第五章拟合优度和独立性检验
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生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
大学统计学 第5章 拟合优度检验
• 皮尔逊（Ｋ.Pearson）首创χ2统计量。应用中n须要比较 大且各组的理论次数皆大５时，该统计量即可近似的服从 χ2分布。若存在理论次数小于５的组，则须加大样本容量， 或将理论次数小于５的组与邻组合并。
拟合优度检验的一般原理
χ2检验的分类 1、适合性检验
检验总体是否与某种理论分布或模型相符 合，称为适合性检验。 2、独立性检验 按两个标志（两向）分类的记数资料排成 横行与纵列的表格，称为列联表。检验列 联表内横、纵两向的标志在个体上的出现 是否相关，称为独立性检验。
检验方法 1、 零假设为不存在处理效应。若计算得到 的P>α则接受零假设；若计算得到的P<α则 接受备择假设。
独立性检验
2、P的计算方法：在行总数、列总数及N都保持 不变的情况下，a、b、c、d的各种组合概率可由 以下通式计算：
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可直接用 该概率值作为判断的标准；(例7.5)
因为计算理论数时参数φ ＝3/4已知，不需要用样本估计，
因此a=0，df=4-1=3 χ23,0.05=7.815 χ2< χ20.05 接受H0，符 合9：3：3：1的分离比，df=3，不需矫正。
适合性检验
df=1一定矫正，否则甚至会得到相反结论 例:用正常翅的野生型果蝇与残翅的果蝇杂 交，F1代均表现为正常翅。F1代自交，所 得F2代中包括311个正常翅和81个残翅。问 这一分离比是否符合孟德尔3：1的理论比
3 有时需用样本数据估计总体参数。记所估计参数 个数为a；
4 合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并后的 组数计为k；
5 自由度为k-1-a，a为需要由样本估计的参数个数;
6 零假设：H0：O-T =0 ；
7
拟合优度检验的一般原理
χ2检验的分类 1、适合性检验
检验总体是否与某种理论分布或模型相符 合，称为适合性检验。 2、独立性检验 按两个标志（两向）分类的记数资料排成 横行与纵列的表格，称为列联表。检验列 联表内横、纵两向的标志在个体上的出现 是否相关，称为独立性检验。
检验方法 1、 零假设为不存在处理效应。若计算得到 的P>α则接受零假设；若计算得到的P<α则 接受备择假设。
独立性检验
2、P的计算方法：在行总数、列总数及N都保持 不变的情况下，a、b、c、d的各种组合概率可由 以下通式计算：
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可直接用 该概率值作为判断的标准；(例7.5)
因为计算理论数时参数φ ＝3/4已知，不需要用样本估计，
因此a=0，df=4-1=3 χ23,0.05=7.815 χ2< χ20.05 接受H0，符 合9：3：3：1的分离比，df=3，不需矫正。
适合性检验
df=1一定矫正，否则甚至会得到相反结论 例:用正常翅的野生型果蝇与残翅的果蝇杂 交，F1代均表现为正常翅。F1代自交，所 得F2代中包括311个正常翅和81个残翅。问 这一分离比是否符合孟德尔3：1的理论比
3 有时需用样本数据估计总体参数。记所估计参数 个数为a；
4 合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并后的 组数计为k；
5 自由度为k-1-a，a为需要由样本估计的参数个数;
6 零假设：H0：O-T =0 ；
7
第四讲拟合优度检验和独立性检验
2
Scott Marketing Research Co.
