第五章拟合优度和独立性检验
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
大学统计学 第5章 拟合优度检验
拟合优度检验的一般原理
χ2检验的分类 1、适合性检验
检验总体是否与某种理论分布或模型相符 合，称为适合性检验。 2、独立性检验 按两个标志（两向）分类的记数资料排成 横行与纵列的表格，称为列联表。检验列 联表内横、纵两向的标志在个体上的出现 是否相关，称为独立性检验。
检验方法 1、 零假设为不存在处理效应。若计算得到 的P>α则接受零假设；若计算得到的P<α则 接受备择假设。
独立性检验
2、P的计算方法：在行总数、列总数及N都保持 不变的情况下，a、b、c、d的各种组合概率可由 以下通式计算：
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可直接用 该概率值作为判断的标准；(例7.5)
因为计算理论数时参数φ ＝3/4已知，不需要用样本估计，
因此a=0，df=4-1=3 χ23,0.05=7.815 χ2< χ20.05 接受H0，符 合9：3：3：1的分离比，df=3，不需矫正。
适合性检验
df=1一定矫正，否则甚至会得到相反结论 例:用正常翅的野生型果蝇与残翅的果蝇杂 交，F1代均表现为正常翅。F1代自交，所 得F2代中包括311个正常翅和81个残翅。问 这一分离比是否符合孟德尔3：1的理论比
3 有时需用样本数据估计总体参数。记所估计参数 个数为a；
4 合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并后的 组数计为k；
5 自由度为k-1-a，a为需要由样本估计的参数个数;
6 零假设：H0：O-T =0 ；
7
第四讲拟合优度检验和独立性检验
2
Scott Marketing Research Co.
Scott公司进行了一项市场份额的研究。在过去 的一年里，公司A的市场份额稳定在30%，公司B在 50%，公司C在20%。最近公司C开发了一种“新型” 产品并取代了当前市场的产品。Scott受雇于公司C， 为它判断新产品是否使市场份额发生了改变。 Scott公司通过问卷调查了一组200名的顾客群 体，询问他们对公司A、B、C的购买偏好，结果48人 选择A，98人选择了B，54人选择了C。根据这些数据， Scott公司需要判断市场份额是否已经发生了变化。
i 1
期望频数ei
抽样分布是什么？ 在大样本情形而且所有期望频数不少于5的时 2 候，近似地有 k ( f e ) 2 i i ~ 2 (k p 1)
i 1
ei
20
给定显著水平为0.1，拒绝域应该是什 么？
(k p 1) (7) 12 .017
26
计算期望频数
一个饮酒者喜欢三种啤酒的概率分别是多少？ 既然与性别独立，那么按照这种概率分布在调查的这 些男性中应该喜欢三种不同啤酒的人数是多少？女性 中呢？ 第i行之和 第j列之和 e H0成立时的期望频数： ij
样本容量
淡啤酒 普通啤酒 37.33 32.67 70 黑啤酒 16 14 30 合计 80 70 150 男性 女性 合计 26.67 23.33 50
到达顾客数 观察频数 期望频数 0或1 10 5.174743 2 10 10.78072 3 12 17.96786 4 18 22.45982 5 22 22.45982 6 22 18.71652 7 16 13.36894 8 12 8.355589 9个以上 6 8.715985 合计 128 128
第五章卡方检验
χ2＝ ∑
（Oi－Ei）2 Ei
χ2值就等于各组观测 值和理论值差的平方与理 论值之比，再求其和。
(Oi − Ei ) χ =∑ Ei i =1
2 k
2
已经证明当k充分大时，由上式定义 的统计量近似服从����ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ�������2分布
χ2 检验的原理是： 应用理论推算值(E)与实际观测值 (O)之间的偏离程度来决定其χ2值的大 小。在计算理论推算值(E)与实际观测 值(O)之间的符合程度时,一般采用 ∑(E-O)2。对于k组资料采用:
∑ (O − E )
i i
2
值越大，观测值与理论值相差也就
越大，反之越小。
奖学金
200元
一等 10元
5％
７0元
三 等 10元 实际得到60元
14％
实际得到190元
等级 观测值（O） 理论（E） O-E 一等 三等 190 60 200 70 -10 -10
（O－E）2 100 100
两组差数虽然相同，但其差数占理论值的比重不同。
χ2＜ χ20.05
P＞0.05
接受H0 ，即豌豆F2分离符合9：3：3：1的自由组合规律。
方法二
315 101 108 32
黄圆：黄皱：绿圆：绿皱＝
2 i
9 3 3 1 ： ： ： 16 16 16 16
2 2 2 2 1 O 1 315 101 108 32 + + χ2 = ∑ −n = × + − 556 = 0.470 3 1 3 n pi 556 9 16 16 16 16
χ2 ＝0.016+0.101+0.135+0.218＝0.470
第五章 拟合优度和独立性检验
2检验统计量的计算过程
类别
A公司 B公司
假设比例
观察频数 f 期望频数np 差
差的平方
0.45 0.40
102 82
90 80
12 2
144 4
其他公司 0.15
合计1630 Nhomakorabea-14
196
1
k
200
200
\
\
2 ( f np ) i 2 i 8.18 npi i 1
拟合优度检验
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
拟合优度检验 1.多项总体拟合优度检验 2.泊松分布拟合优度检验 3.正态分布拟合优度检验
实测频数
fi npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 在理论分布
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
已知的条件下, npi是常量
统计量
的分布是什么?
