222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．11．（2024•兴化市一模）已知函数1(k y k x =是常数，0)k ≠，函数2392y x =−+． （1）若函数1y 和函数2y 的图象交于点(2,6)A ，点(4,2)B n −．①求k ，n 的值．②当12y y >时，直接写出x 的取值范围．（2）若点(8,)C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求m 的值．【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可；（2）先根据平移条件得到(5,1)D m −，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值即可．【解答】解：（1）①函数1y 和函数2y 的图象交于点(2,6)A ，点(4,2)B n −，264(2)k n ∴=⨯=⨯−，解得：12k =，5n =． ②由①可知，反比例函数解析式为12y x =，图象分布在第一、三象限，(2,6)A ，(4,3)B 12y y ∴>时，x 的取值范围为：02x <<或4x >．（2）点(8,)C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ， (5,1)D m ∴−， D 恰好落在函数1ky x =图象上， 5(1)8m m ∴−=，解得53m =−． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．12．（2024•南通模拟）如图，直线AB 交双曲线k y x=于A 、B 两点，交x 轴于点C ，且B 恰为线段AC 的中点，连接OA ．若6OAC S ∆=．求k 的值．【分析】设出点B 的坐标，进而可以表示出点A 和点C 的坐标，再根据OAC ∆的面积即可解决问题．【解答】解：设点B 坐标为(,)k a a ，点B 为线段AC 的中点， ∴22A B ky y a ==， 则点A 的坐标为2(,)2a k a ， ∴2A C x x a +=， ∴32C x a =，则点C 坐标为3(,0)2a ．又AOC ∆的面积为6， ∴132622k a a ⋅⋅=，解得4k =，故k 的值为4．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形OAB 中，AO AB =，点B 坐标为(4,0)顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，且OAB ∆的面积为12．（1）k = ．（2）过B 点直线对应的解析式为y x b =+与双曲线k y x =在第一，三象限交点分别为点M ，N ． ①求点M ，N 的坐标．②直接写出不等式0k x b x −−…的解集．【分析】（1）过点A 作AC OB ⊥于点C ，利用三角形面积求得AC 即可求得点A 的坐标是(2,6)，将点A 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；（2）①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解；②根据图象即可求得．【解答】解：（1）过点A 作AC OB ⊥于点C ，等腰三角形OAB 中，AO AB =，点B 坐标为(4,0)，4OB ∴=，OAB ∆的面积为12， ∴1122OB AC ⋅=，6AC ∴=，(2,6)A ∴，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上，解得：2612k =⨯=，故答案为：12；（2）①把B 点的坐标代入y x b =+得：40b +=，4b ∴=−，∴过B 点直线解析式为4y x =−， 联立412y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得62x y =⎧⎨=⎩或26x y =−⎧⎨=−⎩，(6,2)M ∴，(2,6)N −−； ②观察图象，不等式0k x b x −−…的解集是06x <…或2x −…．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，求得A 点的坐标以及数形结合是解题的关键.14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数112y x =−的图象与y 轴相交于B 点，与反比例函数(0,0)k y k x x =≠>图象相交于点(,2)A m ．（1）求反比例函数的表达式；（2）点C 在点A 的左侧，过点C 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点D ，连接BD ．设点C 的横坐标为a ，求当a 为何值时，BCD ∆的面积最大，这个最大值是多少？【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据三角形面积公式列出关于a 的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．【解答】解：（1）点(,2)A m 在一次函数112y x =−的图象上， ∴1122m −=，解得6m =， (6,2)A ∴，点(6,2)A 在反比例函数图象上，6212k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：12y x =；（2）在一次函数112y x =−中，令0x =，则1y =−，(0,1)B ∴−，点C 的横坐标为a ，点C 的纵坐标为112a −，12(,)D a a ∴，12112CD a a ∴=−+， 1121(1)22BCD S a a a ∆=⨯−+⨯211642a a =−++2125(1)44a =−−+， 104−<，BCD S ∆∴有最大值，当1a =时，最大值254BCD S ∆=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数关系式是关键．15．（2024•东海县一模）一次函数5y x =−+与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于A ，B 两点，其中(1,)A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）结合图象，直接写出5x−+…时，x 的取值范围； （3）若把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位，使之与反比例函数k y x =的图象只有一个交点，请直接写出b 的值．【分析】（1）待定系数法求出k 值即可；（2）根据图像和两个函数的交点坐标，直线写出不等式的解集即可；（3）把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位得到新的解析式为：5y x b =−+−，联立方程组得到2(5)40x b x −−+=，利用判别式等于0，解出b 值即可．【解答】解：（1）(1,)A a 在一次函数图象上，154a ∴=−+=，即(1,4)A ，(1,4)A 在反比例函数图象上，144k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：4y x =； （2）联立方程组45y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，(1,4)A ∴，(4,1)B ， 根据两个函数图象可知：不等式5kx x −+…的解集为：01x <…或4x …； （3）把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位得到新的解析式为：5y x b =−+−， 联立方程组54y x b y x =−+−⎧⎪⎨=⎪⎩，消掉得：45x b x −+−=， 整理得：2(5)40x b x −−+=，△2(5)160b =−−=， 54b ∴−=±，9b ∴=或1．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数k y x=的图象与一次函数y ax b =+的图象相交于点(2,3)A 和点(,2)B n −．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式k ax b x >+的解集；（3）若点P 是x 轴上一点，且满足PAB ∆的面积是10，请求出点P 的坐标．【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式求出k ，从而求出点B 坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式；（2）通过观察图象交点求解；（3）设点P 坐标为(,0)m ，通过三角形PAB 的面积为10及三角形面积公式求解．【解答】解：（1）将(2,3)代入k y x =得32k=，解得6k =，∴反比例函数解析式为6y x =．26n ∴−=，解得3n =−，所以点B 坐标为(3,2)−−，把(3,2)−−，(2,3)代入y ax b =+得：2332a b a b −=−+⎧⎨=+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为1y x =+；（2）由图象可得当3x <−或02x <<时式kax b x >+；（3）设点P 坐标为(,0)m ，一次函数与x 轴交点为E ，把0y =代入1y x =+得01x =+，解得1x =−，∴点E 坐标为(1,0)−．11532222PAB PAE PBE S S S PE PE PE ∆∆∆∴=+=⨯+⨯=， ∴5102PE =，即5|1|102m +=，解得3m =或5m =−．∴点P 坐标为(3,0)或(5,0)−．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以x 轴上长为1的线段AB 为宽作矩形ABCD ，矩形长AD 、BC 交直线3y x =−+于点F 、E ，反比例函数(0)k y x x=>的图象正好经过点F 、E ． （1）线段EF 长为 ；（2）求k 值．【分析】（1）表示出E 、F 的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF 的长度；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到(3)(1)(2)k m m m m =−+=+−+，解得即可．【解答】解：（1）点F 、E 在直线3y x =−+图象上，∴设(,3)F m m −+，则(1E m +，(1)3)m −++，即(1,2)m m +−+EF ∴．故答案为：（2）反比例函数(0)k y x x=>的图象正好经过点F 、E ， (3)(1)(2)k m m m m ∴=−+=+−+，解得1m =，(3)122k m m ∴=−+=⨯=．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键．18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数11(y k x b k =+，b 为常数，且10)k ≠与反比例函数22(k y k x=为常数，且20)k ≠的图象交于点(,6)A m ，(4,3)B −． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当210k k x b x>+>时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）已知一次函数1y k x b =+的图象与x 轴交于点C ，点P 在x 轴上，若PAC ∆的面积为9；求点P 的坐标．【分析】（1（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x 轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；（3）先求得点C 的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1）将(4,3)B −代入2k y x=， 解得：212k =−，∴反比例函数表达式为12y x =−， 将(,6)A m 代入12y x=−， 解得：2m =−， (2,6)A ∴−，将(2,6)A −，(4,3)B −代入1y k x b =+，得112643k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得：1323k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的表达式为：332y x =−+； （2）(2,6)A −，(4,3)B −， 根据函数图象可得：当210k k x b x >+>时，20x −<<； （3）332y x =−+，令0y =， 解得：2x =，(2,0)C ∴，设(,0)P p ，则|2|PC p =−，PAC ∆的面积为9， ∴1|2|692p ⨯−⨯=， 解得：5p =或1−，(5,0)P ∴或(1,0)P −．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数11y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=，分别交于点A 和点B ，且A 、B 两点的坐标分别是(1,2)A −−和(2B ．)m ，连接OA 、OB ．（1）求一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x =的函数表达式； （2）求AOB ∆的面积．【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，用AB 两点坐标求出直线解析式即可；（2）求出直线AB 与x 轴的交点M 的坐标，利用AOB BMO AMO S S S ∆∆∆=+代入数据计算即可．【解答】解：（1）点(1,2)A −−在反比例函数图象上，2k ∴=，反比例函数解析式为：2y x=； (2B ．)m 在反比例函数图象上，1m ∴=，即(2,1)B ，点AB 在一次函数11y k x b =+的图象上，∴11221k b k b −+=−⎧⎨+=⎩，解得：111k b =⎧⎨=−⎩， 一次函数解析式为：1y x =−，（2）设直线AB 交x 轴于点M ，当0y =，1x =，(1,0)M ，1OM =． 所以1131112222AOB BMO AMO S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．小的分界点．20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象与x 轴交于点(1,0)A −，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，且AB BC =．点D 是x 轴正半轴上一点，连接CD ，45ODC ∠=︒．（1）求b 和k 的值；（2）求ACD ∆的面积．【分析】（1）将点A 坐标代入一次函数解析式，求出b 的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出1OH OA ==，24CH OB ==，求出C 点坐标，即可求出k 的值；（2）根据45ODC ∠=︒得到DCH ∆是等腰直角三角形，求出AD ，再求ACD ∆的面积即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A −代入一次函数2y x b =+，得20b −+=，解得2b =，(0,2)B ∴，2OB ∴=，在22y x =+中，令0y =，则1x =−，(1,0)A ∴−，1OA ∴=，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，则//OB ， ∴OA OB AB AH CH AC==， AB BC =， ∴1212AH CH ==， 2AH ∴=，4CH =，1OH OA ∴==，(1,4)C ∴， 反比例函数(0)k y x x=>的图象过点C ， 144k ∴=⨯=； （2）45ODC ∠=︒，CH x ⊥轴于点H ，45DCH ∴∠=︒，DCH ∴∆是等腰直角三角形，4DH CH ∴==，1146AD ∴=++=，ACD ∴∆的面积为：11641222AD CH ⋅=⨯⨯=．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点C 坐标是解决本题的关键．21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2(0)m y x x=>的图象交于点(4,1)A 和点(2,)B n ．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接OA ，求四边形OABC 的面积；（3）根据图象直接写出使kx b+<x 的取值范围．【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点A 的坐标代入反比例函数解析式，求出m 值，再将点B 代入反比例函数解析式求出nn 值，然后将A 、B 点坐标代入一次函数解析数即可．（2）四边形OABC 的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．（3）结合图象确定x 的取值范围即可．【解答】解：（1）将点(4,1)A 代入2(0)m y x x =>中， 得14m =，解得4m =， 故24y x =； 将点(2,)B n 代入24y x =，可得422n ==，将(4,1)A ，(2,2)B 代入1y kx b =+，得1422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， 故1132y x =−+；（2）如图所示，对于一次函数1132y x =−+，令0x =，则13y =，即(0,3)E令10y =，则6x =，即(6,0)D ，6OD ∴=，3OE =，(2,2)B ，BC y ⊥轴，2BC ∴=，321CE =−=，设AOD ∆的高为h ，由(4,1)A 可知1h =，DOE BOE AODOABC S S S S ∆∆∆=−−四边形 111222OD OE BC CE OD h =⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯111632161222=⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯5=；（3）结合图象可知，当mkx b x +<时， x 的取值范围为02x <<或4x >．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形OABC 放在大三角形中求解面积．22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数(0)k y x x=>与一次函数2y x m =+的图象交于点(1,4)A ，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B 、C ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AB ，若1OD =，求ABC ∆的面积．【分析】（1）将点A 坐标分别代入两个解析式得到k 、m 值即可；（2）将1y =分别代入两个解析式求出点B 、C 坐标，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）点(1,4)A 在反比例函数图象上，144k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：4y x=， 2y x m =+的图象过点(1,4)A ，421m ∴=⨯+．解得2m =，∴一次函数解析式为：22y x =+．（2）将1y =代入4y x=得4x =， (4,1)B ∴，将1y =代入22y x =+得12x =−，1(2C ∴−，1)， 194()22BC ∴=−−=， 1927(41)224ABC S ∆∴=⨯⨯−=． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线3y x =−+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于点C ，过点C 作CB x ⊥轴于点B ，3AD AC =． （1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式；（2）若点E 是直线3y x =−+与反比例函数(0)k y k x=≠图象的另一个交点，求COE ∆的面积．【分析】（1）求出点A 、点D 的坐标，然后表示出AO 、DO 的长度，再根据//CB y 轴得出DA DO AC OB =，由3AD AC =得出3OD BO =，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）联立两个函数解析式求出点E 坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可．【解答】解：（1）直线3y x =−+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，(0,3)A ∴，(3,0)D ，即3OA =，3OD =，CB x ⊥轴，//CB y ∴轴， ∴DA DO AC OB=， 3AD AC =，3OD OB ∴=，1OB ∴=，∴点C 的横坐标为1−，点C 在直线3y x =−+上， ∴点(1,4)C −，144k ∴=−⨯=−，∴反比例函数的解析式为4y x=−； （2）联立方程组34y x y x =−+⎧⎪⎨=−⎪⎩，解得14x y =−⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=−⎩， ∴直线与反比例函数图象的另一个交点E 的坐标为(4,1)−，111115||||313422222COE AOC AOD C D S S S OA x OA x ∆∆∆∴=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =+的图象经过点(2,0)A −，与反比例函数ky x=的图象交于(,4)B a ，C 两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点M 是反比例函数图象在第一象限上的点，且4MAB S ∆=，请求出点M 的坐标；（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC 方向平移，使其经过点C ，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB 方向平移，使其经过点B ，平移后的两条曲线相交于P ，Q 两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， PQ 为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径” PQ 的长．【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）由4MAB S ∆=，得点M 满足在与2y x =+M 在y x =或4y x =+上，列方程组求出交点，即可求出点M ；（3）将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出PQ 长即可． 【解答】解：（1）把(2,0)A −代入y x b =+，得02b =−+， 2b ∴=，2y x ∴=+，把(,4)B a 代入2y x =+，得42a =+， 2a ∴=， 248k ∴=⨯=， 8y x∴=， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：2y x =+，8y x=； （2）令2y x =+中0y =，得2x =−， ∴点(2,0)A −，AB ∴=142MAB S h ∆==⨯，h ∴=M 满足在与2y x =+∴点M 在y x =或4y x =+上，由8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=−⎪⎨=−⎪⎩点M 在第一象限， ∴点M坐标为，由48y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得1122x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩2222x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩ 点M 在第一象限，∴点M坐标为(2−+2+，综上点M坐标为或(2−+2+； （3）平移之后的曲线为：866y x =−+和866y x =+−， 由866866y x y x ⎧=+⎪⎪−⎨⎪=−⎪+⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩22x y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩，∴点(P −点Q，−，PQ ∴=【点评】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键． 25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知(4,)A n −，(2,4)B −是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围．【分析】（1）先把B 点坐标代入代入my x =，求出m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；。
2023中考数学真题汇编11 反比例函数及其应用(含答案与解析)
2023中考数学真题汇编·11反比例函数及其应用一、单选题1.（2023·云南）若点 1,3A 是反比例函数(0)ky k x图象上一点，则常数k 的值为（）A ．3B ．3C ．32D ．322.（2023·湖南永州）已知点 2,M a 在反比例函数ky x的图象上，其中a ，k 为常数，且0k ﹐则点M 一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.（2023·湖北随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I (单位：A)与电阻R (单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6 时，电流为()A ．3AB ．4AC ．6AD ．8A4.（2023·湖南）如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数 0ky k x的图像上，点B 的坐标为 2,4，则点E 的坐标为（）A ． 4,4B ． 2,2C ． 2,4D ．4,25.（2023·浙江）如果100N 的压力F 作用于物体上，产生的压强P 要大于1000Pa ，则下列关于物体受力面积 2S m 的说法正确的是（）A ．S 小于20.1mB ．S 大于20.1m C ．S 小于210m D ．S 大于210m 6.（2023·浙江嘉兴）已知点 1232,,1,,1,A y B y C y 均在反比例函数3y x的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y B ．213y y y C ．312y y y D ．321y y y 7.（2023·天津）若点 123,2,,1,)2(,A x B x C x 都在反比例函数2y x的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（）A ．321x x x B ．213x x x C ．132x x x D ．231x x x 8.（2023·山西）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c 都在反比例函数4y x的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b cB ．b a cC ．c b aD ．c a b9.（2023·湖北宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 1233,,2,3,1,,2,y y y ，则，123,,y y y 的大小关系为（）A ．213y y y B ．321y y y C ．231y y y D ．132y y y 10.（2023·内蒙古通辽）已知点 1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x的图像上，且120x x ，则下列结论一定正确的是（）A ．120y y B ．120y y C ．120y y D ．120y y 11.（2023·湖北）在反比例函数4ky x的图象上有两点 1122,,,A x y B x y ，当120x x 时，有12y y ，则k 的取值范围是（）A ．0k B ．0k C ．4k D ．4k 12.（2023·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，32AB ，则k 的值为（）A ．3B ．32C ．4D ．613.（2023·湖南）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数 0ky k x图像上的一点，过点A 分别作AM x 轴于点M ，AN y 轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A ．2B ．2C ．1D ．114.（2023·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC ，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数ky x（0x ）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．3215.（2023·湖南张家界）如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点D 在AB 上，且14AD AB，反比例函数 0ky k x的图象经过点D 及矩形OABC 的对称中心M ，连接,,OD OM DM ．若ODM △的面积为3，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．516.（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),(23,0),(3,1),O A B OAB △与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x的图象与A B 交于点C ．若A C BC ，则k 的值为（）A ．23B ．332C ．3D ．3217.（2023·湖南怀化）如图，反比例函数(0)ky k x的图象与过点(1,0) 的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S ，那么点C 的坐标为（）A ．(3,0)B ．(5,0)C ．(3,0) 或(5,0)D ．(3,0)或(5,0)18.（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x和ny x的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．3B ．13C ．13D ．319.（2023·广西）如图，过(0)ky x x 的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交1y x的图象于B ，D两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若23452S S S ，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．120.（2023·黑龙江）如图，ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC x ∥轴，双曲线ky x过,A B 两点，过点C 作CD y ∥轴交双曲线于点D ，若12BCD S ，则k 的值是（）A ．6B ．12C ．92D ．921.（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y ，x轴上，BC x 轴．点M 、N 分别在线段BC 、AC 上，BM CM ，2NC AN ，反比例函数 0ky x x的图象经过M 、N 两点，P 为x 正半轴上一点，且:1:4OP BP ，APN 的面积为3，则k 的值为（）A ．454B ．458C ．14425D ．7225二、填空题22.（2023·广东）某蓄电池的电压为48V ，使用此蓄电池时，电流I (单位：A )与电阻R (单位： )的函数表达式为48I R，当12R 时，I 的值为_______A ．23．（2023·四川成都）若点 123,y ,1,A B y 都在反比例函数6y x的图象上，则1y _______2y （填“ ”或“ ”）．23.（2023·浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P （kPa ）与汽缸内气体的体积V （mL ）成反比例，P 关于V 的函数图象如图所示．若压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了___________mL ．24.（2023·河北）如图，已知点(3,3),(3,1)A B ，反比例函数(0)ky k x图像的一支与线段AB 有交点，写出一个符合条件的k 的数值：_________．25.（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 在反比例函数 0ky k x图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x图像的一支上，点C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 是面积为9的正方形，则实数k 的值为______．26.（2023·广东深圳）如图，Rt OAB 与Rt OBC △位于平面直角坐标系中，30AOB BOC ，BA OA ，CB OB ，若AB 0ky kx恰好经过点C ，则k ______．27.（2023·江苏连云港）如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x的图像上，顶点B C 、在第一象限，对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，2cos 3OAC ，则k __________．28.（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为直角三角形，90A ，30AOB ，4OB ．若反比例函数 0ky k x的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，则k ______．29.（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．26．（2023·湖北鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b 与双曲线22k y x（其中120k k ）相交于 2,3A ， ,2B m 两点，过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，则ABP 的面积是___________．30.（2023·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x（k 为大于0的常数，0x ）图象上的两点 1122,,,A x y B x y ，满足212x x ．ABC 的边AC x ∥轴，边∥BC y 轴，若OAB 的面积为6，则ABC 的面积是________．31.（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在反比例函数(0)ky x x的图象上，点O 、E 的对应点分别是点C 、A ．若点A 为OE 的中点，且14EAF S △，则k 的值为___________．32.（2023·浙江宁波）如图，点A ，B 分别在函数(0)ay a x图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数(0,0)by b x x图象上，AE x 轴，BD y ∥轴，连接,DE BE ．