中考数学专项突破——含参二次函数(word版+详细解答)
中考数学压轴专项--二次函数含参问题(答案版可编辑)45页
二次函数含参问题1．（2016•温州）如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．（1）用含m的代数式表示BE的长．（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是．2．（2016•广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．3．（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．4．（2016•吉林）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a= ，当m=3时，a= ；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ 的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．5．（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b 与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．6．（2015•润州区二模）如图，抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m为常数，m＞0），与x 轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，（1）用m的代数式表示：点C坐标为，AB的长度为；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，延长AM交抛物线于点N，的值；①求AMAN②若AB=4，直线x=t交线段AN于点P，交抛物线于点Q，连接AQ、NQ，是否存在实数t，使△AQN的面积最大？如果存在，求t的值；如果不存在，请说明理由．7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数为；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．9．（2015•南通）已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l 的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．10．（2014•成都）如图，已知抛物线y=k（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）8与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣√3x+b与抛物线的另一交点为D．3（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？11．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．12．（2014•乐山）如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2014•邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．14．（2014•莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=12．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2√3﹣m（0＜m＜√3）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．15．（2014•大连）如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；（2）求证：BC∥y轴；（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．参考答案1.解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，∴点A纵坐标为﹣3，y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，∴点A坐标（m，﹣3），∴AC=m，∴BE=2AC=2m．（2）∵m=，∴点A坐标（，﹣3），∴直线OA为y=﹣x，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，∴点B坐标（2，3），∴点D纵坐标为3，对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，∴点D坐标（﹣，3）．∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，∴点D在落在抛物线上．（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，∴四边形ECAG是矩形，∴EG=AC=BG，∵FG∥OE，∴OF=FB，∵EG=BG，∴EO=2FG，∵•DE•EO=•GB•GF，∴BG=2DE，∵DE∥AC，∴==，∵点B坐标（2m，2m2﹣3），∴OC=2OE，∴3=2（2m2﹣3），∵m＞0，∴m=．②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y=x，由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，∴点M横坐标为，∵△AMF的面积=△BFG的面积，∴•（+3）•（m﹣）=•m••（2m2﹣3），整理得到：2m4﹣9m2=0，∵m＞0，∴m=．故答案为．2.（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m≠0时，∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，∴1﹣4m≠0，∴m≠，∴m的取值范围为m≠0且m≠；（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，抛物线过定点说明在这一点y与m无关，显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，解得：x=3或x=﹣1，当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），∵P不在坐标轴上，∴P（3，4）；（3）解：|AB|=|xA ﹣xB|=====||=|﹣4|，∵＜m≤8，∴≤＜4，∴﹣≤﹣4＜0，∴0＜|﹣4|≤，∴|AB|最大时，||=，解得：m=8，或m=（舍去），∴当m=8时，|AB|有最大值，此时△ABP的面积最大，没有最小值，则面积最大为：|AB|yP=××4=．3. 解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．4.解：（1）如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B（2m，0），∵以OB为边向上作等边三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m），∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点∴，∴当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）a=﹣理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B（2m，0），∵以OB为边向上作等边三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m），∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点∴，∴∴a=﹣，（3）如图2，∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，∴，∴，①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，④+⑤化简得，an=﹣1，∴a=﹣故答案为a=﹣，（4）∵OB的长度为2m，AM=m，∴S△AOB=OB×AM=×2m×m=m2，由（3）有，AN=n∵PQ的长度为2n，∴S△APQ=PQ×AN=×2n×n=n2，由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣，∴﹣=﹣，∴m=n，∴===，∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．5. 解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC=a（m﹣3）﹣a，NE=m∴S△ACE =S△ACM+S△CEM=[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．6.解：（1）令x=0，则y=﹣3m2，即C点的坐标为（0，﹣3m2），∵y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），∴A（﹣m，0），B（3m，0），∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，故答案为：（0，﹣3m2），4m；（2）①令y=x2﹣2mx﹣3m2=﹣3m2，则x=0（舍）或x=2m，∴D（2m，﹣3m2），∵将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，∴D、M关于x轴对称，∴M（2m，3m2），设直线AM的解析式为y=kx+b，将A、M两点的坐标代入y=kx+b得：，解得：，∴直线AM的解析式为：y=mx+m2，联立方程组：，解得：（舍）或，∴N（4m，5m2），∴；②如图：∵AB=4，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，直线AM的解析式为y=x+1，∴P（t，t+1），Q（t，t2﹣2t，﹣3），N（4，5），A（﹣1，0），B（3，0）设△AQN的面积为S，则：S===，∴t=，S最大．7.解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；故答案为：45°；（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，∴P点的坐标为：（，）；（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（，），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2，∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+，∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．8.解：（1）∵抛物线过G（2，2），∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得：m=4；（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣2，x2=m，∵m＞0，∴A（﹣2，0），B（m，0），把m=4代入得：B（4，0），∴AB=6，令x=9，得到y=2，即C（0，2），∴OC=2，则S△ABC=×6×2=6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入得：，解得：，∴直线BC解析式为y=﹣x+2，令x=1，得到y=，即H（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB2=AC•AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2•2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB2=CB•MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴=，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M（x，﹣（x+2））（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=•，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M 为顶点的三角形与△ACB相似．9.（1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，∴点P的坐标为（m，m﹣1），∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，∴点P在直线l上；（2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0），当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），可得解方程组，解得或，则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，∵OA=OC=5，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠ACO=45°，∴∠MCE=45°﹣∠ACM，∵QG=3，OG=2，∴AG=OA﹣OG=3=QG，∴△AQG为等腰直角三角形，∴∠QAG=45°，∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，∵∠ACM=∠PAQ，∴∠APF=∠MCE，∴Rt△CME∽Rt△PAF，∴=，设M（x，x2+6x+5），∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，∴=，整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；（3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，综上所述，m的值为0，，，，．