2
皮尔逊证明了如下定理: 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 定，那么当n 时，统计量 的分布渐近(k-1)个自由度的 分布.
表12-7 超市研究中的统计量计算结果
到达顾客数 观察频数 期望频数 差的平方
差的平方/期望频数
0或1
2
10
10
5.17
10.78
23.28
0.61
4.5
0.06
3
4 5 6 7 8 9或9以上
第五章 χ2检验
χ2的连续性矫正
由上式计算的 χ2 只是近似地服从连续型随机变 量 χ2 分布。在对次数资料迚行χ2 检验利用连续型随 机变量χ2分布计算概率时，常常偏高，特别是当自 由度为1时，偏差较大。
矫正后的χ2值记为χc2
当自由度大于1时， χ2分布与连续型随机变量
χ2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
总和
r1 r2
总和
R1= O11 + O12 R2= O21 + O22
C1= O11 + O21
C2= O12 + O22
T
给药方式与给药效果的2×2列联表 给药方式
口服 注射
有效
58 64
无效
40 31
总数
98(R1) 95(R2)
有效率
59.2％ 67.4％
总数
122(C1)
71(C2)
193(T)
1.H0 ：给药方式与给药效果相互独立。
HA ：给药方式与给药效果有关联。
2.给出显著水平α＝0.05
3.计算各个理论数 Eij＝Ri×Cj/T=行总数×列总数/总数
E11= R1 × C1/T=61.95 E21= R2 × C1/T=60.05 E12= R1 × C2/T=36.05 E22= R2 × C2/T=34.95
本章内容
一、离散型数据 x2 统计量和 x2分布 二、拟合优度检验 三、独立性检验
拟合优度检验 （吻合度检验）
理论数可以通过一定的理论分布或某种学说 推算出。用实际观察数与理论数直接比较，从而得
出两者之间是否吻合，这一类检验称为吻合度检验。
独立性检验
分析两类因子是相互独立还是彼此相关。理论 值的推算没有什么理论或学说作依据，这时可假设 观察的各属性之间没有关联，然后证明这种无关联 的假设是否成立。这种检验称为独立性检验。
拟合优度检验-PPT
总数 98 (n1 ) 95 (n2 ) 193 (N)
有效率 59.2% 67.4%
22
※二、2 2列联表的精确检验法（Fisher检验法）
前提条件：某一格的理论数小于5。 思 想：用古典概型的方法求出尾区的概率，
然后与给定的显著性水平 相比，大于则接
受 H 0 ，反之拒绝。 需要解决的问题：
1.用古典概型求2 2列联表出现某一组数值的概率
注射 c
d
Tij
(i行和 )(j列 N
和 )
自由度 df = 1
19
四格表资料 2 检验的专用公式：
和前面的结果 一样
2
(adbc)2n
(ab)(cd)(ac)(bd)
2 (|adbc|0.5n)2n
(ab)(cd)(ac)(bd)
20
2. rc列联表
n11 n12 n13 L n1c
n21 n22 n23 L n2c
与理论(期望)频数（Expected frequency ）之差 是否由抽样误差所引起。
补充：皮尔逊定理（pearson） 设 (p1,p2,L,pr)为总体的真实概率分布，统计量
2 r (ni npi )2 i1 npi 随n的增加渐近于自由度为r-1的 2 分布。
6
r
X2
(Oi Ti)2 ~X2(r1)
Oi
实际频数
黄花 84
绿花 16
合计 100
12
【补例7.3】（ Poisson分布的拟合优度检验）将酵母细
胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小方格内的酵
母细胞数，共观察了413个小方格，结果见表7.3第1、2列，
试问该资料是否服从Poisson分布？
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
卡方检验与拟合优度检验
卡方检验与拟合优度检验卡方检验是一种统计学方法，用于确定两个或多个分类变量之间是否存在显著的关联或差异。
它的原理是通过比较实际观察到的频数与期望的频数之间的差异来判断两个变量是否相关。
拟合优度检验则是卡方检验的一种特殊形式，用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
1. 卡方检验卡方检验可分为独立性检验和拟合度检验两种类型。
独立性检验用于确定两个分类变量之间是否相互独立，拟合度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的差异。
