数理统计分布拟合检验
第八章 分布检验和拟合优度 检验
2
其中 n ( x) S ( x) F0 ( x) 在零假设下, W 2 ,U 2 的分布和F0 ( x)的分布无关. 注: nD2 2 和 U 2 的渐近分布一样; 4nD2 2 和 两个独立的 W 2 统计量的和的渐近分布一样.
关于正态分布的一些其他检验和相应的R程序
S ( x)
i
n
针对上面三种检验,检验统计量分别为 :
D sup x ( F0 ( x) S ( x)) D sup x F0 ( x) S ( x) D sup x ( S ( x) F0 ( x))
在零假设下,统计量D的分布对于一切连续分布F0 ( x) 是一样的
min i ni
分 时,Q趋于 (k 1)
2
例题
例8.3 某饭店想知道他的顾客用电话是否服从 Possion分布,在他们计算机上(n=908)获得一 个小时内打电话得数据:
打电话次数 相应的人数 0 1 2 3 490 334 68 16
15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95
按照设计要求，内径应该为15±0.2mm。 问题：检验一下这个数据是否来自均值为15，方差为0.04 的正态分布？
8.1 Kolmogrov-Smirnov单样本检验及一些正态性检验
设真实分布为F(x),假设问题：
F ( x) F0 ( x) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) F ( x) F ( x) 0
数理统计学研究中的模型拟合分析
数理统计学研究中的模型拟合分析数理统计学是一门研究统计方法和推断的学科，广泛应用于各个领域。
在数理统计学的研究中，模型拟合分析是一个重要的方法。
本文将探讨数理统计学研究中的模型拟合分析，并分析其在实际应用中的意义和局限性。
首先，我们来了解一下什么是模型拟合分析。
在数理统计学中，拟合分析是用函数或曲线对实验数据进行拟合和预测的过程。
通过拟合分析，我们可以找到最佳的数学模型，以解释和预测数据的变化规律。
在进行模型拟合分析时，我们通常会使用最小二乘法来确定模型中的参数，使得模型与观察数据的差距最小。
通过模型拟合分析，我们可以对现象进行更深入的研究和理解。
在研究中，模型拟合分析有着重要的实际应用。
例如，在经济学中，研究人员可以通过对历史数据进行模型拟合分析，预测未来的经济趋势和市场变化。
在医学研究中，模型拟合分析可以用于分析疾病的传播和发展规律，从而制定有效的预防和治疗策略。
在环境科学研究中，通过模型拟合分析，可以对气候变化、环境污染等现象进行预测和评估。
通过拟合分析，我们可以更好地了解现象的本质和规律，为科学研究和决策提供有力的支持。
然而，模型拟合分析也存在一些局限性。
首先，模型拟合分析是基于观察数据的，因此对数据的质量和可靠性要求较高。
如果数据存在噪声或异常值，可能会导致拟合结果的不准确性。
其次，模型拟合分析基于对数据的假设，假设的合理性对拟合结果的准确性有着重要影响。
如果假设不准确或不符合实际情况，拟合结果可能会出现偏差。
此外，模型拟合分析往往是基于已有数据的，对未知数据的预测能力较弱。
在面对新情况和新数据时，需要进行额外的验证和修正。
为了提高模型拟合分析的准确性和可靠性，研究人员也在不断探索和发展新的方法和技术。
例如，非参数拟合方法可以更好地处理复杂的数据分布和关系，提高模型的适应性和预测能力。
同时，模型拟合分析也可以与其他统计方法相结合，如时间序列分析、方差分析等，以得到更全面和深入的结果。
总结起来，数理统计学研究中的模型拟合分析是一个重要的方法，可以帮助我们理解和预测各种现象和问题。
概率论课件分布拟合检验
基因表达分析
通过分布拟合检验，可以 对基因表达数据进行统计 分析，了解基因表达模式 和功能。
临床试验数据分析
在临床试验中，分布拟合 检验可用于分析药物疗效、 疾病发病率等数据。
其他应用场景
环境监测
在环境监测领域，分布拟合检验可用 于分析空气质量、水质等环境指标的 分布特征。
社会调查
在社会调查中，分布拟合检验可用于 分析人口普查、民意调查等数据，了 解社会现象和趋势。
本研究还发现，不同分布拟合检验方法在拟合效 果上存在差异，其中QQ图和概率图在判断分布拟 合优劣方面表现较好，而直方图在可视化展示方 面更具优势。
研究展望
在未来的研究中，可以进一步 探讨其他理论分布与实际数据 的拟合程度，以寻找更合适的
分布模型。
可以结合机器学习和人工智能 算法，对数据进行更深入的挖 掘和分析，以提高分布拟合检
分析结果表明，所选理论分布与实际数据存在一 定的拟合程度，但也存在一定的偏差。其中，正 态分布和指数分布与实际数据的拟合效果较好， 而泊松分布和威布尔分布的拟合效果相对较差。
在本研究中，我们采用了多种分布拟合检验方法 ，包括直方图、QQ图、概率图和统计检验等方法 ，对实际数据进行了深入的分析和比较。
通过绘制直方图和QQ图，可 以直观地观察数据分布与理论 分布的拟合程度。同时，计算 峰度系数和偏度系数等统计指 标，可以量化地评估分布拟合 程度。
案例二：人口普查数据分布拟合检验
• 总结词：人口普查数据分布拟合检验是评估人口数据质量和预测人口发 展趋势的重要手段。
• 详细描述：通过对人口普查数据进行分布拟合检验，可以判断人口数据 是否符合预期的分布形态，如年龄、性别、地区分布等，从而评估数据 质量和预测未来人口发展趋势。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
7.4似然比检验与分布拟合检验
4 July 2024
第七章 假设检验
第23页
