高中数学直线与椭圆相切
直线和椭圆的位置关系
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总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
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y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
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( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
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练习 x y 3. 已知椭圆 1, 过右焦点F2的直 5 4 16 5 线l交椭圆于A, B两点，若 AB ， 5 求直线l的方程。
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小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
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2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
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作业：
1、直线l：y=x+n与椭圆 数n的取值范围。 2、在椭圆
x2 y2 1 没有交点，求实 3 2
x y 1 上求一点P使得该点到直线 3 2
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l：y=x+4的距离最近。
所以： m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5 时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
思考
直线与椭圆相交时
如何求其弦长？
例2、已知直线 l：y=x+1与椭圆
x + y2 =1相交于A、B两点，求弦AB的长。 4
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分析：先求出交点，再用两点间距离公 式。
直线与椭圆的位置关系
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
直线和椭圆相切状态下的一个简单性质
直线和椭圆相切状态下的一个简单性质作者：庄志刚杨云显来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第04期椭圆中的性质很多，大多是针对焦半径和焦点弦的某种形式出现的定值问题的研究.对于直线和椭圆相交或相切状态下的简单适用的结果不多.笔者曾写过一篇关于“直线和椭圆相交状态下的一个通用性质”[1]的文章，对标准方程下焦点三角形的面积和坐标间的对应关系进行了一点初步的研究.近来通过直线和椭圆相切状态下的有关计算，得到下面结论，期待能对实践应用有所帮助.如果先以中心在原点，焦点在x轴上的标准椭圆为载体进行研究，可以得到如下结论：图1性质1 如图1，若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则1k（1k1+1k2）为定值，且定值为-2λ.为了证明上面结论，先不妨证明以下结论.结论1 若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上异于长轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，设两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，则（1k1+1k2）=2x0y0.证明设椭圆的两焦点F1（-c，0），F2（c，0）（其中c=a2-b2），则1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.得到这个结果的过程比较容易，从这个结果可以看出，过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所得两条焦半径（斜率都存在）的斜率的倒数和与点的横纵坐标有关.结论2 设P（x0，y0）为椭圆x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上异于长轴端点外的任意一点，l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，则其斜率k与点P坐标有关，且k=-x0λy0.证明λ>1，曲线表示以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆，设过P（x0，y0）的直线斜率为k，则l的方程为y-y0=k（x-x0）.联立方程组：x2λb2+y2b2=1，y-y0=k（x-x0），消去y得：（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）因为l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0整理得：λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+λ（b2-y20）=0.（2）又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以x20λb2+y20b2=1.所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.将结果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.可以看出：过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所做椭圆的切线的斜率与坐标有关，也与a2，b2的比值有关系.在结论1和结论2的支持下，我们来证明性质1就不难了.因为a>b>0，a2b2=λ，所以椭圆方程即x2λb2+y2b2=1，P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，所以由结论2，过P所做椭圆的切线的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.