在进行卡方检验时，首先需要建立一个原假设（H0）和一个备择假设（Ha）。
原假设通常是假设两个变量之间没有关联或差异，备择假设则是假设两个变量之间存在关联或差异。
然后，计算实际观察到的频数和期望的频数。
实际观察到的频数是指在样本中观察到的不同类别的频数，而期望的频数是指根据原假设计算得出的在理论上预期的频数。
接下来，使用计算公式计算卡方值：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示求和，O表示实际观察到的频数，E表示期望的频数。
最后，根据计算出的卡方值，查找对应的卡方分布表，找到相应自由度下的临界值。
比较计算出的卡方值和临界值，如果计算出的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联或差异；如果计算出的卡方值小于临界值，则无法拒绝原假设，认为两个变量之间不存在关联或差异。
2. 拟合优度检验拟合优度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
在进行拟合优度检验时，需要根据已知的理论分布计算期望的频数，然后计算卡方值并进行比较，以确定理论分布与实际观察到的分布之间是否存在显著的差异。
拟合优度检验的步骤与卡方检验类似，需要建立原假设和备择假设，并计算实际观察到的频数和期望的频数。
然后根据计算出的卡方值比较原假设和备择假设，判断理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
总结：卡方检验和拟合优度检验是两种常用的统计方法，用于确定分类变量之间的关联或差异以及评估已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
5 拟合优度检验和独立性检验【好艰难】
32.8-0.968×6.161=A B C D E
其中，当α = 0.167时，查表得z=-0.968， 其他类似得到。由此表可以得到6个区间。
然后可填写这张表格：
数值 低于A A~B B~C C~D D~E 观察频数 期望频数 差 差的平方 差的平方与期望频数相除
E以上
• 拒绝法则：
练习
•
练习
•
5 拟合优度检验和独立性检验
拟合优度检验：多项总体
独立性检验：列联表 拟合优度检验：泊松分布 拟合优度检验：正态分布
独立性检验：列联表
• 列联表：在独立性检验中，用于汇总观察频数与期望频 数的表格。 • 例：阿尔伯特生产三种类型的啤酒：淡啤酒、普通啤酒 和黑啤酒。市场研究小组提出了男女饮酒者对于三种啤 酒的偏好是否有差异的问题。该独立性检验的假设为：
人事部进行标准化考试，考试分数是录用雇员决策中的主要因素。随着每年进行的 大量考试，人事主管提出正态分布是否可以用于考试分数总体的问题。 （ χ2=7.2<14.067，不能拒绝） • 关于求职者考试分数分布的假设
•
样本均值和样本标准差作为正态分布的均值和标准差的点估计，求得均值： 68.42， 标准差为10.41，样本容量为50，我们把正态分布划分为10个等概率区间，这样也满
（ χ2=6.13>5.991，拒绝）
独立性检验：列联表
• 假定已经抽取了一个由150名饮酒者组成的随机样本。品 尝每种啤酒之后，让样本中每个人陈述其偏好或第一选 择。
独立性检验：列联表
• 当啤酒偏好与饮酒者性别独立时的期望频数
•
充分理解性别独立的含义：即在男女中，三种选择的比例完全相等，
26.67:37.33:16=23.33:32.67:14，这是计算期望频数的根本！
《拟合优度检验》课件
柯克伦科夫勒检验
总结词
柯克伦科夫勒检验是一种基于概率的拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著。
详细描述
柯克伦科夫勒检验基于二项分布，通过计算观测频数与期望频数的离差平方和，得到柯克伦科夫勒统计量。在样 本量足够大的情况下，柯克伦科夫勒统计量近似服从正态分布。通过比较柯克伦科夫勒统计量与临界值，可以判 断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
03
拟合优度检验的步骤
Chapter
确定检验假设
零假设（H0）
样本数据与理论分布无显著差异。
对立假设（H1）
样本数据与理论分布存在显著差异。
计算检验统计量
统计量计算
根据样本数据和理论分布的性质，计 算相应的统计量，如卡方统计量、熵 值统计量等。
统计量性质
了解统计量的分布特性，以便后续的 临界值判断。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著 。