解：这是一个典型的分布拟合优度检验，总体 共有6类，其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、 0.2、0.1和0.1，选用如下卡方检验统计量
2 k ni npi 2 ，
i 1
npi
检验拒绝域为:
这里k=6，
2
2 1
5
,
4 July 2024
4 July 2024
第七章 假设检验
第2页
当 ( x) 较大时，拒绝原假设 H0 ， 否则，接受 H0 ，
这种检验方法称为似然比检验。
例1 对正态总体，方差已知，检验问题
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
似然比为
(x)
p( x1,, xn , 1 ) p( x1,, x, 0 )
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
1
)2
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
0
)2
4 July 2024
第七章 假设检验
exp
1
2 2
n
[( xi
i 1
1 )2
(xi
0
)2
]
exp
1 2
0
2
n
(2xi
i 1
1 0 )
exp
n ( 1
0 )
x
0
n
4 July 2024
第七章 假设检验
第10页
可得临界值为 c1 F1 (1, n 1)
这样检验统计量也可以为
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。
本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。
一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。
参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。
最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。
矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。
矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。
参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。
常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。
二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。
假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。
常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。
假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。
结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。
如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。
假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。
三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。
在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。
概率论GL8.3
第八章 假设检验
§8.3 分布拟合检验
概 率 进行讨论的。在实际应用中，总体分布常常是未知的， 论 与 所以要对总体分布的假设进行检验，这就是分布拟合 数 2 检验法。 检验．本节仅介绍 理 统 计
上节中各检验法都是在总体分布形式为已知的前提下
8.3.1 离散型情形
26 11
0.194 0.163
19.4 16.3
6.6 -5.3
2.245 1.723
9
0.114 0.069
11.4 6.9
-2.4 2.1
0.505 0.639
概 率 论 与 数 理 统 计
9
2 1
2 1 0
0.036 0.017
0.007 0.003 0.002
3.6 1.7
0.7 0.3 0.2 6.2815 -0.5 0.0385
故在水平 0.05 下接受 H 0 ，即认为样本来自泊松分布，
也就是说认为理论上的结合是符合实际的。
概 率 论 与 数 理 统 计
例2 研究混凝土抗压强度 X 的分布，已测得 200 件混凝土试件的抗压强度以分组的形式列如下表 （1kgf=9.8N）:
j
压强区间kgf/cm2 190～200 200～210 210～220 220～230 230～240 240～250
频率逐渐稳定在 p j 的附近,它们之间的差异,在统计意义 下将越来越小。
所以，样本中出现 j 的频数 n j 和理论频数 np j 之间
概 率 皮尔逊（Pearson）提出的使用统计量 论 r ( n np ) 2 与 j 2 j 数 np j j 1 理 一般来说， 统 来衡量实际频数 n j 与理论频数 np j 的差异程度。 计 若 H 0 为真，且实验的次数又是足够多的,则这种差异即 2
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现在2=363. 37-360=3.37，k=4，20.1(4-1)=6. 251>3.37，故接受H0，认为两性状符合孟德尔遗传规律中9：3：3：1的遗传比例．
