2019年复旦附中浦东分校自招数学试卷
上海市复旦大学附属中学2019届高三数学模拟预测试卷2019.4.2简略答案.doc
上海市复旦大学附属中学2019届高三数学模拟预测试卷2019.4.2一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．2、已知复数z满足30z z+=，则||z = 3、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += .5、袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是 （结果用最简分数表示）.6、已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．7、21lim1n n n →+∞+=-8、ABC ∆所在平面上一点P 满足()0,PA PC mAB m m +=>u u u r u u u r u u u r为常数，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为9、若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 .10、设*n ∈N ，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .11、如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为12、把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的数列{}n a ，若2015k a =，则__________.k =1 12 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 ()a ()b 二、选择题（每题5分，共20分）13、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚。
2019年上海中学自招数学试卷
2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
2019年上海中学自主招生数学试卷
2019年上海中学自主招生数学试卷
一、填空题（共11小题，每小题0分，满分0分）
1．已知a≠0，求++＝．
2．因式分解：x3﹣3x+2＝．#MUSTA
3．已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为．
4．求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为个．
5．已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求
C ABCCD的最小值为．
6．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．
7．已知a＞1，解方程：＝x．#MUSTA
8．已知：|x i|＜1（i＝1，2，3，…，n），且|x1|+|x2|+…+|x n|＝1000+|x1+x2+…+x n|，则n的最小值为（）
A．999B．1000C．1001D．1002
9．已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP∥BC，且HP＝BC．联结AP、CP，求证：AP⊥CP．
11．一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？。
2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版
2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 ． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 ．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 ．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 ．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 ．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 ．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 ． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）． 【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=， 今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<， 求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =， 故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟． 故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ． 【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=． 故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+． 用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >， 故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则 对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =； 对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =． 综上，①②④正确， 故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<， 若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立， 若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立， 故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件， 故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<， 综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个， 故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+， 故选：C ． 三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件， 所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈； 当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…． 解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟， 易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==． 直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ， 则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围． 【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…， 即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立． （3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立 即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…． 因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+， 当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去； 当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω． 综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω． （2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<， 则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+． 由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <， 我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立． 假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >， 记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾． 即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解． 假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数． 一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。