焦半径PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，所以由结论1得：1k1+1k2=2x0y0，由上面的结果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性质1得到证明.有些与直线和圆锥曲线的位置关系有关的题目中，经常进行一些类似的定量计算，如2013年高考山东卷理科数学试题22题第三问，就考查了如下问题：椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为其上异于长轴端点外的任意一点，过点P做斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个交点.设PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.可以看出，这是以上性质的特殊情形，单从结论的角度，不难得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.计算过程参照定理的证明，不难得到结果.如果椭圆是中心在原点，焦点在y轴上的标准椭圆，模仿以上结论，进行以上步骤的计算研究，不难得到上面定理的另一种形式下的结论：图2性质2 如图2，若P（x0，y0）为椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则k（k1+k2）为定值，且定值为-2λ.定理2的算式部分形式与定理1稍有区别，但最后的结果完全一样.证明过程与定理1的证明类似，从略.综合性质1和性质2，可以看出，它们的共同特点是：结果形式简单，关系直接明确，易于理解掌握，便于实践应用.圆锥曲线的学习过程中，老师们经常会遇到大量的涉及直线和圆锥曲线的定量运算的题目，解答这些题目的过程中，多加用心反思和对比，也许就会发现一些隐藏其中的有用的规律，规律的探索过程和成就感也是数学美的重要方面吧.参考文献[1] 杨云显，孟艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.作者简介庄志刚，男，山东青岛人，1966年9月生，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学，曾获全国教研工作先进个人，在各类刊物发表十几篇论文;杨云显，男，山东即墨人，1971年6月生人，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学，曾获青岛市教学能手，在各类刊物发表多篇论文.。
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
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目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
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则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
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目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
2020年浙江高三数学总复习：直线与椭圆的位置关系(一)复习讲义
第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------- 知识链条完善h -------------------------- 把散落的知识连起来------------阿络构建一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"；22得关于b x a y a bx 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km<ax+a2(m2-b 2)=0,则有直线与椭圆相交？有两个交点？△ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？上0,直线与椭圆相离？没有交点？ g.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系，解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论, , 2 2 , ,(1) 若P o(x o,y o)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是a bx o x + y o y =i~ar ■, , 2 2 , ,⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1外,则过点P o作椭圆的两条切线，切点a b为R,P2,则切点弦PR的直线方程是竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法), 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+音=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b⑵把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程)；⑷由韦达定理得x1+x?,^1^x2的值(或Y1+y2,y1^y2的值)；(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+占=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB,弦长公式d=〔_k2• |x i-x2|= .i ；• |y i-y2|.3•点差法U型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);⑵把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算量较大，运算应细心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法. 设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论. _ 2 2 _____________________________________ __(1)AB是椭圆务+气=1的不平行于对称轴的弦,M(x o,y 0)为AB的中点,a b.2 2贝卩k oM • k AB=- ,即k AB=- .a a y02 2⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1内，则被P o所平分的中点弦的方程为a b2 2b2+ y°y =x0 +y。