第三部分分布族的2拟合检验法(40分钟)
（二）分布族的2拟合检验
在（一）中要检验的原假设是H0：总体X的分布函数是F(x)，其中F(x)是已知的，这种情况是不多的．我们经常遇到的所需检验的原假设是
H0：总体X服从泊松分布
解因在H0中参数未具体给出，所以先估计．由最大似然估计法得 ．在H0假设下,即在X服从泊松分布的假设下，X所有可能取的值为Ω ={0,1,2,…},将Ω分成如表8-4所示的两两不相交的子集A0,A1,…A12．则P{X=i}有估计
例如
表8-5例3的2拟合检验计算表
Ai
fi
A0
皮尔逊定理及其应用
教学方法
提问、讲授、启发、讨论
工具仪器
多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表
教学安排
考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结
教学过程
教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明
备 注
第一部分：旧知识点复习和新课内容概述(5分钟)
(6.2)
的统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，其中Ci(i=1,2,…k)为给定的常数。皮尔逊证明，如果选取Ci=n/pi(i=1,2,…k)，则由(6.2)定义的统计量具有下述定理中所述的简单性质。于是我们就采用
2= = (6.3)
作为检验统计量。
定理若n充分大，则当H0为真时统计量(6.3)近似服从2(k-1)分布。（证略）
表8-3例2的2检验计算表
概率论课件分布拟合检验
其中i=1,2, , k, a0 -; ak ，我们称npi (i 1, 2, k) 为第i个区间上的理论频数；pi为理论频率.
（3）抽取大样本，统计落在各个区间上的个体个数
ni (i 1, 2, , k), 称ni为第i个区间上的实际频数.
(4)选用检验H0的统计量，直观上，如果H0成立, 那么 npi与ni的差别不应该太大，因此可以利用ni与npi之间 的差异来检验H0.能够体现它们的差异大小的统计量 之一是
查表得
02.0（5 5） 11.071，拒绝域为 2 11.071 现 2的值没有落入拒绝域，故接受H0,即可认为这颗骰子
是均匀的.
2 (k
r
1)就拒绝H
，
0
否则就接受H0.
例1为检验一颗骰子的六个面是否均匀，掷骰子120次， 得到结果如下：
点数 1 2 3 4 5 6 频数ni 21 28 19 24 16 12
试在 =0.05的水平下对他作出检验.
解 一颗骰子的六个面是否均匀就是检验每个面出 现的概率是否都是1/6。即可做假设
H0
:
P{X
k} 1 (k 6 Nhomakorabea 1, 2,..., 6),我们分6组
并计算各组的理论频数120 1 20,从而得到统计量 2的值
6
2 （21 20）2 （28 20）2 （12 20）2 8
20
20
20
由于假设H0中无未知参数，所以r 0，对于 0.05，
5.5 分布拟合检验
前面几节讨论了关于总体分布中未知参数的假设检验， 在这些检验中总体的分布是已知的。然而在许多情况下，并 不知道总体分布的类型，此时需要根据样本提供的信息，对
浙江大学概率论与数理统计盛骤-第四版
拒绝域为:
X S
0
n
t (n 1)
即 S k n t (n 1)
因此，拒绝域为：
t
X 0
Sn
t (n 1).
14
例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布N (, 2 ),
, 2均未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取
原假设 H0 : 6.0，备择假设 H1 : 6.0
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为 X 6.0 c.
由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实 际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的决策。 这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错 误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数α (0<α<1)（称为显著性水平）,使得
X1, X2, , Xn来自N , 2 , X 和S 2分别为样本均值和方差,显著性水平为
H0 : 0 , H1 : 0
1 2已知时
检验拒绝域形式为：X 0 c n
在H0为真时，
X 0 n
~ N 0,1
根据犯第一类错误概率不大于 ,
正确决策
第二类错误
第一类错误
正确决策
第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策； 第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。
通常，犯第一类错误的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可 以看作为“三方拔河”。
8
例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率 和 5.4时犯第二类错误的概率：
数理统计 第八章 假设检验
量
渐近2 服从ik自1 (由fi度n为pni（pik)-21）的ik1 2nf分pi2i布. n
检验的拒绝域形为： W= 2 C
当显著性水平给定时,可得 C=2 (k 1).