详细描述
斯皮尔曼秩检验基于秩次，通过将观测频数与期望频数按照大小排序，并计算秩次之差得到秩次统计 量。在自由度等于分类数减一的情况下，秩次统计量服从F分布。通过比较秩次统计量与临界值，可 以判断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
Chapter
皮尔逊卡方检验
总结词
皮尔逊卡方检验是最常用的拟合优度检验方法之一 ，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显 著。
详细描述
皮尔逊卡方检验基于卡方分布，通过计算观测频数 与期望频数的离差平方和，得到卡方统计量。在自 由度等于分类数减一的情况下，卡方统计量服从卡 方分布。通过比较卡方统计量与临界值，可以判断 观测频数与期望频数是否存在显著差异。
国开(中央电大)本科《社会统计学》网上形考任务试题及答案
国开(中央电大)本科《社会统计学》网上形考任务试题及答案章节测试试题及答案一、试题部分1.某班级有60名男生，40名女生，为了了解学生购书支出，从男生中抽取12名学生，从女生中抽取8名学生进行调查。
这种调查方法属于( )。
2.以下关于因变量与自变量的表述不正确的是( )。
3.为了解某地区的消费，从该地区随机抽取5000户进行调查，其中30%回答他们的月消费在5000元以上，40%回答他们每月用于通讯、网络的费用在300元以上。
此处5000户是( )。
4.某班级有100名学生，为了了解学生消费水平，将所有学生按照学习成绩排序后,在前十名学生中随机抽出成绩为第3名的学生，后面依次选出第13、23、33、43、53、63、73、83、93九名同学进行调查。
这种调查方法属于( )。
1.某班级学生平均每天上网时间可以分为以下六组：1)1小时及以下；2)1-2小时；3)2-3小时；4)3-4小时；5)4-5小时；6)5小时及以上，则5小时及以上这一组的组中值近似为( )。
2.下表为某专业一年级学生平均每周上网时间的频率分布表，按照向上累积的方法计算第5组的累积频率是( )。
3.以下关于条形图的表述，不正确的是( )。
等距分组和不等距分组有什么区别？请举例说明。
某行业管理局所属40个企业2011年产品销售额数据如下所示。
要求：(1)对2011年销售额按由低到高进行排序，求出众数、中位数和平均数。
(2)如果按照规定，销售额在125万元以上的为先进企业，115万-125万之间的为良好企业，105万-115万之间的为一般企业，105万以下的为落后企业，请按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业进行分组，编制频数分布表，并计算累积频数和累积频率。
某大学有六门选修课，全校学生可以随意选择，不受任何限制。
根据教务处最终选课结果发现，全校一年级2000名学生中，有200人选修大学生心理分析，有400人选修影视欣赏，有180人选修古代中国文学鉴赏，有350人选修人格魅力的欣赏与培养，有570人选修社会统计方法及SPSS软件的应用，有300人选修当代中国外交分析。
拟合优度检验和独立性检验 英文版
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Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
Rejection Rule Reject H0 if p-value < .05 or χ2 > 7.815. With α = .05 and k-1=4-1=3 degrees of freedom
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Hypothesis (Goodness of Fit) Test for Proportions of a Multinomial Population
5. Rejection rule: p-value approach: Reject H0 if p-value < α Reject H0 if
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Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