上海四校自招-数学复旦附中卷_含答案
a2 b2 (ab)2
(ab)2
(7)2
49
49
4. 【注】原题应为 p 是奇质数 (2x p)(2 y p) p2
则 2x p 1， 2y p p2
∴ x p 1 ， y p2 p
2
2
5. 显然 x 0
两边平方得 x2 x 1 1 1 2 (x 1)(1 1)
xx
xx
两边同乘 x ，得 x3 x2 x 2 2 (x2 1)(x 1)
因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
【高中知识点】解析几何——圆的方程、两根差公式、分离变量、均值不等式
9. 【注】原题应为“有且仅有一个实数根”，这样表达的更准确一些 原方程
2x 3
ax
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
2x 3 ax
x 1
x
2
4x2 12x 9 ax
x
3 2
x 2
a
4x
9 x
12
坐标；
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
(3) 设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC 。比较 PA PB 与 AC BC 的大小关系，说明理 由。
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题 并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函 数的图像，均值不等式等） 因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在 考试中占据优势
2019届复旦附中初升高自招数学试卷
2019年复旦附中自招数学试卷（一）1. 两个非零实数a 、b 满足ab a b =-，求a b ab b a +-的值.2. 已知|211||3||8|m m m -=-+-，求m 的取值范围.3. 若关于x 的不等式020192018ax ≤+≤的整数解为1、2、3、…、2018，求a 的范围.4. 已知ABC 、A BC ''边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.5. 已知x 、y 为实数，求2254824x y xy x +-++的最小值.6. 在ABC 中，2B C ∠=∠，AD 为A ∠的角平分线，若2AB BD BD AB-=，求tan C ∠的值.（二）1. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE ⊥AB .（1）求CE 的长；（2）求BCE 内切圆的半径.2. 定义当0x x =时，0y x =，则称00(,)x x 为不动点.（1）若5x a y x b +=+有两个不动点(6,6)、(6,6)--，求a 、b 的值； （2）若5x a y x b+=+有关于原点对称的不动点，求a 、b 满足的条件.3. 已知()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当19502019n ≤≤时，找出所有满足[()]4S S n =的n ；（2）当n 为正整数时，找出所有满足()[()]2019n S n S S n ++=的n .（三）1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m 、n ，求22m n +的值.2. 已知正整数x 、y 满足2127xy x y ++=，求x y +的值.3. 斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}n a =⋅⋅⋅，记数列n b 为n a 中每一项除以4的余数，问{}n b 中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.参考答案（一） 1. 222()22a b a b a b ab ab b a a b a b a b+-+-=-==--- 2. 结合绝对值意义或者图像，3m ≤或8m ≥3. 由101a <-≤，201920182019a ≤-<可得，201912018a -≤<- 4. 4AD CD AD A D AA ''+=+≥=，即最小值为45. 配方，224()(1)33x y x -+++≥，即最小值为36.求出1AB BD=，由正弦定理，sin()sin 223sin sin()22C AB ADB C BD BAD ππ-∠==∠-，结合诱导公式、三倍角公式、化切，可求得tan 12C =，由二倍角公式可求tan 1C = （二） 1.（1）锐角三角比，19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r '=，结合相 似比，213321613r r =⇒=，即所求内切圆半径为3213 2.（1）36a =，5b =；（2）0a ≥且25a ≠，5b =3.（1）找规律，()22S n =或()4S n =，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，()28S n ≤，[()]10S S n ≤，∴1981n ≥，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011（三）1. 由余弦定理，22226m n +=2. 127121x y x -=≥+，可得42x ≤，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x 、y 可换），∴x y +的值为43、27、153. 分析可得，{}n b 周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673÷=，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037⨯+=。
复旦附中九年级中考自招数学试卷(含解析)
的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
17. 设 x 是实数，不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分，记作x ，如1.2 1， 3 3 ，
1.3 2 ，
（1） S
1
1
10 11 12 1112 12
10 11 1112
1
，求90S ；
2016 2017 12
2016 2017 （2）解关于ຫໍສະໝຸດ x的方程：x2
A
D
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． A
B
DC
8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足：19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ，则 mn 4m 1 ______________． n
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3
2019届上海市复旦附中浦东分校高三下学期3月质量监控数学试题(解析版)
2019届上海市复旦附中浦东分校高三下学期3月质量监控数学试题一、单选题1．若l m 、是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【详解】解：l m 、是两条不同的直线，m 不垂直于平面α，则“l m ⊥”可能使得“//l α”也可能l α⊂，反之，“//l α”一定有“l m ⊥”，所以l m 、是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的必要而不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，是基础题．2．下列函数中,既是偶函数,又在()01，上单调递增的是（ ）A.3log y x =B.3y x =C.2xy =D.cos y x =【答案】C【解析】对于A 选项，可求出它的定义域，通过定义域判断排除； 对于B 选项，通过奇偶性判断排除；对于D 选项，可根据其在（0，1）上的单调性判断排除． 【详解】解：对于A 选项，函数定义域是（0，＋∞），故是非奇非偶函数，不合题意，A 选项不正确；对于B 选项，函数3y x =是一个奇函数，故不是正确选项；对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，函数是增函数，故在()01，上单调递增，符合题意，故C 选项正确；对于D 选项，函数cos y x =是偶函数，在()01，上单调递减，不合题意综上知，C 选项是正确选项 故选：C ． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，对基本函数性质的熟练掌握对快速判断本类题很关键． 3．设函数()sin()cos(),(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ><＝＋＋＋的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 ( )A ．()f x 在(0,)2π上单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ上单调递减C ．()f x 在(0,)2π上单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ上单调递增 【答案】A【解析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为()4f x x πωφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据题中条件求出ω与φ的值，得出函数()y f x =的解析式()f x x =，然后分别就0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭讨论，并求出2x 的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。