若2AC BC ，ABE 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，则a b 的值为__________，a 的值为__________．33.（2023·湖北荆州）如图，点 2,2A 在双曲线(0)k y x x上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，交双曲线于点C ．若2BC ，则点C 的坐标是___________．34.（2023·山东枣庄）如图，在反比例函数8(0)y x x的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ___________．35.（2023·湖北十堰）函数ky x a的图象可以由函数k y x的图象左右平移得到．（1）将函数1y x的图象向右平移4个单位得到函数1y x a的图象，则 a ____；（2）下列关于函数1y x a的性质：①图象关于点 ,0a 对称；②y 随x 的增大而减小；③图象关于直线y x a 对称；④y 的取值范围为0y ．其中说法正确的是________（填写序号）；（3）根据（1）中a 的值，写出不等式11x a x的解集：_________．三、解答题36.（2023·湖南常德）如图所示，一次函数1y x m 与反比例函数2ky x相交于点A 和点 3,1B ．（1）求m 的值和反比例函数解析式；（2）当12y y 时，求x 的取值范围．37.（2023·湖南）如图，点A 的坐标是 3,0 ，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90 得到A BC △．（1）反比例函数ky x的图像经过点C ，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A 两点，求该一次函数的表达式．38.（2023·四川广安）如图，一次函数94y kx（k 为常数，0k ）的图象与反比例函数(my m x为常数，0)m 的图象在第一象限交于点 1,A n ，与x 轴交于点 3,0B ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P 在x 轴上，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．39.（2023·山东）如图，已知坐标轴上两点 0,4,2,0A B ，连接AB ，过点B 作BC AB ，交反比例函数ky x在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数ky x和直线OC 的表达式；（2）将直线OC 向上平移32个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．40.（2023·浙江杭州）在直角坐标系中，已知120k k ，设函数11k y x与函数 2225y k x 的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4 ．（1）求12,k k 的值．（2）过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．41.（2023·四川自贡）如图，点 24A ，在反比例函数1my x图象上．一次函数2y kx b 的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且OAC △与OBC △的面积比为2:1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出12y y 时，x 的取值范围．42.（2023·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l y kx 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，与反比例函数 0my x x的图象相交于点C ，已知1OA ，点C 的横坐标为2．（1）求k ，m 的值；（2）平行于y 轴的动直线与l 和反比例函数的图象分别交于点D ，E ，若以B ，D ，E ，O 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．43.（2023·四川南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 16A ，3,3B a a，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）点M 在x 轴上，若OAM OAB S S △△，求点M 的坐标．44.（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点 30C ，，顶点A 、 6B m ，恰好落在反比例函数ky x第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．45.（2023·四川遂宁）如图，一次函数1y k x b 的图像与反比例函数2k y x的图像交于 41A ，， 4B m ，两点．（1k ，2k ，b 为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像直接写出不等式21k k x b x的解集；（3）P 为y 轴上一点，若PAB 的面积为3，求P 点的坐标．46.（2023·四川眉山）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b与x 轴交于点 4,0A ，与y 轴交于点 0,2B ，与反比例函数m y x在第四象限内的图象交于点 6,C a ．（1）求反比例函数的表达式：（2）当mkx b x时，直接写出x 的取值范围；（3）在双曲线my x上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47.（2023·江西）如图，已知直线y x b 与反比例函数(0)k y x x的图象交于点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数(0)k y x x的图象于点C ．（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式；（2）求ABC 的面积．48.（2023·四川乐山）如图，一次函数y kx b 的图象与反比例函数4y x的图象交于点 ,4A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点 0,3C ．（1）求m 的值和一次函数的表达式；（2）已知P 为反比例函数4y x图象上的一点，2OBP OAC S S △△，求点P 的坐标．49.（2023·湖南岳阳）如图，反比例函数kyx（k 为常数，0k ）与正比例函数y mx （m 为常数，0m ）的图像交于 1,2,A B 两点．（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；（2）若y 轴上有一点 0,,C n ABC △的面积为4，求点C 的坐标．50.（2023·湖南）如图，正比例函数43y x的图象与反比例函数12(0)y x x的图象相交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）分别以点O 、A 为圆心，大于OA 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B 和点C ，作直线BC ，交x 轴于点D ．求线段OD 的长．51.（2023·江苏苏州）如图，一次函数2y x 的图象与反比例函数(0)ky x x的图象交于点 4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接,BD BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x的图象上．（1）求,n k 的值；（2）当m 为何值时，AB OD 的值最大?最大值是多少?52.（2023·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 0y ax b a与反比例函数 0ky k x交于 ,3A m m ， 4,3B 两点，与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）请根据图象直接写出不等式kax b x的解集．53.（2023·山东枣庄）如图，一次函数(0)y kx b k 的图象与反比例函数4y x的图象交于(,1),(2,)A m B n 两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x的解集；（3）设直线AB 与x 轴交于点C ，若(0,)P a 为y 轴上的一动点，连接,AP CP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．54.（2023·山东滨州）如图，直线(,y kx b k b 为常数)与双曲线my x（m 为常数）相交于 2,A a ， 1,2B 两点．（1）求直线y kx b 的解析式；（2）在双曲线my x上任取两点 11,M x y 和 22,N x y ，若12x x ，试确定1y 和2y 的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x 的不等式mkx b x的解集．55.（2023·甘肃兰州）如图，反比例函数 0ky x x与一次函数2y x m的图象交于点 1,4A ，BC y 轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x与一次函数2y x m 的表达式；（2）当1OD 时，求线段BC 的长．56.（2023·湖北黄冈）如图，一次函数1(0)y kx b k 与函数为2(0)my x x的图象交于1(4,1),,2A B a两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足120y y 时x 的取值范围；（3）点P 在线段AB 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交函数2y 的图象于点Q ，若POQ △面积为3，求点P 的坐标．57.（2023·四川）如图，已知一次函数6y kx 的图象与反比例函数 0my m x的图象交于 34A ，，B 两点，与x 轴交于点C ，将直线AB 沿y 轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D ，E ．（1）求k ，m 的值及C 点坐标；（2）连接AD ，CD ，求ACD 的面积．58.（2023·山东）如图，正比例函数112y x和反比例函数2(0)ky x x的图像交于点 ,2A m ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移3个单位后，与y 轴交于点B ，与2(0)ky x x的图像交于点C ，连接AB AC ，，求ABC 的面积．59.（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y mx n 与反比例函数ky x的图象在第一象限内交于 ,4A a 和 4,2B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，连接OA ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当0x 时，请结合函数图象，直接写出关于x 的不等式kmx n x≥的解集；（3）过点B 作BD 平行于x 轴，交OA 于点D ，求梯形OCBD 的面积．60.（2023·山东聊城）如图，一次函数y kx b 的图像与反比例函数m y x的图像相交于 1,4A ， ,1B a 两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点 ,0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交my x的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP 时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．61.（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数ky x图象上的点A 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．62.（2023·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线5y x 与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x的图象的一个交点为(,4)B a ，过点B 作AB 的垂线l ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点，连接PA ，以P 为位似中心画PDE △，使它与PAB 位似，相似比为m ．若点D ，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值．【参考答案与解析】1.【答案】A【解析】解：∵点 1,3A 是反比例函数(0)ky k x图象上一点，∴133k ，故选：A ．2.【答案】A【解析】解：0k ∵， 反比例函数ky x的图象经过第一、三象限，故点M 可能在第一象限或者第三象限，2,M a ∵的横坐标大于0， 2,M a 一定在第一象限，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：设该反比函数解析式为 0kI k R，由题意可知，当8R 时，3I ，38k，解得：24k ， 设该反比函数解析式为24I R， 当6R 时，2446I，即电流为4A ，故选：B ．4.【答案】D【解析】∵ 0k y k x经过 2,4，∴解析式为8y x，设正方形的边长为x ，则点 2,E x x ，∴ 28x x ，解得122,4x x （舍去），故点 4,2E ，故选：D ．5.【答案】A【解析】解：假设P 为1000Pa ，∵F 为100N ，2F 100S =0.1m P 1000.P 1000Pa Q ，2S 0.1m .故选：A.6.【答案】B【解析】解：∵30k ，∴图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵2101 ，∴2130y y y ．故选：B ．7.【答案】D【解析】解：2y x，20 ，∴双曲线在二，四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大；∵ 123,2,,1,)2(,A x B x C x ，∴1230,0x x x ，∴231x x x ；故选：D ．8.【答案】B【解析】解：∵反比例函数4y x中0k ，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10, ∴(2,),(1,)A a B b 位于第三象限，∴0,0,a b ∵210, ∴0.a b ∵30,∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c ∴.b a c 故选：B ．9.【答案】C【解析】解：设反比例函数的解析式为k y x，将点 2,3 代入得：236k ，则反比例函数的解析式为6y x，所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，又∵点 1233,,1,,2,y y y 在函数6y x 的图象上，且3012 ，1320y y y ，即231y y y ，故选：C ．10.【答案】D【解析】解：∵点 11,A x y ， 22,B x y ）是反比例函数2y x的图像上的两点，∴11222x y x y ，∵120x x ，∴210y y ，即120y y ，故D 正确．故选：D ．11.【答案】C【解析】解：∵当120x x 时，有12y y ，∴反比例函数4ky x的图象在一三象限，∴40k 解得：4k ，故选：C ．12.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设 ,1A k ， 1,B k ∴ 1,1C ，则1,1AC k BC k ，又∵90ACB ，AB ∴ 22211k k ，∴3BC AC ，∴13k 解得：4k ，故选：C ．13.【答案】A【解析】解：AM x ∵轴于点M ，AN y 轴于直N ，90MON ， 四边形AMON 是矩形，∵四边形AMON 的面积为2，2k ，∵反比例函数在第一、三象限，2k ，故选：A ．14.【答案】C 【解析】设 3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC ，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴ 3,2,1,2C m D m ，∴32m m ，解得1m ，∴ 3,1B ，∴313k ，故选：C ．15.【答案】C【解析】解：∵四边形OCBA 是矩形，∴AB OC ，OA BC ，设B 点的坐标为(,)a b ，∵矩形OABC 的对称中心M ，∴延长OM 恰好经过点B ，(,)22a bM ，∵点D 在AB 上，且14AD AB ，∴1(,)4D a b ，∴34BD a ，∴1133()224216BDM b S BD h a b ab∵D 在反比例函数的图象上，∴14ab k ，∵11332216ODM AOB AOD BDM ab S S S S ab k ，∴11332816ab ab ab ，解得：16ab ，∴144k ab，故选：C ．16.【答案】A【解析】解：如图所示，过点B 作BD x 轴，∵(0,0),(23,0),(3,1)O A B ，∴1,3BD OD ∴3AD OD ，3tan BD BOA OD∴222OB AB OD BD ，30BOA BAO ，∴60OBD ABD ，120OBA ，∵OA B 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA ，∴180OBA OBD ，∴A ，B ，O 三点共线，∴2A B AB ，∵A C BC ，∴1BC ，∴2CD ，∴3,2C ，将其代入(0,0)ky k x x得：23k ，故选：A ．17.【答案】D【解析】解：∵反比例函数(0)k y k x的图象过点(1,3)，∴133k ∴3y x设直线AB 的解析式为y mx n ，∴30m n m n ，解得：3232m n,∴直线AB 的解析式为3322y x，联立33223y x y x，解得：13x y 或232x y ，∴32,2B ，设 ,0C c ，∵1313922ABC S c，解得：3c 或5c ，∴C 的坐标为(3,0)或(5,0) ，故选：D ．18.【答案】A【解析】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在3y x上，∵OB OA ，90AOB BDO ACO ，∴90CAO AOC BOD ．∴AOC OBD ≌．∴32AOC OBD S S2n ．∵A 点在第二象限，∴3n ．故选：A ．19.【答案】C【解析】设 ,A a b ，则1,B b b ，1,D a a，11,C b a∵点A 在(0)ky x x的图象上，则1S ab k ，同理∵B ，D 两点在1y x 的图象上，则241S S ，故3511122S ，又∵31211S b a，即112ab ，故2ab ，∴2k ，故选：C ．20.【答案】C【解析】解：由题意，设,k B b b，∵AB 过原点O ，∴,k A b b，过点A 作AE BC 于E ，∵ABC 是等腰三角形，∴ 2CE BE b b b ，∴4BC b ，点D 的横坐标为3b ，∵底边BC x ∥轴，CD y ∥轴，∴1141222BCD S BC CD b CD，∴6CD b，∴点D 的纵坐标为66k k b b b ，∴63,k D b b，∴ 6336k k b k b ，解得：92k ，故选：C．21.【答案】B【解析】解：如图，过点N 作NQ x 轴于点Q，设点A 的坐标为 0,0A a a ，点M 的坐标为 5,0,0M b c b c ，点N 的坐标为 ,0,0N m n m n ，则 5,2C b c ，OA a ，5OB b ，:1:4OP BP ∵，,4OP b BP b ，2NC AN ∵， 5202223b m m n c a c，解得53223b m a c n，522,33b a c N ，522,33b a cOQ NQ，23bPQ OQ OP，APN ∵ 的面积为3，3AOP NPQ OANQ S S S 梯形，即15221122232332233a c b a c b a ab ，整理得：29ab bc ，将点 5225,,,33b a c M b c N代入k y x 得：522533b a c k bc ，整理得：27a c ，将27a c 代入29ab bc 得：79bc bc ，解得98bc ，则4558k bc，故选：B ．二、填空题22.【答案】4【解析】解：∵12R ，∴4848412I R A 故答案为：4．23．【答案】 【解析】解：∵点 123,y ,1,A B y 都在反比例函数6y x的图象上，∴1623y，2661y ，∵26 ，∴1y 2y ，故答案为： ．23.【答案】20【解析】解：设P 关于V 的函数解析式为kP V，由图象可把点 100,60代入得：6000k ，∴P 关于V 的函数解析式为6000P V，∴当75kPa P 时，则60008075V，∴压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了1008020mL ；故答案为：20．24.【答案】4（答案不唯一，满足39k 均可）【解析】解：当反比例函数(0)ky k x图像过(3,3)A 时，339k ；当反比例函数(0)ky k x图像过(3,1)B 时，313k ；∴k 的取值范围为39k ，∴k 可以取4．故答案为：4（答案不唯一，满足39k 均可）．25.【答案】6 【解析】解：如图：∵点A 在反比例函数 0k y k x 图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x 图像的一支上，∴,22ODAE OCBE k k S k k S∵四边形ABCD 是面积为9的正方形，∴9ODAE OCBE S S ，即92kk ，解得：6k ．故答案为：6 ．26.【答案】3【解析】解：过点C 作CD x 轴于点D ，如图所示：∵30AOB BOC ，BA OA ，CB OB ，∴11,22AB OB BC OC ，∵90AOD ，∴30COD ，∵3AB ∴23OB AB 在Rt OBC △中，2233OB OC BC BC ，∴2BC ，4OC ，∵30COD ，90CDO ，∴122CD OC ，∴323OD CD ，∴点23,2C ，∴43k ，故答案为：4327.【答案】83【解析】解：方法一：∵2cos 3OAC ，∴2cos 3AD AO OAC AO AC设2AD a ，则3AO a ，∴92AC a∵矩形OABC 的面积是6，AC 是对角线，∴AOC 的面积为3，即132AO OC ∴623OC a a在Rt AOC 中，222AC AO OC 即 2229232a a a即22813644a a解得：2a 在Rt ADC中，DO∵对角线AC x ∥轴，则AD OD ，∴2458222153AOD k S a ,∵反比例函数图象在第二象限，∴83k ，方法二：∵2cos 3OAC ，∴2cos 3AD AO OAC AO AC设2AD a ，则3AO a ，∴92AC a，∴24992AD a AC a，488226993AOD AOC S S，∵0k ，∴83k ，故答案为：83．28.【答案】334【解析】解：如图，作CE OB 交OB 于点E ，，∵90A ，30AOB ，4OB ，3cos3043OA OB∵点C 为OA 的中点，113322OC OA∵CE OB ，90OEC ，30COE ∵，113333cos303222CE OC OE OC ，332C，，∵点C 在反比例函数图象上，333224k，3329.【答案】24【解析】解：设,k C a a，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x 轴，∴,kOB a AC a，则点D 到BC 的距离为a ，∵CB 为A 的直径，∴122k AC BC a ，∴16224ACDk k S a a ，解得：24k ，故答案为：24．26．【答案】152【解析】∵直线11y k x b 与双曲线22k y x（其中120k k ）相交于 2,3A ， ,2B m 两点，∴2232k m ∴263k m ，，∴双曲线的表达式为：26y x， 3,2B ，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，∴3BP ，∴1153(32)22ABP S，故答案为：152．30.【答案】2【解析】解：如图，过点A B 、作AF y 轴于点F ，AD x 轴于点D ，BE x ⊥于点E，6AFO ABO BOE FABEO S S S S k ∵五边形AFOD FABEO ADEB ADEB S S S k S 矩形五边形梯形梯形6ADEB S 梯形2121()()62y y x x∵212x x 2112y y11112121111()(2)()()32==6224y y x x y y x x y x 11=8x y 8k21121111111111()()82222244ABC S AC BC x x y y x y x y =×=-×-=×==´=故答案为：2．31.【答案】6 【解析】解：连接BO，设对称轴MN 与x 轴交于点G ，∵ODE 与CBA △关于对称轴MN ，∴AG EG ，AC EO ，EC AO ，∵点A 为OE 的中点，设AG EG a ，则2EC AO AE a ，∴4AC EO a ，∵14EAF S △，∴8112EGF EAF S S△△，∵GF OD ，∴EFG EDO ∽△△，∴2EGF EOD S EG S EO △△，即2184EOD a S a △，∴11628EOD S △，∴2ACB S △，∵4AC a ，2AO a ，∴213OCB ACB AOB S S S △△△，∴132k ，∵0k ，∴6k ，故答案为：6 ．32.【答案】12；9【解析】解：如图，延长BD ，AE 交于点Q ，BD 与x 轴交于点K ，而AE x 轴，BD y ∥轴，∴90Q ，∵ABE 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，∴BDE △的面积是5，设,a A m m ，,a B n n，∴,a Q n m ，,b D n n ，,bm a E a m∴b a BD n n ，bm EQ n a ，bm AE m a，a a BQ m n ，∴152b a bm n n n a ，192bm a a m a m n ，整理得： 10b a bm an na ①， 18n m a b n ②，∵OK AQ ∥，2AC BC ，∴12BK BC QK AC ，∴2QK BK ，∴2a a m n，则2n m ③，把③代入②得： 3182m a b m ，∴12a b ，即12b a ④，把③代入①得： 220b a b a a ⑤，把④代入⑤得：9a ；故答案为：12；9.33.【答案】【解析】解：把 2,2A 代入(0)ky x x ，可得22k ，解得4k ， 反比例函数解析式4(0)y x x，如图，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，2,2A ∵，AE OE ，45AOE ，9045AOD AOE ，∵将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，45CBD ,在Rt CBD △中，sin 45CD CB 22CD即点C把x 4(0)y x x，可得yC ，故答案为：．34.【答案】2023253【解析】当1x 时，1P 的纵坐标为8，当2x 时，2P 的纵坐标为4，当3x 时，3P 的纵坐标为83，当4x 时，4P 的纵坐标为2，当5x 时，5P 的纵坐标为85，…则11(84)84S ；2881(4)433S ；3881(2)233S ；481(22558S ；…881n S n n ；1238888888844228335111n n S S S S n n n n ，∴12320238202320242532023S S S S．故答案为：2023253．35.【答案】（1）4 ；（2）①④．（3）0x 或4x ．【解析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；∵函数1y x 的图象向右平移4个单位得到函数14y x 的图象，∴4a ；（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将y x 向左平移a 个单位，得出y x a ，即可判断③；∵1y x a可以看作是由1y x 向左平移a 0a 个单位得到的，∵函数1y x 图象的对称中心为 00，，将其对称中心向左平移a 个单位，则对称中心为 ,0a ，故①正确，②类比反比例函数图象，可得x a ¹-，故函数图象不是连续的，在直线x a 两侧，y 随x 的增大而减小；故②错误；③∵1y x关于y x 对称，同①可得，y x 向左平移a 个单位得到： y x a x a ，∴图象关于直线y x a 对称；故③不正确；④∵平移后的对称中心为 ,0a ，左右平移图象后，1y x a与y 轴没有交点，∴y 的取值范围为0y ．故④正确，（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．∵4a ，∴不等式114x x如图所示，在第三象限内和第一象限内，114x x ，∴0x 或4x ，36.【答案】（1）2m ，3y x；（2）1x 或03x 【解析】（1）将点 3,1B 代入1y x m 得：31m 解得：2m 将 3,1B 代入2k y x得： 313k ∴23y x（2）由12y y 得：32x x，解得121,3x x 所以,A B 的坐标分别为1,3,3,1A B 由图形可得：当1x 或03x 时，12y y 37.【答案】（1）解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴ 0,2C ，2OC BC ，由旋转可得：2BC BC ，90CBC ，∴ 2,4C ，∴248k ，∴反比例函数的表达式为8y x；（2）如图，过A 作A H BC 于H ，则90AOB A HB ，而90ABA ，AB A B，∴90ABO BAO ABO A BO ，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∴ABO BA H ≌，∴3AO BH ，4OB A H ，∴431OH ，∴ 4,1A ，设直线AA 为y mx n ，∴3041m n m n ，解得：1737m n，∴直线AA 为1377y x ．【解析】（1）由点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，可得 0,2C ，2OC BC ，由旋转可得：2BC BC ，90CBC ，可得 2,4C ，可得248k ，从而可得答案；（2）如图，过A 作A H BC 于H ，则90AOB A HB ，而90ABA ，AB A B ，证明ABO BA H ≌，可得3AO BH ，4OB A H ， 4,1A ，设直线AA 为y mx n ，再建立方程组求解即可．38.【答案】（1）解：把点 3,0B 代入一次函数94y kx 得，930,4k 解得：34k ，故一次函数的解析式为3944y x，把点 1,A n 代入3944y x ，得39344n ，(1,3)A ，把点(1,3)A 代入m y x，得3m ，故反比例函数的解析式为3y x；（2）解： 3,0B ，(1,3)A ，5AB ，当5AB PB 时，(8,0)P 或(2,0)，当PA AB 时，点,P B 关于直线1x 对称，(5,0)P ，综上所述：点P 的坐标为(8,0) 或(2,0)或(5,0)．【解析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；（2）首先利用勾股定理求出得AB 的长，再分两种情形讨论即可．39.【答案】（1）如图，过点C 作CD x 轴于点D ，则1CD ，90CDB ，∵BC AB ，∴90ABC ，∴90ABO CBD ，∵90CDB ，∴90BCD CBD ，∴BCD ABO ，∴ABO BCD ∽ ，∴OA BD OB CD，∵ 0,4,2,0A B ，∴4OA ，2OB ，∴421BD ，∴2BD ，∴224OD ，∴点 4,1C ，将点C 代入k y x 中，可得4k ，∴4y x，设OC 的表达式为y mx ，将点 4,1C 代入可得14m ，解得：14m，∴OC 的表达式为14y x ；（2）直线l 的解析式为1342y x，当两函数相交时，可得13442x x ，解得12x ,8x ,代入反比例函数解析式，得1122x y ，22812x y∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为 2,2或18,2【解析】（1）如图，过点C 作CD x 轴于点D ，证明ABO BCD ∽ ，利用相似三角形的性质得到2BD ，求出点C 的坐标，代入k y x可得反比例函数解析式，设OC 的表达式为y mx ，将点 4,1C 代入即可得到直线OC 的表达式；（2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．40.【答案】（1）∵点A 的横坐标是2，∴将2x 代入 22255y k x ，∴ 2,5A ，∴将 2,5A 代入11k y x得，110k ，∴110y x ，∵点B 的纵坐标是4 ，∴将4y 代入110y x 得，52x ，∴5,42B ，∴将5,42B 代入 2225y k x 得，254252k，∴解得22k ，∴ 222521y x x ；（2）如图所示，由题意可得，5,52C， 2,4D ，∴设CD 所在直线的表达式为y kx b ，∴55224k b k b ，解得20k b ，∴2y x ，∴当0x 时，0y ，∴直线CD 经过原点．【解析】（1）首先将点A 的横坐标代入 2225y k x 求出点A 的坐标，然后代入11k y x 求出110k ，然后将点B 的纵坐标代入110y x 求出5,42B，然后代入 2225y k x 即可求出22k ；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．41.【答案】（1）解：将 24A ，代入1m y x 得，42m ，解得8m ，∴反比例函数解析式为18y x；当0x ，2y b ，则 0C b ，，OC b ，当20y ，b x k，则0b B k ，b OB k ，∵OAC 与OBC △的面积比为2:1，∴2212A OC x OC OB ，整理得2A x OB ，即22b k ，解得b k 或b k ，当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得43k ，则24433y x ；当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得4k ，则244y x ；综上，一次函数解析式为24433y x 或244y x ；∴反比例函数解析式为18y x ，一次函数解析式为24433y x 或244y x ；（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为24433y x 时，如图1，联立1284433y x y x ，解得383x y 或24x y ，由函数图象可知，12y y 时，x 的取值范围为3x 或02x ；②当一次函数解析式为244y x 时，如图2，联立12844y x y x ，解得18x y 或24x y ，由函数图象可知，12y y 时，x 的取值范围为1x 或02x ；综上，当一次函数解析式为24433y x 时，x 的取值范围为3x 或02x ；当一次函数解析式为244y x 时x 的取值范围为1x 或02x ．【解析】（1）将 24A ，代入1m y x 得，42m ，解得8m ，可得反比例函数解析式为18y x ；当0x ，2y b ，则 0C b ，，OC b ，当20y ，b x k，则0b B k ，，b OB k ，由OAC 与OBC △的面积比为2:1，可得2212A OC x OC OB ，整理得2A x OB ，即22b k ，解得b k 或b k ，当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得43k ，则24433y x ；当b k 时，将 24A ，代入2y kx b 得，42k k ，解得4k ，则244y x ；（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为24433y x 时，如图1，联立1284433y x y x ，解得383x y 或24x y ，根据函数图象判断x 的取值范围即可；②当一次函数解析式为244y x 时，如图2，联立12844y x y x ，解得18x y 或24x y ，根据函数图象判断x 的取值范围即可．42.【答案】（1）解：∵1OA ，∴ 10A ，，∵直线2y kx 经过点 10A ，，∴02k ，解得，2k ，∴直线的解析式为22y x ，∵点C 的横坐标为2，∴2226y ，∴ 26C ，，∵反比例函数 0m y x x的图象经过点C ，∴2612m ；（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为12y x ，令0x ，则2022y ，∴点 02B ，，设点 22D a a ，，则点12E a a，，∵以B ，D ，E ，O 为顶点的四边形为平行四边形，∴2DE OB ，∴12222a a，整理得12222a a 或12222a a ，由12222a a得222122a a a ，整理得26a ，解得a ∵0a ，∴a∴点 2D ；由12222a a得222122a a a ，整理得2260a a ，解得1a ，∵0a ，∴1a ，∴点1D ；综上，点D 的坐标为 2或1．【解析】（1）求得 10A ，，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得 26C ，，据此即可求解；（2）设点 22D a a ，，则点12E a a，，利用平行四边形的性质得到12222a a ，解方程即可求解．43.【答案】（1）解：设反比例函数解析式为1k y x ，将 16A ，代入1k y x ，可得161k ，解得16k ，反比例函数的解析式为6y x ，把3,3B a a 代入6y x ，可得336a a ，解得1a ，经检验，1a 是方程的解，3,2B ，设一次函数的解析式为2y k x b ，将 16A ，， 3,2B 代入2y k x b ，可得623x bx b ，解得224k b ，一次函数的解析式为24y x ；（2）解：当0y 时，可得024x ，解得2x ，2,0C ，2OC ，112622822OAC OBC OAB S S S △△△，。