Hypotheses H0: pC = pL = pS = pA = .25 Ha: The population proportions are not pC = .25, pL = .25, pS = .25, and pA = .25 where: pC = population proportion that purchase a colonial pL = population proportion that purchase a log cabin pS = population proportion that purchase a split-level splitpA = population proportion that purchase an A-frame A-
教育统计学课后练习参考答案
教育统计学课后练习参考答案教育统计学课后练习参考答案第⼀章1、教育统计学，就是应⽤数理统计学的⼀般原理和⽅法，对教育调查和教育实验等途径所获得的数据资料进⾏整理、分析，并以此为依据，进⾏科学推断，从⽽揭⽰蕴含在教育现象中的客观规律的⼀门科学。
教育统计学既是统计科学中的⼀个分⽀学科，⼜是教育科学中的⼀个分⽀学科，是两种科学相互结合、相互渗透⽽形成的⼀门交叉学科。
从学科体系来看，教育统计学属于教育科学体系的⼀个⽅法论分⽀；从学科性质来看，教育统计学⼜属于统计学的⼀个应⽤分⽀。
2、描述统计主要是通过对数据资料进⾏整理，计算出简单明⽩的统计量数来描述庞⼤的资料，以显⽰其分布特征的统计⽅法。
推断统计⼜叫分析统计，它根据统计学的原理和⽅法，从我们所研究的全体对象（即总体）中，按照等可能性原则采取随机抽样的⽅法，抽出总体中具有代表性的部分个体组成样本，在样本所提供的数据的基础上，运⽤概率理论进⾏分析、论证，在⼀定可靠程度上对总体的情况进⾏科学推断的⼀种统计⽅法。
3、在⾃然界或教育研究中，⼀种事物常存在⼏种可能出现的情况或获得⼏种可能的结果，这类现象称为随机现象。
随机现象具的特点：（1）⼀次条件完全相同的实验有多种可能的结果（这样的实验称为随机实验）；（2）在实验之前不能确切知道哪种结果会发⽣；（3）在相同的条件下可以重复进⾏这样的实验。
4、总体，也叫做母体或全域，是指具有某种共同特征的个体的总和。
当所研究的总体数量⾮常⼤时，可以从总体中抽取其中⼀部分个体来观测，由此来推断总体的信息，从总体中抽出的这部分个体就称为样本，它是⽤以表征总体的个体的集合。
通常将样本中样本个数⼤于或等于30个的样本称为⼤样本，⼩于30个的称为⼩样本。
5、复置抽样指每次抽出的个体经观测后，仍放回原总体，然后再从总体中抽取下⼀个个体。
6、反映总体特征的量数叫做总体参数，简称参数。
反映样本特征的量数叫做样本统计量，简称统计量。
参数是总体的真正数值，是固定的常量，理论上应该通过计算总体中全部个体的数值⽽获得，但由于总体中个体的数量通常很⼤，总体参数往往很难获得，在统计分析中⼀般通过样本的数值来估计。
统计学三大检验方法
统计学三大检验方法一、前言在数据分析中，我们经常需要对样本数据进行检验以判断其是否符合某些假设或推断。
统计学三大检验方法包括t检验、方差分析和卡方检验，是数据分析中常用的方法之一。
二、t检验1.概述t检验是一种用于比较两个样本均值是否显著不同的方法。
它可以用于两个样本的独立样本t检验和配对样本t检验。
2.独立样本t检验独立样本t检验适用于两个不相关的样本。
它的基本思想是通过比较两个组别的平均值来判断它们是否有显著性差异。
具体步骤如下：（1）建立假设：假设两个组别的总体均值相等；（2）确定显著性水平：通常选择0.05作为显著性水平；（3）计算统计量：根据公式计算出t值；（4）查找临界值：根据自由度和显著性水平查找临界值；（5）作出结论：比较计算得到的t值与临界值，如果计算得到的t值小于临界值，则接受原假设，否则拒绝原假设。
3.配对样本t检验配对样本t检验适用于两个相关的样本。
它的基本思想是比较两个组别的差异是否显著。
具体步骤如下：（1）建立假设：假设两个组别的总体均值相等；（2）确定显著性水平：通常选择0.05作为显著性水平；（3）计算统计量：根据公式计算出t值；（4）查找临界值：根据自由度和显著性水平查找临界值；（5）作出结论：比较计算得到的t值与临界值，如果计算得到的t值小于临界值，则接受原假设，否则拒绝原假设。
三、方差分析1.概述方差分析是一种用于比较三个或以上样本均值是否显著不同的方法。
它可以用于单因素方差分析和双因素方差分析。
2.单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。
它的基本思想是通过比较各组之间的离散程度来判断它们是否有显著性差异。
具体步骤如下：（1）建立假设：假设各组的总体均值相等；（2）确定显著性水平：通常选择0.05作为显著性水平；（3）计算统计量：根据公式计算出F值；（4）查找临界值：根据自由度和显著性水平查找临界值；（5）作出结论：比较计算得到的F值与临界值，如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝原假设，否则接受原假设。