10．解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．（2）方法一：由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．方法二：∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，∴KAP +KAC=0，∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），∴KAC=﹣，∴KAP=，∵A（﹣2，0），∴lAP：y=x+k，∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）∴P（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴，∴，∴k=，②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t=，∵lBD：y=﹣x+，∴FX =AX=﹣2，∴F（﹣2，）．11.方法一：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=yF ﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP =S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k=±，∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）∴S△ABP =（FY﹣PY）（BX﹣AX），∴S△ABP=（t+1﹣t2+1）（2+1），∴S△ABP=﹣t2+t+3，当t=时，S△ABP 有最大值，∴S△ABP=．（3）∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，∴y=（x+k）（x﹣1），当y=0时，x1=﹣k，x2=1，∴C（﹣k，0），D（1，0），点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ ×KOQ=﹣1，∴＜∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，∴k1=，k2=﹣（k＞0故舍去），∴k=．12.方法一：解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，∴对称轴x=2，令y=0，则x2﹣4x=0，解得x=0，x=4，∴A（4，0），∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，∴B（1，﹣3），∴C（3，﹣3）．（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞1），∴A（2m，0）对称轴x=m，∵P（1，﹣m）把x=1代入抛物线y=x2﹣2mx，则y=1﹣2m，∴B（1，1﹣2m），∴C（2m﹣1，1﹣2m），∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5，AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，∵△ACP为直角三角形，∴当∠ACP=90°时，PA2=PC2+AC2，即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，解得：m=，m=1（舍去），当∠APC=90°时，PA2+PC2=AC2，即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，故m=．（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，∴Rt△FNP∽Rt△PBC，∴NP：NF=BC：BP，即=，∴y=2x﹣2﹣m，∴直线PE的解析式为y=2x﹣2﹣m．令y=0，则x=1+，∴E（1+m，0），∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，∴E（2，0）或E（，0），∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E （2，0）或E（，0）；令x=0，则y=﹣2﹣m，∴E（0，﹣2﹣m）∴PE2=（﹣2）2+12=5∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），∴E（0，﹣4）∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E （0，﹣4），∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E 点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；方法二：（1）略．（2）∵P（1，﹣m），∴B（1，1﹣2m），∵对称轴x=m，∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），∵△ACP为直角三角形，∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，①AC⊥AP，∴KAC ×KAP=﹣1，且m＞1，∴，m=﹣1（舍）②AC⊥CP，∴KAC ×KCP=﹣1，且m＞1，∴=﹣1，∴m=，③AP⊥CP，∴KAP ×KCP=﹣1，且m＞1，∴=﹣1，∴m=（舍）（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），∴KCP=，△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PE⊥PC，∴KPE ×KCP=﹣1，∴KPE=2，∵P（1，﹣m），∴lPE：y=2x﹣2﹣m，∵点E在坐标轴上，∴①当点E在x轴上时，E（，0）且PE=PC，∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，∴m2=5（m﹣1）2，∴m1=2，m2=，∴E1（2，0），E2（，0），②当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，∴1=（m﹣1）2，∴m1=2，m2=0（舍），∴E（0，4），综上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．13.方法一：解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n时，y都为0，∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）．∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣，∵B（n，0），∴B（﹣，0）．∵AO=m，BO=，CO=1∴AC==，BC==，AB=AO+BO=m+，∵（m+）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC==，BC==|n|，AB=xA ﹣xB=2﹣n．①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；③当BC=AB时，|n|=2﹣n，当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．方法二：（1）略（2）∵C点的坐标是（0，﹣1），∴mn=﹣1，设A（m，0），∴B（﹣，0），∴即，∵∠AOC=∠CBO=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO，∴∠ACB=90°．（3）∵m=2，∴mn=2n，∴C（0，2n），B（n，0），A（2，0）∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，AB=BC，AC=BC，∴（n﹣2）2+（0﹣0）2=（2﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=0，n2=﹣，（n﹣2）2+（0﹣0）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=，n2=，（2﹣0）2+（0﹣2n）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=2，n2=﹣2，经检验n=0，n=2（舍）∴当n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．（4）过点A作BC的平行下交抛物线于点D，∵m=2，∴n=﹣，∴A（2，0），B（﹣，0），∵AD∥BC，∴KAD =KBC=﹣2，又A（2，0），∴，解得x1=﹣2（舍），x2=﹣，∴D1（﹣，），过点B作AC的平行线交抛物线于点D，∵BD∥AC，∴KBD =KAC=，又B（﹣，0），∴，解得：x1=﹣（舍），x2=，∴D2，9），综上所述，满足题意的D点有两个，D 1（﹣，），D2（，9）．14.解：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2①．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②存在a使得点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP；在①式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如答图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，∴==2，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP．（2）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=•=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．15.（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．∴a=．∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m﹣2．（2）证明：如图1，设直线PA的解析式为y=kx+b，∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．∴．解得：．∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．当y=0时，x+m﹣1=0．∵m＞1，∴x=﹣m．∴点B的横坐标是﹣m．设直线OP的解析式为y=k′x，∵点P的坐标为（m，2m﹣2），∴k′m=2m﹣2．∴k′=．∴直线OP的解析式是y=x．联立解得：或．∵点C在第三象限，且m＞1，∴点C的横坐标是﹣m．∴BC∥y轴．（3）方法一：解：若点B′恰好落在线段BC′上，设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．∴∠PBC+∠PB'B=180°．∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO=180°．∴∠PB′B=∠BAO．∵PB=PB′，PC=PC′，∴∠PB′B=∠PBB′=，∴∠PCC′=∠PC′C=．∴∠PB′B=∠PCC′．∴∠BAO=∠PCC′．∵点C关于直线l的对称点为C′，∴CC′⊥l．∵OD⊥l，∴OD∥CC′．∴∠POD=∠PCC′．∴∠POD=∠BAO．∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，∴△BAO∽△POD．∴=．∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，∴=．解得：∴m1=2+，m2=2﹣．经检验：m1=2+，m2=2﹣都是分式方程的解．∵m＞1，∴m=2+．∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．方法二：∵点C关于直线l的对称点为C″，∴，∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），∴m=，∴C′X=3m，∴C′（3m，2﹣2m），∵将△PBC绕点P逆时针旋转，∴△BCP≌△B′C′P，∵点B′恰好落在线段BC′上，∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）∵CY =C′Y=2﹣2m，∴CC′⊥BC，∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，∴BP⊥C′P，∴KBP ×KC′P=﹣1，∵P（m，2m﹣2），∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），∴=﹣1，∴m2﹣4m+2=0，∴m1=2﹣，m2=2+，∵m＞1，∴m=2+．。
解答题压轴题纯含参二次函数问题(解析版)-中考数学专项训练