中考数学总复习《反比例函数综合》专项测试卷(附答案)
中考数学总复习《反比例函数综合》专项测试卷(附答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．若点A（1，3）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，则常数k的值为（）A．3B．﹣3C．D．2．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（3，）D．（，3）3．如果点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（）A．y1＞y3＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．如图，反比例函数与正比例函数y＝ax（a≠0）相交于点和点B，则点B的坐标为（）A．B．C．D．5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知反比例函数，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（﹣3，2）B．图象分别位于第二、四象限内C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大D．x≥﹣1时，y≥67．反比例函数y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜2C．m＜D．m＞28．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞39．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．10．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值是（）A．1B．2C．4D．8二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案解析-精选5套
北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3:4，若该矩形的周长为28，则BD 的长为（）A．5B．6C．8D．10 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，△ABC=90°，A点坐标（－2，0），B点坐标为（1，1），点C在反比例函数y=k x上，则k的值为（）A．−2−√2B．−√2C．-4D．-2 3．已知函数y=k x的图象过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．(3，−2)B．(−2，3)C．(1，−6)D．(−6，−1)4．若反比例函数y＝k+2x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜－2B．k＞－2C．k＜2D．k＞25．在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，一定能使y2−y1x2−x1<0成立的是（）A．y=3x−1(x<0)B．y=−x2+2x−1(x>0)C．y=−√3D．y=x2−4x−1(x<0)x(x>0)6．若双曲线y=k x（k<0），经过点A(−1，y1)，B(−3，y2)，则y1与y2的大小关系为（）A．y1<y2B．y1>y2C．y1=y2D．无法比较y1与y2的大小7．汽车以60千米／时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米／时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．函数y=−1x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若0＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定9．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0.你认为其中正确的信息是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．②③④⑤10．已知A（x1，y1）和B（x2，，y2）是反比例函数y=8x的上的两个点，若x2＞x1＞0，则（）A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．0＞y1＞y2D．0＞y2＞y1二、填空题11．如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，△DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG 的交点），则图③中△DHF=°12．已知x=2−√5是一元二次方程x2−4x+m=0的一个根，则m=，方程的另一个根是.13．在▱ABCD中，∠A=30°，AD=4√3，连接BD，若BD=4，则线段CD 的长为.14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠D=90°，AC=25，AD=24.若点E是AB边上一动点，则CE的最小值为．15．直线y=2x﹣4与x轴的交点坐标是三、解答题16．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为（1，3），B点的横坐标为﹣3．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出使得kx+b<mx时x的取值范围．17．如图，在△ABC中，AB=AC，BD△AC于D，若△ABC=72°，求△ABD的度数．四、综合题18．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x 轴上点B(2,0)．（1）求直线y＝kx＋b的解析式；（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积；（3）直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．19．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？20．如图，直线y＝12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得△DBA＝2△BAC，求D点的坐标；（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．21．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球个；（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球个或减少黑球个．答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】57 12．【答案】-1；2+√5 13．【答案】4或8 14．【答案】7 15．【答案】（2，0）16．【答案】（1）解：将点 A （1，3）代入 ，解得：m ＝3．∴反比例函数解析式为y =3x．∵点 B 的横坐标为﹣3， ∴点 B 坐标（﹣3，﹣1）．把 A （1，3），B （﹣3，﹣1）代入 y ＝kx+b 得：{k +b =3−3k +b =−1解得：{k =1b =2∴一次函数的解析式为 y ＝x+2；（2）解：由图象可知 kx+b ＜mk 时，x ＜﹣3 或 0＜1 17．【答案】解：∵BD△AC 于D ，∴△BDC=90°，∵△B=72°，AB=AC，∴△A=36°，∴△ABD=90°﹣△A=54°18．【答案】（1）解：把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得{−k+b=22k+b=0，∴k＝－23，b＝43，∴一次函数的解析式是y＝－23x＋43；（2）解：设直线AB与y轴交于点C，则C(0，43)，∴S△ABC＝12×43×1＝23；（3）解：不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1. 19．【答案】（1）x﹣60；400﹣2x（2）解：由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元20．【答案】（1）解：y＝12x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c，得{c=2−12×(−4)2−4b+c=0，解得{b=−32c=2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣12x2﹣32x+2（2）解：取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD△AB′交抛物线于点D，∵B、B′关于x轴对称，∴AB＝AB′，△BAB′＝2△BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣1 2，则BD：y＝﹣12x+2，解{y=−12x+2y=−12x2−32x+2得{x1=0y1=2，{x2=−2y2=3，∴D（﹣2，3）（3）解：∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，∴B1O1△x轴，O1C1△y轴，当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2，解得x＝﹣5 2，则B1（﹣52，218）；当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，则B1（﹣3，2），∴B1的坐标为（﹣52，218）或（﹣3，2）．21．【答案】（1）0.6（2）30（3）10；10北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（）A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角2．如图，在同一直角坐标系中，函数y=kx与y=k x(k≠0)的图象大致是（）.A．①②B．①③C．②④D．③④3．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= k x图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝−4x的图象上，若x1＜x2，则下列关于y1、y2大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定5．对于双曲线y= 1−mx，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0B．m＞1C．m＜0D．m＜1 6．若点A(−2，y1)，B(−1，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y2>y 3>y17．函数y=x+m与y= mx（m≠0）在同一坐标系内的图像可以是（）A．B．C．D．8．若点A(−1,y1),B(2,y1),C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图像上，则y1,y2,y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y 2>y19．一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．若点A(−3，y1)，B(−2，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y3>y 2>y1二、填空题11．长方形ABCD中,△ADB=20°,现将这一长方形纸片沿AF折叠,当折痕AF与AB的夹角△BAF为时, AB′∥BD.12．点(α，β)在反比例函数y=kx的图像上，其中α，β是方程x2−2x−8=0的两根，则k= ．若点A(−1，y1)，B(−14，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y=k x的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是．13．如图，点D是△ ABCD内一点，CD△x轴，BD△y轴，BD＝√2，△ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过A、D两点，则k的值是．14．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑米．15．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x，y=3x，y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是.三、解答题16．已知反比例函数y=k x过点P（2，﹣3），求这个反比例函数的解析式，并在直角坐标系中作出该函数的图象．17．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求BC边上的高线AD的长。
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数(含解析)
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+m 的图象与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）连接AO 、BO ，求△AOB 的面积．2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.（1）求出这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？3．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．（1）则 ， ， （2）观察图像，请直接写出满足的取值范围．（3）若Q 为y 轴上的一点，使最小，求点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，内切于，反比例函数的图象经过点P ，交直线于点C ，D （C 在点D 的左侧）.kx()P kPa ()3mV 30.8m V =120kPa P =128kPa ()10ky k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，k =b =n =12y y ≥QA QB +364y x =-+P ABO ()0ky x x=>AB（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线交于点E ，求的面积.5．如图1，点A （1，0），B （0，m ）都在直线y ＝﹣2x+b 上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x轴上，AD=3，反比例函数（x>0）的图象经过点C ．（1）求k 的值；（2）将图1的线段CD 向右平移n 个单位长度（n≥0），得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数（x>0）的图象交于点M ．①在平移过程中，如图2，若点M 为EF 的中点，求△ACM 的面积；②在平移过程中，如图3，若AM ⊥EF ，求n 的值．6．如图，点A 是反比例函数图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点，点C 的坐标为，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q CDE ky x=ky x=()0ky k x=>()10B ，()10-，AD =()0ky x x=>为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标； （3）若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC ，请直接写a 的取值范围.7．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？8．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A （x 1，y 2），B （x 2，y 2）两点，在线段AB 上选取一点P ，过点P 作y 轴的平行线交反比例函数图象于点 O （如图1）.在点P 移动的过程中，发现PO 的长度随着点P 的运动而变化.为了进一步研究 PO 的长度与点P 的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶（1）设点P 的横坐标为x ，PQ 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 （x 1<x<x 2）；（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象；①列表∶()M a b ，ky x=1y x=5y x =-+x 1234ym3n表中 m ＝ ，n ＝；②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线∶请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象，当x ＝时，y 的最大值为；（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m ，n ，且该矩形的周长 W 与n 存在函数关系，求 m 取最大值时矩形的对角线长.9．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M 的坐标．10．若关于x 的函数y ，当时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”.（1）①若函数，当时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数（，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；（3）若函数，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值.若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.11．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为1x 13122x 535234220W n=-+1y x =+()0my x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=1122t x t -≤≤+2M Nh -=4044y x =1t =y kx b =+0k ≠21y x x=≥（）24y x x k =-++原来的2倍，设原矩形的一边加长a 米，另一边长加长b 米，可得a 与b 之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y ＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y ＝﹣2的自变量x 的取值范围是 ，这个函数值y 的取值范围是 ．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y ＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y ＝﹣2的图象，画出函数y ＝|﹣2|的图象；（3）结合函数y ＝|﹣2|的图象解答下列问题：①求出方程|﹣2|＝0的根；②如果方程|﹣2|＝a 有2个实数根，请直接写出a 的取值范围．12．如图，抛物线与x 轴交于两点（在的左边），与y 轴交于C ，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1．123a +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +23y ax bx =++A B 、A B 3tan CAB ∠=(0)ky k x=≠23y ax bx =++D D（1）求抛物线和双曲线的解析式．（2）点P 为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P 的坐标，并求出这个最大值．（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q ，使得，请求出点Q 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；（2）在第三象限内的B 点右侧的反比例函数图象上取一点P ，连接且满足．i ）求点P 的坐标；ii ）过点A 作直线，在直线l 上取一点Q ，且点Q 位于点A 的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由．14．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数图像的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．15．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A （2，a ），B 两点.BP CP 、ABPC QB QC =xOy y kx b =+my x=(14)A ，(4)B n -，PA PB ，15PAB S = l PB BQ QAB ABP (0)n n ≥1133⎛⎫⎪⎝⎭，y x =12(21)，2y x =122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(11)--，(11)，1y x=31y ax a =-+2()21y x n n =---+(0)ky k x=≠1y x =-（1）求反比例函数的表达式及A ，B 两点的坐标；（2）M 是x 轴上一点，N 是y 轴上一点，若以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M 的坐标；（3）如图2，反比例函数的图象上有P ，Q 两点，点P 的横坐标为，点Q 的横坐标与点P 的横坐标互为相反数，连接，，，.若的面积是的面积的3倍，求m 的值.16．如图，直线AC 与双曲线交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ，直线AD 与x 轴交于点D （－11，0），（1）请直接写出m ，n 的值；（2）若点E 在x 轴上，若点F 在y 轴上，求的最小值；（3）P 是直线AD 上一点，Q 是双曲线上一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ACQP 是正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H 点”.（1）点 和它的“H 点”均在直线 上，求k 的值；AB ky x=(2)m m >AP AQ BP BQ ABQ ABP ()60y k x=≠AF EF BE ++()m n ，y kx a =+（2）若直线 经过的A ，B 两点恰好是一对“H 点”，其中点A 还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A ，B 两点，求该抛物线的解析式；（3）已知 ，B 为抛物线 上的一对“H 点”，且满足：， ，点P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P 满足△PAB 的面积为16，求 的值.18．已知：如图，一次函数y ＝-2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），点A 横坐标为4.（1）求反比例函数解析式及点B 的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x 的不等式-2x+10-＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．如图，反比例函数与一次函数相交于点A （1，4）和点B （4，1），直线 的图象与y 轴和x 轴分别相交于点C 和点D ；（1）请直接写出当时自变量x 的取值范围；（2）将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF ，直线EF 与x 和y 轴分别交于点E 和点F ，抛物线过点A 、D 、E 三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；3y kx =+2y x=2y x bx c =++()()A m n m n <，()20y ax bx c a =++≠2m n +=3mn =-a b c ++kxkx()110k y x x=>22y k x n =+2y 12y y ≥22y k x n =+2y ax bx c =++（3）在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PBF 是以BF 为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P 所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E 、F （E 、F 不与A 重合），沿着将矩形折叠使A 、D 重合．（1）当点E 为中点时，求点F 的坐标，并直接写出与对角线的关系；（2）如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；②当平分时，直接写出k 的值．21．如图1，四边形为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．（1）求点C 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿x 轴向右平移m 个单位长度得到正方形A ′B ′C ′D ′，点A ′恰好落在反比例函数的图象上，求n 值．（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P ，使以点O ，A ′，B ′，P 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．xOy (43)A -，(0)ky k x=<ABOC AC AB EF ABOC AC EF BC CD CDE CD ACO ∠ABCD 4OA =2OB =()0ky k x=≠2ABCD22．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0）、B （0，6）是矩形OACB 的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x ＞0）经过AC 的中点D ，点E 是矩形OACB 与双曲线y ＝的另一个交点．（1）点D 的坐标为 ，点E 的坐标为 ；（2）动点P 在第一象限内，且满足S △PBO ＝S △ODE ．①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点，使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q 的坐标．23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k 为常数且）的图象交于A ，B 两点，其中，直线与y 轴、x 轴分别交于C ，D 两点．kxkx561y k x b =+2k y x=()41A -，()4B m ，1k 2k b 1y k x b =+m 2k y x=m P y PAB 3P 4y x =+ky x=0k ≠()13A -，4y x =+（1）求反比例函数的表达式；（2）在x 轴上找一点P ，使的值最小，并求满足条件的点P 的坐标；（3）在坐标平面中是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．PA PB COD答案解析部分1．【答案】（1）解：把点A （1，2）代入y ＝-x+m ，得-1+m ＝2，∴m ＝3，∴一次函数解析式为y ＝﹣x+3；把点A （1，2）代入y ＝，∴k ＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y ＝；（2）解：联立方程组{y ＝−x +3y ＝2x ， 解得或，∴B （2，1），设直线y ＝﹣x+3与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∴S △AOB =S △COB -S △COA =×3×2-×3×1=1.5.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，再求出直线与y 轴的交点C 的坐标，再利用S △AOB =S △COB -S △COA ，根据三角形的面积公式进行计算即可.2．【答案】（1）解：设P 与V 之间的函数表达式为，当时，，所以，∴，∴P 与V 之间的函数表达式为；（2）解：当时，，∴，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F 的值，则解析式可k x 2x12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩1212F P V=0.8V =120P =1200.8F =96F =96P V =128P ≤96128V ≤0.75V ≥30.75m F P V=求解；（2）由题意可得关于V 的不等式，解这个不等式可求解.3．【答案】（1）3；4；1（2）解：0＜x≤1或x≥3（3）解：作A 关于y 轴的对称点，连接，如图，∵，∴A 关于y 轴的对称点A ′(−1，3)．设直线的解析式为，将A ′(−1，3)，代入可得：∴，解得：．∴直线的解析式为，令，则，∴．【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，∴，，∴，，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；将点代入得；故答案为：3，4，1（2）解：由图像可得：满足的取值范围是或；A 'A B '()13A ，A B 'y ax c =+()31B ，331a c a c -+=⎧⎨+=⎩1252a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A B '1522y x =-+0x =52y =502Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10k y k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，3k =31b =-+3k =4b =13y x =24y x =-+()3B n ，13y x=1n =12y y ≥01x <≤3x ≥【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入求出k 、n 的值，再将点A 的坐标代入求出b 的值即可； （2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；（3）作A 关于y 轴的对称点，连接，利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入解析式求出y 的值，可得点Q 的坐标。
中考数学反比例函数综合题附答案.doc
中考数学反比例函数综合题附答案一、反比例函数1．如图，四边形OP1A1B1、 A1P2A2B2、 A2P3 A3B3、、 A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、 A2 A3、、A n﹣1 A n都在y轴上（ n≥1的整数），点P1（ x1，y1），点P2（x2，y2），， P n（ x n， y n）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，并已知B1（﹣ 1，1）．（1）求反比例函数 y= 的解析式；（2）求点 P2和点 P3的坐标；（ 3）由（ 1）、（ 2）的结果或规律试猜想并直接写出：△ P n B n O的面积为________ ，点P n的坐标为 ________ （用含【答案】（1）解：在正方形则B1与 P1关于 y 轴对称，∵B1（﹣ 1，1），∴P1（ 1，1）．n的式子表示）．OP1A1B1中， OA1是对角线，则 k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、 P3B3，分别交 y 轴于点 E、 F，又点 P1的坐标为（ 1， 1），∴OA1=2，设点 P2的坐标为（ a，a+2），代入 y= 得 a= -1，故点 P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2 -2， OA2=OA1+A1A2=2 ，设点 P3的坐标为（ b， b+2），代入 y= （ >0）可得 b= - ，故点 P3的坐标为（- ，+ ）（3） 1；（ - ，+ ）【解析】【解答】解：（ 3）∵=2 =2× =1，=2 =2× =1，∴△ P n B n O 的面积为1，由 P1（ 1， 1）、 P2（﹣ 1，+1）、 P3（﹣，+ ）知点 P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为： 1、（﹣，+ ）．【分析】（ 1）由四边形 OP1 1 1 1 1 1A B 为正方形且OA 是对角线知 B 与 P 关于 y 轴对称，得出点 P1（1， 1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接 P2B2、 P3B3，分别交 y 轴于点 E、 F，由点 P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（ a， a+2），代入解析式求得 a 的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得 S△P1 B1 O、 S△P2B2O 的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可 .2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