12
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
（2 n－1）
2 1
2 (n 1)
(n 1)S 2
2
t(n1 n2 2)
2 2 (n 1) (X Y ) (1 2 )
S 1 1 w n1 n2
t(n1 n2 2)
F1 2 (n1 1, n2 1)
F(n1 1,n2 1)
npi
近似服从 2(1)
按 0.05，查表得
2 0.05
(1)
3.841，拒绝域为
W= 2 3.841
这里，n=70+27=97, k=2,
实测频数为70，27.
理论频数为： np1=72.75, np2=24.25
由于统计量 2的实测值 2=0.4158<3.841，17
理论频数npˆi 217 149 51
12
3
22
战争次数x 实测频数 fi 概率估计 pˆi 理论频数npˆi
0
1
223 142
0.502 0.346
217 149
2 48 0.119 51
3 15 0.027
12
4
4
0.006
3
15
检验统计量的观察值为
2 k ( fi npi )2 k fi2 n
i 1
npi
i1 npˆi
KS分布检验和拟合优度χ2检验
KS分布检验和拟合优度χ2检验KS分布检验和拟合优度χ2检验是统计学中常用的两种检验方法，用于评估一个样本数据集是否符合某个已知理论分布。
本文将介绍这两种检验方法的原理、应用场景以及具体步骤。
一、KS分布检验KS分布检验是一种非参数检验方法，用于检验一个样本数据集是否符合某个已知理论分布。
它的原理是计算样本数据的累积分布函数（CDF）与理论分布的累积分布函数之间的最大差值（即KS统计量），然后和显著性水平进行比较，从而判断样本数据是否来自该理论分布。
KS分布检验的步骤如下：1. 建立假设：设定零假设和备择假设，一般零假设是样本数据符合某个已知理论分布，备择假设是样本数据不符合该理论分布。
2. 计算累积分布函数：根据已知理论分布，计算出每个数值对应的累积分布函数值。
3. 计算观察累积分布函数：对于样本数据集中的每个观察值，计算出对应的累积分布函数值。
4. 计算KS统计量：计算观察累积分布函数和理论累积分布函数之间的最大差值，即KS统计量。
5. 判断结果：将KS统计量与临界值比较，若KS统计量大于临界值，则拒绝零假设，即样本数据不符合该理论分布；若KS统计量小于等于临界值，则接受零假设，即样本数据符合该理论分布。
KS分布检验适用于任何理论分布的检验，常用于正态分布、指数分布等分布的检验。
它可以直观地判断样本数据与理论分布之间的差异，并给出数值化的统计结果。
二、拟合优度χ2检验拟合优度χ2检验是一种参数检验方法，用于检验一个样本数据集是否来自某个已知理论分布。
它的原理是计算样本数据的频数与理论分布的频数之间的差异，然后利用χ2统计量进行检验。
χ2统计量的计算公式为：χ2 = Σ((观察频数-理论频数)²/理论频数)其中，Σ表示对所有类别的频数求和。
拟合优度χ2检验的步骤如下：1. 建立假设：设定零假设和备择假设，一般零假设是样本数据符合某个已知理论分布，备择假设是样本数据不符合该理论分布。
2. 计算理论频数：根据已知理论分布，计算出每个类别的理论频数。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章厦大版
(p £ 0.01)
检验的水平
显然，两类错误的概率可作为衡量一个检验好坏的标准。对于一
用数学语言来讲，一个检验就是样本空间X (所有样本点的集合)
的一个划分：{W , W }，其中 W U W = X , W I W = f 。
当样本点落入W中时就拒绝H0(接受H1) ；当样本点落入 W 中时 就接受H0(拒绝H1) 。我们称W为“拒绝域”， W 为“接受域”。 检验的这个定义过于一般，我们不能从这个定义中得到任何构造 合理检验的指导原则。实际中一般使用能够衡量样本点与零假设 之间偏离程度的统计量来构造检验。称用来构造检验的统计量为 检验统计量。 对例7.1.1的假设检验问题
假设检验问题的表示
由此可见，在假设检验中不仅要明确什么是零假设，而且还要 明确备择假设是什么。因此一个假设检验问题通常表示为
H0 : q Î Q0 vs H1 : q Î Q1
(7.1.2)
其中 Q0 È Q1 Ì Q，Q0 Ç Q1 = f 。当备择假设是逻辑对立假
设时也可以不写出来。
比如，例7.1.1中的假设检验问题可表示为