解答题压轴题纯含参二次函数问题模块一2022中考真题集训1.(2022•北京)在平面直角坐标系xOy 中，点(1，m )，(3，n )在抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)上，设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)当c =2，m =n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点(x 0，m )(x 0≠1)在抛物线上．若m <n <c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．思路引领：(1)将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，再根据m =n 得出b =-4a ，再求对称轴即可；(2)再根据m <n <c ，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x 0的取值范围．解：(1)法一、将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，∴m =a +b +c n =9a +3b +c，∵m =n ，∴a +b +c =9a +3b +c ，整理得，b =-4a ，∴抛物线的对称轴为直线x =-b 2a =--4a 2a=2；∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．法二、当m =n 时，点A (1，m )，B (3，n )的纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x =1+32，∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．(2)∵m <n <c ，∴a +b +c <9a +3b +c <c ，解得-4a <b <-3a ，∴3a <-b <4a ，∴3a 2a <-b 2a <4a 2a ，即32<t <2．由题意可知，点(x 0，m )与点(1，m )关于x =t 对称；∴t =x 0+12；当t =32时，x 0=2；当t =2时，x 0=3．∴x 0的取值范围2<x 0<3．综上，t 的取值范围为：32<t <2；x 0的取值范围2<x 0<3．总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52 是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．3.(2022•长沙)若关于x 的函数y ，当t -12≤x ≤t +12时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h =M -N 2，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y =4044x ，当t =1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y =kx +b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y =2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y =-x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)①由题意求出M =6066，N =2022，再由定义可求h 的值；②分两种情况讨论：②当k >0时，M =kt +12k +b ，N =kt -12k +b ，h =12k ；当k <0时，M =kt -12k +b ，有N =kt +12k +b ，h =-12k ；(2)由题意t -12≥1，M =2t -12，N =2t +12，则h =44t 2-1，所以h 有最大值12；(3)分四种情况讨论：①当2≤t -12时，M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，h =t -2；②当t +12≤2时，N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，h =2-t ，；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -32 2；④当t <2≤t +12，N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -52 2，画出h 的函数图象，结合图象可得18=4+k ，解得k =-318．解：(1)①∵t =1，∴12≤x ≤32，∵函数y =4044x ，∴函数的最大值M =6066，函数的最小值N =2022，∴h =2022；②当k >0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt +12k +b ，有最小值N =kt -12k +b ，∴h =12k ；当k <0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt -12k +b ，有最小值N =kt +12k +b ，∴h =-12k ；综上所述：h =12k；(2)t -12≥1，即t ≥32，函数y =2x (x ≥1)最大值M =2t -12，最小值N =2t +12，∴h =44t 2-1，当t =32时，h 有最大值12；(3)存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值，理由如下：∵y =-x 2+4x +k =-(x -2)2+4+k ，∴函数的对称轴为直线x =2，y 的最大值为4+k ，①当2≤t -12时，即t ≥52，此时M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，∴h =t -2，此时h 的最小值为12；②当t +12≤2时，即t ≤32，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，∴h =2-t ，此时h 的最小值为12；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，此时N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -32 2，∴h 的最小值为18；④当t <2≤t +12，即32≤t <2，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -52 2，∴h 的最小值为18；h 的函数图象如图所示：h 的最小值为18，由题意可得18=4+k ，解得k =-318；综上所述：k 的值为-318．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．4.(2022•广州)已知直线l ：y =kx +b 经过点(0，7)和点(1，6)．(1)求直线l 的解析式；(2)若点P (m ，n )在直线l 上，以P 为顶点的抛物线G 过点(0，-3)，且开口向下．①求m 的取值范围；②设抛物线G 与直线l 的另一个交点为Q ，当点Q 向左平移1个单位长度后得到的点Q ′也在G 上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求解析式即可；(2)①设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，将点(0，-3)代入可得am2+7-m=-3，再由a= m-10m2<0，求m的取值即可；②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m-1a，可求a=-2，从而可求m=2或m=-52，确定抛物线的解析式后即可求解．解：(1)将点(0，7)和点(1，6)代入y=kx+b，∴b=7k+b=6 ，解得k=-1 b=7 ，∴y=-x+7；(2)①∵点P(m，n)在直线l上，∴n=-m+7，设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，∵抛物线经过点(0，-3)，∴am2+7-m=-3，∴a=m-10m2，∵抛物线开口向下，∴a<0，∴a=m-10m2<0，∴m<10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x=m，∴Q点与Q'关于x=m对称，∴Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m ，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+12=2m-1a，∴a=-2，∴y=-2(x-m)2+7-m，∴-2m2+7-m=-3，解得m=2或m=-5 2，当m=2时，y=-2(x-2)2+5，此时抛物线的对称轴为直线x=2，图象在85≤x≤135上的最高点坐标为(2，5)；当m=-52时，y=-2x+522+192，此时抛物线的对称轴为直线x=-5 2，图象在-2≤x≤-1上的最高点坐标为(-2，9)；综上所述：G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标为(-2，9)或(2，5)．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．5.(2022•贵阳)已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(-1，e)，(-3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当-2≤m≤1时，n的取值范围是-1≤n≤1，求二次函数的表达式．思路引领：(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．(2)分类讨论a>0，a<0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．(3)分类讨论a>0，a<0，由抛物线开口向上可得m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，由抛物线开口向下可得m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，进而求解．解：(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2-4a+b，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，-4a+b)．(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2，当a>0时，抛物线开口向上，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d>c>e=f．当a<0时，抛物线开口向下，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d<c<e=f．(3)当a>0时，抛物线开口向上，x>-2时，y随x增大而增大，∴m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，∴-1=4a-8a+b 1=a+4a+b，解得a=29b=-19，∴y=29x2+89x-19．当a<0时，抛物线开口向下，x>-2时，y随x增大而减小，∴m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，∴b-4a=1a+4a+b=-1 ，解得a=-29b=19．∴y=-29x2-89x+19．综上所述，y=29x2+89x-19或y=-29x2-89x+19．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．6.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A( -1，0)和点B．(Ⅰ)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(Ⅱ)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．思路引领：(Ⅰ)①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M(m，m2-2m-3)，则G(m，2m-6)，表示出MG的长，可得关于m 的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；(Ⅱ)由3b=2c得b=-2a，c=-3a，抛物线的解析式为y=ax2-2a-3a．可得顶点P的坐标为(1，-4a)，点N的坐标为(2，-3a)，作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为(-1，-4a)，点N'的坐标为(2，3a)，当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+ EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P'N'=5延长P'P与直线x=2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H=3，HN'=3a-(-4a)=7a．由勾股定理可得P'N′2=P'H2+HN2=9+49a2=25．解得a1=47，a2=-47(舍)．可得点P'的坐标为-1，-167，点N′的坐标为2，127．利用待定系数法得直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．即可得点E ，F 的坐标．解：(Ⅰ)①若b =-2，c =-3，则抛物线y =ax 2+bx +c =ax 2-2x -3，∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a +2-3=0，解得a =1，∴抛物线为y =x 2-2x -3=(x -1)2-4，∴顶点P 的坐标为(1，-4)；②当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，∴B (3，0)，设直线BP 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0k +n =-4，解得k =2n =-6 ，∴直线BP 的解析式为y =2x -6，∵直线x =m (m 是常数，1<m <3)与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，设点M (m ，m 2-2m -3)，则G (m ，2m -6)，∴MG =2m -6-(m 2-2m -3)=-m 2+4m -3=-(m -2)2+1，∴当m =2时，MG 取得最大值1，此时，点M (2，-3)，则G (2，-2)；(Ⅱ)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a -b +c =0，又3b =2c ，b =-2a ，c =-3a (a >0)，∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -3a ．