典型中考反比例函数大题汇编(附答案-详解)
一．解答题（共20小题）1．（2012•资阳）已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．2．（2012•重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B 的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．3．（2012•肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=﹣6时反比例函数y的值；②当时，求此时一次函数y的取值范围．4．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．5．（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_________；（2）若点C的左标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．6．（2012•义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．7．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．（1）求线段AB的长；（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．8．（2012•厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k1x+b与双曲线（k2＞0）的交点．（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM=BM，求点B的坐标．（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线（k2＞0）于点N．当取最大值时，有PN=，求此时双曲线的解析式．9．（2012•咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．10．（2012•天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．11．（2012•泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．12．（2012•南昌）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？13．（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2012•济南）如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．15．（2011•攀枝花）如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．16．（2010•义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．17．（2010•广州）已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．18．（2010•北京）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．19．（2012•河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y=（x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）．20．（2012•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．（1）求经过点C的反比例函数的解析式；（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．答案与评分标准一．解答题（共20小题）1．（2012•资阳）已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换。
中考数学反比例函数综合题汇编附答案解析
中考数学反比例函数综合题汇编附答案解析一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.5．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。
初中数学反比例函数中考试题汇编及答案解析
初中数学反比例函数中考试题汇编及答案解析(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--初中数学反比例函数中考试题汇编及答案解析1．已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是反比例函数y=上的三点，若x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，则下列关系式不正确的是（ ）A ．x 1•x 2＜0B ．x 1•x 3＜0C ．x 2•x 3＜0D ．x 1+x 2＜02． 如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y=上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为（ ）A ．25B ．18C ．9D ．93. 已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y=kx ﹣k 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 位于第一象限的点E 在反比例函数y=的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO=EF ，△EOF 的面积等于2，则k=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣25. 下列说法中不正确的是（ ）A ．函数y=2x 的图象经过原点B ．函数y=的图象位于第一、三象限C ．函数y=3x ﹣1的图象不经过第二象限D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大6. 如图5，在反比例函数2y x=-的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图5y x B OC A 图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为 ()A 2()B 4()C 6 ()D 87. 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣cA ．B ． D ．8. 函数y=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ，n ）在函数y=（x ＞0）的图象上，当m ＞1时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小10.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为，则表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案1.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．2.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行线的性质；等边三角形的性质．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5），点E的坐标为（，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴．设=n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5+5n，5﹣5n）．∵点C、D均在反比例函数y=图象上，∴，解得：．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．3.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，确定反比例函数y=（k≠0）中k 的符号，然后再确定一次函数y=kx ﹣k 的图象所在象限．【解答】解：∵当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，∴k ＞0，∴﹣k ＜0，∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，∴不经过第二象限，故选：B ．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k 的符号．4.【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】此题应先由三角形的面积公式，再求解k 即可．【解答】解：因为位于第一象限的点E 在反比例函数y=的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO=EF ，△EOF 的面积等于2， 所以，解得：xy=2，所以：k=2，故选：B【点评】主要考查了反比例函数系数k 的几何意义问题，关键是由三角形的面积公式，再求解k ．5.【考点】正比例函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：A 、函数y=2x 的图象经过原点，正确，不合题意；B 、函数y=的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；C 、函数y=3x ﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；D 、函数y=﹣的值，在每个象限内，y 随x 的值的增大而增大，故错误，符合题意． 故选：D ．6.答案：D解析：连结CO ，由双曲线关于原点对称，知AO ＝BO ，又CA ＝CB ，所以，CO ⊥AB ，因为tan 2CAB ∠=，所以，CO AO ＝2 作AE ⊥x 轴，CD ⊥x 轴于E 、D 点。
2024年中考数学真题汇编专题13 反比例函数及其应用+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题13 反比例函数及其应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠与一次函数2y x =−的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ） A ．3−B ．1−C ．1D ．32．（2024·重庆·中考真题）反比例函数10y x=−的图象一定经过的点是（ ） A ．()1,10B ．()2,5−C ．()2,5D ．()2,83．（2024·天津·中考真题）若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x −都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．132x x x << C ．321x x x <<D ．213x x x <<4．（2024·广西·中考真题）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在反比例函数2y x=的图象上，若120x x <<，则有（ ）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．120y y <<5．（2024·浙江·中考真题）反比例函数4y x=的图象上有()1,P t y ，()24,Q t y +两点．下列正确的选项是（ ）A ．当4t <−时，210y y <<B ．当40t −<<时，210y y <<C ．当40t −<<时，120y y <<D ．当0t >时，120y y <<6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x 度，则能使用y 天．下列说法错误的是（ ） A ．若5x =，则100y = B ．若125y =，则4x =C ．若x 减小，则y 也减小D ．若x 减小一半，则y 增大一倍7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++−=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．（2024·重庆·中考真题）已知点()3,2−在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（ ） A ．3−B ．3C ． 6−D ．69．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数k y x=的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，2OE AE =，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是（ ）A ．25B ．35C ．45D ．8510．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A ．4.5B ．3.5C ．3D ．2.511．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．412．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0ky k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0ky k x x=>>的图象交于点C ．若BC B 的坐标是（ ）A ．(B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A 、B 及AC 的中点M ，BC x ∥轴，AB 与y 轴交于点N ．则ANAB的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．25二、填空题14．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()13,y 和()23,y −，则12y y +的值是 .15．（2024·云南·中考真题）已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n = ． 16．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线()10y ax b a =+≠与双曲线()20ky k x=≠交于点()1,A m −，()2,1B −．则满足12y y ≤的x 的取值范围 ．17．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为 ．18．（2024·陕西·中考真题）已知点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=−的图象上，若01m <<，则12y y + 0．19．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数ky x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是 ．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数(0)ky x x=<的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，OC 在x 轴上，若点()1,3B −，3ABCOS=，则实数k 的值为 ．21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数12y x =，23y x=−，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值是a ，函数2y 的最大值是b ，则b a = ． 22．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数1k y x−=的图象在第一、三象限，则点()3k −,在第 象限． 23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．24．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()5,0，()2,6，过点B 作BC x ∥轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且2BD AD =．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是 ．25．（2024·四川广元·中考真题）已知y =与()0ky x x=>的图象交于点()2,A m ，点B 为y 轴上一点，将OAB 沿OA 翻折，使点B 恰好落在()0ky x x=>上点C 处，则B 点坐标为 ．26．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，4tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x=上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k = ．27．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，(1,0)A ，(0,2)C ．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B ''（点A 平移后的对应点为A '），A B ''交函数(0)ky x x=>的图象于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，则下列结论：①2k =；②OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；③A E ' ④B BD BB O ''∠=∠．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①3y x =−+；②2y x=；③221y x x =−+−． （2）若一次函数3y mx m =−图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为 ．三、解答题29．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数y ax =的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y ax b =+的图象，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()24A ，．过点()02B ，作x 轴的平行线分别交y ax b =+与()0ky x x=>的图象于C ，D 两点．(1)求一次函数y ax b =+和反比例函数ky x=的表达式； (2)连接AD ，求ACD 的面积．30．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数y x b =−+和反比例函数9y x=的图象相交于点()1,A m ，(),1B n ．(1)求点A ，点B 的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式9x b x−+>的解集． 31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）． (2)当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．32．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与ky x=部分自变量与函数值的对应关系：(1)求a 、b 的值，并补全表格； (2)结合表格，当2y x b =+的图像在ky x=的图像上方时，直接写出x 的取值范围． 33．（2024·湖北·中考真题）一次函数y x m =+经过点()3,0A −，交反比例函数ky x=于点(),4B n ．(1)求m n k ，，； (2)点C 在反比例函数ky x=第一象限的图象上，若AO OB C A S S <△△，直接写出C 的横坐标a 的取值范围． 34．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数112y x =与反比例函数()20ky x x=>的图象交于点()2A m ，．(1)求反比例函数的解析式； (2)把直线112y x =向上平移3个单位长度与()20ky x x=>的图象交于点B ，连接,AB OB ，求AOB 的面积． 35．（2024·贵州·中考真题）已知点()1,3在反比例函数ky x=的图象上． (1)求反比例函数的表达式；(2)点()3,a −，()1,b ，()3,c 都在反比例函数的图象上，比较a ，b ，c 的大小，并说明理由．36．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 37．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．(1)求m 、n 的值和一次函数的表达式；(2)连接AB ，求点C 到线段AB 的距离．38．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与反比例函数()0my x x=>的图象交于点()1,6A ，(),2B n ，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 在y 轴上，当PAB 的周长最小时，请直接写出点P 的坐标；(3)将直线AB 向下平移a 个单位长度后与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，当12EF AB =时，求a 的值． 39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y kx =与双曲线4y x=−交于A ，B 两点，已知A 点坐标为(),2a ．(1)求a ，k 的值；(2)将直线y kx =向上平移()0m m >个单位长度，与双曲线4y x=−在第二象限的图象交于点C ，与x 轴交于点E ，与y 轴交于点P ，若PE PC =，求m 的值． 40．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数1ky x=和一次函数2y mx n =+的图象相交于点()3,A a −，3,22B a ⎛⎫+− ⎪⎝⎭两点，O 为坐标原点，连接OA ，OB ．(1)求1ky x=与2y mx n =+的解析式；(2)当12y y >时，请结合图象直接写出自变量x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．41．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．(1)已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N −，()30,2N −中，是点M 等和点的有_____； (2)若点()3,2M −的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值； (3)已知，双曲线1ky x=和直线22y x =−，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x −<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =−上，求点P 的坐标．2024年中考数学真题汇编专题13 反比例函数及其应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠与一次函数2y x =−的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ） A ．3− B ．1− C ．1 D ．32．（2024·重庆·中考真题）反比例函数10y x=−的图象一定经过的点是（ ） A ．()1,10 B ．()2,5− C ．()2,5 D ．()2,83．（2024·天津·中考真题）若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x −都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<【详解】解：50k =>5y x=的图象分布在第一、三象限，在每一象限点()3,5C x ，都在反比例函数(),1x −在反比例函数4．（2024·广西·中考真题）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在反比例函数2y x=的图象上，若120x x <<，则有（ ）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．120y y <<【详解】解： 5．（2024·浙江·中考真题）反比例函数4y x=的图象上有()1,P t y ，()24,Q t y +两点．下列正确的选项是（ ）A ．当4t <−时，210y y <<B ．当40t −<<时，210y y <<C ．当40t −<<时，120y y <<D ．当0t >时，120y y <<6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x 度，则能使用y 天．下列说法错误的是（ ） A ．若5x =，则100y = B ．若125y =，则4x =C ．若x 减小，则y 也减小D ．若x 减小一半，则y 增大一倍7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++−=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．（2024·重庆·中考真题）已知点()3,2−在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（ ） A ．3− B ．3C ． 6−D ．69．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数ky x=的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，2OE AE =，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是（ ）A ．25B ．35C ．45D ．85EM AC ，设，由OME OCA ∽，可得O O F OBDCFA D SSS ++四边形，列方程，即可得出k 的值．【详解】过点E 作EM OC ⊥，则EM AC ，∴OME OCA ∽， ∴OM EM OEOC AC OA== 设k E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵2OE AE = 2OM EM ==， OBDOCFS SS ++四边形3322k a a⋅⋅，解得：10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A ．4.5B ．3.5C ．3D ．2.5，证明AFE ODE ∽，有OD 1122DF a ==，AF =【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥设12,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥∴AF y ∥轴，DF =∴AFE ODE ∽， AF AE EFOD OE DE==， E 为AO 的中点， AE OE =， 1AF AE EFOD OE DE===ABES=故选：A ．11．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．412．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0ky k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0ky k x x=>>的图象交于点C ．若BC B 的坐标是（ ）A ．(B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,∵()4,2A ，∴4OE =，222425OA =+=∴42sin 525OE OAE OA ∠===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A 、B 及AC 的中点M ，BC x ∥轴，AB 与y 轴交于点N ．则ANAB的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．25【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出A 、B 两点的坐标，利用D ，M 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过A 作BC 的垂线垂足为D ，BC 与y 轴交于E 点，如图，二、填空题14．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()13,y 和()23,y −，则12y y +的值是 . 【答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．15．（2024·云南·中考真题）已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n = ． 【详解】解：点16．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线()10y ax b a =+≠与双曲线()20ky k x=≠交于点()1,A m −，()2,1B −．则满足12y y ≤的x 的取值范围 ．【答案】10x −≤<或2x ≥【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当10x −≤<或2x ≥时，12y y ≤， ∴满足12y y ≤的x 的取值范围为10x −≤<或2x ≥， 故答案为：10x −≤<或2x ≥．17．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为 ． 【答案】18018．（2024·陕西·中考真题）已知点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=−的图象上，若01m <<，则12y y + 0．19．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数ky x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是 ． 【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小， ∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数(0)ky x x=<的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，OC 在x 轴上，若点()1,3B −，3ABCOS=，则实数k 的值为 ．ABCOS =【详解】ABCO 是平行四边形纵坐标相同()1,3B − A ∴的纵坐标是3 A 在反比例函数图象上∴将3y =,33k A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭AB ∴=−ABCOS=3AB ∴⨯即：1⎛−− ⎝解得：k =故答案为：21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数12y x =，23y x=−，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值是a ，函数2y 的最大值是b ，则b a = ． 【详解】解：函数23y x =−12b a −∴=故答案为：22．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数1k y x−=的图象在第一、三象限，则点()3k −,在第 象限．23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．24．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()5,0，()2,6，过点B 作BC x ∥轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且2BD AD =．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是 ．OCEOADSS−即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．x ⊥轴于M ，作12OCEOADS S−=⨯25．（2024·四川广元·中考真题）已知y =与()0ky x x=>的图象交于点()2,A m ，点B 为y 轴上一点，将OAB 沿OA 翻折，使点B 恰好落在()0ky x x=>上点C 处，则B 点坐标为 ．Rt tan AHO ，130=︒，B 为y 轴上一点，将OAB 沿OA 2130=∠=OB ， 390=︒−∠︒， 3m m，26．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，4tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x=上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k = ．27．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，(1,0)A ，(0,2)C ．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B ''（点A 平移后的对应点为A '），A B ''交函数(0)k y x x=>的图象于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，则下列结论：①2k =；②OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；③A E ' ④B BD BB O ''∠=∠．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 的几何意义可得OBD 的面积等于四边形为矩形，可得当OD 合题意；如图，设平移距离为n ，可得，证明B BD A OB '''∽，可得，(0,2)C ，四边形∵1212AOBA ODS S'==⨯=， ∴BOKAKDA SS '=四边形，BOK BKD BKD AKDA S S S S '+=+四边形，∴OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；故②符合题意；如图，连接A E '，∵DE y ⊥轴，DA O EOA '∠=∠∴四边形A DEO '为矩形，∴A E OD '=，∴当OD 最小，则A E '最小，设()2,0D x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴B BD A OB '''∽，∴B BD B OA '''∠=∠，∵B C A O ''∥，∴CB O A OB '''∠=∠，∴B BD BB O ''∠=∠，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；①3y x =−+；②2y x=；③221y x x =−+−． （2）若一次函数3y mx m =−图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为 ．