当零假设被拒绝时，从逻辑上讲就意味着接受一个与之对立的 假设。我们称与零假设对立的假设为“备择假设”或“对立假设” (alternative hypothesis)，并记为 “H1：θ∈ Θ\Θ0 ”。这样的 假设可称为“逻辑对立假设”
在某些应用中，拒绝零假设不一定意味着接受逻辑对立假设， 而可能是意味着接受一个特定的假设“H1：θ∈ Θ1 ”，其中Θ1 为Θ\Θ0的真子集。
例7.1.2
随机抽测了50 名 2000 年 1 月出生的男婴的体重，希望确 定男婴的体重 X 是否服从正态分布。
F (x)：X 的分布函数
数理统计中的疑难问题
第六章 数理统计的基本概念1．什么是简单随机样本？怎样抽样可以得到简单随机样本？答 设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，如果满足 （1）12,,,n X X X 与X 同分布； （2）12,,,n X X X 相互独立，则称为简单随机样本. 此时，样本分布与总体分布的联系为121(,,,)()nn n ii F x x x F x ==∏ ，其中n F 是样本分布函数，F 是总体分布函数。
对总体进行随机地独立的重复观测即可得到简单随机样本. 随机性是指总体的每一个个体有相同的机会被抽到，因而样本对总体更具代表性. 独立性是指每次抽样的结果不受其它次抽样结果的影响。
2．为什么要引进统计量？为什么统计量中不能含有未知参数？答 引进统计量的目的是为了将杂乱无序的样本值归结为一个便于进行统计推断和研究分析的形式，集中样本所含信息，使之更易揭示问题实质，从而解决问题。
如果统计量中仍含有未知参数，就无法依靠样本观测值求出未知参数的估计值，因而失去利用统计量估计未知参数的意义，这是违背我们引进统计量的初衷的。
3．什么叫大样本与小样本？它们是以什么区分的？ 答 在样本容量固定条件下，进行的统计推断、分析问题称为小样本问题。
因为样本容量固定，如果能得到有关统计量或样本函数的精确分布，就能较精确和较满意地讨论和分析各种统计问题。
在样本容量趋于无穷条件下，进行的统计推断、分析问题称为大样本问题。
此时若能求出有关统计量或样本函数的极限分布，也可以利用极限分布作为近似分布来作统计推断。
所以，大样本与小样本不是以样本容量的大小来区分的，而是以得到统计量或样本函数的方式来区分的。
事实上，小样本问题有时要求的样本容量也很大，而大样本问题有时要求的样本容量并不大。
4．经验分布函数是否就是分布函数？ 答 经验分布函数是顺序统计量***12n X X X ≤≤≤的函数*1***1*0, ()/, , 1,2,,1,1, n k k n x X F x k n x x X k n x X +⎧<⎪=≤<=-⎨⎪≥⎩它既是实数x 的函数，又是顺序统计量***12,,,n X X X 的函数。
第四节分布函数的拟合优度检验
例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，
按不同颜色小汽车分类如下
汽车颜色 红 棕 黄 白 灰 蓝 事故次数 75 125 70 80 135 115
问：交通事故是否与汽车的颜色有关？ (α0.05) 分析：
如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种 颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.
所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.
例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼 唤的次数X，设f i为出现该 X值的频数，结果如下：
X 0123456789 f i 0 7 12 18 17 20 13 6 3 4
问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松 分布吗？ (α0.05)
(3) 若在原假设 H0下，总体分布的形式已知，但有r 个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这 r 个参数. 2. 将 x 轴分成K个互不重迭的小区间：
（ ， b 1 ） ,[ b 1 ， b 2 ） , ,[ b K 1 ， ）
3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数， 记为fi （ i=1,2, ……,K），称其为实际频数. 所有实 际频数之和 f1+ f2+ …+ fk 等于样本容量n.