∴y =ax 2-2ax -3a =a (x -1)2-4a ，∴顶点P 的坐标为(1，-4a )，∵直线x =2与抛物线相交于点N ，∴点N 的坐标为(2，-3a )，作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，得点P ′的坐标为(-1，-4a )，点N '的坐标为(2，3a )，当满足条件的点E ，F 落在直线P 'N '上时，PF +FE +EN 取得最小值，此时，PF +FE +EN =P 'N '=5．延长P 'P 与直线x =2相交于点H ，则P 'H ⊥N 'H ．在Rt △P 'HN '中，P 'H =3，HN '=3a -(-4a )=7a ．∴P 'N ′2=P 'H 2+HN ′2=9+49a 2=25．解得a 1=47，a 2=-47(舍)．∴点P '的坐标为-1，-167 ，点N ′的坐标为2，127．∴直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．∴点E 57，0 ，点F 0，-2021．总结提升：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．7.(2022•嘉兴)已知抛物线L 1：y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)．(1)求抛物线L 1的函数表达式．(2)将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 1上，求m 的值．(3)把抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，若点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，且y 1>y 2，求n 的取值范围．思路引领：(1)把(1，0)代入抛物线的解析式求出a 即可；(2)求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，根据y 1>y 2，构建不等式求解即可．解：(1)∵y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)，∴4a -4=0，∴a =1，∴抛物线L 1的函数表达式为y =x 2+2x -3；(2)∵y =(x +1)2-4，∴抛物线的顶点(-1，-4)，将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点(-1，-4+m )，而(-1，-4+m )关于原点的对称点为(1，4-m )，把(1，4-m )代入y =x 2+2x -3得到，1+2-3=4-m ，∴m =4；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，∵点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，∴y 1=(2-n )2-4，y 2=(4-n )2-4，∵y 1>y 2，∴(2-n )2-4>(4-n )2-4，解得n >3，∴n 的取值范围为n >3．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.(2022•杭州)设二次函数y 1=2x 2+bx +c (b ，c 是常数)的图象与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y 1的表达式及其图象的对称轴．(2)若函数y 1的表达式可以写成y 1=2(x -h )2-2(h 是常数)的形式，求b +c 的最小值．(3)设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y 1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．思路引领：(1)根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1=2(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；(2)把函数y1=2(x-h)2-2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；(3)把y1，y2代入y=y1-y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点(x0，0)，把(x0，0)代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．解：(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1，0)、B(2，0)，∴y1=2(x-1)(x-2)，即y1=2x2-6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a =32．(2)把y1=2(x-h)2-2化成一般式得，y1=2x2-4hx+2h2-2．∴b=-4h，c=2h2-2．∴b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h=1时，b+c的最小值是-4．(3)由题意得，y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5]．∵函数y的图象经过点(x0，0)，∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0．∴x0-m=0，或2(x0-m)-5=0．即x0-m=0或x0-m=5 2．总结提升：本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a(x-h)2 +k，交点式：y=a(x-x1)(x-x2)．9.(2022•连云港)已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4，其中m>2．(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．思路引领：(1)把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4可得y =x 2+2x =(x +1)2-1，即得函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204，根据m >2，-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，可知二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得c =b 2+2b -84，可得OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，有S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18(b +1)2+98，由二次函数性质得△AOB 面积的最大值是98．(1)解：把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4得：m -4=0，解得m =4，∴y =x 2+2x =(x +1)2-1，∴函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204 ，∵m >2，∴2-m <0，∴2-m 2<0，∵-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，∴二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，当x =0时，B (0，c )，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得：4c -b 24=b2-2，∴c =b 2+2b -84，∵B (0，c )在y 轴的负半轴，∴c <0，∴OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：∵A (-1，-1)，∴AH =1，在△AOB 中，S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18b 2-14b +1=-18(b +1)2+98，∵-18<0，∴当b =-1时，此时c <0，S △AOB 取最大值，最大值为98，答：△AOB 面积的最大值是98．总结提升：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图像上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．10.(2022•赛罕区校级一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =2(x -m )2+2m (m 为常数)的顶点为A ．(1)若点A 在第一象限，且OA =5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(2)当x ≤2m 时，若函数y =2(x -m )2+2m 的最小值为3，求m 的值；(3)分别过点P (4，2)、Q (4，2-2m )作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M ，N ．当抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B ，点C ，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到x 轴的距离相等，则m 的值是多少？思路引领：(1)运用勾股定理建立方程求解即可；(2)分两种情况进行讨论：①当m <0时，2(2m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；②当m >0时，2(m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；(3)分情况讨论：①当m >1时，如图1，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边没有交点；②当m =1时，如图2，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边只有一个交点；③当12≤m <1时，如图3，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点，若点B 在PM 边上，点C 在MN 边上，令y =2，则2=2(x -m )2+2m ，得出B (m +1-m ，2)，C (m ，2m )，根据题意，得2m =m+1-m ，求解即可；④当0≤m <12时，如图4，可得B (m +1-m ，2)，C (m +1-2m ，2-2m )，则2-2m =m +1-m ，求解即可；⑤当m <0时，如图5，B (m +1-2m ，2-2m )，C (m +1-m ，2)，则|m +1-2m |=2，求解即可．解：(1)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；(2)∵当x≤2m时，若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m<m，即m<0时，或2m>m，即m>0时，①当m<0时，2(2m-m)2+2m=3，解得：m=-1+72(舍)或m=-1+72，②当m>0时，2(m-m)2+2m=3，解得：m=3 2，综上所述，m的值为32或-1+72；(3)P(4，2)、Q(4，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m，①当m>1时，如图1，∵2m>2，2-2m<0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边没有交点；②当m=1时，如图2，∵2m=2，2-2m=0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m的顶点在边PM边上，即抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；③当12≤m<1时，如图3，∵1≤2m<2，0<2-2m≤1，P(4，2)、Q(4，2-2m)，∴M(m，2)，N(m，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y=2，则2=2(x-m)2+2m，∴x=m+1-m或x=m-1-m(不合题意，应舍去)，∴B(m+1-m，2)，C(m，2m)，根据题意得：2m=m+1-m，解得：m=5-12或m=-5-12(不合题意，应舍去)；④当0≤m<12时，如图4，∴点B在PM边上，点C在NQ边上，∴B(m+1-m，2)，C(m+1-2m，2-2m)，则2-2m=m+1-m，解得：m=11±1318，∵0≤m<12，∴m=11-1318，⑤当m<0时，如图5，∵2m<0，2-2m>2，∴点B在NQ边上，点C在PM边上，B(m+1-2m，2-2m)，C(m+1-m，2)，则|m+1-2m|=2，当m+1-2m=2时，得m2-2m+3=0，∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴该方程无解；当m+1-2m=-2时，得m2+6m+3=0，解得：m=-3-6或m=-3+6，当m=-3+6时，|m+1-2m|=|-3+6+1-2(-3+6)|=26-4≠2，不符合题意，舍去，综上所述，m的值为5-12或11-1318或-3-6．总结提升：本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．11.