Scott公司进行了一项市场份额的研究。在过去 的一年里，公司A的市场份额稳定在30%，公司B在 50%，公司C在20%。最近公司C开发了一种“新型” 产品并取代了当前市场的产品。Scott受雇于公司C， 为它判断新产品是否使市场份额发生了改变。 Scott公司通过问卷调查了一组200名的顾客群 体，询问他们对公司A、B、C的购买偏好，结果48人 选择A，98人选择了B，54人选择了C。根据这些数据， Scott公司需要判断市场份额是否已经发生了变化。
i 1
期望频数ei
抽样分布是什么？ 在大样本情形而且所有期望频数不少于5的时 2 候，近似地有 k ( f e ) 2 i i ~ 2 (k p 1)
i 1
ei
20
给定显著水平为0.1，拒绝域应该是什 么？
(k p 1) (7) 12 .017
26
计算期望频数
一个饮酒者喜欢三种啤酒的概率分别是多少？ 既然与性别独立，那么按照这种概率分布在调查的这 些男性中应该喜欢三种不同啤酒的人数是多少？女性 中呢？ 第i行之和 第j列之和 e H0成立时的期望频数： ij
样本容量
淡啤酒 普通啤酒 37.33 32.67 70 黑啤酒 16 14 30 合计 80 70 150 男性 女性 合计 26.67 23.33 50
到达顾客数 观察频数 期望频数 0或1 10 5.174743 2 10 10.78072 3 12 17.96786 4 18 22.45982 5 22 22.45982 6 22 18.71652 7 16 13.36894 8 12 8.355589 9个以上 6 8.715985 合计 128 128
第五章卡方检验
χ2＝ ∑
（Oi－Ei）2 Ei
χ2值就等于各组观测 值和理论值差的平方与理 论值之比，再求其和。
(Oi − Ei ) χ =∑ Ei i =1
2 k
2
已经证明当k充分大时，由上式定义 的统计量近似服从����ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ�������2分布
χ2 检验的原理是： 应用理论推算值(E)与实际观测值 (O)之间的偏离程度来决定其χ2值的大 小。在计算理论推算值(E)与实际观测 值(O)之间的符合程度时,一般采用 ∑(E-O)2。对于k组资料采用:
∑ (O − E )
i i
2
值越大，观测值与理论值相差也就
越大，反之越小。
奖学金
200元
一等 10元
5％
７0元
三 等 10元 实际得到60元
14％
实际得到190元
等级 观测值（O） 理论（E） O-E 一等 三等 190 60 200 70 -10 -10
（O－E）2 100 100
两组差数虽然相同，但其差数占理论值的比重不同。
χ2＜ χ20.05
P＞0.05
接受H0 ，即豌豆F2分离符合9：3：3：1的自由组合规律。
方法二
315 101 108 32
黄圆：黄皱：绿圆：绿皱＝
2 i
9 3 3 1 ： ： ： 16 16 16 16
2 2 2 2 1 O 1 315 101 108 32 + + χ2 = ∑ −n = × + − 556 = 0.470 3 1 3 n pi 556 9 16 16 16 16
χ2 ＝0.016+0.101+0.135+0.218＝0.470
第五章 拟合优度和独立性检验
2检验统计量的计算过程
类别
A公司 B公司
假设比例
观察频数 f 期望频数np 差
差的平方
0.45 0.40
102 82
90 80
12 2
144 4
其他公司 0.15
合计1630 Nhomakorabea-14
196
1
k
200
200
\
\
2 ( f np ) i 2 i 8.18 npi i 1
拟合优度检验
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
拟合优度检验 1.多项总体拟合优度检验 2.泊松分布拟合优度检验 3.正态分布拟合优度检验
实测频数
fi npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 在理论分布
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
已知的条件下, npi是常量
统计量
的分布是什么?
2
皮尔逊证明了如下定理: 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 定，那么当n 时，统计量 的分布渐近(k-1)个自由度的 分布.