三、解答题29．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数y ax =的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y ax b =+的图象，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点()24A ，．过点()02B ，作x 轴的平行线分别交y ax b =+与()0k y x x=>的图象于C ，D 两点．(1)求一次函数y ax b =+和反比例函数k y x=的表达式； (2)连接AD ，求ACD 的面积．30．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数y x b =−+和反比例函数9y x=的图象相交于点()1,A m ，(),1B n ．(1)求点A ，点B 的坐标及一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出不等式9x b x−+>的解集．31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．32．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与k y x=部分自变量与函数值的对应关系：(1)求a 、b 的值，并补全表格；(2)结合表格，当2y x b =+的图像在k y x=的图像上方时，直接写出x 的取值范围．∴当2y x b =+的图像在k y x =的图像上方时，33．（2024·湖北·中考真题）一次函数y x m =+经过点()3,0A −，交反比例函数k y x =于点(),4B n ．(1)求m n k ，，；(2)点C 在反比例函数k y x=第一象限的图象上，若AO OB C A S S <△△，直接写出C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】(1)3m =，1n =，4k =；(2)1a >．34．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数112y x =与反比例函数()20k y x x=>的图象交于点()2A m ，．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线112y x =向上平移3个单位长度与()20k y x x=>的图象交于点B ，连接,AB OB ，求AOB 的面积． AOB ADO SS =，代入）解：点(4,2)A 在反比例函数图象上，8k ∴=，∴反比例函数解析式为（2）解：把直线35．（2024·贵州·中考真题）已知点()1,3在反比例函数ky x=的图象上． (1)求反比例函数的表达式；(2)点()3,a −，()1,b ，()3,c 都在反比例函数的图象上，比较a ，b ，c 的大小，并说明理由．36．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．37．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．(1)求m 、n 的值和一次函数的表达式； (2)连接AB ，求点C 到线段AB 的距离．ABCS=）点又一次函数C 点Rt ADB 中，又12ABCSBC =1322⨯⨯=⨯322CE =，即点38．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与反比例函数()0my x x=>的图象交于点()1,6A ，(),2B n ，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，当PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当12EF AB=时，求a的值．，则此时，PAB的周长最小，根据轴对称5，于是得到点8a+−，得到）解：一次函数(此时，PAB 的周长最小，点()1,6A ，()1,6E ∴−，BE 的解析式为12EF AB =39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y kx =与双曲线4y x=−交于A ，B 两点，已知A 点坐标为(),2a ．(1)求a ，k 的值；(2)将直线y kx =向上平移()0m m >个单位长度，与双曲线4y x=−在第二象限的图象交于点C ，与x 轴交于点E ，与y 轴交于点P ，若PE PC =，求m 的值． ∴FCP OEP ∴∠=∠，CFP ∠PE PC =，(AAS CFP EOP ∴≌CF OE =，OP PF =∵直线y x =−向上平移令0x =，得y m =，令(),0E m ∴，()0,P m ，双曲线40．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数1ky x=和一次函数2y mx n =+的图象相交于点()3,A a −，3,22B a ⎛⎫+− ⎪⎝⎭两点，O 为坐标原点，连接OA ，OB ．(1)求1ky x=与2y mx n =+的解析式； (2)当12y y >时，请结合图象直接写出自变量x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．12AOBAOCBOCS SSOC =+=12AOBAOCBOCSSSOC =+=41．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．(1)已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N −，()30,2N −中，是点M 等和点的有_____； (2)若点()3,2M −的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值； (3)已知，双曲线1ky x=和直线22y x =−，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x −<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =−上，求点P 的坐标．。
中考数学反比例函数综合题及答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．2．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.4．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.5．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.6．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），∵AB∥x轴，∴，∴a=﹣b；∴AB=a﹣b=2a，∴S△OAB= •2a• =3（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴OA2=OB2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，a﹣b≠0，∵a+b≠0，∴1= ，∴ab=3（舍）或ab=﹣3，即：ab的值为﹣3；（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．理由：如图，∵a≥3，AC=2，∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，∴C（a﹣2，），∴D（a﹣2， +2），设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，∴F（a﹣2，），∴FC= ﹣ = ，∴2﹣FC=2﹣ = ，∵a≥3，∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，∴≥0，∴2﹣FC≥0，∴FC≤2，∴点F在线段CD上，即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．7．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；（2）⊙O的半径是，①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2∴P（2，2）将P（2，2）代入中得n=4∴反比例函数解析式是（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时，m=b-3由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形，∴O =∴O =2∴b的最小值是-2，∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b取得最大值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点。
全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案解析
全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案解析一、反比例函数1．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.2．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），∵AB∥x轴，∴，∴a=﹣b；∴AB=a﹣b=2a，∴S△OAB= •2a• =3（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴OA2=OB2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，a﹣b≠0，∵a+b≠0，∴1= ，∴ab=3（舍）或ab=﹣3，即：ab的值为﹣3；（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．理由：如图，∵a≥3，AC=2，∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，∴C（a﹣2，），∴D（a﹣2， +2），设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，∴F（a﹣2，），∴FC= ﹣ = ，∴2﹣FC=2﹣ = ，∵a≥3，∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，∴≥0，∴2﹣FC≥0，∴FC≤2，∴点F在线段CD上，即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）解：如图，过点作，垂足为，∵，∴，设，∵ =12，∴EC=12-x，在RtΔBEC中，，∴整理得：，解得：（不合题意舍去），，∴，，∴，把代入，得（3）解：存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=2或OP=6，∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），∴P（0，4+2 ）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 ）故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：，所以，所以，；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。
2024年四川中考数学真题分类汇编——反比例函数
2024年四川中考数学真题分类汇编——反比例函数一成都如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．（1）求a ，b ，m 的值；（2）若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；（3）过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数m y x=（m 为常数，0m ≠）的图象交于点()2,3A ，(),2B a -．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点C 是x 轴正半轴上的一点．且90BCA ∠=︒．求点C 的坐标．如图，一次函数22y x =-+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点()1,A m -．（1）求m 的值和反比例函数k y x=的解析式；（2）将直线22y x =-+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)k y x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集．如图，一次函数y ax b =+（a ，b 为常数，0a ≠）的图象与反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象交于(2,4)A ，(,2)B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）直线AB 与x 轴交于点C ，点(,0)P m 是x 轴上的点，若PAC △的面积大于12，请直接写出m 的取值范围．如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+的图象相交于点()3,A a -，3,22B a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭两点，O 为坐标原点，连接OA ，OB ．（1）求1k y x=与2y mx n =+的解析式；（2）当12y y >时，请结合图象直接写出自变量x 的取值范围；（3）求AOB 的面积．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．（1）求、的值和一次函数的表达式；（2）连结，求点到线段的距离．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与x 轴相交于点()2,0A -，与反比例函数a y x=的图象相交于点()2,3B ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线()2x m m =>与反比例函数()0a y x x =>和()20y x x=->的图象分别交于点C ，D ，且2OBC OCD S S =△△，求点C 的坐标．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．如图，直线y kx b =+经过(0,2),(1,0)A B --两点，与双曲线(0)my x x =<交于点(,2)C a ．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，点P 在x 轴上，若以O ，A ，P 为顶点的三角形与BCD △相似，直接写出点P 的坐标．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()2,3-，点B 的坐标为()3,n （1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式k ax b x+<的解集十一遂宁如图，一次函数()10y kx b k =+≠的图象与反比例函数()20m y m x=≠的图象相交于()()1,3,1A B n -，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作直线OB ，交反比例函数图象于点C ，连结AC ，求ABC 的面积．十二宜宾如图，一次函数．()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()()1,4,1A B n -、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集；（3）已知点D 在x 轴上，点C 在反比例函数图象上．若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标．十三自贡如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于(6,1)A -，(1,)B n两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）P 是直线2x =-上的一个动点，PAB 的面积为21，求点P 坐标；（3）点Q 在反比例函数m y x =位于第四象限的图象上，QAB 的面积为21，请直接写出Q 点坐标．十四凉山如图，正比例函数112y x =与反比例函数()20k y x x =>的图象交于点()2A m ，．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线112y x =向上平移3个单位长度与()20k y x x =>的图象交于点B ，连接,AB OB ，求AOB 的面积．。
典型中考反比例函数大题汇编(附答案-详解)
一．解答题（共20小题）1．（2012•资阳）已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．2．（2012•重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B 的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．3．（2012•肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=﹣6时反比例函数y的值；②当时，求此时一次函数y的取值范围．4．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．5．（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_________；（2）若点C的左标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．6．（2012•义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．7．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．（1）求线段AB的长；（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．8．（2012•厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k1x+b与双曲线（k2＞0）的交点．（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM=BM，求点B的坐标．（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线（k2＞0）于点N．当取最大值时，有PN=，求此时双曲线的解析式．9．（2012•咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．10．（2012•天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．11．（2012•泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．12．（2012•南昌）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？13．（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2012•济南）如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．15．（2011•攀枝花）如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．16．（2010•义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．17．（2010•广州）已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．18．（2010•北京）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．19．（2012•河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y=（x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）．20．（2012•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．（1）求经过点C的反比例函数的解析式；（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．答案与评分标准一．解答题（共20小题）1．（2012•资阳）已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换。
人教中考数学反比例函数综合题含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.2．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【答案】（1）①当x=4时，∴点B的坐标是（4，1）当y=2时，由得得x=2∴点A的坐标是（2，2）设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，由①得点B（4，1），点D（4，5）∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为（4，3）当y=3时，由得，由得，∴PA= ，PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形（2）四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），当x=4时，∴点B的坐标是（4，）则点A的坐标是（4-t，）∴，化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为（4，）所以，整理得m+n=32【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．3．如图，直线y=2x+6与反比例函数y= （k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＜0的解集；（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A（1，m），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴k=8，∴反比例函数的解析式为y= ．（2）解：不等式2x+6﹣＜0的解集为0＜x＜1．（3）解：由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴﹣＞0∴S△BMN= |MN|×|y M|= ×（﹣）×n=﹣（n﹣3）2+ ，∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为．【解析】【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）由图象直接求得；（3）构建二次函数，利用二次函数的最值即可解决问题.4．如图，直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．【答案】（1）解：把（a，3）代入 =－，得，解得a=－2；（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－ x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO∽△OEC，∴，∵∠ACO= ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ n，OD=－ m，∴A（ n，－ m），代入y=－中，得mn=18.【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A 点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ABC为等边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而判断出△ADO∽△OEC，根据相似三角形的旋转得出,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=－ n，OD=－m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.5．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（﹣2，﹣1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）求△ABC的面积．【答案】（1）解：∵反比例函数经过点D（﹣2，﹣1），∴把点D代入y= （m≠0），∴﹣1= ，∴m=2，∴反比例函数的解析式为：y= ，∵点A（1，a）在反比例函数上，∴把A代入y= ，得到a= =2，∴A（1，2），∵一次函数经过A（1，2）、D（﹣2，﹣1），∴把A、D代入y=kx+b （k≠0），得到：，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1（2）解：如图：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q），∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4，∵点C在反比例函数上，∴q= ，∴S△ABC= BC•EN= ×（4﹣）×（3﹣1）= ．【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面积．【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，∴2= ，解得x=3，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，点A到CD的距离为6﹣2=4，联立，解得（舍去），，∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．8．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA=4，OB=3，OC=2，∴AB= =5，BC=5，∴AB=BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD为菱形（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，∴4= ，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：y=（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，∴M点的纵坐标为：﹣4= ，∴M点的坐标为：（0，）【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，∴ = ，且OB=4，∴OA=2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴ = ，即 = ，解得CE=3，∴C（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣（2）解：设D（x，﹣），∵D在第四象限，∴DF=x，OF= ，∴S△DFO= DF•OF= x× =3，由（1）可知OA=2，∴AF=x+ ，∴S△BAF= AF•OB= （x+ ）×4=2（x+ ），∵S△BAF=4S△DFO，∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，∵D在第四象限，∴x=3﹣不合题意，舍去，∴D（3+ ，3﹣）（3）解：∵D在第四象限，∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或（舍去），∴D（6，﹣1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．10．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（2）解：设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有，设OF＝x，则EF＝3x，所以FA＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝；即OF＝，F（0，）；求得直线AE为y＝﹣x+ ，联立抛物线的解析式得：，解得，；故点P（，）．（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；故M（1，﹣2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．11．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.12．综合与探究如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，∴，解得：；∴ .（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵，解得：，∴A( )，B( )，过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，∴AC= ，OC= ，在RtΔAOC中OA= ，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( )，AA′= ，∵B( )，∴A′B=2-(- )= ，又∵A( )，B( )，∴AD= ，BD= ，在RtΔABD中AB= ，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．①当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P为：；②当AB为对角线时，有，解得：，∴点P为：；③当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P为：；综合上述， , ,【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA（1）求抛物线解析式；（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M 点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值．【答案】（1）解：由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）解：如图，设直线AC解析式为y＝kx+d∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得，∴直线AC解析式为y＝x+3，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝﹣m2﹣m，MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝．【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；14．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=10，求点E的坐标．【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y= ，得m=12，则y= ．把点B（n，1）代入y= ，得n=12，则点B的坐标为（12，1）．由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，解得，则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7）．∴PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，∴×|m﹣7|×（12﹣2）=10．∴|m﹣7|=2．∴m1=5，m2=9．∴点E的坐标为（0，5）或（0，9）．【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E 的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标．15．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x 轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴A（0，4），∴OA=4，当y=0时，- x+4=0，x=3，∴B（3，0），∴OB=3，由勾股定理得：AB=5（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，tan∠OAB= ，∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，∴M（3x，-4x+4），由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°，∴∠EAM+∠HAN=90°，∵∠EAM+∠AME=90°，∴∠HAN=∠AME，∵∠AHN=∠AEM=90°，∴△AHN≌△MEA，∴AH=EM=3x，∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴，∴NG=OH，则5x=3x+4，2x=4，x=2，∴M（6，-4）；②如图2，由①知N（8，10），∵AN=DN，A（0，4），∴D（16，16），设直线DM：y=kx+b，把D（16，16）和M（6，-4）代入得：，解得：，∴直线DM的解析式为：y=2x-16，∵直线DM交x轴于E，∴当y=0时，2x-16=0，x=8，∴E（8，0），由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），∴E与切点G重合，∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE，∵∠QNA=∠DNF，∴∠NFD=∠QAN=90°，∵AO∥NE，∴△ACO∽△NCE，∴，∴，∴CO= ，连接BN，∴AB=BE=5，∵∠BAN=∠BEN=90°，∴∠ANB=∠ENB，∵EN=ND，∴∠NDE=∠NED，∵∠CNE=∠NDE+∠NED，∴∠ANB=∠NDE，∴BN∥DE，Rt△ABN中，BN= ，sin∠ANB=∠NDE= ，∴，∴NF=2 ，∴DF=4 ，∵∠QNA=∠DNF，∴tan∠QNA=tan∠DNF= ，∴，∴AQ=20，∵tan∠QAH=tan∠OAB= ，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，∴5x=20，x=4，∴QH=3x=12，AH=16，∴Q（-12，20），同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14，∴P（0，14）；ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，∴∠APN=∠CDE，∵∠ANB=∠CDE，∵AP∥NG，∴∠APN=∠PNE，∴∠APN=∠PNE=∠ANB，∴B与Q重合，∴AN=AP=10，∴OP=AP-OA=10-4=6，∴P（0，-6）；综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= ，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= ，根据三角函数得：tan∠QNA=tan∠DNF= ，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB= ，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.。