(2022•婺城区校级模拟)在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=-12x2+mx+2m+2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间(包括A，B两点)的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m-1．(1)当m=1时，①图象G对应的函数y的值随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)，自变量x的取值范围为x≤1；②图象G 最高点的坐标为 1，92 ．(2)当m <0时，若图象G 与x 轴只有一个交点，求m 的取值范围．(3)当m >0时，设图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，直接写出h 与m 之间的函数关系式．思路引领：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +2，当函数y 的值随x 的增大而增大时，则图象在对称轴的左侧，即可求解；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =92，即点G 的坐标为1，92；(2)求出点A 、B 的坐标，确定点A 在点B 的上方，进而求解；(3)分m ≤0，0<m ≤12，12<m ≤1，m >1四种情况，分别确定点A 、B 、H 的位置，进而求解．解：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +4，∵-12<0，故抛物线开口向下，当函数y 的值随x 的增大而增大时，图象在对称轴的左侧，即x ≤1，故答案为：增大，x ≤1；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =-12x 2+x +4=92，即点G 的坐标为1，92 ，故答案为：1，92 ；(2)当x =2m -1时，y =-12x 2+mx +2m +2=3m +32，则点B 的坐标为2m -1，3m +32，所以，点A 的坐标为(0，2m +2)，∵m <0，则y B -y A =3m +32-2m -2=m -12<0，即点A 在点B 的上方，故当y A >0且y B ≤0时，符合题意，即2m +2>0且3m +32≤0，解得-1<m ≤-12，当抛物线顶点落在x 轴上时，此时m 2-4×-12×(2m +2)=0，解得：m =-2，此时抛物线对称轴为直线x =-2，B 点横坐标为-5，符合题意，综上，-1<m ≤-12或m =-2；(3)设抛物线的顶点为H，则点H m，12m2+2m+2，由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为(0，2m+2)，2m-1，3m+3 2，①当0<m≤12时，此时点A、B分别是G的最高和最低点，则h=y A-y B=(2m+2)-3m+3 2=-m+12；②当12<m≤1时，此时点B、A分别是G的最高和最低点，则h=y B-y A=m-1 2；③当m>1时，此时点H、A分别是G的最高和最低点，则h=y H-y A=12m2；∴h=-m+120<m≤12m-1212<m≤112m2(m>1)．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，掌握一次和二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，确定图象上点的位置关系和分类求解是解题的关键．12.(2022•保定二模)已知：如图，点O(0，0)，A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，点B在点A的右侧，抛物线l：y=kx2-2kx-3k(k≠0)．(1)当k=1时，求该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)当0≤x≤3时，求y的最大值(用含k的代数式表示)；(3)当抛物线l经过点C(0，3)时，l的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标为(1，4)，点B不(填“是”或“不”)在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t(秒)①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围；②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．思路引领：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，令y=0时，得x2-2x-3=0，解方程即可得出答案；(2)先确定出对称轴直线x=--2k2k =1，再分k大于0和小于0两种情况讨论即可得出答案；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，A(-4，-1)，将x =-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，点B不在l上；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-5，当抛物线经过点A 时，有y=-21，l与线段AB总有公共点，则-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，于是-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．解：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)抛物线y=kx2-2kx-3k的对称轴直线x=--2k2k=1，∵k<0，∴x=1时，y有最大值，y最大值=k-2k-3k=-4k；当k>0时，x=3时，y有最大值，y最大值=9k-6k-3k=0；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，-3k=3，k=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，∵A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，∴B(-2，-1)，将x=-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，∴点B不在l上，故答案为：y=-x2+2x+3，(1，4)，不；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5，当抛物线经过点A时，有y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21，∵l与线段AB总有公共点，∴-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键．13.(2022•都安县校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m)2+2m(m为常数)顶点为A．(1)当m=12时，点A的坐标是 12，1 ，抛物线与y轴交点的坐标是 0，32 ；(2)若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x 的取值范围；(3)抛物线y =2(x -m )2+2n (m 的常数)的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，其中x 1<x 2．若对于x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．求m 的取值范围．思路引领：(1)将m =12代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x =0，即可求得答案；(2)运用勾股定理建立方程求解即可；(3)由题意点(x 1，0)，(x 2，0)连线的中垂线与x 轴的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．解：(1)当m =12时，y =2x -12 2+1，∴顶点A 12，1，令x =0，得y =32，∴抛物线与y 轴交点的坐标为0，32，故答案为：12，1 ，0，32 ；(2)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y =2(x -1)2+2，当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小；(3)∵y =2(x -m )2+2n 的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，∵x 1<x 2，x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．∴x 1+x22>m ，∴m <32．总结提升：本题考查考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.(2022•香洲区校级三模)直线y =-12x +1与x ，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线的解析式为y =2x 2-4ax +2a 2+a ．(1)求出点A ，B 的坐标，用a 表示抛物线的对称轴；(2)若函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，求a 的值；(3)取a =-1，将线段AB 平移得到线段A 'B '，若抛物线y =2x 2-4ax +2a 2+a 与线段A 'B '有两个交点，求直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围．思路引领：(1)根据坐标轴上点的特征分别令x =0，y =0即可求得点A ，B 的坐标，利用公式或运用配方法即可求得抛物线的对称轴；(2)利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案；(3)求出直线A ′B ′与抛物线相切时与y 轴交点的纵坐标，再求出线段A ′B ′两个端点均落在抛物线上时直线A ′B ′与y 轴交点的纵坐标，即可得出答案．解：(1)在y =-12x +1中，令x =0，得y =1，∴B (0，1)，令y =0，得-12x +1=0，解得：x =2，∴A (2，0)，∵y =2x 2-4ax +2a 2+a =2(x -a )2+a ，∴抛物线的对称轴为直线x =a ；(2)函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，当a ≤72时，32-16a +2a 2+a =a +2，解得：a =3或a =5(不符合题意，舍去)；当a >72时，18-12a +2a 2+a =a +2，解得：a =4或a =2(不符合题意，舍去)；综上所述，a 的值为3或4；(3)当a =-1时，y =2x 2+4x +1=2(x +1)2-1，∵直线AB 的解析式为y =-12x +1，∴设直线A ′B ′的解析式为y =-12x +b ，与抛物线解析式联立，得：2x 2+4x +1=-12x +b ，整理得：4x 2+9x +2-2b =0，当直线y =-12x +b 与抛物线只有一个公共点时，Δ=81-16(2-2b )=0，解得：b =-4932，当线段A ′B ′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x 1-x 2|=2，即(x 1-x 2)2=4，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4，∵x 1+x 2=-94，x 1x 2=1-b2，∴8116-2(1-b )=4，解得：b =1532，∴直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围为-4932<b ≤1532．总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，平移变换的性质，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系的应用等，属于中档题．15.(2022•柘城县校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，点(2，m )和点(6，n )在抛物线y =ax 2+bx (a <0)上．(1)若m =4，n =-12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)已知点A (1，y 1)，B (4，y 2)在该抛物线上，且mn =0．①比较y 1，y 2，0的大小，并说明理由；②将线段AB 沿水平方向平移得到线段A 'B '，若线段A 'B '与抛物线有交点，直接写出点A '的横坐标x 的取值范围．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)①利用分类讨论的方法分m=0和n=0两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可；②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．解：(1)∵m=4，n=-12，∴点(2，4)和点(6，-12)在抛物线y=ax2+bx(a<0)上．∴4a+2b=436a+6b=-12 ，解得：a=-1 b=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x．∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)；(2)①∵mn=0，∴m=0或n=0．当m=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(2，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，∴A(1，y1)为抛物线的顶点，∴y1为函数的最大值且大于0，∵点(2，0)在x轴上，∴点B(4，y2)在x轴的下方，∴y2<0，∴y1，y2，0的大小关系为：y1>0>y2；当n=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(6，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+62=3，∴当x<3时，y随x的增大而增大，由抛物线的对称性可知：(2，y2)在抛物线上，∵0<1<2，∴0<y1<y2．