表12-7 超市研究中的统计量计算结果
到达顾客数 观察频数 期望频数 差的平方
差的平方/期望频数
0或1
2
10
10
5.17
10.78
23.28
0.61
4.5
0.06
3
4 5 6 7 8 9或9以上
第五章 χ2检验
χ2的连续性矫正
由上式计算的 χ2 只是近似地服从连续型随机变 量 χ2 分布。在对次数资料迚行χ2 检验利用连续型随 机变量χ2分布计算概率时，常常偏高，特别是当自 由度为1时，偏差较大。
矫正后的χ2值记为χc2
当自由度大于1时， χ2分布与连续型随机变量
χ2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
总和
r1 r2
总和
R1= O11 + O12 R2= O21 + O22
C1= O11 + O21
C2= O12 + O22
T
给药方式与给药效果的2×2列联表 给药方式
口服 注射
有效
58 64
无效
40 31
总数
98(R1) 95(R2)
有效率
59.2％ 67.4％
总数
122(C1)
71(C2)
193(T)
1.H0 ：给药方式与给药效果相互独立。
HA ：给药方式与给药效果有关联。
2.给出显著水平α＝0.05
3.计算各个理论数 Eij＝Ri×Cj/T=行总数×列总数/总数
E11= R1 × C1/T=61.95 E21= R2 × C1/T=60.05 E12= R1 × C2/T=36.05 E22= R2 × C2/T=34.95
本章内容
一、离散型数据 x2 统计量和 x2分布 二、拟合优度检验 三、独立性检验
拟合优度检验 （吻合度检验）
理论数可以通过一定的理论分布或某种学说 推算出。用实际观察数与理论数直接比较，从而得
出两者之间是否吻合，这一类检验称为吻合度检验。
独立性检验
分析两类因子是相互独立还是彼此相关。理论 值的推算没有什么理论或学说作依据，这时可假设 观察的各属性之间没有关联，然后证明这种无关联 的假设是否成立。这种检验称为独立性检验。
拟合优度检验-PPT
总数 98 (n1 ) 95 (n2 ) 193 (N)
有效率 59.2% 67.4%
22
※二、2 2列联表的精确检验法（Fisher检验法）
前提条件：某一格的理论数小于5。 思 想：用古典概型的方法求出尾区的概率，
然后与给定的显著性水平 相比，大于则接
受 H 0 ，反之拒绝。 需要解决的问题：
1.用古典概型求2 2列联表出现某一组数值的概率
注射 c
d
Tij
(i行和 )(j列 N
和 )
自由度 df = 1
19
四格表资料 2 检验的专用公式：
和前面的结果 一样
2
(adbc)2n
(ab)(cd)(ac)(bd)
2 (|adbc|0.5n)2n
(ab)(cd)(ac)(bd)
20
2. rc列联表
n11 n12 n13 L n1c
n21 n22 n23 L n2c
与理论(期望)频数（Expected frequency ）之差 是否由抽样误差所引起。
补充：皮尔逊定理（pearson） 设 (p1,p2,L,pr)为总体的真实概率分布，统计量
2 r (ni npi )2 i1 npi 随n的增加渐近于自由度为r-1的 2 分布。
6
r
X2
(Oi Ti)2 ~X2(r1)
Oi
实际频数
黄花 84
绿花 16
合计 100
12
【补例7.3】（ Poisson分布的拟合优度检验）将酵母细
胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小方格内的酵
母细胞数，共观察了413个小方格，结果见表7.3第1、2列，
试问该资料是否服从Poisson分布？
5第五章 拟合优度检验
表5-3
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
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问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀” 的假设是可信的？
解决这类问题的工具是英国统计学家
K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进
的所谓 2检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
K.皮尔逊
2检验法是在总体X 的分布未知时，
根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法.
战争次数X 发生 X次战争的年数
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布.
现在的问题是：
上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.
这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法检验假设H0时，若在H0下
分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
分布拟合的 2检验法 的基本原理和步
骤如下:
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
2检验统计量的计算过程
类别
假设比例 观察频数 f 期望频数np 差 差的平方
A公司 0.45 102
90
12 144
B公司 0.40 82
80
其他公司பைடு நூலகம்0.15 16
30
24 -14 196
合计
1
200 200
\\
2 k ( fi npi )2 8.18
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
的分布渐近(k-1)个自由度的
2分布.
如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用
相应的估计量来代替，那么当 n 时，统
计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2分
布.