2024年中考数学《反比例函数及其应用》真题含解析
专题反比例函数及其应用(41题)一、单选题1.(2024·安徽·中考真题)已知反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为()A.-3B.-1C.1D.3【答案】A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出y=2-3=-1，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3，∴y=2-3=-1，∴-1=k3，∴k=-3，故选：A2.(2024·重庆·中考真题)反比例函数y=-10x的图象一定经过的点是()A.1,10B.-2,5C.2,5D.2,8【答案】B【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．【详解】解：解：当x=1时，y=-101=-10，图象不经过1,10，故A不符合要求；当x=-2时，y=-10-2=5，图象一定经过-2,5，故B符合要求；当x=2时，y=-102=-5，图象不经过2,5，故C不符合要求；当x=2时，y=-102=-5，图象不经过2,8，故D不符合要求；故选：B．3.(2024·天津·中考真题)若点A x1,-1,B x2,1,C x3,5都在反比例函数y=5x的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x3<x2<x1D.x2<x1<x3【答案】B【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．【详解】解：∵k=5>0，∴反比例函数y =5x的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小，∵点B x 2,1 ,C x 3,5 ，都在反比例函数y =5x的图象上，1<5，∴x 2>x 3>0．∵-1<0，A x 1,-1 在反比例函数y =5x的图象上，∴x 1<0，∴x 1<x 3<x 2.故选：B ．4.(2024·广西·中考真题)已知点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数y =2x的图象上，若x 1<0<x 2，则有()A.y 1<0<y 2B.y 2<0<y 1C.y 1<y 2<0D.0<y 1<y 2【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数图象上，则满足关系式y =2x，横纵坐标的积等于2，结合x 1<0<x 2即可得出答案．【详解】解：∵点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数y =2x的图象上，∴x 1y 1=2，x 2y 2=2，∵x 1<0<x 2，∴y 1<0，y 2>0，∴y 1<0<y 2．故选：A ．5.(2024·浙江·中考真题)反比例函数y =4x的图象上有P t ,y 1 ，Q t +4,y 2 两点．下列正确的选项是()A.当t <-4时，y 2<y 1<0B.当-4<t <0时，y 2<y 1<0C.当-4<t <0时，0<y 1<y 2D.当t >0时，0<y 1<y 2【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数y =4x，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y 1与y 2的大小．【详解】解：根据反比例函数y =4x，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y 都是随着x 的增大而减小，反比例函数y =4x的图象上有P t ,y 1 ，Q t +4,y 2 两点，当t<t+4<0，即t<-4时，0>y1>y2；当t<0<t+4，即-4<t<0时，y1<0<y2；当0<t<t+4，即t>0时，y1>y2>0；故选：A．6.(2024·河北·中考真题)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是()A.若x=5，则y=100B.若y=125，则x=4C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴xy=500，∴y=500x，当x=5时，y=100，故A不符合题意；当y=125时，x=500125=4，故B不符合题意；∵x>0，y>0，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．7.(2024·四川泸州·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根，则函数y=kx与函数y=2x的图象交点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程x2+2x+1-k=0无实数根，∴Δ=4-41-k<0，解得：k<0，则函数y=kx的图象过二，四象限，而函数y=2x的图象过一，三象限，∴函数y=kx与函数y=2x的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．8.(2024·重庆·中考真题)已知点-3,2 在反比例函数y =kxk ≠0 的图象上，则k 的值为()A.-3B.3C.-6D.6【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把-3,2 代入y =kxk ≠0 求解即可．【详解】解：把-3,2 代入y =kxk ≠0 ，得k =-3×2=-6．故选C ．9.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y =kx的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，OE =2AE ，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是()A.25B.35C.45D.85【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E 作EM ⊥OC ，则EM ∥AC ，设E a ，k a ，由△OME ∽△OCA ，可得OC =32a ，AC =32⋅ka，再由S 矩形OBAC =S △OBD +S △OCF +S 四边形ODAF ，列方程，即可得出k 的值．【详解】过点E 作EM ⊥OC ，则EM ∥AC ，∴△OME ∽△OCA ，∴OM OC =EM AC =OEOA设E a ，k a ，∵OE =2AE ∴OM OC =EM AC=23，∴OC =32a ，AC =32⋅ka∴S 矩形OBAC =S △OBD +S △OCF +S 四边形ODAF =32a ⋅32⋅ka即k 2+k 2+2=32a ⋅32⋅k a ，解得：k =85故选D10.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图，双曲线y =12xx >0 经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则△AEB 的面积是()A.4.5B.3.5C.3D.2.5【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF ⊥BD ，垂足为F ，设A a ,12a ，证明△AFE ∽△ODE ，有AF OD =AE OE=EF DE ，根据E 为AO 的中点，可得AF =OD ，EF =DE ，进而有EF =DE =12DF =12a ，AF =OD =12y A =6a ，可得y B =OD =6a ，x B=2a ，则有BE =BD -DE=32a ，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF ⊥BD ，垂足为F ，设A a ,12a，a >0，∵BD ⊥y 轴，AF ⊥BD ，∴AF ∥y 轴，DF =a ，∴△AFE ∽△ODE ，∴AF OD =AE OE=EFDE ，∵E 为AO 的中点，∴AE =OE ，∴AF OD =AE OE=EFDE =1，∴AF =OD ，EF =DE ∴EF =DE =12DF =12a ，AF =OD =12y A =6a，∵OD =y B ，∴y B =OD =6a，∴xB =2a ，∴BD=x B=2a，∴BE=BD-DE=32a，∴S△ABE=12×AF×BE=12×6a×32a=92=4.5，故选：A．11.(2024·江苏扬州·中考真题)在平面直角坐标系中，函数y=4x+2的图像与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.4【答案】B【分析】根据函数表达式计算当x=0时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于4x+2的值不可能为0，即y≠0，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当x=0时，y=42=2，∴y=4x+2与y轴的交点为0,2；由于4x+2是分式，且当x≠-2时，4x+2≠0，即y≠0，∴y=4x+2与x轴没有交点．∴函数y=4x+2的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．12.(2024·吉林长春·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=k xk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=k xk>0,x>0的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是()A.0,5B.0,3C.0,4D.0,25【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出sin∠OAE、k值，再根据平移、平行线的性质证明∠DBC=∠OAE，进而根据sin∠DBC=CDBC=sin∠OAE求出CD，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定CD=2,OD=4，再运用勾股定理求得BD，进而求得OB即可解答．【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则AE∥y轴，∵A4,2，∴OE=4，OA=22+42=25，∴sin∠OAE=OEOA =425=255．∵A4,2在反比例函数的图象上，∴k=4×2=8．∴将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC，∴OA∥BC，∴∠OAE=∠BOA，∵AE∥y轴，∴∠DBC=∠BOA，∴∠DBC=∠OAE，∴sin∠DBC=CDBC =sin∠OAE=255，∴CD5=255，解得：CD=2，即点C的横坐标为2，将x=2代入y=8x，得y=4，∴C点的坐标为2,4，∴CD=2,OD=4，∴BD=BC2-CD2=1，∴OB=OD-BD=4-1=3,∴B0,3故选：B．13.(2024·四川宜宾·中考真题)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为()A.13B.14C.15D.25【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出A 、B 两点的坐标，利用D ，M 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过A 作BC 的垂线垂足为D ，BC 与y 轴交于E 点，如图，在等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC ，D 是BC 中点，设A a ,k a，B b ,kb ，由BC 中点为D ，AB =AC ，故等腰三角形ABC 中，∴BD =DC =a -b ，∴C 2a -b ,kb，∵AC 的中点为M ，∴M 3a -b 2,ka +kb 2 ，即3a -b 2,k a +b 2ab，由M 在反比例函数上得M 3a -b 2,k 3a -b2，∴k a +b 2ab=k3a -b 2，解得：b =-3a ，由题可知，AD ∥NE ，∴AN AB=DE BD =a a -b =a a +3a =14．故选：B ．二、填空题14.(2024·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，若函数y =kxk ≠0 的图象经过点3,y 1 和-3,y 2 ，则y1+y2的值是.【答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点3,y1和-3,y2代入y=kxk≠0，求得y1和y2，再相加即可．【详解】解：∵函数y=kxk≠0的图象经过点3,y1和-3,y2，∴有y1=k3,y2=-k3，∴y1+y2=k3-k3=0，故答案为：0．15.(2024·云南·中考真题)已知点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，则n=．【答案】5【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点P2,n代入y=10x求值，即可解题．【详解】解：∵点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，∴n=102=5，故答案为：5．16.(2024·山东威海·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b a≠0与双曲线y2=kxk≠0交于点A-1,m，B2,-1．则满足y1≤y2的x的取值范围．【答案】-1≤x<0或x≥2【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当-1≤x<0或x≥2时，y1≤y2，∴满足y1≤y2的x的取值范围为-1≤x<0或x≥2，故答案为：-1≤x<0或x≥2．17.(2024·湖南·中考真题)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f=kl(k为常数．k≠0)，若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为．【答案】180【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把l=0.9，f=200代入f=kl求解即可．【详解】解：把l=0.9，f=200代入f=kl，得200=k0.9，解得k=180，故答案为：180．18.(2024·陕西·中考真题)已知点A-2,y1和点B m,y2均在反比例函数y=-5x的图象上，若0<m<1，则y1+y20．【答案】</小于【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出y1=52，y2=-5m，再根据0<m<1，得出y2<-5，最后求出y1+y2<0即可．【详解】解：∵点A-2,y1和点B m,y2均在反比例函数y=-5x的图象上，∴y1=52，y2=-5m，∵0<m<1，∴y2<-5，∴y1+y2<0．故答案为：<．19.(2024·湖北武汉·中考真题)某反比例函数y=kx具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是．【答案】1(答案不唯一)【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，∴k>0故答案为：1(答案不唯一)．20.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B-1,3，S▱ABCO=3，则实数k的值为．【答案】-6【分析】本题考查了反比例函数，根据A ,B 的纵坐标相同以及点A 在反比例函数上得到A 的坐标，进而用代数式表达AB 的长度，然后根据S ▱ABCO =3列出一元一次方程求解即可．【详解】∵ABCO 是平行四边形∴A ,B 纵坐标相同∵B -1,3∴A 的纵坐标是3∵A 在反比例函数图象上∴将y =3代入函数中，得到x =k 3∴A k 3,3∴AB =-1-k 3∵S ▱ABCO =3,B 的纵坐标为3∴AB ×3=3即：-1-k 3×3=3解得：k =-6故答案为：-6．21.(2024·内蒙古包头·中考真题)若反比例函数y 1=2x ，y 2=-3x，当1≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数y 2的最大值是b ，则a b =．【答案】12/0.5【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出a 与b 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出a 与b ，再代入a b 进而得出答案．【详解】解：∵函数y 1=2x，当1≤x ≤3时，函数y 1随x 的增大而减小，最大值为a ，∴x =1时，y 1=2=a ，∵y 2=-3x ，当1≤x ≤3时，函数y 2随x 的增大而减大，函数y 2的最大值为y 2=-1=b ，∴a b =2-1=12．故答案为：12．22.(2024·四川遂宁·中考真题)反比例函数y =k -1x 的图象在第一、三象限，则点k ,-3 在第象限．【答案】四/4【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出k >1，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数y =k -1x的图象在第一、三象限，∴k -1>0∴k >1∴点k ,-3 在第四象限，故答案为：四．23.(2024·江苏扬州·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数y =k x (x >0)的图像上，BC ⊥x 轴于点C ，∠BAC =30°，将△ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为．【答案】23【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．根据∠BAC =30°，BC ⊥x ，设BC =a ，则AD =AC =3a ，由对称可知AC =AD ，∠DAB =∠BAC =30°，即可得AE =32a ，DE =32a ，解得B (1+3a ,a ),D 1+32a ,32a ，根据点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．∵点A 的坐标为(1,0)，∴OA =1，∵∠BAC =30°，BC ⊥x 轴，设BC =a ，则AD =AC =BC tan30°=3a ，由对称可知AC =AD ，∠DAB =∠BAC =30°，∴∠DAC =60°,∠ADE =30°，∴AE =32a ，DE =AD ·sin60°=32a ，∴B (1+3a ,a ),D 1+32a ,32a ，∵点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，∴k =a 1+3a =32a ⋅1+32a，解得：a =233，∵反比例函数图象在第一象限，∴k =2331+233×3 =23，故答案为：23．24.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 ，过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且BD =2AD ．反比例函数y =k x(x >0)的图象经过点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k 的几何意义，作BM ⊥x 轴于M ，作DN ⊥x 轴于N ，则DN ∥BM ，由点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 得BC =OM =2，BM =OC =6，AM =3，然后证明△ADN ∽△ABM 得DN BM =AN AM =AD AB ，求出DN =2，则ON =OA -AN =4，故有D 点坐标为4,2 ，求出反比例函数解析式y =8x ，再求出E 43,6 ，最后根据S 四边形ODBE =S 梯形OABC -S △OCE -S △OAD 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，作BM ⊥x 轴于M ，作DN ⊥x 轴于N ，则DN ∥BM ，∵点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 ，∴BC =OM =2，BM =OC =6，AM =3，∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN BM =AN AM =AD AB，∵BD =2AD ，∴DN 6=AN 3=13，∴DN =2，AN =1，∴ON =OA -AN =4，∴D 点坐标为4,2 ，代入y =k x 得，k =2×4=8，∴反比例函数解析式为y =8x，∵BC ∥x 轴，∴点E 与点B 纵坐标相等，且E 在反比例函数图象上，∴E 43,6，∴CE =43，∴S 四边形ODBE =S 梯形OABC -S △OCE -S △OAD =12×2+5 ×6-12×6×43-12×5×2=12，故答案为：12．25.(2024·四川广元·中考真题)已知y =3x 与y =k x x >0 的图象交于点A 2,m ，点B 为y 轴上一点，将△OAB 沿OA 翻折，使点B 恰好落在y =k x x >0 上点C 处，则B 点坐标为．【答案】0,4【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出A 2,23 以及y =43xx >0 ，根据解直角三角形得∠1=30°，根据折叠性质，∠3=30°，然后根据勾股定理进行列式，即OB =OC =23 2+22=4．【详解】解：如图所示：过点A 作AH ⊥y 轴，过点C 作CD ⊥x 轴，∵y =3x 与y =k xx >0 的图象交于点A 2,m ，∴把A 2,m 代入y =3x ，得出m =3×2=23，∴A 2,23 ，把A 2,23 代入y =k xx >0 ，解得k =2×23=43，∴y =43xx >0 ，设C m ，43m，在Rt △AHO ，tan ∠1=AH OH =223=33，∴∠1=30°，∵点B 为y 轴上一点，将△OAB 沿OA 翻折，∴∠2=∠1=30°，OC =OB ，∴∠3=90°-∠1-∠2=30°，则CD OD=tan ∠3=33=43m m ，解得m =23(负值已舍去)，∴C 23，2 ，∴OB =OC =23 2+22=4，∴点B 的坐标为0，4 ，故答案为：0，4 ．26.(2024·广东深圳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan ∠AOC =43，且点A 落在反比例函数y =3x 上，点B 落在反比例函数y =k x k ≠0 上，则k =．【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A 32，2 ，OA =52，再求得点B 4，2 ，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，如图，∵tan ∠AOC =43，∴AD OD =43，∴设AD =4a ，则OD =3a ，∴点A 3a ，4a，∵点A 在反比例函数y =3x 上，∴3a ⋅4a =3，∴a =12(负值已舍)，则点A 32，2，∴AD =2，OD =32，∴OA =OD 2+AD 2=52，∵四边形AOCB 为菱形，∴AB =OA =52，AB ∥CO ，∴点B 4，2 ，∵点B 落在反比例函数y =k x k ≠0 上，∴k =4×2=8，故答案为：8．27.(2024·广东广州·中考真题)如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数y =k x(x >0)的图象上，A (1,0)，C (0,2)．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B (点A 平移后的对应点为A )，A B 交函数y =k x (x >0)的图象于点D ，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，则下列结论：①k =2；②△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；③A E 的最小值是2；④∠B BD =∠BB O ．其中正确的结论有．(填写所有正确结论的序号)【答案】①②④【分析】由B 1,2 ，可得k =1×2=2，故①符合题意；如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，利用k 的几何意义可得△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；故②符合题意；如图，连接A E ，证明四边形A DEO 为矩形，可得当OD 最小，则A E 最小，设D x ,2xx >0 ，可得A E 的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，可得B n +1,2 ，证明△B BD ∽△A OB ，可得∠B BD =∠B OA ，再进一步可得答案．【详解】解：∵A (1,0)，C (0,2)，四边形OABC 是矩形；∴B 1,2 ，∴k =1×2=2，故①符合题意；2如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，05∵S △AOB =S △A OD =12×2=1，∴S △BOK =S 四边形AKDA，∴S △BOK +S △BKD =S 四边形AKDA+S △BKD ，∴△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；故②符合题意；如图，连接A E ，∵DE ⊥y 轴，∠DA O =∠EOA =90°，∴四边形A DEO 为矩形，∴A E =OD ，∴当OD 最小，则A E 最小，设D x ,2x x >0 ，∴OD 2=x 2+4x 2≥2⋅x ⋅2x =4，∴OD ≥2，∴A E 的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，∴B n +1,2 ，∵反比例函数为y =2x，四边形A B CO 为矩形，∴∠BB D =∠OA B =90°，D n +1,2n +1 ，∴BB =n ，OA =n +1，B D =2-2n +1=2n n +1，A B =2，∴BB OA =n n +1=2n n +12=B D A B，∴△B BD ∽△A OB ，∴∠B BD =∠B OA ，∵B C ∥A O ，∴∠CB O =∠A OB ，∴∠B BD =∠BB O ，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．28.(2024·四川乐山·中考真题)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1 是函数y =x +1图象的“近轴点”．(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(填序号)；①y =-x +3；②y =2x；③y =-x 2+2x -1．(2)若一次函数y =mx -3m 图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为．【答案】③-12≤m <0或0<m ≤12【分析】本题主要考查了新定义--“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．(1)①y =-x +3中，取x =y =1.5，不存在“近轴点”；②y =2x，由对称性，取x =y =±2，不存在“近轴点”；③y =-x 2+2x -1=-x -1 2，取x =1时，y =0，得到1,0 是y =-x 2+2x -1的“近轴点”；(2)y =mx -3m =m x -3 图象恒过点3,0 ，当直线过1,-1 时，m =12，得到0<m ≤12；当直线过1,1 时，m =-12，得到-12≤m <0．【详解】(1)①y =-x +3中，x =1.5时，y =1.5，不存在“近轴点”；②y =2x，由对称性，当x =y 时，x =y =±2，不存在“近轴点”；③y =-x 2+2x -1=-x -1 2，x =1时，y =0，∴1,0 是y =-x 2+2x -1的“近轴点”；∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；(2)y =mx -3m =m x -3 中，x =3时，y =0，∴图象恒过点3,0 ，当直线过1,-1 时，-1=m 1-3 ，∴m =12，∴0<m ≤12；当直线过1,1 时，1=m 1-3 ，∴m =-12，∴-12≤m <0；∴m 的取值范围为-12≤m <0或0<m ≤12．故答案为：-12≤m <0或0<m ≤12．三、解答题29.(2024·甘肃·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，将函数y =ax 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y =ax +b 的图象，与反比例函数y =k x x >0 的图象交于点A 2，4 ．过点B 0，2 作x 轴的平行线分别交y =ax +b 与y =k xx >0 的图象于C ，D 两点．(1)求一次函数y =ax +b 和反比例函数y =k x的表达式；(2)连接AD ，求△ACD 的面积．【答案】(1)一次函数y =ax +b 的解析式为y =12x +3；反比例函数y =k x x >0 的解析式为y =8xx >0 ；(2)6【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：(1)先根据一次函数图象的平移规律y =ax +b =ax +3，再把点A 的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；(2)先分别求出C 、D 的坐标，进而求出CD 的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】(1)解：∵将函数y =ax 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y =ax +b 的图象，∴y =ax +b =ax +3，把A 2，4 代入y =ax +3中得：2a +3=4，解得a =12，∴一次函数y =ax +b 的解析式为y =12x +3；把A 2，4 代入y =k x x >0 中得：4=k 2x >0 ，解得k =8，∴反比例函数y =k x x >0 的解析式为y =8xx >0 ；(2)解：∵BC ∥x 轴，B 0，2 ，∴点C 和点D 的纵坐标都为2，在y =12x +3中，当y =12x +3=2时，x =-2，即C -2，2 ；在y =8x x >0 中，当y =8x =2时，x =4，即D 4，2 ；∴CD =4--2 =6，∵A 2，4 ，∴S △ACD =12CD ⋅y A -y C =12×6×4-2 =6．30.(2024·青海·中考真题)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y =-x +b 和反比例函数y =9x 的图象相交于点A 1,m ，B n ,1 ．(1)求点A ，点B 的坐标及一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出不等式-x +b >9x的解集．【答案】(1)A 1,9 ，B 9,1 ，y =-x +10(2)x <0或1<x <9【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：(1)分别把点A 1,m ，点B n ,1 代入y =9x，可求出点A ，B 的坐标，即可求解；(2)直接观察图象，即可求解．【详解】(1)解：把点A 1,m 代入y =9x 中，得：m =91=9，∴点A 的坐标为1,9 ，把点B n ,1 代入y =9x 中，得：n =91=9，∴点B 的坐标为9,1 ，把x =1，y =9代入y =-x +b 中得：-1+b =9，∴b =10，∴一次函数的解析式为y =-x +10，(2)解：根据一次函数和反比例函数图象，得：当x <0或1<x <9时，一次函数y =-x +b 的图象位于反比例函数y =9x的图象的上方，∴-x +b >9x的解集为x <0或1<x <9．31.(2024·吉林·中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位：A )与电阻R (单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R 的取值范围)．(2)当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】(1)I =36R(2)12A【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)根据(1)所求求出当R =3Ω时I 的值即可得到答案．【详解】(1)解：设这个反比例函数的解析式为I =URU ≠0 ，把9，4 代入I =U RU ≠0 中得：4=U9U ≠0 ，解得U =36，∴这个反比例函数的解析式为I =36R；(2)解：在I =36R中，当R =3Ω时，I =363=12A ，∴此时的电流I 为12A ．32.(2024·山东·中考真题)列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y =2x +b 与y =kx部分自变量与函数值的对应关系：x -72a12x +ba1________kx________________7(1)求a、b的值，并补全表格；(2)结合表格，当y=2x+b的图像在y=kx的图像上方时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)a=-2b=5，补全表格见解析(2)x的取值范围为-72<x<0或x>1；【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；(1)根据表格信息建立方程组求解a,b的值，再求解k的值，再补全表格即可；(2)由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.【详解】(1)解：当x=-72时，2x+b=a，即-7+b=a，当x=a时，2x+b=1，即2a+b=1，∴a-b=-72a+b=1，解得：a=-2b=5，∴一次函数为y=2x+5，当x=1时，y=7，∵当x=1时，y=kx=7，即k=7，∴反比例函数为：y=7x，当x=-72时，y=7÷-72=-2，当y=1时，x=a=-2，当x=-2时，y=-7 2，补全表格如下：x-72-212x+b-217kx-2-7 27(2)由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为-72,-2，1,7 ，∴当y=2x+b的图像在y=kx的图像上方时，x的取值范围为-72<x<0或x>1；33.(2024·湖北·中考真题)一次函数y=x+m经过点A-3,0，交反比例函数y=kx于点B n,4．(1)求m，n，k；(2)点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，若S△AOC<S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围．【答案】(1)m=3，n=1，k=4；(2)a>1．【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．(1)利用一次函数y=x+m经过点A-3,0，点B n,4，列式计算求得m=3，n=1，得到点B1,4，再利用待定系数法求解即可；(2)利用三角形面积公式求得S△AOB=6，得到32y C<6，据此求解即可．【详解】(1)解：∵一次函数y=x+m经过点A-3,0，点B n,4，∴-3+m=0 n+m=4 ，解得m=3 n=1 ，∴点B1,4，∵反比例函数y=kx经过点B1,4，∴k=1×4=4；(2)解：∵点A-3,0，点B1,4，∴AO =3，∴S △AOB =12AO ×y B =12×3×4=6，S △AOC =12AO ×y C =32y C ，由题意得32y C<6，∴y C <4，∴x C >1，∴C 的横坐标a 的取值范围为a >1．34.(2024·四川凉山·中考真题)如图，正比例函数y 1=12x 与反比例函数y 2=kxx >0 的图象交于点A m ，2 ．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线y 1=12x 向上平移3个单位长度与y 2=kxx >0 的图象交于点B ，连接AB ,OB ，求△AOB 的面积．【答案】(1)y 2=8x(2)6【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B 坐标，根据平行线间的距离可得S △AOB =S △ADO ，代入数据计算即可．【详解】(1)解：∵点A (m ,2)在正比例函数图象上，∴2=12m ，解得m =4，∴A (4,2)，∵A (4,2)在反比例函数图象上，∴k =8，∴反比例函数解析式为y 2=8x．(2)解：把直线y 1=12x 向上平移3个单位得到解析式为y =12x +3，令x =0，则y =3，∴记直线与y 轴交点坐标为D (0,3)，连接AD ，联立方程组y =8xy =12x +3，解得x =2y =4，x =-8y =-1 (舍去)，∴B (2,4)，由题意得：BD ∥AO ，∴△AOB ,△AOD 同底等高，∴S △AOB =S △ADO =12OD ⋅x A =12×3×4=6．35.(2024·贵州·中考真题)已知点1,3 在反比例函数y =kx的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)点-3,a ，1,b ，3,c 都在反比例函数的图象上，比较a ，b ，c 的大小，并说明理由．【答案】(1)y =3x(2)a <c <b ，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．(1)把点1,3 代入y =kx可得k 的值，进而可得函数的解析式；(2)根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A 、点B 和点C 的横坐标即可比较大小．【详解】(1)解：把1,3 代入y =k x ，得3=k 1，∴k =3，∴反比例函数的表达式为y =3x；(2)解：∵k =3>0，∴函数图象位于第一、三象限，∵点-3,a ，1,b ，3,c 都在反比例函数的图象上，-3<0<1<3，∴a <0<c <b ，∴a <c <b ．36.(2024·河南·中考真题)如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数y =kxx >0 的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．【答案】(1)y =6x(2)见解析(3)92【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：(1)利用待定系数法求解即可；(2)分别求出x =1，x =2，x =6对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；(3)求出平移后点E 对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．【详解】(1)解：反比例函数y =kx的图象经过点A 3,2 ，∴2=k3，∴k =6，∴这个反比例函数的表达式为y =6x；(2)解：当x =1时，y =6，当x =2时，y =3，当x =6时，y =1，∴反比例函数y =6x的图象经过1,6 ，2,3 ，6,1 ，画图如下：(3)解：∵E 6,4 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当y =4时，4=6x，解得x =32，∴平移距离为6-32=92．故答案为：92．37.(2024·四川乐山·中考真题)如图，已知点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3xx >0 的图象上，过点A 的一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点C 0,1 ．(1)求m 、n 的值和一次函数的表达式；(2)连接AB ，求点C 到线段AB 的距离．【答案】(1)m =3，n =3，y =2x +1(2)点C 到线段AB 的距离为322【分析】(1)根据点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3x图象上，代入即可求得m 、n 的值；根据一次函数y =kx +b 过点A 1,3 ，C 0,1 ，代入求得k ，b ，即可得到表达式；(2)连接BC ，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ，可推出BC ∥x 轴，BC 、AD 、DB 的长度，然后利用勾股定理计算出AB 的长度，最后根据S △ABC =12BC ⋅AD =12AB ⋅CE ，计算得CE 的长度，即为点C 到线段AB 的距离．【详解】(1)∵点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3x图象上。