综上，当m=0时，y1>0>y2，当n=0时，0<y1<y2；②A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．理由：由①知：当m=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(1，y1)，B′(-2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-6=-5，而最大值为1，∴A'的横坐标x的取值范围为：-5<x<1；由①知：当n=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=3，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(5，y1)，B′(2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-2=-1，∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，∴A'的横坐标x的最大值为1+4=5，∴A'的横坐标x的取值范围为：-1<x<5．综上，A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．总结提升：本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．16.(2022•新兴县校级模拟)已知抛物线y=ax2-4ax-2a+3与x轴的两个交点分别为A，B(点A 在点B的左侧)．(1)若点A，B均在x轴正半轴上，求OA+OB的值；(2)若AB=6，求a的值；(3)过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点．若CD≥4，请直接写出a的取值范围．思路引领：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，A，B在x轴正半轴，由跟与系数的关系得出OA+ OB=x1+x2=4；(2)根据跟与系数的关系得出x1+x2=4，x1•x2=-2+3a，然后由AB=6解出a的值；(3)联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3，化简得ax2-4ax-2a+2=0，然后x C+x D=4，x C•x D=-2a+2a，再由CD≥4求出a的取值范围．解：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，由根与系数的关系得：x1+x2=--4aa=4，∵点A，B均在x轴正半轴上，∴OA=x1，OB=x2，∴OA+OB=x1+x2=4；(2)由(1)知，x1+x2=4，x1•x2=-2a+3a =-2+3a，AB=|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4-2+3a=6，化简得：24-12a=6，解得a=-1，经检验a=-1符合题意，∴a=-1；(3)∵过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，∴联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3 ，化简得ax 2-4ax -2a +2=0，∴x C +x D =4，x C •x D =-2a +2a，∴CD =|x C -x D |=(x C +x D )2-4x C ⋅x D =16-4-2+2a =24-8a，∵CD ≥4，∴24-8a ≥4，化简得：1a≤1，∴a ≥1或a <0．总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是对二次函数图象和性质的综合运用．17.(2022•柘城县校级四模)如图，抛物线y =mx 2-2mx +4经过点A ，B ，C ，点A 的坐标为(-2，0)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，求y 的最大值与最小值的差；(3)若点P 的坐标为(2，2)，连接AP ，并将线段AP 向上平移a (a ≥0)个单位得到线段A 1P 1，若线段A 1P 1与抛物线只有一个交点，请直接写出a 的取值范围．思路引领：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，可求函数的解析式及顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，即可求解；(3)由题意可求A 1(-2，a )，P 1(2，2+a )，当P 1在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则0≤a <2时，线段A 1P 1与抛物线只有一个交点；求出平移后直线A 1P 1的解析式y =12x +1+a ，当直线与抛物线有一个交点时，求出a 的值．解：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，∴4m +4m +4=0，解得m =-12，∴y =-12x 2+x +4，∵y =-12x 2+x +4=-12(x -1)2+92，∴顶点为1，92；(2)当x =-2时，y =0，∴当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，。
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。
中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．7．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点为()4,3A，与y轴相交于点()0,5B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x；（2）()2,1-M，25y x=-；（3）点P、Q的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得30k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10ax 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。
(完整word版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题(含解析)
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题1．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？2．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？．3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？4．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？5．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线()2=-+表示.y a x30100（1）a=；（2）求图1表示的售价P与时间x的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？7．我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额．．．．．为y 元，试写出y与x之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润．．?最大利润是多少?8．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元已知拔标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同。
中考数学专项突破——含参二次函数(word版+详细解答)
中考数学专项突破——含参二次函数类型一 函数类型确定型1. 已知抛物线 y ＝3ax 1 2＋ 2bx ＋c.(1) 若 a ＝3k ，b ＝ 5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；1(2) 若 a ＝3， c ＝2＋b ，且抛物线在－ 2≤x ≤2区间上的最小值是－ 3，求 b 的值；(3) 若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数 x ，使得相应的 y 值为 1，请说明理 由．解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，∴抛物线 y ＝3ax 2＋ 2bx ＋c 可化为 y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1，∴令 9x 2＋10x ＋ 1＝0，1解得 x 1＝－ 1，x 2＝－9，1∴图象必过点 (－1，1)，(－9， 1)，1(2)∵a ＝3，c ＝2＋b ，∴抛物线 y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为 y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ，∴对称轴为直线 x ＝－ 2 ＝－ b ，∴对称轴为直线 x ＝10k2×9k 59；当－b>2 时，即b<－2，∴x＝2时，y 取到最小值为－ 3.9∴4＋4b＋2＋b＝－3，解得b＝－5（不符合题意，舍去），当－ b <－2 时即b>2，∴x＝－2时，y 取到最小值为－ 3.∴4－4b＋2＋b＝－3，解得b＝3；当－2<－b<2时，即－2<b<2，当x＝－b 时，y取到最小值解得b1＝1＋221（不符合题意，舍去），1－214（2＋b）－4b2为－3，∴4＝－3，综上所述，b＝3 或2；（3）存在．理由如下：∵ a＋b＋c＝1，∴c－1＝－a－b，令y＝1，则3ax2＋2bx＋c＝1.∴Δ＝4b2－4（3a）（c－1）＝4b2＋4（3a）（a＋b）＝9a2＋12ab＋4b2＋3a2＝（3a＋2b）2＋3a2，∵a≠0，∴（3a＋2b）2＋3a2>0，∴Δ>0，∴必存在实数x，使得相应的y 值为 1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于 A （－3，0）、B （0，－ 3）两点，二次函数 y ＝x 2＋mx ＋n 的图 象经过点 A.（1）求一次函数 y ＝kx ＋b 的表达式；（2）若二次函数 y ＝x 2＋ mx ＋n 的图象顶点在直线 AB 上，求 m ，n 的 值；（3）①设 m ＝－ 2，当－ 3≤x ≤0时，求二次函数 y ＝x 2＋mx ＋n的最小值； ②若当－ 3 ≤x ≤0时，二次函数 y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－ 4，求 m ， n 的值．解： （1）将点 A （－3，0），B （0，－3）代入 y ＝kx ＋b 得－3k ＋b ＝0，解得b ＝－3∴一次函数 y ＝kx ＋b 的表达式为 y ＝－ x －3； m 4n － m 2 （2）二次函数 y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点坐标为 （－ 2， 4 ），∵顶点在直线 AB 上，4n － m 2 m ∴ 4 ＝ 2 － 3，又 ∵ 二次函数 y ＝x 2＋ mx ＋n 的图象经过点 A （－ 3，0），∴9－ 3m ＋n ＝0，4n － m 2 m∴组成方程组为 4 ＝ 2－3，9－3m ＋n ＝0k ＝－1 b ＝－3(3)①当 m ＝－ 2时，由(2)得 9－3m ＋n ＝0，解得 n ＝－ 15， ∴y ＝ x 2－2x －15.∵二次函数对称轴为直线 x ＝1，在－ 3 ≤x ≤0右侧， ∴当x ＝0 时， y 取得最小值是－ 15.②∵二次函数 y ＝ x 2＋mx ＋ n 的图象经过点 A ， ∴9－ 3m ＋n ＝0，二次函数 y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线 x ＝－ m 2 ，i) 如解图①，m4n － m 2当对称轴－ 3<－ m 2<0 时，最小值为 4 ＝－ 4，联立 4n －m 2 4 ＝－4 ，9－3m ＋n ＝0m ＝ 2m ＝10 m解得 或 (由－ 3<－ 2 <0 知不符合题意舍去 )n ＝－ 3 n ＝21 2m ＝2 n ＝－3ii) 如解图②，当对称轴－ m 2>0 时，∵－3≤x ≤0，∴当 x ＝0时，y 有最小值为－ 4，m ＝4 解得或n ＝3m ＝6 n ＝9把（0，－ 4）代入 y ＝x 2＋mx ＋n ，得 n ＝－4，5把 n ＝－ 4 代入 9－3m ＋n ＝ 0，得 m ＝3.m－2>0， ∴m <0，∴此种情况不成立；iii ） 当对称轴－ m 2＝0 时， y ＝x 2＋mx ＋n 当 x ＝0 时，取得最小值 为－4，把（0，－ 4）代入 y ＝x 2＋mx ＋n 得 n ＝－4， 5 把 n ＝－ 4 代入 9－ 3m ＋n ＝ 0，得 m ＝3.0，∴m ＝0，∴此种情况不成立；iiii ） 当对称轴－ 2≤－3 时，∵－3 ≤x ≤0，∴当x ＝－ 3 时，y取得最小值－4，∵当x ＝－3 时，y ＝0，不成立．第2 题解图综上所述， m3. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2（k－2）x＋k2－4k ＋5.（1）求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；（2）若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；（3）当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k 的值．