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程卡方检验是统计学中一种常用的假设检验方法，它适用于分析两个变量之间的关系以及检验两个分布之间的差异。
本文将详细介绍卡方检验的流程以及应用场景。
一、卡方检验的基本概念卡方检验是基于卡方分布的检验方法，首先需要了解卡方分布。
卡方分布是统计学中常用的概率分布，是由自由度为n的n个独立标准正态分布随机变量平方和所组成的随机变量的分布。
卡方检验是通过计算观察值与期望值之间的差异来检验数据之间是否存在相关性或差异。
这里的观察值指的是实际观测到的数据，期望值则是通过假设检验得到的预测值。
当观察值与期望值之间的差异越大，就说明两个变量之间的相关性或差异越显著。
卡方检验分为拟合优度检验和独立性检验两种类型。
拟合优度检验用于检验样本分布是否符合某个已知的理论分布，而独立性检验则用于检验两个变量之间是否存在关联。
二、卡方检验的流程卡方检验的流程通常分为以下五个步骤：1.建立假设在进行卡方检验之前，需要明确所要检验的假设。
一般情况下，研究人员提出两个假设：原假设和备择假设。
原假设通常是指不存在差异或关联，备择假设则是指存在差异或关联。
例如，在研究男女生育率是否存在差异时，原假设可以设为男女生育率相同，备择假设可以设为男女生育率存在差异。
2.计算卡方值计算卡方值是卡方检验的核心内容。
卡方值通常通过以下公式计算：其中，O为观察值，E为期望值，n为数据总量，k为自由度。
自由度的计算公式为（r-1）*（c-1），其中r表示行数，c表示列数，代表每个分类变量在计算期望值时可以独立取值的数量。
具体而言，在研究男女生育率是否存在差异的例子中，可以将数据按照男女分类，列出如下的交叉表：假设男性生育率的期望比例为50%，女性生育率的期望比例也为50%，那么期望频数可以通过以下公式计算：期望频数=总频数*期望比例男性生育率的期望频数为1000 * 0.5 = 500，女性生育率的期望频数也为500。
5 拟合优度检验和独立性检验【好艰难】
独立性检验：列联表
• 独立性检验统计量
式中fij —列联表中第i行第j列类别的观察频数； eij —列联表中第i行第j列类别的期望频数。 • 对于n行m列的列联表，检验统计量服从2值分布，自由
度为(n-1 )×(m-1 )，其中所有类别的期望频数都大于或
等于5。
• 后面的题目其实都是在套用这张表格
的总工资费用的同时，提供足够的职员以达到良好的服务水平。
• 用5分钟时间段内进入商店的顾客数来规定到达数
（ χ2=10.96<14.067，不能拒绝）
由128个5分钟时间段顾客到达组成的样本的观察频数
顾客到达的期望频数
当期望频数小于5时，不满足χ2分布要求。上表中，到达顾客数为0、1、9 、10个以上时，不满足要求，故需要合并，将“0”和“1”合并，“9”和
期望频数 28.5 39.9 45.6 21.5 30.1 34.4
差 -8.5 4.1 4.6 8.5 -4.1 -4.4
差的平方
差的平方与期望频数相除
练习
• 《商业周刊》1996年读者调查的一个问题是：“在过去的12个月中，当你 公务旅行时，你最常买何种飞机票？”得到的数据列于如下列联表中。
32.8-0.968×6.161=A B C D E
其中，当α = 0.167时，查表得z=-0.968， 其他类似得到。由此表可以得到6个区间。
然后可填写这张表格：
数值 低于A A~B B~C C~D D~E 观察频数 期望频数 差 差的平方 差的平方与期望频数相除
E以上
（ χ2=6.13>5.991，拒绝）
独立性检验：列联表
• 假定已经抽取了一个由150名饮酒者组成的随机样本。品 尝每种啤酒之后，让样本中每个人陈述其偏好或第一选 择。
第五章 卡方拟合优度检验
2
c2
c12
c
2 2
s (nij
i1 j1
Nij )2 Nij
~c 2 (2(s 1))
• H0：F1(X)＝F2(X)成立时，意味着 X1, , X n1和Y1, ,Yn2 是来自同一个总体，且 P(X Ai ) P(Y Ai ), (i 1, , s)
所以N1j和N2j的估计值为
第三节 列联表检验
1. r 个总体分布的齐一性检验 比较 r 个总体的分布函数F1(X),…,Fr(X)是否一致？ 假设检验： H0：Fi(X)＝F(X) ，i=1,…,r
• 数据结构：
总体分类
A1
……
As
X1 频数
n11
……
n1s
合计 n1·
……
……
……
……
……
Xr 频数
nr1
……
nrs
nr ·
i!
