数理统计分布拟合检验
第八章 分布检验和拟合优度 检验
2
其中 n ( x) S ( x) F0 ( x) 在零假设下, W 2 ,U 2 的分布和F0 ( x)的分布无关. 注: nD2 2 和 U 2 的渐近分布一样; 4nD2 2 和 两个独立的 W 2 统计量的和的渐近分布一样.
关于正态分布的一些其他检验和相应的R程序
S ( x)
i
n
针对上面三种检验,检验统计量分别为 :
D sup x ( F0 ( x) S ( x)) D sup x F0 ( x) S ( x) D sup x ( S ( x) F0 ( x))
在零假设下,统计量D的分布对于一切连续分布F0 ( x) 是一样的
min i ni
分 时,Q趋于 (k 1)
2
例题
例8.3 某饭店想知道他的顾客用电话是否服从 Possion分布,在他们计算机上(n=908)获得一 个小时内打电话得数据:
打电话次数 相应的人数 0 1 2 3 490 334 68 16
15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95
按照设计要求，内径应该为15±0.2mm。 问题：检验一下这个数据是否来自均值为15，方差为0.04 的正态分布？
8.1 Kolmogrov-Smirnov单样本检验及一些正态性检验
设真实分布为F(x),假设问题：
F ( x) F0 ( x) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) F ( x) F ( x) 0
数理统计学研究中的模型拟合分析
数理统计学研究中的模型拟合分析数理统计学是一门研究统计方法和推断的学科，广泛应用于各个领域。
在数理统计学的研究中，模型拟合分析是一个重要的方法。
本文将探讨数理统计学研究中的模型拟合分析，并分析其在实际应用中的意义和局限性。
首先，我们来了解一下什么是模型拟合分析。
在数理统计学中，拟合分析是用函数或曲线对实验数据进行拟合和预测的过程。
通过拟合分析，我们可以找到最佳的数学模型，以解释和预测数据的变化规律。
在进行模型拟合分析时，我们通常会使用最小二乘法来确定模型中的参数，使得模型与观察数据的差距最小。
通过模型拟合分析，我们可以对现象进行更深入的研究和理解。
在研究中，模型拟合分析有着重要的实际应用。
例如，在经济学中，研究人员可以通过对历史数据进行模型拟合分析，预测未来的经济趋势和市场变化。
在医学研究中，模型拟合分析可以用于分析疾病的传播和发展规律，从而制定有效的预防和治疗策略。
在环境科学研究中，通过模型拟合分析，可以对气候变化、环境污染等现象进行预测和评估。
通过拟合分析，我们可以更好地了解现象的本质和规律，为科学研究和决策提供有力的支持。
然而，模型拟合分析也存在一些局限性。
首先，模型拟合分析是基于观察数据的，因此对数据的质量和可靠性要求较高。
如果数据存在噪声或异常值，可能会导致拟合结果的不准确性。
其次，模型拟合分析基于对数据的假设，假设的合理性对拟合结果的准确性有着重要影响。
如果假设不准确或不符合实际情况，拟合结果可能会出现偏差。
此外，模型拟合分析往往是基于已有数据的，对未知数据的预测能力较弱。
在面对新情况和新数据时，需要进行额外的验证和修正。
为了提高模型拟合分析的准确性和可靠性，研究人员也在不断探索和发展新的方法和技术。
例如，非参数拟合方法可以更好地处理复杂的数据分布和关系，提高模型的适应性和预测能力。
同时，模型拟合分析也可以与其他统计方法相结合，如时间序列分析、方差分析等，以得到更全面和深入的结果。
总结起来，数理统计学研究中的模型拟合分析是一个重要的方法，可以帮助我们理解和预测各种现象和问题。
概率论课件分布拟合检验
基因表达分析
通过分布拟合检验，可以 对基因表达数据进行统计 分析，了解基因表达模式 和功能。
临床试验数据分析
在临床试验中，分布拟合 检验可用于分析药物疗效、 疾病发病率等数据。
其他应用场景
环境监测
在环境监测领域，分布拟合检验可用 于分析空气质量、水质等环境指标的 分布特征。
社会调查
在社会调查中，分布拟合检验可用于 分析人口普查、民意调查等数据，了 解社会现象和趋势。
本研究还发现，不同分布拟合检验方法在拟合效 果上存在差异，其中QQ图和概率图在判断分布拟 合优劣方面表现较好，而直方图在可视化展示方 面更具优势。
研究展望
在未来的研究中，可以进一步 探讨其他理论分布与实际数据 的拟合程度，以寻找更合适的
分布模型。
可以结合机器学习和人工智能 算法，对数据进行更深入的挖 掘和分析，以提高分布拟合检
分析结果表明，所选理论分布与实际数据存在一 定的拟合程度，但也存在一定的偏差。其中，正 态分布和指数分布与实际数据的拟合效果较好， 而泊松分布和威布尔分布的拟合效果相对较差。
在本研究中，我们采用了多种分布拟合检验方法 ，包括直方图、QQ图、概率图和统计检验等方法 ，对实际数据进行了深入的分析和比较。
通过绘制直方图和QQ图，可 以直观地观察数据分布与理论 分布的拟合程度。同时，计算 峰度系数和偏度系数等统计指 标，可以量化地评估分布拟合 程度。
案例二：人口普查数据分布拟合检验
• 总结词：人口普查数据分布拟合检验是评估人口数据质量和预测人口发 展趋势的重要手段。
• 详细描述：通过对人口普查数据进行分布拟合检验，可以判断人口数据 是否符合预期的分布形态，如年龄、性别、地区分布等，从而评估数据 质量和预测未来人口发展趋势。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
7.4似然比检验与分布拟合检验
4 July 2024
第七章 假设检验
第23页
解：这是一个典型的分布拟合优度检验，总体 共有6类，其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、 0.2、0.1和0.1，选用如下卡方检验统计量
2 k ni npi 2 ，
i 1
npi
检验拒绝域为:
这里k=6，
2
2 1
5
,
4 July 2024
4 July 2024
第七章 假设检验
第2页
当 ( x) 较大时，拒绝原假设 H0 ， 否则，接受 H0 ，