（1）证明：∵b2－4ac＝4（k－2）2－4（k2－4k＋5）＝－4<0，∴函数图象与x 轴没有交点，当x＝0 时，y1＝k2－4k＋5＝（k－2）2＋1>0，∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；（2）解：∵y1＝（x＋k－2）2＋1，∴函数y1 的顶点坐标为（2－k，1），代入函数y2＝kx＋3 得（2－k）k＋3＝1，解得k＝1＋3或k＝1－3，∴y1＝x2＋2（ 3－1）x＋5－2 3或y1＝x2－2（ 3＋1）x＋5＋23；b（3）解：①当对称轴x＝－2b a＝2－k≤1时，k≥1，当x＝1 时，y1 取得最小值2，即1＋2（k－2）＋k2－4k＋5＝2，解得k＝0（舍去）或k＝2；②当对称轴1<2－k<3 时，－1<k<1，当x＝2－k 时，最小值恒为1，无解；③当对称轴x＝2－k≥3时，k≤－1，当x＝3 时，y1 取得最小值2，即9＋6（k－2）＋k2－4k＋5＝2，化简得k2＋2k＝0，解得k ＝0（舍去）或 k ＝－ 2.综上所述， k 的值为 2 或－2.4. 已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠ 0的） 图象经过 A （1，1）、B （2，4） 和 C 三点．（1）用含 a 的代数式分别表示 b 、 c ；（2）设抛物线 y ＝ ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为 （p ，q ），用含 a 的代数式分 别表示 p 、 q ；3（3）当 a >0 时，求证： p <2， q ≤1.（1）解：∵二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过 A （1，1）、B（2，4）两点， 1＝a ＋b ＋c 4＝4a ＋2b ＋c化解得 3＝ 3a ＋ b ， ∴b ＝ 3－ 3a ， ∴1＝ a ＋ 3－3a ＋c ， ∴c ＝2a －2；（2）解：由（1）得 b ＝3－3a ，c ＝2a －2，4a （2a －2）－（ 3－3a ）2 －a 2＋10a －9 ∴q ＝（3）证明： ∵a > 0，3b 3a－ 3∴p ＝－2a＝2a4a4a2a<0，3a－3 3 3 3 ∴p＝2a ＝2－2a<2；－（a－3）2 ∵≤0，4a－a2＋6a－9 4a－（a－3）2 ∴q＝4a＋4a＝＋1 ≤1.4a5. 已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）用含a、c 的代数式表示b；（2）判断点 B 所在象限，并说明理由；c （3）若直线y2＝2x＋m 经过点B，且与该抛物线交于另一点C（a，b＋8），求当x≥1时，y1 的取值范围．解：（1）∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）经过点A（1，0），把点A（1，0）代入即可得到a＋b＋c＝0，即b＝－a－c；（2）点 B 在第四象限．理由如下：∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∴抛物线y1与x 轴至少有1个交点，令ax2＋bx＋c＝0，c ∴x1·x2＝a，c ∴x1＝1，x2＝，∵a≠c，a∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，又∵抛物线不经过第三象限，∴a>0，且顶点 B 在第四象限；（3）∵ 点C（a c，b＋8）在抛物线上，令b＋8＝0，得b＝－8，由（1）得a＋c＝－b，∴a＋c＝8，b4ac－b2c把B（－2a，4a）、C（a，b＋8）两点代入直线解析式得4ac－b2b4a＝2×（－2a）＋mc b＋8＝2× ＋maa＋c＝8a＝ 2 a＝ 4b＝－8 b＝－8或（a≠c，舍去），c＝ 6 c＝ 4如解图所示，C在A的右侧，6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2＋2ax＋3（a≠ 0．）（1）若函数y1的图象经过点（－1，4），求函数y1 的表达式；（2）若一次函数y2＝bx＋a（b≠ 0的）图象经过y1图象的顶解得m＝－6 m＝－2当x≥1时，4ac－b2y1≥4a点，探究实数a， b 满足的关系式；（3）已知点P（1，m）和Q（x0，n）在函数y1 的图象上，若m>n，求x0 的取值范围．解：（1）∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3 的图象经过点（－1，4），∴4＝a－2a＋3，∴a＝－1，∴函数y1的表达式为y1＝－x2－2x＋3；（2）∵y1＝ax2＋2ax＋3＝a（x＋1）2＋3－a，∴y1 图象的顶点坐标为（－1，3－a）．∵一次函数y2＝bx＋a（b≠ 0的）图象经过y1 图象的顶点，∴3－a＝－b＋a，∴实数a、b 满足的关系式为b＝2a－3；2a（3）∵ 二次函数y1＝ax2＋2ax＋3 的图象的对称轴为直线x＝－2a＝－1，∴当m＝n 时，x0＝－ 3.当a>0时，如解图①所示，第6 题解图m>n，∴－3<x0<1；当a<0时，如解图②所示，∵m>0，∴x0<－3或x0>1.综上所述：－3<x0<1 （a>0）x0 的取值范围为.x0<－3或x0> 1 （a< 0）类型二函数类型不确定型1. 已知函数y＝（n＋1）x m＋mx＋1－n（m，n 为实数）．（1）当m，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n>－1，那么：①当x<0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．解：（1）①当m＝1，n≠－2 时，函数y＝（n＋1）x m＋mx＋1－n（m，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y＝0 时，（n＋1）x m＋mx＋1－n＝0，n－1∴x＝n＋2∴函数y＝（n＋1）x m＋mx＋1－n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠－1 时，函数y＝（n＋1）x m＋mx＋1－n （m，n 为实数）是二次函数，当 y ＝0 时， （n ＋1）x m ＋mx ＋ 1－n ＝0，即（n ＋1）x 2＋2x ＋1－n ＝0，∴Δ＝22－4（n ＋1）（1－n ）＝4n 2≥0， ∴函数y ＝（n ＋1）x m＋mx ＋1－n （m ，n 为实数）与 x 轴有交点；③ 当 n ＝－ 1，m ≠0 时，函数 y ＝（n ＋1）x m ＋mx ＋1－n 是一次函 n －1数，当 y ＝0 时， x ＝ m ，∴函数y ＝（n ＋1）x m ＋mx ＋1－n （m ，n 为实数）与 x 轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则 m ＝ 2，函数 y ＝（n ＋1）x 2＋2x ＋1－n ，∵n >－ 1，∴n ＋ 1>0，抛物线开口向上，∴对称轴在 y 轴左侧，当 x <0时，y 可能随 x 的增大而增大，也 可能随 x 的增大而减小，故为假命题；②它一定过点 （1，4）和 （－1，0），理由如下：当 x ＝1 时， y ＝n ＋1＋2＋1－n ＝4.当 x ＝－ 1 时， y ＝ 0.∴它一定经过点 （1，4）和（－1，0）．2. 设函数 y ＝kx 2＋（2k ＋1）x ＋1（k 为实数）．（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且b对称轴： x ＝－2b a ＝－2（n ＋1）＝ 1 n ＋11<0，在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2) 根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3) 对于任意负实数k，当x<m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．第 2 题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描点法画函数图象如解图所示；(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x 轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0 时，y＝1；当x＝－2 时，y＝－ 1.∴函数图象必过（0，1），（－2，－1）；②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x 轴有一个交点；∵当k≠0时，函数为二次函数，y＝kx2＋（2k＋1）x＋1 的图象是一条抛物线．Δ＝（2k＋1）2－4×k×1＝4k2＋4k＋1－4k＝4k2＋1>0，∴抛物线y＝kx2＋（2k＋1）x＋ 1 与x 轴有两个交点．综上所述，函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1（k 为实数）与x 轴至少有一个交点；（3）∵k<0，2k＋1 ∴函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋ 1 的图象在对称轴直线x＝－2k的左侧时，y 随x 的增大而增大．2k＋1根据题意，得m≤－2k，2k＋ 1 1而当k<0 时，－2k＝－1－2k>－1，∴m≤－1.43. 已知函数y＝kx2＋（3－3k）x－4.（1）求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；（2）当k≠0时，A（n－3，n－7）、B（－n＋1，n－7）是抛物线上的两个不同点．①求抛物线的表达式；②求 n 的值．4（1）证明：当 k ＝0时，函数为一次函数，即 y ＝3x －4，与 x 轴交于点（3，0）；当 k ≠0时，函数为二次函数，44 ∵Δ＝（3－3k ）2－4k ×（－4）＝（3k ＋3）2≥0，∴函数与 x 轴有一个或两个交点；综上可知，无论 k 为何值，函数图象与 x 轴总有交点；4 （2）解：①当 k ≠0时，函数 y ＝kx 2＋（3－3k ）x －4 为二次函数，∵A （n －3，n －7）、B （－n ＋1，n －7）是抛物线上的两个不同点，n － 3－n ＋1∴抛物线的对称轴为直线 x ＝＝－ 1， 4解得 k ＝145， ∴抛物线的表达式为 y ＝15x2＋15x － 4；48 ②∵（n － 3，n －7）是抛物线 y ＝15x 2＋ 15x －4 上的点，4 2 8∴n －7＝15（n －3）2＋15（n －3）－4，19解得 n 1＝ 4 ， n 2＝3.43－3k 2k －1，4. 已知y 关于x 的函数y＝（k－1）x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．（1）求k 的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.①求k 的值；②当k≤x≤k＋2 时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．解：（1）当k＝1 时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，令y＝0 得（k－1）x2－2kx＋k＋2＝0.Δ＝（－2k）2－4（k－1）（k＋2）≥，0解得k≤ 2即. k≤2且k≠ 1. 综上所述，k的取值范围是k≤ 2.（2）①∵ x1≠x2，由（1）知k<2且k≠1，函数图象与x轴有两个交点，∴由题意得（k－1）x12＋（k＋2）＝2kx1①，将①代入（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：2k（x1＋x2）＝4x1x2.令（k－1）x2－2kx＋k＋2＝0，2k k＋2则x1＋x2＝，x1x2＝，k－ 1 k－1∴2k 2k·k－1＝k＋2 4·k－1解得k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k的值为－1；第 4 题解图13 ②如解图，∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－2)2＋2.且－ 1 ≤x≤ 1.13 由图象知：当x＝－1时，y 最小＝－3；当x＝2时，y 最大＝2.∴y的最大值为23，最小值为－ 3.5. 设函数y1＝(x－k)2＋k 和y2＝(x＋k)2－k 的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和 C.(1)画出当k＝0，1 时，函数y1，y2在直角坐标系中的图象；(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3) 设A(x，y)，求证：x 是与k 无关的常数，并求y 的最小值．第 5 题图（1）解：画出图象如解图所示；（2）解：∵当k＝0时，函数y1＝y2＝x2的顶点为（0，0），当k＝1 时，函数y1＝（x－1）2＋1的顶点为（1，1），函数y2＝（x＋1）2－1的顶点为（－1，－1），∴它们的顶点都在直线y＝x 的图象上，因为它们的坐标均满足解析式y＝x；（3）证明：令（x－k）2＋k＝（x＋k）2－k，整理得4kx＝2k，∵函数y1＝（x－k）2＋k 和y2＝（x＋k）2－k 的图象相交于点A，∴k≠0，1解得x＝12，∴x 是与k 无关的常数；1 1 1 1此时y＝（21＋k）2－k＝k2＋41≥14，即y的最小值为41.。
2023年中考数学复习难点突破专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题(含答案)