兰生复旦中学2019年自主招生测试题
兰生复旦中学2019届九年级自主招生数学模拟试题3班级 座号 姓名 成绩一、填空、选择题（每题5分共50分）1、从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ．2、 定义一种运算*“”：当a b ≥时，22a b a b *=+；当a b <时，22a b a b *=-，则方程212x *=的解是3、 方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．4、 已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是BC 边上的高，BD =8cm ，CD =3cm ，AD =6cm ，则直径AM =________cm ．5、科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153 cm ，下肢长为92 cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______________ cm.(精确到0.1 cm)6、使不等式2x x <成立的x 的取值范围是（ ）A ．1x >B ．1x <-C ．11x -<<D ． 10x -<<或01x <<7、按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x =3，则最后输出的结果是A ．6B ．21C ．156D ．2318、如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x ，y 都是整数，则这样的点共有 （ ）（A ）4个 （B ）8个 （C ）12个 （D ）16个9、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ）A.512B.2C.25D.513 10、 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的 中位线长是 （ ）A ．10B ．212 C ．152 D ．12 第9题 第10题A第4题 B CD M · O输入x 计算(1)2x x +的值＞100输出结果否 是 P y -5-555.................... A D B二、解答题11、（8分）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？12、（10分）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.（4分）(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.（6分）EB AC B A MC D M 图3 图4 图1 图213、如图Rt △ABC 的两条直角边4BC 3AC ==、, 点P 是边BC 上的一动点（P 不与B 重合）以P 为圆心作⊙P 与BA 相切于点M 。
复旦附中自招题
复旦附中自招题一、背景介绍复旦附属中学是上海市一所优秀的高级中学，也是全国重点中学之一。
自招是指该校通过独立招生考试，选拔出一批优秀的初中毕业生直接进入高中阶段学习。
复旦附中自招题是指在这个考试中出现的各种题型和题目，涵盖了多个学科的知识。
二、自招题的类型复旦附中自招题主要包括选择题、填空题、解答题等多种类型。
其中，选择题占据了较大比例，考察学生对知识点的掌握和理解。
填空题则更加注重对知识点的灵活运用和推理能力。
解答题则要求学生对某个问题进行深入思考，并用文字作出详细回答。
三、自招题的范围复旦附中自招题覆盖了初中阶段的各个学科，如语文、数学、英语、物理、化学等。
每个科目都有相应的考点和知识点需要掌握。
例如，在语文科目中，可能会涉及到文言文阅读、现代文阅读、写作等方面的内容；在数学科目中，可能会考察代数、几何、概率等知识点；在英语科目中，可能会考察听力、阅读理解、写作等技能。
四、自招题的难度复旦附中自招题的难度相对较高，要求学生有扎实的基础知识和较强的思维能力。
题目往往涉及到对知识点的深入理解和运用，需要学生具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，备战复旦附中自招考试需要提前做好充分准备，加强对各个学科知识点的掌握，并进行针对性的练习和训练。
五、备战复旦附中自招考试的建议1.提前规划：提前了解复旦附中自招考试的内容和要求，并制定合理的备考计划。
2.扎实基础：加强对各个学科知识点的掌握，建立扎实的基础。
3.多练习：进行大量的习题训练，熟悉各种题型，并注意总结归纳解题方法和技巧。
4.多思考：在解题过程中，注重思考问题的本质和解决方法，培养逻辑思维和推理能力。
5.查漏补缺：及时发现自己的不足之处，针对性地进行补充学习和强化训练。
6.考前冲刺：在考前适当加大复习强度，进行模拟考试和真题训练，熟悉考试环境和节奏。
六、总结复旦附中自招题是备战复旦附中自招考试的重要内容。
掌握自招题的类型、范围和难度，并合理制定备考计划，扎实基础知识，多练习并注重思考问题的本质和解决方法，可以提高备战复旦附中自招考试的效果。
2019届复附浦分初升高自招数学试卷
2019年复旦附中浦东分校自招数学试卷1. 已知14a a +=，求441a a +的值2. 已知280x mx ++=与2420x x m ++=有公共实根t ，求t 的值3. 求(0,0)关于直线4y x =+翻折后的坐标4.5. 如图，已知AB 为直径，25DCB ︒∠=，求ABD ∠6. 已知2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B ，若1123OB OA -=，求m 的值7. 直线y kx b =+经过两点(,)A t t 、(,5)B m m ，0t >，0m >，当m t 为整数，求整数k8. 已知四位数09x yz xyz =⨯，求这个四位数9. 正方形四个顶点都有人，同时从一个顶点走向另一个顶点（随机选边，概率均为12）， 求有人相遇的概率10. ()F x 是关于x 的五次多项式，(2)(1)(0)(1)0F F F F -=-===，(2)24F =，(3)360F =，求(4)F11. 已知227100x ax a ++-=无实根，则下列选项必有实根的是（ ）A. 22320x ax a ++-=B. 22560x ax a ++-=C. 2210210x ax a ++-=D. 22230x ax a +++=12. 直角三角形ABC 中，90C ︒∠=，sin B n =，当B ∠为最小内角时，则n 的范围（ ）A. 02n <≤B. 112n -<<C. 102n <≤ D. 122n <≤13. 已知2a b +=，22(1)(1)4a b b a--+=-，则ab 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 12- D. 1214. 已知互不相等的整数数列12{,,,}n i i i ⋅⋅⋅，2n ≥，当p q <时，p q i i >，称为“逆序”，若正整数数列126{,,,}a a a ⋅⋅⋅中，“逆序”有2组，则651{,,,}a a a ⋅⋅⋅中“逆序”有（ ）组A. 34B. 28C. 16D. 1315. 已知[]x 为不超过x 的最大整数，解方程2[]3x x -=16. 如图已知8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=，COE ADE S S =（1）求BC 的长；（2）求经过C 、E 、B 的二次函数的解析式17. 已知AB 为直径，C 是AC 中点，DF 为切线，切点为点B（1）求证：AC CD =；（2）若2OB =，E 为OB 中点，求BH参考答案 1. 422411[()2]2194a a a a+=+--= 2. 6m =-，2t =3. (4,4)-4. 10=20-=，2x =，8y =12= 5. 联结AD ，65︒ 6. 3()()22m m y x x =+-，32m OA =，2m OB =，2m = 7. 5m t k m t -=-，设m nt =，n ∈*N ，∴514511n k n n -==+--，n 取2、3、5，k 为9、7、6 8. 由末两位相同可得，5z =，2y =或7，分析可得四位数为2025或60759. 不相遇的情况有都顺时针或都逆时针两种情况，427128-= 10. 5432()286F x x x x x x =+--+，(4)1800F =11. 25a <<，A 选项，4(1)(2)a a ∆=--在25a <<的情况下恒大于零，故选A12. 045B ︒︒<≤，02n <≤，选A 13. 代入整理出方程2210a a --=，1ab =-，选B14. 26213C -=，选D15. 结合取整函数图像，23x <<，[]2x =，∴x =16.（1）12；（2）22(36)27y x =-17.（1）等腰直角三角形，证明略；（2。
2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)
2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。
2019年上海浦东中考数学试卷及答案
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