P {1.4 5 9 X 1.5 5 } 9Φ （ 1.8） 7 Φ （ 1.3） 0 0 .96 0 9 .93 0 0 3 .02 661
P{X15.5}91Φ（1.8） 7 10.969 0.03307
列表计算：
X 分组
fi
Pi
nPi
1 (－∞，99.5) 5 0.0655 6.55
2.32 0.5560 5.3678
分布拟合检验
分布拟合检验分布拟合检验是一种统计方法，用于验证一个随机变量是否符合某个特定的概率分布。
在许多实际问题中，我们常常需要根据观测数据来推断数据的分布情况，而分布拟合检验可以帮助我们判断观测数据是否与我们假设的分布相符合。
我们需要明确什么是分布拟合检验。
分布拟合检验通过计算观测数据与理论分布之间的差异程度，来判断观测数据是否服从某个特定的概率分布。
常用的分布拟合检验方法有卡方检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
卡方检验是一种基于频数的检验方法，它将观测数据根据某个分布的概率密度函数进行分组，并计算观测频数与理论频数之间的差异。
通过比较观测频数和理论频数之间的差异程度，我们可以判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。
Kolmogorov-Smirnov检验是一种基于累积分布函数的检验方法，它通过计算观测数据的经验分布函数与理论分布的累积分布函数之间的最大差异，来判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。
下面以一个例子来说明分布拟合检验的具体步骤。
假设我们有一组观测数据，表示某种产品的寿命。
我们想要验证这些数据是否符合指数分布。
我们需要根据观测数据计算出经验分布函数。
经验分布函数是指在某个点上，小于或等于该点的观测值的比例。
通过计算观测数据的经验分布函数，我们可以得到一个累积分布函数的曲线。
然后，我们需要计算出指数分布的理论累积分布函数。
指数分布是一种常见的连续概率分布，它描述了独立随机事件发生的时间间隔的概率分布。
根据指数分布的参数估计，我们可以计算出理论累积分布函数的曲线。
接下来，我们使用Kolmogorov-Smirnov检验来比较观测数据的经验分布函数与指数分布的理论累积分布函数之间的差异。
具体来说，我们计算出两个分布函数之间的最大差异，并根据该差异值和显著性水平，来判断观测数据是否符合指数分布。
我们还可以使用卡方检验来验证观测数据是否符合指数分布。
卡方检验通过计算观测频数与理论频数之间的差异，来判断观测数据是否符合指数分布。
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数在之前的内容中，我们完成了参数估计的步骤，今天起我们将进⼊假设检验部分，这部分内容可参照《数理统计学教程》（陈希孺、倪国熙）。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是假设检验假设检验是⼀种统计推断⽅法，⽤来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的。
其步骤，其实就是提出⼀个假设，然后⽤抽样作为证据，判断这个假设是正确的或是错误的，这⾥判断的依据就称为该假设的⼀个检验。
假设检验在数理统计中有重要的⽤途，⽐如：橙⼦的平均重量是80⽄，这就是⼀个假设。
我们怎么才能知道它是对的还是错的？这需要我们对橙⼦总体进⾏抽样，然后对样本进⾏⼀定的处理，⽐如计算总体均值的区间估计，如果区间估计不包含80⽄，就认为原假设不成⽴，便拒绝原假设。
当然，由于样本具有随机性，因此我们只是对该假设进⾏检验⽽不是证明，也就是说不论假设检验的结果是接受假设还是拒绝假设，都不能认为假设本⾝是正确的或是错误的。
同时，假设的检验也不是唯⼀确定的，对任何假设都可以有⽆数种⽅案进⾏检验，⽐如上⾯的例⼦，95%的区间估计是⼀种检验，99%的区间估计也可以作为检验，90%的当然也可以，只要事先确定了即可。
总之，要将实⽤问题转化为统计假设检验问题处理，⼀般需要经历以下⼏个步骤：明确所要处理的问题，将其转化为⼆元问题，只能⽤“是”和“否”来回答。
设计适当的检验，规定假设的拒绝域，即拒绝假设时样本X 会落⼊的区域范围（当然也可以是统计量会落⼊的范围，这两个意思是⼀致的）。
抽取样本X 进⾏观测，计算需要的统计量的值。
根据样本的具体值作出接受假设或者否定假设的决定。
以下是假设检验问题的⼀些常⽤概念：零假设即原假设，指的是进⾏统计检验时预先建⽴的假设，⼀般是希望证明其错误的假设，⽤字母H 0表⽰。
这种区分⽅式⽐较⽞乎。
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频数 f i 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24