这种检验方法称为似然比检验。
例1 对正态总体，方差已知，检验问题
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
似然比为
(x)
p( x1,, xn , 1 ) p( x1,, x, 0 )
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
1
)2
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
0
)2
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第七章 假设检验
exp
1
2 2
n
[( xi
i 1
1 )2
(xi
0
)2
]
exp
1 2
0
2
n
(2xi
i 1
1 0 )
exp
n ( 1
0 )
x
0
n
4 July 2024
第七章 假设检验
第10页
可得临界值为 c1 F1 (1, n 1)
这样检验统计量也可以为
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。
本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。
一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。
参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。
最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。
矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。
矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。
参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。
常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。
二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。
假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。
常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。
假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。
结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。
如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。
假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。
三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。
在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。
概率论GL8.3
第八章 假设检验
§8.3 分布拟合检验
概 率 进行讨论的。在实际应用中，总体分布常常是未知的， 论 与 所以要对总体分布的假设进行检验，这就是分布拟合 数 2 检验法。 检验．本节仅介绍 理 统 计
上节中各检验法都是在总体分布形式为已知的前提下
8.3.1 离散型情形
26 11
0.194 0.163
19.4 16.3
6.6 -5.3
2.245 1.723
9
0.114 0.069
11.4 6.9
-2.4 2.1
0.505 0.639
概 率 论 与 数 理 统 计
9
2 1
2 1 0
0.036 0.017
0.007 0.003 0.002
3.6 1.7
0.7 0.3 0.2 6.2815 -0.5 0.0385
故在水平 0.05 下接受 H 0 ，即认为样本来自泊松分布，
也就是说认为理论上的结合是符合实际的。
概 率 论 与 数 理 统 计
例2 研究混凝土抗压强度 X 的分布，已测得 200 件混凝土试件的抗压强度以分组的形式列如下表 （1kgf=9.8N）:
j
压强区间kgf/cm2 190～200 200～210 210～220 220～230 230～240 240～250
频率逐渐稳定在 p j 的附近,它们之间的差异,在统计意义 下将越来越小。
所以，样本中出现 j 的频数 n j 和理论频数 np j 之间
概 率 皮尔逊（Pearson）提出的使用统计量 论 r ( n np ) 2 与 j 2 j 数 np j j 1 理 一般来说， 统 来衡量实际频数 n j 与理论频数 np j 的差异程度。 计 若 H 0 为真，且实验的次数又是足够多的,则这种差异即 2
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现在2=363. 37-360=3.37，k=4，20.1(4-1)=6. 251>3.37，故接受H0，认为两性状符合孟德尔遗传规律中9：3：3：1的遗传比例．
第三部分分布族的2拟合检验法(40分钟)
（二）分布族的2拟合检验
在（一）中要检验的原假设是H0：总体X的分布函数是F(x)，其中F(x)是已知的，这种情况是不多的．我们经常遇到的所需检验的原假设是
H0：总体X服从泊松分布
解因在H0中参数未具体给出，所以先估计．由最大似然估计法得 ．在H0假设下,即在X服从泊松分布的假设下，X所有可能取的值为Ω ={0,1,2,…},将Ω分成如表8-4所示的两两不相交的子集A0,A1,…A12．则P{X=i}有估计
例如
表8-5例3的2拟合检验计算表
Ai
fi
A0
皮尔逊定理及其应用
教学方法
提问、讲授、启发、讨论
工具仪器