2608 3.87i i!
e3.87 ,
i 0,1,2
第二节 齐一性检验
1. 两个总体分布的齐一性检验
比较两个总体的分布函数F1(X)和F2(X)是否一致？ 假设检验： H0：F1(X)＝F2(X) ；H1：F1(X)≠F2(X) 。 • 对这两个总体进行独立抽样，分别获得F1(X)和F2(X) 的独立样本 X1, , X n1和Y1, ,Yn2。 • 这两个总体变量的值域应该一致。我们把该值域分成 s 段 A1,…, As（分类方法要求与样本独立），比较 F1(X)和F2(X) 在A1,…, As上的分布或比例是否一致。 • 对这两个独立样本X1, , X n1和Y1, ,Yn2在 Aj ( j 1, , s)中 出现的频数分别进行统计，记作 n1 j和n2 j ( j 1, , s)。
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解决这类问题的工具是英国统计学家
K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进
的所谓 2检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
K.皮尔逊
2检验法是在总体X 的分布未知时，
根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法.
战争次数X 发生 X次战争的年数
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布.
现在的问题是：
上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.
这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法检验假设H0时，若在H0下
分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
分布拟合的 2检验法 的基本原理和步
骤如下:
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
2检验统计量的计算过程
类别
假设比例 观察频数 f 期望频数np 差 差的平方
A公司 0.45 102
90
12 144
B公司 0.40 82
80
其他公司பைடு நூலகம்0.15 16
30
24 -14 196
合计
1
200 200
\\
2 k ( fi npi )2 8.18
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
的分布渐近(k-1)个自由度的
2分布.
如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用
相应的估计量来代替，那么当 n 时，统
计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2分
布.
根据这个定理，对给定的显著性水平 ，
需要检验的是一个多项总体：每一个顾客按照他所购买A公 司、B公司还是C公司的产品来进行分类。
拟合优度检验（比例检验）
(goodness of fit test)
1. 检验多个比例是否相等
2. 检验的步骤
– 提出假设
• H0：1 = 2 = … = j； H1： 1 , 2 , … , j 不全相等
根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
拟合优度检验
1.多项总体拟合优度检验 2.泊松分布拟合优度检验 3.正态分布拟合优度检验
品质数据（定性数据）的假设检验
品质数据
比例检验
一个总体
多项总体
Z 检验 Z 检验 检验
两个总体
实测频数
理论频数
fi npi
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
第五章 拟合优度和独立性检验
在前面的课程中，我们已经了解了假设 检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正 态时，关于未知参数的假设检验问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
查
2分布表可得临界值
2
，使得
P( 2 2 )
得拒绝域:
2
2
(k
1)
(不需估计参数)
2
2
(k
r
1)
(估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
独立性检验 检验
多项总体
多项总体：总体中的每一个个体被分配到几个类别中的一个 且被分配到一个类别中的情况。
例：在过去的一年中，A公司的市场份额稳定在30%，B公司 稳定在50%,C公司稳定在20%，最近C公司开发了一种“新型 改进”产品，以取代当前市场上该公司所售产品。启典市场 调查公司受雇于C公司，目的是判断新产品是否使市场份额 发生了改变。
– 计算检验的统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
进行决策
根据显著性水平和自由度(k-1)查出临界值2 若2>2，拒绝H0；若2<2，接受H0
拟合优度检验(比例检验）
• 【例】为了提高市场占有率，A公司和B公司同时开展了 广告宣传。在广告宣传战之前，A公司的市场占有率为 45%，B公司的市场占有率为40%，其他公司的市场占有 率为15%。为了了解广告战之后A、B和其他公司的市场 占有率是否发生变化，随机抽取了200名消费者，其中102 人表示准备购买A公司产品，82人表示准备购买B公司产 品，另外16人表示准备购买其他公司产品。检验广告战前 后各公司的市场占有率是否发生了变化 ( 0.05)