直线与椭圆相切条件的几种几何解释
直线与椭圆相切条件的几种几何解释作者：田广明来源：《中学数学杂志(高中版)》2011年第06期受直线与圆的位置关系判断方式有代数法和几何法两种的启发,笔者从直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1相切的条件“a2A2+b2B2=C2”出发,通过代数式的变形,发现了有趣的几何意义,在此与大家共享.1 结论直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切①2 形式变形及几何解释形式变形1 (1)若B≠0,①式两边同除以B2得--C+aAB)•(-C-aAB)=b2,令y1=-C+aAB,y2=-C-aAB,则y1、y2分别是直线x=±a与直线Ax+By+C=0的交点的纵坐标.几何解释1 斜率存在的直线l与椭圆E相切,则直线l与x=±a交点的纵坐标y1、y2之积等于椭圆短半轴的平方,即y1•y2=b2.形式变形2 (2)若A≠0,①式两边同除以A2得,a2A2--C+bBA)•(-C-bBA)=a2,令x1=-C+bBA,x2=-C-bBA,则x1、x2分别是y=±b与直线Ax+By+C=0的交点的横坐标.几何解释2 斜率不为零的直线l与椭圆E相切,则直线l与y=±b交点的横坐标x1、x2之积等于椭圆长半轴的平方,即x1•x2=a2.形式变形3 (3)不妨令AB>0,C如图1,E(0,b)、Q(a,0)、M(0,-CB)、N(-CA,0),作EF∥PQ∥MN,F、P分别是直线EF和PQ 与x轴、y轴的交点,则P(0,aAB),F(bBA,0),分别作MN、PQ、EF关于x轴、y轴的对称直线,显然由对称性得,它们分别围成三个菱形.则②式△OPQ+S△OEF=S△△OPQ=S△OMN-S△OEF=S梯形菱形MN1M1N=S菱形PQ1P1Q+S菱形EF1E1F几何解释3 斜率存在且不为零的直线l与椭圆E相切,则直线l和过椭圆顶点与l平行的直线及它们关于两坐标轴的对称直线围成的菱形中,最大的菱形面积等于其余两菱形面积之和,即S菱形MN1M1N=S菱形PQ1P1Q+S菱形EF1E1F.注 (Ⅰ)当AB=0时,不能围成四边形,此时直线l与椭圆E相切的几何意义明显.(Ⅱ)当PQ、EF重合时,内部两菱形重合,结论亦成立,即S菱形MN1M1N=2S菱形PQ1P1Q(Ⅲ) 由S△OPQ=S△OMN-S△OEF=S梯形EFMN得,两阴影部分面积相等,即SⅠ=SⅡ(如图1).形式变形4 因为A2+B2≠0,故-(a2--c2A2=(A2+B2)b2(其中c为椭圆的半焦距--cA+C|A2+B2•|cA+C|A2+B2=b2,令d1=|-cA+C|A2+B2,d2=|C+cA|A2+B2,则d1、d2分别表示焦点F1(-c,0)、F2(c,0)到直线l:Ax+By+C=0的距离.几何解释4 直线l与椭圆E相切,则椭圆E的两焦点到直线l的距离d1、d2之积等于椭圆短半轴的平方.即d1•d2=b2.个人简介田广明，男，毕业于山东师范大学数学教育专业，本科学历，山东济南人，出生于1973年12月，中学一级教师，研究方向：中学（高中）数学教育.。
经过一点与椭圆相切怎么求直线的方程
《一点与椭圆相切-求直线的方程》1. 引言在数学领域中，椭圆是一种常见的几何形状，而求一点与椭圆相切并求直线的方程则是一个具有一定难度和挑战性的问题。
本文将围绕这一主题展开讨论，并提供深度和广度兼具的解析。
2. 表面浅谈让我们从最基本的椭圆方程开始：椭圆的标准方程为\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴。
3. 探索椭圆与直线的关系椭圆与直线相切是指直线与椭圆恰好只有一个交点，并且该交点刚好在直线上。
想要求一点与椭圆相切并求直线的方程，我们需要先找到这个交点的坐标。
4. 确定相切点的坐标设椭圆的标准方程为\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]而直线的一般方程为\[y = mx + c\]我们需要求解这两个方程组的解，得到直线与椭圆的交点坐标。
5. 解决过程将直线方程代入椭圆方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1\]整理并化简上式，得到关于x的二次方程，解得x的两个根。
再将x的两个根代入直线方程，即可得到相应的y坐标。
6. 推导直线方程直线的方程可以表示为y = mx + c，而c是直线的截距。
将求得的交点坐标代入直线方程，即可得到完整的直线方程。
7. 结论与回顾在本文中，我们首先深入讨论了椭圆的标准方程和直线的一般方程，然后通过求解方程组的方法，找到了一点与椭圆相切并求直线的方程。
这种方法可以帮助我们更好地理解直线与椭圆的几何关系，对于解决类似问题具有一定的指导意义。
8. 个人观点对于这个主题，我个人认为，通过深入的数学推导和几何分析，我们可以更好地理解直线与椭圆相切的条件，并运用这一原理解决实际问题。
这个问题也拓展了我们对于椭圆和直线的认识，为数学领域的研究和应用提供了有益的启示。
通过上述深度和广度兼具的分析，我们得出了一点与椭圆相切并求直线的方程的方法，同时也得出了对这一问题的全面理解和总结。
直线与椭圆的位置关系
由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0
2 2
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25，
40 25 15 41 直线 m与椭圆的交点到直线d l的距离最近。 直线 l到椭圆的最近距离为： 2 2 41 4 5 40 25 15 且d 41
否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ 并求出该点坐标.最大呢？ y
l
O
m
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个
数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关
于另一变量的一元二次方程． (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
点被平分，求此弦所在直线的方程.