多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表
教学安排
考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结
教学过程
教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明
备 注
第一部分：旧知识点复习和新课内容概述(5分钟)
(6.2)
的统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，其中Ci(i=1,2,…k)为给定的常数。皮尔逊证明，如果选取Ci=n/pi(i=1,2,…k)，则由(6.2)定义的统计量具有下述定理中所述的简单性质。于是我们就采用
2= = (6.3)
作为检验统计量。
定理若n充分大，则当H0为真时统计量(6.3)近似服从2(k-1)分布。（证略）
表8-3例2的2检验计算表
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频数 f i 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24
问能否认为箱中各种球的个数相同？( 0.05)
设若X表箱示中摸各出种球球的的种个类数,则相同这的X,三那取种么值球每为明次显摸1, 偏出2, 多任 ,1何0
依题意要检验一假种设球是等可能的
Pears箱o现n中k2各统 1种记计0,球n量X表的H观示20个:0察每0P数,值{r次X相为摸0同,i出}pi 的1/1球110P0,{的nXp(号ii=i码2}10,21,(,110则,1(i0i )
ai} 1
pi
(i 1, 2,,k)
fi X1, X2, , Xn 中取 a值i 的个数 (i 1, 2, , k)
频数 f是i r.v (1 i k),且 f1 f 2 fk n
若 H成0 立,即 P{X ai} pi (1 i k ),依大数定律有
事 发则件生的{Xf频i /n率ai}pi
10) 1, 2,
,10)
2
k
i 1
f
2 i
npi
n
1 20
10
i 1
f
2 i
n
224.9
200
24.9
16.919
2 0.95
(9)
故拒绝 H即0 , 认为箱中各种球的个数不相同第八. 章 假设检验
统计量
2
k
i 1
(
fi
npi )2 npi
的近似分布是
2 (k 1)
,其中 k
是被估计参数的个数.
一般当 n 5就0 认为 2 ~ 2 (k 1)
H0的拒绝域是
k
i 1
(
f
i
npnipi
)2
2 1
(k
1)
2的计算
称为 Pearson 2
2
k
i 1
(
fi
npnipi )2
拟合优度检验
k
i 1
H0 ：X ~ N (, 2 ) 考察某台电子仪器的无故障时间 12次,得数据
28, 42, 54, 92, 138, 159, 169, 181, 210, 234, 236, 266
问该仪器的无故障时间服从什么分布？ 设仪器的无故障时间 X ~ F(x) (F(x) 未知 )
通常认为寿命服从指数分布,故提出假设
fi n
P
pi
(n )
f i npi 事|件f i {nXpi |a应i}偏小
若 的2 值偏大Pe实,a则r际so要n频拒数2统绝计2 量Hik01理(2f服i论n发从pn频ip生什i )数2的么应概分第偏称 统八布率小为 计章 量P假ea设rs检on验 2
§6 分布拟合检验
5/7
不论总体服从什么分布, Pearson 2
f
2 i
npi
k
2n i 1
fi pi npi
k
n2 i 1
pi2 npi
k
i 1
f
2 i
npi
n
对连续型总体可离散化处理 第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
6/7
一箱子中有 种球10分别标有号码 从1箱~ 1中0.有放回
地摸球 次,得2如00下数据：
种类 ai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F0(x) F0(x ,ˆ1,ˆ2,,ˆr)
X ~ f (x) (密度函数 f (未x) 知 ),要检验
H0：f (x) f0(x) ，H1：f (x) f0(x)
其中 f0(为x) 某已知的密度函数. X (X 的分布律未知 ),要检验假设
H0：P{X ai} pi , H1：P{X ai} pi (i 1, 2,, k)
§6 分布拟合检验
1/7
设 X1, X2, , Xn 是总体 X ~ f (x , ) 的样本
如果 的f形式已知,只有参数 未知 ,则可通过点估计、 区间估计、参数假设检验等方法对 进行统计推断
如果 f 的形式未知,怎样对总体进行统计推断
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
2/7
2
通常认为一个班的某课程的考试成绩 服从X正态分布, 但事实是否真的如此？有必要检验假设
其中 a i , pi (1,2均, 已, k知) ,且
k
pi
1
i 1
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
4/7
设 X1, X 2,, Xn为离散型总体 X的样本 ,的X分布律 未知,要检验假设
其中 a i ,
pi
H0：P{X ai}
(1,2均, 已, k知) ,且 记
pi
,
H1：P{X
k
pi
i 1
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(x) 1 ex (x 0) 为指数分布函数.
2
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
3/7
设总体 X ~ F(x) (F(x)未知),要检验假设
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(为x) 某已知分布函数. 若 F0(含x) 未知参数 1,2,,r,则用 ML代E之,即