反比例函数及其应用(共35道)—2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)
反比例函数及其应用（35道）一、单选题A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长BA 交y 轴于点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得到1212ADO S =⨯=△，3OCBD S =矩形，根据四边形ABCO 的面积等于ADOOCBD S S−矩形，即可得解．【详解】解：延长BA 交y 轴于点D ，∵AB x ∥轴， ∴DA y ⊥轴，∵点A 在函数2(0)y x x =>的图象上，∴1212ADO S =⨯=△，∵BC x ⊥轴于点C ，DB y ⊥轴，点B 在函数3(0)y x x =>的图象上，∴3OCBD S =矩形，∴四边形ABCO 的面积等于312ADOOCBD S S−=−=矩形；故选B ．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k 的几何意义，是解题的关键．A ．321y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<【答案】C【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数(0)ky k x =<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420−<−<，∴点()14,A y −，2(2,)B y −在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420−<−<， 120y y ∴<<．30>，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．A ．当3x >时，12y y <B ．当1x <−时，12y y <C ．当03x <<时，12y y >D ．当10x −<<时，12y y <【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A 、当3x >时，12y y >，则此项错误，不符合题意； B 、当1x <−时，12y y <，则此项正确，符合题意； C 、当03x <<时，12y y <，则此项错误，不符合题意； D 、当10x −<<时，12y y >，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．A ．123y y y <<B ．312 y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【答案】C【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵30k =>，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵2101−<−<<， ∴2130y y y <<<．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数ky x =(k 是常数，0k ≠)的图象是双曲线，当0k >，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当 0k <，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．【答案】A【分析】连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定()11142四边形△ABC COD D S S OM DE CF ===⋅+，再求出直线1y x =−与x 轴交于点()1,0M ，通过联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩求出C D 、纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示：根据直线1y x =+、1y x =−与双曲线()0ky k x =>交点的对称性可得四边形ABCD 是平行四边形，()11142四边形△ABC O D C D S S OM DE CF ∴===⋅+， 直线1y x =−与x 轴交于点M ， ∴当0y =时，1x =，即()1,0M ，1y x =−与双曲线()0ky k x =>分别相交于点C D 、，∴联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，即1k y y =−，则20y y k +−=，由0k >，解得y =，∴1112⎤⨯⨯−=⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦2=，解得34k =，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．A ．2:3:6B ．6:3:2C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1， ∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1， ∵FP S =，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小， ∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴00a b >>，， ∴0ab >，∴反比例函数aby x =的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴00a b ><，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意11FL F L =代入数据求得245F L =，即可求解．【详解】解：∵11FL F L =，125cm L =，19.8NF =，∴259.8245FL =⨯=， ∴245F L =，函数为反比例函数，当35cm L =时，245735F ==，即245F L =函数图象经过点()35,7． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由正方形的性质得2BC AB ==，可设2,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭可求出k 的值． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∵2,AB BC CD AD ==== ∵点E 为AD 的中点， ∴11,2AE AD ==设点C 的坐标为2,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,222k kBO AO AB BO ==+=+, ∴1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵点C ，E 在反比例函数ky x =的图象上，∴21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭，解得，4k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky x =（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点()x y ，的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结【答案】C【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又∵90ACB ∠=︒，AB =∴()()(22211k k −+−=∴13k −=（负值已舍去） 解得：4k =， 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为与OAB 关于直线 A ．23 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，D 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD =tan BD BOA OD ∠==，∴2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒， ∵OA B '与OAB 关于直线OB 对称， ∴120OBA '∠=︒， ∴180OBA OBD '∠+∠=︒， ∴A '，B ，D 三点共线， ∴2A B AB '==， ∵A C BC '=， ∴1BC =， ∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)ky k x x =>>得：k =故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．A ．2B ．2−C ．1D ．1−【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答． 【详解】解：AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2， 2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k是解题的关键．二、填空题【答案】63y x =−【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 【详解】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x =−，故答案为：63y x =−．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，2BC CD =，3AB =．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．【答案】18y x =【分析】设正方形CDEF 的边长为m ，根据2BC CD =，3AB =，得到()3,2B m ，根据矩形对边相等得到3OC =，推出()3,E m m +，根据点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，得到()323m m m⨯=+，得到3m =，推出18y x =．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形， ∴3OC AB ==，设正方形CDEF 的边长为m ， ∴CD CF EF m ===， ∵2BC CD =， ∴2BC m =， ∴()3,2B m ，()3,E m m +， 设反比例函数的表达式为ky x =，∴()323m m m⨯=+，解得3m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴()3,6B ，∴3618=⨯=k ，∴这个反比例函数的表达式是18y x =，故答案为：18y x =．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k 的几何意义．统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOC 的边两点．若AOC 的面积是 【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC 的面积是6，列式计算即可求解．【详解】解：过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，∴BD CE ∥， ∴ABD ACE ∽，∴BD ABCE AC =，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =， ∵点B 为AC 的中点， ∴12BD AB CE AC ==， ∴22CE BD m ==，∴C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线BC 的解析式为y ax b =+， ∴22k ma b mk ma b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2232k a m k b m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为2322k k y x m m =−+， 当0x =时，32ky m =，∴A 点坐标为302k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 根据题意得132622k m m ⋅⋅=，解得4k =， 故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．【答案】33【分析】过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒，在Rt ABC 中求出BC 、AC 的长，即可得出点B 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解∶过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒， ∵点A 的坐标为(0，2)， ∴2AO AB ==， ∵120OAB ∠=︒，∴180********BAC OAB ∠∠=︒−=︒−︒=︒， ∴9030ABC BAC ∠∠=︒−=︒， ∴AC =12AB =1221⨯=，由勾股定理得BC ==∴213OC AO AC =+=+=，∴点B 的坐标为(3)， ∵点B 恰好落在反比例函数ky x =的图象上，∴3k =故答案为∶3【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点B 的坐标．【答案】>【分析】把2x =−和=1x −分别代入反比例函数2y x =中计算y 的值，即可做出判断．【详解】解：∵点()12,A y −和点()21,B y −都在反比例函数2y x =的图象上，∴令2x =−，则1212y ==−−；令=1x −，则2221y ==−−，12−>−，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y 的值是解题的关键． 若OAB 的面积为【答案】196/136【分析】由k 的几何意义可得19212k =，从而可求出k 的值． 【详解】解：AOB 的面积为||192212k k ==， 所以k =196． 故答案为：196．【点睛】本题主要考查了k 的几何意义．用k 表示三角形AOB 的面积是本题的解题关键．【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数()0ky k x =≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m −∴把点()3,2A −代入得326k =−⨯=−，∴反比例函数解析式为6y x −=， 把点(),2B m −代入得：62m −−=，解得：3m =， 故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．【答案】1.5（满足12k <<都可以）【分析】先判断出一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，再根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即630k −<，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解：70−<，∴一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，120x x ⋅>，∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， ∴反比例函数63ky x −=（1k >且2k ≠）的函数图象经过第一、三象限，∴630k −>，∴2k <， ∵1k >， ∴12k <<，∴满足条件的k 值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足12k <<都可以）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．的正ABC 的顶点，现将ABC 绕原点【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可），当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，可得OB OA=A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则BFO OEA ∽，根据相似三角形的性质得出3AOE S =△，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，则30BAO ∠=︒，∴tan tan30BAO ∠=︒=OB OA=， 如图所示，过点,A B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点,E F ，AO BO ⊥，90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒，∴90BOF AOE EAO ∠=︒−∠=∠， ∴BFO OEA ∽，∴213BFO AOES OB S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴212BFOS−==，∴3AOE S =△， ∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．【答案】2/2−+【分析】过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，证明DAO CBA ≌，进而根据全等三角形的性质得出,DA CB AC OD ==，根据点(),2A m ，进而得出()2,2B m m +−，根据点,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上．列出方程，求得m 的值，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，∴90C CDO ∠=∠=︒， ∵,90OA AB OAB =∠=︒， ∴90DAO CAB CBA ∠=︒−∠=∠ ∴DAO CBA ≌ ∴,DA CB AC OD == ∵点A 的坐标为()m,2．∴2AC OD ==，AD BC m == ∴()2,2B m m +−∵,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，∴()()222m m m =+−解得：1m =或1m =（舍去）∴22k m ==故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B 的坐标是解题的关键．【答案】4【分析】根据题意可设点P 的坐标为()22m m ，，则()2D m m ，，把()2D m m ，代入一次函数解析式中求出m 的值进而求出点P 的坐标，再求出k 的值即可．【详解】解：∵PA x ⊥轴于点,A PB y ⊥轴于点,B PA PB =， ∴点P 的横纵坐标相同， ∴可设点P 的坐标为()22m m ，，∵D 为PB 的中点， ∴()2D m m ，，∵()2D m m ，在直线1y x =+上，∴12m m +=， ∴1m =， ∴()22P ，，∵点P 在反比例函数()0ky k x =>的图象上，∴224k =⨯=， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P 的坐标是解题的关键．【答案】6【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥， ∴CD y ⊥轴，AD OF ∥， 则kDF a OF a ==，，∵AD OF ∥， ∴CDA CFO △∽△， ∴CD AD ACCF OF OC ==， ∵2AC AO =，∴23AC OC =， ∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==， ∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =， 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．则ABP 的面积是 【答案】152【分析】把()2,3A −代入到22k y x =可求得2k 的值，再把(),2Bm −代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x =（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A−，(),2B m −两点，∴2232k m =−⨯=−∴263k m =−=，，∴双曲线的表达式为：26y x =−，()3,2B −，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ， ∴3BP =， ∴1153(32)22ABPS=⨯⨯+=，故答案为152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 三、解答题26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k ＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；（2）若该反比例函数与过点M （﹣2，0）的直线l ：y=kx+b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为时，求直线l 的解析式．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴×2×3k+•2k=，解得k=，∴直线l 的解析式为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．(1)2m =，4a =，求函数3y 的表达式及(2)当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，(3)试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数【答案】(1)函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12(2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b am a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩，即1a x a a m y +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m ⨯+=−+=−，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，进而可得结论．【详解】（1）解：∵2m =，4a =，∴(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，∴4AB =， 当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，将()21E ，，142G ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入3y kx b =+得，21142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得25k b =−⎧⎨=⎩，∴325y x =−+， 当0x =，35y =，则()05P ，，∴()1111542222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯−=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12；（2）解：PGH △的面积不变，理由如下：∵(0)A m ，，(0)B m a −，，1m y x =，2m ay x −=，∴AB a =，当x m =，11m y m ==，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当2y a =，m a a x −=，解得m a x a −=，则m a H a a−⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，将()1E m ，，m G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111a k m b a ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，∴31ax a m y =−++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，，∴()11122PGH m m a S a a a a ⎡−⎤⎛⎫=⨯−⨯+−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴PGH △的面积不变；（3）解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩， ∴1ax a a m y +−=+，当x m a =−，()11y am a a a m ⨯+=−+=−，∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OAB 的面积；(3)过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =−+和反比例函数ky x=的图象分别交于当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为3y x =−+，反比例函数的解析式为2y x =(2)32(3)0t <或12t << 【分析】（1）把()1，2A 分别代入一次函数和反比例函数求出m k 、的值即可得到答案；（2）联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩求出点B 的坐标，令直线AB 与x 交于点C ，由直线AB 求出点C 的坐标，最后由1122AOBAOCBOCA B SSSOC y OC y =−=⋅⋅−⋅⋅，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =−+，得12m −+=， 解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =−+，把()1，2A 代入反比例函数ky x =，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x =；（2）解：联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C ，如图，，当0y =时，30x −+=， 解得：3x =， ()30C ∴，，11113323122222AOBAOCBOCA B SS SOC y OC y ∴=−=⋅⋅−⋅⋅=⨯⨯−⨯⨯=（3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．(1)当气球内的气压超过150KPa 少时气球不会爆炸（球体的体积公式(2)请你利用p 与V 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】(1)气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【分析】（1）设函数关系式为k p =，用待定系数法可得 4.8p V =，即可得当150p =时， 4.80.032150V ==，从而求出0.2r =；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【详解】（1）设函数关系式为kp V =， 根据图象可得：1200.04 4.8k pV ==⨯=， ∴4.8p V =，∴当150p =时，4.80.032150V ==，∴3430.0323r ⨯=，解得：0.2r =，4.80k =>，p ∴随V 的增大而减小，∴要使气球不会爆炸，0.032V ≥，此时0.2r ≥， ∴气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．轴的对称点，OAC 的面积是【答案】(1)y x =(2)(2P −++或(2P −−−【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m +=，从而可得答案；（2）先求解()2,4A ，()2,4C −，可得直线为28y x =+，联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，再解方程组即可．【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数(0)ky k x =≠的图象上，∴设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵OAC 的面积是8．∴()182k m m m +=，解得：8k =；∴反比例函数解析式为：8y x =；（2）∵点A 的横坐标为2时， ∴842A y ==，即()2,4A ，则()2,4C −，∵直线2y x b =+过点C ， ∴44b −+=， ∴8b =，∴直线为28y x =+， ∴828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：24x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩或24x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩，经检验，符合题意；∴(2P −++或(2P −−−．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 在反比例函数图象上，且横坐标大于3OBDS=【答案】(1)4y x =(2)132y x =−+【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标，代入ky x =求出k ；（2）设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，根据OBD OBH BHD ODH S S S S =+−V V V V 面积列方程，求出点D 坐标，再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴4OABC S xy ==正方形， ∴4k =；即反比例函数的表达式为4y x =．（2）解：设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，点()2,2B ，4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0H a ，∴12OBH S OH AB a=⋅=V 1144(2)(2)222BHD a S DH AH a a a −=⋅=⋅⋅−=V ，122ODH S OH DH =⋅=V3OBD OBH BHD ODH S S S S =+−=V V V V∴4(2)232a a a −+−=，解得：14a =，21a =−，经检验4a =，是符合题意的根，即点()4,1D ，设直线BD 的函数解析式为y kx b =+，得∶ 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，即：直线BD 的函数解析式为132y x =−+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数ky x =图象上任意一点做x 轴、y 轴的垂线，组成的长方形的面积等于k，灵活运用几何意义是解题关键．