Hale Waihona Puke 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一
x2 y 2 1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是 例：已知椭圆 25 9
证法一：记△ OCM 的面积是 S1 ，△ ODN 的面积是 S2 ． 由 M (2m,0) ， N (0, m) ， 则 S1 S2
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
D
A.没有公共点 C.两个公共点
B.一个公共点 D.有公共点
x2 y2 变式二.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 1 5 m
总有公共点，则实数m的取值范围
1,5 。
2.椭圆上的点到直线的距离的最值
2 2
x y 例3：已知椭圆 1，直线l： 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 y 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ 最小距离是多少？
消去y，得25x 8kx k - 225 0
2 2
由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0
2 2
3直线与椭圆相交弦长的求法
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
1 y x 2
消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
直线与椭圆的位置关系
位置关系: 相交 相切 ( 一个交点 相离 (( 二个交点 没有交点 )))
相离(没有交点)
相切(一个交点) 相交(二个交点)
(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0有两个公共点直线与椭圆相交； (2)△=0 有且只有一个公共点直线与椭圆相切； (3)△<0 无公共点直线与椭圆相离．
2 2 2 2
设而不求
两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，直线P1P2的斜率为k．
直线与椭圆交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，直线P1P2的斜率为k,则
弦长公式：
|AB|=
1 k （x1 x2） 4 x1 x2 1 k |a |
椭圆上任意点的切线公式结论
椭圆上任意点的切线公式结论大家好，今天我们来探讨一下椭圆上任意点的切线公式结论。
我们要明确什么是椭圆。
椭圆是一种特殊的圆形，它的形状是椭圆形的，而不是完美的圆形。
在数学中，椭圆是指所有满足以下条件的点的集合：到两个定点(焦点)的距离之和等于一个常数(大于两焦点之间的距离)。
现在我们来看一下椭圆上任意点的切线公式结论。
假设我们有一个点P在椭圆上，我们需要找到一条经过这个点的直线，使得这条直线与椭圆相切。
为了解决这个问题，我们需要先了解椭圆的性质。
我们需要知道椭圆有两个焦点F1和F2,以及长轴a和短轴b。
椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1。
其中，x表示点到焦点F1的距离，y表示点到焦点F2的距离。
接下来，我们要找到一个关于点P的切线方程。
为了做到这一点，我们需要考虑两种情况：一种是点P位于椭圆的内部；另一种是点P位于椭圆的外部。
1. 如果点P位于椭圆的内部，那么我们可以直接使用椭圆的标准方程来求解切线方程。
具体来说，我们有：(x-h)^2 / a^2 + (y-k)^2 / b^2 = 1其中，(h, k)是椭圆的一个顶点，(x, y)是点P的坐标。
我们需要找到一条经过点P的直线，使得这条直线与上述方程相等。
这意味着我们需要找到一组系数(m、n),使得： m * x + n * y = h * m^2 / a^2 + k * n^2 / b^2这就是我们要求的切线方程。
通过这个方程，我们可以找到一条经过点P的直线，使得这条直线与椭圆相切。
2. 如果点P位于椭圆的外部，那么情况就稍微复杂一些了。
我们需要找到一个关于点P对称的点Q。
这个点Q需要满足以下条件：它与点P的距离等于长轴a的一半(即a/2)。
这样，我们就可以利用对称性来简化问题。
现在我们需要求解的是经过点Q且与椭圆相切的直线方程。
为了做到这一点，我们可以使用以下方法：假设Q(x_0, y_0)是我们找到的关于点P对称的点。
直线和椭圆的位置关系知识点
直线和椭圆的位置关系知识点直线和椭圆是两个基本的几何图形，它们在平面几何中经常出现，并且在许多应用中都发挥着重要的作用。
学习它们的位置关系是初学几何的基本知识之一，本文将从定义、基本性质和实例等方面探讨直线和椭圆的位置关系知识点。
1. 直线和椭圆的定义和基本性质1.1 直线的定义和基本性质在平面几何中，直线是最基本的几何图形之一。
直线的定义是，由无数个点构成的一条无限长的、无宽度的几何对象。
直线可以用线段表示，线段起点和终点可以看作是直线上的两个点，线段两端点之间的线段长度即为直线的长度。
直线有一些基本的性质，例如：(1) 直线上的任意两点可以唯一地确定一条直线；(2) 直线上的任意一点与直线外的任意一点可以唯一地确定一条直线；(3) 直线上的点可以任意延伸，即直线是无限长的；(4) 直线上每一点的左右两侧都有无限多个点。