问能否认为箱中各种球的个数相同？( 0.05)
设若X表箱示中摸各出种球球的的种个类数,则相同这的X,三那取种么值球每为明次显摸1, 偏出2, 多任 ,1何0
依题意要检验一假种设球是等可能的
Pears箱o现n中k2各统 1种记计0,球n量X表的H观示20个:0察每0P数,值{r次X相为摸0同,i出}pi 的1/1球110P0,{的nXp(号ii=i码2}10,21,(,110则,1(i0i )
ai} 1
pi
(i 1, 2,,k)
fi X1, X2, , Xn 中取 a值i 的个数 (i 1, 2, , k)
频数 f是i r.v (1 i k),且 f1 f 2 fk n
若 H成0 立,即 P{X ai} pi (1 i k ),依大数定律有
事 发则件生的{Xf频i /n率ai}pi
10) 1, 2,
,10)
2
k
i 1
f
2 i
npi
n
1 20
10
i 1
f
2 i
n
224.9
200
24.9
16.919
2 0.95
(9)
故拒绝 H即0 , 认为箱中各种球的个数不相同第八. 章 假设检验
统计量
2
k
i 1
(
fi
npi )2 npi
的近似分布是
2 (k 1)
,其中 k
是被估计参数的个数.
一般当 n 5就0 认为 2 ~ 2 (k 1)
H0的拒绝域是
k
i 1
(
f
i
npnipi
)2
2 1
(k
1)
2的计算
称为 Pearson 2
2
k
i 1
(
fi
npnipi )2
拟合优度检验
k
i 1
H0 ：X ~ N (, 2 ) 考察某台电子仪器的无故障时间 12次,得数据
28, 42, 54, 92, 138, 159, 169, 181, 210, 234, 236, 266
问该仪器的无故障时间服从什么分布？ 设仪器的无故障时间 X ~ F(x) (F(x) 未知 )
通常认为寿命服从指数分布,故提出假设
fi n
P
pi
(n )
f i npi 事|件f i {nXpi |a应i}偏小
若 的2 值偏大Pe实,a则r际so要n频拒数2统绝计2 量Hik01理(2f服i论n发从pn频ip生什i )数2的么应概分第偏称 统八布率小为 计章 量P假ea设rs检on验 2
§6 分布拟合检验
5/7
不论总体服从什么分布, Pearson 2
f
2 i
npi
k
2n i 1
fi pi npi
k
n2 i 1
pi2 npi
k
i 1
f
2 i
npi
n
对连续型总体可离散化处理 第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
6/7
一箱子中有 种球10分别标有号码 从1箱~ 1中0.有放回
地摸球 次,得2如00下数据：
种类 ai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F0(x) F0(x ,ˆ1,ˆ2,,ˆr)
X ~ f (x) (密度函数 f (未x) 知 ),要检验
H0：f (x) f0(x) ，H1：f (x) f0(x)
其中 f0(为x) 某已知的密度函数. X (X 的分布律未知 ),要检验假设
H0：P{X ai} pi , H1：P{X ai} pi (i 1, 2,, k)
§6 分布拟合检验
1/7
设 X1, X2, , Xn 是总体 X ~ f (x , ) 的样本
如果 的f形式已知,只有参数 未知 ,则可通过点估计、 区间估计、参数假设检验等方法对 进行统计推断
如果 f 的形式未知,怎样对总体进行统计推断
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
2/7
2
通常认为一个班的某课程的考试成绩 服从X正态分布, 但事实是否真的如此？有必要检验假设
其中 a i , pi (1,2均, 已, k知) ,且
k
pi
1
i 1
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
4/7
设 X1, X 2,, Xn为离散型总体 X的样本 ,的X分布律 未知,要检验假设
其中 a i ,
pi
H0：P{X ai}
(1,2均, 已, k知) ,且 记
pi
,
H1：P{X
k
pi
i 1
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(x) 1 ex (x 0) 为指数分布函数.
2
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
3/7
设总体 X ~ F(x) (F(x)未知),要检验假设
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(为x) 某已知分布函数. 若 F0(含x) 未知参数 1,2,,r,则用 ML代E之,即