光纤通信第5章-光纤波导-模式与场

2、导模截止条件
允许存在的导波模式与归一化截止频率Vc的对应关系
导波模式（矢量模） HE11
TE01、TM01、HE21 EH11、HE12、HE31
EH21、HE41 TE02、TM02、HE22
┋
导波截止的临界条件为：V=Vc
Vc 0 2.4048 3.8317 5.1356 5.5201 ┋
亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的场分布。
• 用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两种解法： • 矢量解法 • 标量解法。
• 矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的波动方程 的解。
• 标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与光纤轴线平行 的，在此基础上推导出光纤中的场方程、特征方程并在此基础 上分析标量模的特性。
2、分离变量
令
(x, y, z) (x, y)eiz
代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0

————即光纤中的波导场方程
其中：横向拉普拉斯算符
t2

2

2 z 2
TEM31
TEM00
(3) 简并模
TEM01
TEM02
TEM10
TEM20
TEM30
TEM10
TEM01
LP11
由上图可看出，横模阶数越高，光强分布图案越复杂。相反，阶数最低的
基模，其光强分布图案最简单。
简并模——标量模——波导场方程的标量解
v LP模（Linearly Polarized mode），即线性偏振模的 意思。
此条件称为单模工作条件。反之，V>2.4048条件的光纤，称为 多模光纤，此条件称为多模条件。 ③纤芯越细，高阶模数量越少，反之，高阶模数量越多。 ④工作波长越长，高阶模数量越少，反之，高阶模数量越多。 ⑤光纤端面临界入射角φ0越小，高阶模数量越少，反之，高阶模 数量越多。
下标m、n分别表示相应 模式在光纤截面上圆周 和半径方向光场出现最 大值的个数。
LP模 LP01
LP11 LP21 LP0n LP1n LPmn(m≥2)
矢量模 HE11
HE21,TE01,TM01 HE31,EH11 HE1n
TE0n,TM0n,HE2n EHm-1,n;HEm+1,n
三、模式分布
D
•电场是有源的
光纤中不存在电流和自由电荷，则有：
D 0, J 0
2．电磁波的波动现象
电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种传播
现象。 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场与电
场的切向和法向分量均连续，即：
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
Ez

AJ m(Ur )e jm e j(t z).......(r CK m(Wr )e jm e j(t z).......(r
a) a)
Hz

BJ m(Ur )e jm DK m(Wr )e jm
e j(t z ).......(r e j(t z ).......(r
• 导波模 • 纵向传播常数 • 模式分布 • 横向传播常数 • 相速度与群速度
一、 导波模
• 导波光是一种特定的电磁场分布，其传输必须满足一定 条件，称这种特定的电磁场分布为“模”。
• 导波模式分类：
x
H
E
yz
E
H
芯层 包层
E H
H E
芯层 包层
• 导波模式分类：
光线
E B
• 混合模： EH
HE
a) a)
Hale Waihona Puke Baidu其中，定义了
U k02n12 2 ,W 2 k02n22
Jm(Ur)是m阶第一类标准贝塞尔函数，Km(Wr)是m阶第二类修正贝 塞尔函数。常数A、B、C、D由边界连续条件确定。
V U 2 W 2a ak0 n12 n22
2.4 模式及其基本性质
3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
2E(x, y, z) k 2E(x, y, z) 0 2H (x, y, z) k 2H (x, y, z) 0
其 中 k ＝ k 0 n 为 折 射 率 为 n 的 介 质 中 的 传 播 常 数 （ 也 叫 波 数 ） 。 k0为真空中的波数。
横向传播常数
2 n2k02 2
纵向传播常数
nk0 cosz
波矢与z轴的夹角
3．标量波导场方程解的推导思路
（1）首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程 （2）将其在圆柱坐标系中展开 （3）用分离变量法求解横向场Ey （4）根据麦氏方程中E和H的关系可得出横向磁场Hx的解答式 （5）根据电场和磁场的横向分量可用麦氏方程求出轴向场分量
EZ、HZ的解答式
二、矢量解法
1、理论计算的三大步骤：
①、利用圆柱坐标系（r,φ,z）中的亥姆霍兹方程求出Ez、Hz ②、由Ez和Hz利用麦克斯韦方程组求出Er、Eφ、Hr、Hφ
③、利用Eφ、 Hφ在纤芯和包层交界处连续的特点，即在r=a处 Eφ1＝Eφ2、 Hφ1＝ Hφ2求出导波特征方程。
2、矢量解法的结果
光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为 零级，临界传播角模式级别最高；
横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
（2）旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
3．简谐时变场的波动方程— —亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到 的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同 性而且电磁场是简谐的。
v v 如果波的电场矢量空间取向不变，即其端点的轨迹
为一直线时，就把这种极化称为直线极化，简称为
v 弱导波光纤可认为它的横向场是线极化波，以LP表 示。
v 在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，表示 为LPmn模。
标量模与矢量模的对应关系
标量模与矢量模的对应 关系如右表。
标量模可认为是矢量模 的线性叠加，所以标量 模是简并模。
1、模式数量：光纤的结构参数决定了光纤中允许存
在的导模数量。

M

g （2 g
2）V
2
其中g为折射率分布参数
光纤的结构参数由归一化频率V表征：
V


2 0
a
n12 n22 k0an1
2
V越大，允许存在的导模数就越多。 模 式 数 量 与 光 纤 直 径 和 数 值 孔 径 成 正 比 ， 和 波 长 成 反 比 。
Ez>Hz
Hz>Ez
二、纵向传播常数
• 对应于每一阶贝塞尔函数（m取某一确定整数），都存在多个解 （以n＝1，2，…表示）,记为βmn。
• 每一个βmn值对应于一个能在光纤中传输的光场的模式。
• 根据不同的m与n的组合，光纤中将存在许多模式,记为HEmn或 EHmn。
• m表示导波模式的场分量沿纤芯沿圆周方向出现最大值的个数，n 表示沿径向出现最大值的个数。
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光纤波导的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
• 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传 输的物理图象，但由于忽略了光的波动性质，不能了解 光场在纤芯、包层中的结构分布及其它许多特性。
• 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理，研究电 磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中的传播模式、 场结构、传输常数及截止条件。
• 标量解法 • 矢量解法
一、标量解法
1．标量近似
• 在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其中的E和H几乎
与光纤轴线垂直。
• 横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直的横截面上的
这种场分布称为是横电磁波，即TEM波。
• 因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量E变为沿传
输方向其方向不变（仅大小变化）的标量E。
3、模可导条件
V ak0 n12 n22 Vc
当光纤参数和工作波长确定了，V也就确定了。 能在光纤中传播的模式必须满足上式。 HE11模在任何光纤中都能传输，因为归一化频率 是大于0的常数。
结论
①HE11模式在任何光纤中都存在（因为任何光纤都有V>0）， HE11模称为基模。
②满足0 V 2.4048 条件的光纤，仅含基模，称为单模光纤，
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式
麦克斯韦方程式的微分形式
H

D t
J
•时变磁场可以产生时变电场
E B t
B 0
•时变电场可以产生时变磁场 •磁场是无源的