1.2 椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条固定点到平面上各点的距离之和等于常数的点的集合。
这个固定点叫做椭圆的焦点。
椭圆还有一个重要的参数，叫做离心率，表示椭圆的形状。
离心率越小，椭圆越矮胖，离心率越大，椭圆越扁平。
椭圆也有一些基本的性质，例如：(1) 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，称为椭圆的焦距；(2) 椭圆的长轴是椭圆上最远的两点之间的距离，短轴是两个焦点所在直线的中垂线上的两点之间的距离，长轴和短轴的长度之比即为椭圆的离心率；(3) 椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心点，椭圆上的任意一条直径的中点即为椭圆的中心点。
2. 直线和椭圆的位置关系2.1 直线与椭圆的位置关系在平面几何中，直线和椭圆的位置关系有以下三种情况：(1) 直线与椭圆相离；(2) 直线与椭圆相切；(3) 直线与椭圆相交。
2.1.1 直线与椭圆相离直线与椭圆相离是指这条直线没有和椭圆有任何交点。
这种情况下，直线与椭圆的距离是一个常数，被称为直线到椭圆的距离。
直线到椭圆的距离可以用以下公式计算：d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)其中，Ax + By + C = 0 是直线的方程，A、B、C 是实数，且A^2 + B^2 ≠ 0 。
高中数学选择性必修一课件：直线与椭圆的位置关系
则 Δ＝(－8 3)2－4×5×8＝32＞0，故 x1＋x2＝8－x2|＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q 两点，|PQ|＝ 10，则椭圆的方程为_3x_62_＋__y92_＝__1．
(2)设直线交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1162＋y1122＝1①，x1262＋y1222＝1②. ①－②，得x121－6x22＋y121－2y22＝0，化简得 （x1－x2）16（x1＋x2）＝－（y1－y21）2（y1＋y2）. ∴yx11－ －yx22＝－1162（（y1x＋1＋y2x）2）＝－161（2（2y2MxM））＝38. ∴kAB＝yx11－－yx22＝38. ∴所求直线的方程为 y－2＝38(x＋1)，即 3x－8y＋19＝0.
探究 4 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离 是常见题目类型．
思考题 4 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y
＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离． 【解析】 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线方程为 x－y＋a＝
0， 由xx2－＋y8＋y2a＝＝80，， 消 x 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由 Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得 a＝3 或 a＝－3，
【解析】 ∵e＝ 23，∴ac22＝34，即 c2＝34a2，∴b2＝a2－c2＝14a2.∴椭圆的方 程为 x2＋4y2＝a2，与方程 x＋2y＋8＝0 联立并消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0，
由 Δ>0，得 a2>32. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8，x1x2＝64－2 a2. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋kPQ2)·|x1－x2|2＝(1＋kPQ2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 10＝ 54×[64－2(64－a2)]，解得 a2＝36. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝36，即3x62 ＋y92＝1.
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每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 切线方程
1、已知直线l 过点(4,0)，且与椭圆22
143
x y +=相切，求直线l 的方程
解：设直线l 的方程：(4)y k x =-
联立直线与椭圆得：22(4)143
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得：2222(34)324(163)0k x k x k +-+-=
直线l 与椭圆相切，2222(32)4(34)4(163)0k k k ∆=--+⋅-=
解得：12
k =± 直线l 的方程：1(4)2y x =±
- 即122y x =-或122y x =-+
设所求直线方程为：y=k*(x-4) 把直线方程代入椭圆x^2/4+y^2/3=1之中,可以得到关于x 的二元一次方程： (4*k^2+3)*x^2-(32k^2)*x+64k^2-12=0
令方程的判别式=0 得到k=-1/2或1/2即为直线的斜率.。