2(1)求反比例函数的解析式；(2)点C 在这个反比例函数图象上，连接【答案】(1)8y x =(2)()4,2C【分析】（1）利用正切值，求出4OB =，进而得到()2,4A ，即可求出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，易证四边形ABOE 是矩形，得到2OE =，4AE =，再证明AED △是等腰直角三角形，得到4DE =，进而得到()6,0D ，然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =−+，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C 的坐标． 【详解】（1）解：AB y ⊥轴，90ABO ∴∠=︒，1tan 2AOB =∠，12AB OB ∴=，2AB =，4OB ∴=，()2,4A ∴，点A 在反比例函数()0ky x x =>的图象上，248k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为8y x =；（2）解：如图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，2OE AB ∴==，4OB AE ==，45ADO ∠=︒，AED ∴是等腰直角三角形， 4DE AE ∴==，246OD OE DE ∴=+=+=，()6,0D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+，2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为6y x =−+，点A 、C 是反比例函数8y x =和一次函数6y x =−+的交点，联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，()2,4A ， ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD 的解析式是解题关键．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数的部分时（点M 可与点,D E 重合）【答案】(1)反比例函数解析式为y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点， ∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0ky x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =， ∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合）， ∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【答案】(1)反比例函数的表达式为y x =−；一次函数的表达式为22y x =−+(2)142BC =【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数()0ky x x =<的图象经过点()1,4A −，∴144k =−⨯=−， ∴反比例函数的表达式为4y x =−；∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −，∴()421m=−⨯−+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+； （2）解：∵1OD =， ∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x =−，解得4x =−，则()41B −，，∵1y =时，122x =−+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =−−=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式【答案】(1)12y x =−，32y x =−+(2)9(3)<2x −或04x <<【分析】（1）把点B 代入反比例函数()0ky k x =≠，即可得到反比例函数的解析式；把点A 代入反比例函数，即可求得点A 的坐标；把点A 、B 的坐标代入一次函数一次函数()0y ax b a =+<即可求得a 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）AOB 的面积是AOC 和BOC 的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x 的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点()4,3B −在反比例函数ky x =的图象上，∴34k −=， 解得：12k =− ∴反比例函数的表达式为12y x =−．∵(),3A m m −在反比例函数12y x =−的图象上，∴123m m =−−，解得12m =，22m =−（舍去）．∴点A 的坐标为()2,6−．∵点A ，B 在一次函数y ax b =+的图象上，把点()2,6A −，()4,3B −分别代入，得2643a b a b −+=⎧⎨+=−⎩，解得323a b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式为332y x =−+； （2）∵点C 为直线AB 与y 轴的交点，∴把0x =代入函数332y x =−+，得3y = ∴点C 的坐标为()0,3 ∴3OC =，∴AOB AOC BOC SS S =+ 1122A B OC x OC x =⋅⋅+⋅⋅11323422=⨯⨯+⨯⨯9=．（3）由图象可得，不等式k ax b x <+的解集是<2x −或04x <<．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．。
中考数学《反比例函数》专项练习(附答案解析)
中考数学《反比例函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．已知：如图1，函数y1=kx 和y2=xk(k>1)的图象相交于点A和点B .（1）求点A和点B的坐标（用含k的式子表示）；（2）如图2，点C的坐标为(1，k)，点D是第一象限内函数y1的图象上的动点，且在点A的右侧，直线AC、BC、AD、BD分别与x轴相交于点E、F、G、H .①判定△CEF的形状，并说明理由；②点D在运动的过程中，∠CAD和∠CBD的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出∠CAD和∠CBD的度数和.2．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（－2，－2），（√2，√2），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个.（1）若点P（2，m）是反比例函数y=nx（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由.3．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y=6x(x>0)图象上一点，点B在x轴上，AD=BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=6x(x>0)图象于点E.（1）平行四边形BCD 的面积等于 ；（2）设D 点横坐标为m ，试用m 表示点E 的坐标；（要有推理和计算过程） （3）求 CE:EB 的值； （4）求 EB 的最小值.4．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= mx 的图象交于点A （﹣3，m+8），B （n ，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．5．已知双曲线y=1x （x ＞0），直线l 1：y ﹣√2=k （x ﹣√2）（k ＜0）过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2），直线l 2：y=﹣x+√2． （1）若k=﹣1，求△OAB 的面积S ； （2）若AB=52√2，求k 的值；（3）设N （0，2√2），P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM+PN 最小值，并求PM+PN 取得最小值时P 的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则A ，B 两点间的距离为AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2）6．已知反比例函数y=1−2mx( m为常数)的图象在一、三象限.（1）求m的取值范围.（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ ABCD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0).①求出反比例函数表达式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为▲ .若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为▲ .7．绘制函数y=x+1x的图象，我们经历了如下过程：确定自变量x的取值范围是x≠0；列表﹣﹣描点﹣﹣连线，得到该函数的图象如图所示．x …-4 -3 -2 -1 −12−13−141413121 2 3 4 …y …−414−313−212−2−212−313−4144143132122 212313414…观察函数图象，回答下列问题：（1）函数图象在第象限；（2）函数图象的对称性是A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（3）在x＞0时，当x＝时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；在x＜0时，当x＝时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；=−2x+1是否有实数解？说明理由．（4）方程x+1x8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（k≠0）的图象经过点H，则k= ；（2）若反比例函数y= kx（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．设P(x,0)是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．（2）若反比例函数y2=kx①求k的值；②结合图象，当y1>y2时，写出x的取值范围．10．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？11．（如图，四边形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数y1＝nx 与y2＝4nx的图象上，对角线AC⊥BD于点P，AC⊥x轴于点N（2，0）（1）若CN＝12，试求n的值；（2）当n＝2，点P是线段AC的中点时，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）直线AB与y轴相交于E点．当四边形ABCD为正方形时，请求出OE的长度．12．如图点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA= √5，反比例函数y= kx（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．13．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数y=m的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为点D.若OB=2OA=3OD= x12 .（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若两函数图象的另一个交点为E，连结DE，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤m的解集.x与y2= 14．某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数y1=k1xk2(k2>k1>0)在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：x操作猜想：（1）如图①，当k1=2，k2=6时，在y轴的正方向上取一点A作x轴的平行线交y1于点B，交y2于点C .当OA=1时，AB=，BC=，BC AB =；当OA=3时，AB=，BC=，BCAB=；当OA=a时，猜想BCAB=（2）在y轴的正方向上任意取点A作x轴的平行线，交y1于点B、交y2于点C，请用含k1、k2的式子表示BCAB的值，并利用图②加以证明.（3）如图③，若k2=12，BCAB =12，在y轴的正方向上分别取点A、D(OD>OA)作x轴的平行线，交y1于点B、E，交y2于点C、F，是否存在四边形ADFB是正方形？如果存在，求OA的长和点B的坐标；如果不存在，请说明理由.15．如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．（1）求H点的坐标及k的值；（2）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P 点坐标；（3）点N（a，1）是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．16．如图，双曲线y1＝k1x与直线y2＝xk2的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝k1x上的任意一点，且0＜a＜4．（1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P在双曲线y1＝k1x上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．参考答案与解析1．【答案】（1）解：由题意，联立{y=kxy=xk，解得{x=ky=1或{x=−ky=−1，∵点A在第一象限，点B在第二象限，且k>1，∴A(k，1)，B(−k，−1)（2）解：①△CEF是等腰直角三角形，理由如下：设直线BC的解析式为y=k0x+b0，将点B(−k，−1)，C(1，k)代入得：{−kk0+b0=−1k0+b0=k，解得{k0=1b0=k−1，则直线BC的解析式为y=x+k−1，当y=0时，x+k−1=0，解得x=1−k，即F(1−k，0)，同理可得：点E的坐标为E(1+k，0)，∴CF=√(1−k−1)2+(0−k)2=√2k，CE=√(1+k−1)2+(0−k)2=√2k，EF=1+k−(1−k)=2k，∴CE=CF，CE2+CF2=4k2=EF2，∴△CEF是等腰直角三角形；②由题意，设点D的坐标为D(m，km)，则m>k>1，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠BFH=∠AEG=135°，设直线BD的解析式为y=k1x+b1，将点B(−k，−1)，D(m，km )代入得：{−kk1+b1=−1mk1+b1=km，解得{k1=1mb1=k−mm，则直线BD的解析式为y=1m x+k−mm，当y=0时，1m x+k−mm=0，解得x=m−k，即H(m−k，0)，同理可得：点G的坐标为G(k+m，0)，∴DH=√(m−k−m)2+(0−km )2=km√1+m2，DG=√(k+m−m)2+(0−km )2=km√1+m2，∴DH=DG，∴∠DHG=∠DGH，∵∠DHG=∠BHF，∴∠DGH=∠BHF，∴∠CAD+∠CBD=∠AEG+∠DGH+∠CBD，=∠BFH+∠BHF+∠CBD，=180°，即∠CAD与∠CBD的度数和不变，度数和为180°2．【答案】（1）解：根据题意，“梦之点”就是有关函数图象与直线y=x的交点，其坐标就是对应的方程组的解.由题意可得：m=2由点P(2， 2)在反比例函数y=nx图象上，可得n=2×2=4故所求的反比例函数的解析式为y=4x（2）解：由题意可得：（Ⅰ）当k=0时，y=s−1，此时“梦之点”的坐标为(s−1， s−1 ) . （Ⅱ）当k≠0 时， (3k−1)x=1−s显然，此方程的解的情况决定函数y=3kx+s−1的图象上“梦之点”的存在情况，当k=13， s≠1时，方程无解，不存在“梦之点”；当k=13， s=1时，方程有无数个解，此时存在无数个“梦之点”，“梦之点”的坐标可表示为(ℎ，ℎ)（ℎ为任意实数）；当k≠13时，得{x=1−s3k−1y=1−s3k−1，即“梦之点”的坐标为(1−s3k−1， 1−s3k−1)3．【答案】（1）12（2）解：由题意D(m,6m)，由（1）可知AB=2m，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2m，∴C(3m,6m) .∵B(2m,0)，C(3m,6m)，∴直线BC的解析式为y=6m2x−12m，由{y=6xy=6m2x−12m，解得{x=(√2+1)my=6√2−6m或{x=(1−√2)my=6(1+√2)m（舍弃），∴E((√2+1)m,6√2−6m)；（3）解：作EF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G . ∵EF//CG，∴CE BE=FG BF=√2+1)m (√2+1)m−2m =√2√2−1=√2 ；（4）解：∵CEBE =√2 ∴BE =√2+1 ，要使得 BE 最小，只要 AD 最小， ∵AD =√m 2+36m 2=√(m −6m )2+12 ，∴AD 的最小值为 2√3 ， ∴BE 的最小值为√3√2+1=2√6−2√3 .4．【答案】（1）解：将A （﹣3，m+8）代入反比例函数y= mx 得，m −3=m+8，解得m=﹣6， m+8=﹣6+8=2，所以，点A 的坐标为（﹣3，2）， 反比例函数解析式为y=﹣ 6x ，将点B （n ，﹣6）代入y=﹣ 6x 得，﹣ 6n =﹣6， 解得n=1，所以，点B 的坐标为（1，﹣6），将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得， {−3k +b =2k +b =−6 ， 解得 {k =−2b =−4，所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4； （2）解：设AB 与x 轴相交于点C ， 令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2， 所以，点C 的坐标为（﹣2，0）， 所以，OC=2， S △AOB =S △AOC +S △BOC ， = 12 ×2×3+ 12 ×2×1，=3+1， =4．5．【答案】（1）解：当k=-1时，l 1：y=﹣x+2√2， 联立得，{y =−x +2√2y =1x ，化简得x 2﹣2√2x+1=0， 解得：x 1=√2﹣1，x 2=√2+1，设直线l 1与y 轴交于点C ，则C （0，2√2）． S △OAB =S △AOC ﹣S △BOC =12•2√2•（x 2﹣x 1）=2√2；（2）解：根据题意得：{y −√2=k(x −√2)y =1x 整理得：kx 2+√2（1﹣k ）x ﹣1=0（k ＜0）， ∵△=[√2（1﹣k ）]2﹣4×k ×（﹣1）=2（1+k 2）＞0， ∴x 1、x 2 是方程的两根， ∴{x 1+x 2=√2(k−1)k x 1·x 2=−1k①， ∴AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(x 1−x 2)2+(1x 1−1x 2)2=√(x 1−x 2)2(1+1x 12·x 22)=√[(x 1+x 2)2−4x 1x 2](1+1x 12·x 22)，将①代入得，AB=√2(k 2+1)2k 2=√2(k 2+1)−k （k ＜0），∴√2(k 2+1)−k =5√22，整理得：2k2+5k+2=0，解得：k=﹣2，或 k=12；（3）解：∵直线l1：y﹣√2=k（x﹣√2）（k＜0）过定点F, ∴ F（√2，√2）.如图：设P（x，1x ），则M（﹣1x+√2，1x），则PM=x+1x ﹣√2=√(x+1x−√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4，∵PF=√(x−√2)2+(1x −√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4，∴PM=PF．∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2√2，由（1）知P（√2﹣1，√2+1），∴当P（√2﹣1，√2+1）时，PM+PN最小值是2．6．【答案】（1）解：根据题意，得1−2m>0，解得m<12，∴m的取值范围是m<12.（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，A(0，3)，B(−2，0)，∴D(2，3) .把D(2，3)代入y=1−2mx ，得3=1−2m2，∴1−2m=6 .∴反比例函数表达式为y=6x；②(3，2)或(-2，-3)或(-3，-2)；4 7．【答案】（1）一、三（2）C（3）1；小；2；−1；大；−2（4）解：方程x ＋ 1x ＝﹣2x ＋1没有实数解，理由为：y ＝x ＋ 1x 与y ＝﹣2x ＋1在同一直角坐标系中无交点．8．【答案】（1）解：x 2﹣9x+18=0， （x ﹣3）（x ﹣6）=0， x=3或6， ∵CD ＞DE ， ∴CD=6，DE=3， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE=EC= √62−32 =3 √3 ， ∴∠DCA=30°，∠EDC=60°， Rt △DEM 中，∠DEM=30°， ∴DM= 12 DE= 32 ， ∵OM ⊥AB ，∴S 菱形ABCD = 12 AC •BD=CD •OM ， ∴12×6√3×6 =6OM ，OM=3 √3 ， ∴D （﹣ 32 ，3 √3 ） （2）解：（3）解：如图1，①∵DC=BC ，∠DCB=60°， ∴△DCB 是等边三角形， ∵H 是BC 的中点，∴DH⊥BC，∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC=FB，∴∠FCB=∠FBC=30°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，∴AB⊥BF，CP⊥AB，Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，∴FB=2 √3 =CP，，√3）；∴P（92②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ∥PH，由①知：PH⊥BC，∴CQ⊥BC，Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，∴∠BQC=30°，∴CQ=6 √3，连接QA，∵AE=EC，QE⊥AC，∴QA=QC=6 √3，∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，∴∠QAB=90°，∴Q（﹣92，6 √3），由①知：F（32，2 √3），由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣92﹣3，6 √3﹣√3），即P（﹣152，5 √3）；③如图3，四边形CQFP是平行四边形，同理知：Q（﹣92，6 √3），F（32，2 √3），C（92，3 √3），∴P（212，﹣√3）；综上所述，点P的坐标为：（92，√3）或（﹣152，5 √3）或（212，﹣√3）．9．【答案】（1）解：由题意y1=|x|．函数图象如图所示：（2）解：①当点A在第一象限时，由题意A(2,2)，∴2=k2，∴k=4．同法当点A在第二象限时，k=−4，②观察图象可知：当k>0时，x>2时，y1>y2或x<0时，y1>y2．当k<0时，x<−2时，y1>y2或x>0时，y1>y2．10．【答案】（1）解：由题意得，设前5个月中y= kx，把x=1，y=100代入得，k=100，∴y与x之间的函数关系式为y= 100x（0<x<5，且x为整数），把x=5代入，得y=20，由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b，把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，解得：b=-30，∴y与x之间的函数关系式为y=10x-30（x>5且x为整数）；（2）解：在函数y=10x−30中，令y=100，得10x−30=100解得：x=13答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．（3）解：在函数y=100x中，当y=50时，x=2，∵100>0，y随x的增大而减小，∴当y<50时，x>2在函数y=10x−30中，当y<50时，得10x−30<50解得：x<8∴2<x<8且x为整数；∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．答：该化工厂资金紧张期共有5个月．11．【答案】（1）解：∵点N的坐标为（2，0），CN⊥x轴，且CN＝12，∴点C的坐标为（2，12）．∵点C在反比例函数y1＝nx的图象上，∴n＝2×12＝1．（2）解：四边形ABCD为菱形，理由如下：当n＝2时，y1＝nx＝2x，y2＝4nx＝8x．当x＝2时，y1＝2x＝1，y2＝8x＝4，∴点C的坐标为（2，1），点A的坐标为（2，4）．∵点P是线段AC的中点，∴点P 的坐标为（2， 52 ）． 当y ＝ 52 时， 2x ＝ 52 ， 8x ＝ 52 ， 解得：x ＝ 45 ，x ＝ 165 ，∴点B 的坐标为（ 45 ， 52 ），点D 的坐标为（ 165 ， 52 ）， ∴BP ＝2﹣ 45 ＝ 65 ，DP ＝ 165 ﹣2＝ 65 ， ∴BP ＝DP ．又∵AP ＝CP ，AC ⊥BD ， ∴四边形ABCD 为菱形．（3）解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ＝BD ，且点P 为线段AC 及BD 的中点． 当x ＝2时，y 1＝ 12 n ，y 2＝2n ，∴点A 的坐标为（2，2n ），点C 的坐标为（2， 12 n ），AC ＝ 32 n ， ∴点P 的坐标为（2， 54 n ）．同理，点B 的坐标为（ 45 ， 54 n ），点D 的坐标为（ 165 ， 54 n ），BD ＝ 125 ． ∵AC ＝BD ， ∴32 n ＝ 125 ， ∴n ＝ 85 ，∴点A 的坐标为（2， 165 ），点B 的坐标为（ 45 ，2）． 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），将A （2， 165 ），B （ 45 ，2）代入y ＝kx+b ，得： {2k +b =16545k +b =2 ，解得： {b =65k =1 ，∴直线AB 的解析式为y ＝x+ 65 ． 当x ＝0时，y ＝x+ 65 ＝ 65 ， ∴点E 的坐标为（0， 65 ），∴当四边形ABCD为正方形时，OE的长度为6．512．【答案】（1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，∴∠AOB=∠DCA=90°，在Rt△AOB和Rt△DCA中，AO=CD，AB=DA∴Rt△AOB≌Rt△DCA（HL）（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= √5，∴AC= =1，∴OC=OA+AC=2+1=3，∴D点坐标为（3，2），∵点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1），k=3×1=3（3）解：点G在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，∴△BFG≌△DCA，∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，而OB=AC=1，∴OF=OB+BF=1+2=3，∴G点坐标为（1，3），∵1×3=3，∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上13．【答案】（1）解：∵OB =2OA =3OD =12 ∴OA =6,OD =4 ∴A(6,0),B(0,12)把 A(6,0),B(0,12) 分别代入 y =kx +b 得： {6k +b =0b =12 ，解之得： m =−4×20=−80 ∴一次函数的解析式为 y =−2x +12 令 x =−4 ，则 y =20 ∴C(−4,20)把 C(−4,20) 代入 y =mx 得：m =−4×20=−80∴反比例函数的解析式为 y =−80x ； （2）解：解方程组 {y =−2x +12y =−80x 得： {x 1=−4y 1=20,{x 2=10y 2=−8∴E(10,−8)∴S ΔCDE =S ΔADC +S ΔADE=12AD ⋅(CD +|y E |)=12×(4+6)×(20+8) =140（3）解：如图：当x ＜-4时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方，即 kx +b ＞ mx ； 当 −4 ≤ x <0 时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方，即 kx +b ≤ mx ； 当0＜x ＜10时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方，即 kx +b ＞ mx ； 当 x ≥10时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方，即 kx +b ≤ mx ； 综上可得，不等式 kx +b ≤ mx 的解集为 −4 ≤ x <0 或 x ≥10. 14．【答案】（1）2；4；2；23；43；2；2 数学思考： （2）BCAB =k 2−k 1k 1证明：∵AB ·OA =k 1 ， AC ·OA =k 2 ， ∴AC ·OA −AB ·OA =BC ·OA =k 2−k 1 ，∴BCAB =BC·OAAB·OA=k2−k1k1.推广应用：（3）解：若四边形ADFB是正方形，设点B的坐标为(a,b)（a>0，b>0），则有DF=DA=AB=a，OA=b，OD=a+b，∴点F的坐标为(a,a+b) .∵k2=12，BCAB =k2−k1k1=12，∴12−k1k1=12，解得：k1=8 .∵点B在y=8x 图象上，点F在y=12x图象上，∴ab=8，a (a+b)=12，∴a2=12−8=4，∴a=2，∴b=4，∴OA=4，点B的坐标为(2,4) .15．【答案】（1）解：由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2，∵tan∠AHO＝2，∴OH＝1，∴H（1，0），∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1，∵点M在直线y＝2x+2上，∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），∵点M在y＝kx上，∴k＝1×4＝4；（2）解：①当AM＝AP时，∵A（0，2），M（1，4），∴AM＝√5，则AP＝AM＝√5，∴此时点P的坐标为（0，2﹣√5）或（0，2+ √5）；②若AM＝PM时，设P（0，y），则PM＝√(1−0)2+(4−y)2，∴√(1−0)2+(4−y)2＝√5，解得y＝2（舍）或y＝6，此时点P的坐标为（0，6），综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，2+ √5），或（0，2﹣√5）；（3）解：∵点N（a，1）在反比例函数y＝4x（x＞0）图象上，∴a＝4，∴点N（4，1），延长MN交x轴于点C，设直线MN的解析式为y＝mx+n，则有{m+n＝44m+n＝1,，解得{m＝−1n＝5，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+5．∵点C是直线y＝﹣x+5与x轴的交点，∴点C的坐标为（5，0），OC＝5，∵S△MNQ＝3，∴S△MNQ ＝S△MQC﹣S△NQC＝12×QC×4﹣12×QC×1＝32QC＝3，∴QC＝2，∵C（5，0），Q（m，0），∴|m﹣5|＝2，∴m＝7或3，故答案为7或3．16．【答案】（1）解：把点A（4，1）代入双曲线y1=k1x得k1=4，∴双曲线的解析式为y1=4x；把点A（4，1）代入直线y2=x k2得k2=4，∴直线的解析式为y2=14x（2）解：∵点P（a，b）在y1=4x的图象上，∴ab=4，∵4a=b，∴4a2=4，则a=±1，∵0<a<4，∴a=1，∴点P的坐标为（1，4），又∵双曲线y1=4x 与直线y2=14x的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（4，1），∴点B的坐标为（−4，−1），过点P作PG∥y轴交AB于点G，如图所示，把x=1代入y2=14x，得到y=14，∴点G的坐标为（1，14），∴PG =4−14=154 ， ∴S △ABP =12 PG （ x A −x B )=12×154×8=15 （3）解：PE=PF ．理由如下：∵点P （ a ， b ）在 y 1=4x 的图象上，∴b =4a ，∵点B 的坐标为（ −4 ， −1 ）， 设直线PB 的表达式为 y =mx +n ， ∴{am +n =4a −4m +n =−1， ∴{m =1a n =4a −1， ∴直线PB 的表达式为 y =1a x +4a −1 ， 当 y =0 时， x =a −4 ，∴E 点的坐标为（ a −4 ，0）， 同理：直线PA 的表达式为 y =−1a x +4a +1 ， 当 y =0 时， x =a +4 ，∴F 点的坐标为（ a +4 ，0），过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图所示，∵P 点坐标为（，∴H 点的坐标为（ a ，0），∴EH =x H −x E =a −(a −4)=4 ， FH =x F −x H =a +4−a =4 ， ∴EH=FH ，∴PE=PF ．。
全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总附详细答案
【解析】【分析】（1）由“ 梦之点 ”的定义可得出 b 的值，就可得出点 P 的坐标，再将点 P 的坐标代入函数解析式，求出 n 的值，即可得出反比例函数的解析式。
（2） ①设⊙O 上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于 a 的 方程，求出方程的解，就可得出 ⊙O 上的所有梦之点的坐标 ； ② 由（1）知，异于点 P 的梦之点 Q 的坐标为（-2，-2） ，由已知 直线 MN∥ l 或 MN⊥l ， 就可得出直线 MN 的解 析式为 y=-x+b 或 y=x+b。分两种情况讨论： 当 MN 为 y=-x+b 时，m=b-3，当直线 MN 平移
与
（x＞0，0＜m＜n）
的图象上，对角线 BD∥ y 轴，且 BD⊥AC 于点 P ． 已知点 B 的横坐标为 4．
（1）当 m=4，n=20 时． ①若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式． ②若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由． （2）四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m ， n 之间的数量关系；若不能，试 说明理由．
【答案】（1）解：当 a=﹣3 时，y=﹣3x+2， 当 y=0 时，﹣3x+2=0，
x= ， ∵ 点 M 的横坐标为 m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合），
∴ 0＜m＜ ，，DANG
则
，
﹣3x+2= ，
当 x=m 时，﹣3m+2= ，
∴ k=﹣3m2+2m（0＜m＜ ）
2．如图 1，已知一次函数 y=ax+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，反比例函数 y= 经过点 M．