根据这个定理，对给定的显著性水平 ，
需要检验的是一个多项总体：每一个顾客按照他所购买A公 司、B公司还是C公司的产品来进行分类。
拟合优度检验（比例检验）
(goodness of fit test)
1. 检验多个比例是否相等
2. 检验的步骤
– 提出假设
• H0：1 = 2 = … = j； H1： 1 , 2 , … , j 不全相等
根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
拟合优度检验
1.多项总体拟合优度检验 2.泊松分布拟合优度检验 3.正态分布拟合优度检验
品质数据（定性数据）的假设检验
品质数据
比例检验
一个总体
多项总体
Z 检验 Z 检验 检验
两个总体
实测频数
理论频数
fi npi
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
第五章 拟合优度和独立性检验
在前面的课程中，我们已经了解了假设 检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正 态时，关于未知参数的假设检验问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
查
2分布表可得临界值
2
，使得
P( 2 2 )
得拒绝域:
2
2
(k
1)
(不需估计参数)
2
2
(k
r
1)
(估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
独立性检验 检验
多项总体
多项总体：总体中的每一个个体被分配到几个类别中的一个 且被分配到一个类别中的情况。
例：在过去的一年中，A公司的市场份额稳定在30%，B公司 稳定在50%,C公司稳定在20%，最近C公司开发了一种“新型 改进”产品，以取代当前市场上该公司所售产品。启典市场 调查公司受雇于C公司，目的是判断新产品是否使市场份额 发生了改变。
– 计算检验的统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
进行决策
根据显著性水平和自由度(k-1)查出临界值2 若2>2，拒绝H0；若2<2，接受H0
拟合优度检验(比例检验）
• 【例】为了提高市场占有率，A公司和B公司同时开展了 广告宣传。在广告宣传战之前，A公司的市场占有率为 45%，B公司的市场占有率为40%，其他公司的市场占有 率为15%。为了了解广告战之后A、B和其他公司的市场 占有率是否发生变化，随机抽取了200名消费者，其中102 人表示准备购买A公司产品，82人表示准备购买B公司产 品，另外16人表示准备购买其他公司产品。检验广告战前 后各公司的市场占有率是否发生了变化 ( 0.05)
解决这类问题的工具是英国统计学家
K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进
的所谓 2检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
K.皮尔逊
2检验法是在总体X 的分布未知时，
根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法.
战争次数X 发生 X次战争的年数
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布.
现在的问题是：
上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.
这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法检验假设H0时，若在H0下
分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
分布拟合的 2检验法 的基本原理和步
骤如下:
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
2检验统计量的计算过程
类别
假设比例 观察频数 f 期望频数np 差 差的平方
A公司 0.45 102
90
12 144
B公司 0.40 82
80
其他公司பைடு நூலகம்0.15 16
30
24 -14 196
合计
1
200 200
\\
2 k ( fi npi )2 8.18
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
的分布渐近(k-1)个自由度的
2分布.
如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用
相应的估计量来代替，那么当 n 时，统
计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2分
布.
根据这个定理，对给定的显著性水平 ，
需要检验的是一个多项总体：每一个顾客按照他所购买A公 司、B公司还是C公司的产品来进行分类。
拟合优度检验（比例检验）
(goodness of fit test)
1. 检验多个比例是否相等
2. 检验的步骤
– 提出假设
• H0：1 = 2 = … = j； H1： 1 , 2 , … , j 不全相等
根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
拟合优度检验
1.多项总体拟合优度检验 2.泊松分布拟合优度检验 3.正态分布拟合优度检验
品质数据（定性数据）的假设检验
品质数据
比例检验
一个总体
多项总体
Z 检验 Z 检验 检验
两个总体
实测频数
理论频数
fi npi
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
第五章 拟合优度和独立性检验
在前面的课程中，我们已经了解了假设 检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正 态时，关于未知参数的假设检验问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
查
2分布表可得临界值
2
，使得
P( 2 2 )
得拒绝域:
2
2
(k
1)
(不需估计参数)
2
2
(k
r
1)
(估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
独立性检验 检验
多项总体
多项总体：总体中的每一个个体被分配到几个类别中的一个 且被分配到一个类别中的情况。
例：在过去的一年中，A公司的市场份额稳定在30%，B公司 稳定在50%,C公司稳定在20%，最近C公司开发了一种“新型 改进”产品，以取代当前市场上该公司所售产品。启典市场 调查公司受雇于C公司，目的是判断新产品是否使市场份额 发生了改变。
– 计算检验的统计量
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
进行决策
根据显著性水平和自由度(k-1)查出临界值2 若2>2，拒绝H0；若2<2，接受H0
拟合优度检验(比例检验）
• 【例】为了提高市场占有率，A公司和B公司同时开展了 广告宣传。在广告宣传战之前，A公司的市场占有率为 45%，B公司的市场占有率为40%，其他公司的市场占有 率为15%。为了了解广告战之后A、B和其他公司的市场 占有率是否发生变化，随机抽取了200名消费者，其中102 人表示准备购买A公司产品，82人表示准备购买B公司产 品，另外16人表示准备购买其他公司产品。检验广告战前 后各公司的市场占有率是否发生了变化 ( 0.05)