专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点A （4，0），B （－1，0），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标；（3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，直线y ＝﹣x ＋n 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）E （m ，0）为x 轴上一动点，过点E 作ED ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点E 的坐标；②点E 在x 轴的正半轴上运动，若∠PBD ＋∠CBO ＝45°．请直接写出m 的值．4．在平面直角坐标系中，抛物线22y x kx k =--（k 为常数）的顶点为N ．（1）如图，若此抛物线过点()3,1A -，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B ，①求ABO ∠的度数；①连接AB ，点P 为线段AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，过点P 作//CD x 轴交抛物线在第四象限部分于点C ，交y 轴于点D ，连接PN ，当BPN BNA △△时，线段CD 的长为___．（3）无论k 取何值，抛物线都过定点H ，点M 的坐标为()2,0，当90MHN ∠=︒时，请直接写出k 的值．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y ＝x+m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．（4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．7．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A为顶点的抛物线经过点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB'C'O'，使点C'落在x轴上，抛物线是否经过点C'？请说明理由．8．如图，抛物线243y ax ax a =-+（0a >），与y 轴交于点A ，在x 轴的正半轴上取一点B ，使2OB OA =，抛物线的对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，连接BC ．（1）求点B ，C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若BCD △与BDE 相似，求a 的值；（3）连接OE ，记OBE △的外心为M ，点M 到直线AB 的距离记为h ，请探究h 的值是否会随着a 的值变化而变化？如果变化，请写出h 的取值范围：如果不变，请求出h 的值．9．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．（1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA ＝OB，B（8，6），过点B作y轴的垂线，垂足为D，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求AB的长；（2）求点C的坐标；（3）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿折线CB﹣BA运动；同时点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿AO向终点O运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△BPQ的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式．11．如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求直线BC的解析式；（2）点E①线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x ，CQ 的长为y ．（1） y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围，（2） 当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？13．如图，已知二次函数23y ax ax =--的图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，且5AB =，直线y kx b =+（0k >）与二次函数的图象交于点M ，N （点M 在点N 的右边），交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ．（1）求二次函数的解析式；（2）若5b =-，254OPQ S =△，求CMN △的面积； （3）若3b k =-，直线AN 与y 轴相交于点H ，求CP CH 的取值范围． 14．已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点()6,0A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）抛物线对称轴右侧两点M ，N （点M 在点N 的左侧）到对称轴的距离分别为1.5个单位长度和4.5个单位长度，点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围． 15．如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，H 是BC 延长线上的一点，过点E 作AE 的垂线交DCH ∠的角平分线于点F ．（1）求证：BAE CEF ∠=；（2）若2EC =时，求CEF △的面积；（3）EC 为何值时，CEF △的面积最大，最大值是多少？16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，动点D 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA 向点A 运动，到达点A 停止运动，过点D 作ED AB ⊥交射线BC 于点E ，以BD 、BE 为邻边作平行四边形BDFE ．设点D 运动时间为t 秒，平行四边形BDFE 与Rt ABC 的重叠部分面积为S ．（1）当点F 落在AC 边上时，求t 的值；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于(1,0)A 、(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为点D ，点E 的坐标为(0,1)-，该抛物线与BE 交于另一点F ，连接BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若点(1,)H y 在BC 上，连接FH ，求FHB △的面积；（3）一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y 轴方向向上运动，连接OM ，BM ，设运动时间为t 秒(0)t >，在点M 的运动过程中，当t 为何值时，90OMB ∠=︒？18．如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ＋c 与两坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，且OC ＝OB ，点G 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M 为第四象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，四边形OCMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是x 轴上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、A 、G 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P 的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4）、B（3，0），抛物线y＝x2﹣4x+3a+2（a为实数）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）若点（m，y1）（m+2，y2）在抛物线上，且y1＞y2，求m的取值范围．（3）若该抛物线图象在﹣1≤x≤3的部分与△AOB两直角边的交点个数为2，求a的取值范围．专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）221y x x =-++；（2）面积最大为278，此时37,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1t =或2t =或1t =+或1t =．【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入即可求解函数解析式；（2）过D 作DM//y 轴交AB 于点M ，设D 点坐标为()2,21a a a -++，则M (),1a a -+，用a 表示出DM ，然后根据割补法表示出DAB ∆的面积，利用二次函数的性质得出最大值和D 点坐标； （3）根据题意，45ACE ACO ∠=∠=︒,则BCD ∆中必有一个内角为45°，有两种情况：①若45CBD ∠=︒，得出BCD ∆是等腰直角三角形，因此ACE ∆也是等腰直角三角形，在对ACE ∆进行分类讨论；②若45CDB ∠=︒，根据圆的性质确定D 1的位置，求出D 1的坐标，在对ACE ∆与1CD B ∆相似分类讨论．【详解】（1）由题意得，将将A 、B 两点坐标代入函数解析式有：100293c b c =++⎧⎨-=-++⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为221y x x =-++；（2）如图1，过D 作DM//y 轴交AB 于点M ，设D 点坐标为()2,21a a a -++，则M (),1a a -+， ∴()222113DM a a a a a =-++--+=-+ ()()()221133322ADB ADM BDM S S S a a a a a a ∆∆∆=+=-++-+- =23993244a a ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ =3327228a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴当32a =时，DAB ∆的面积的最大值278ADB S ∆=，此时D 点坐标为37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）∵OA//OC ，如图2，CF//y 轴∴45ACE ACO ∠=∠=︒∴BCD ∆中必有一个内角为45°，由题意得BCD ∠不能为45°①若45CBD ∠=︒，则BD//x 轴。
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中考数学专项突破——含参二次函数类型一 函数类型确定型1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c .(1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值；(3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由．解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1，∴令9x 2＋10x ＋1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－19，∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)，∴对称轴为直线x ＝－10k 2×9k＝－59； (2)∵a ＝13，c ＝2＋b ，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ，∴对称轴为直线x ＝－2b 2＝－b ，当－b ＞2时，即b ＜－2，∴x ＝2时，y 取到最小值为－3.∴4＋4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝－95(不符合题意，舍去)，当－b＜－2时即b ＞2，∴x ＝－2时，y 取到最小值为－3.∴4－4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝3；当－2＜－b ＜2时，即－2＜b ＜2，当x ＝－b 时，y 取到最小值为－3，∴4（2＋b ）－4b 24＝－3， 解得b 1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b 2＝1－212，综上所述，b ＝3或1－212；(3)存在．理由如下：∵a ＋b ＋c ＝1，∴c －1＝－a －b ，令y ＝1，则3ax 2＋2bx ＋c ＝1.∴Δ＝4b 2－4(3a )(c －1)＝4b 2＋4(3a )(a ＋b )＝9a 2＋12ab ＋4b 2＋3a 2＝(3a ＋2b )2＋3a 2，∵a ≠0，∴(3a ＋2b )2＋3a 2＞0，∴Δ＞0，∴必存在实数x ，使得相应的y 值为1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (－3，0)、B (0，－3)两点，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；(3)①设m ＝－2，当－3≤x ≤0时，求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值； ②若当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值．解：(1)将点A (－3，0)，B (0，－3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝－3. ∴一次函数y ＝kx ＋b 的表达式为y ＝－x －3；(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点坐标为(－m 2，4n －m 24)，∵顶点在直线AB 上，∴4n －m 24＝m 2－3，又∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A (－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，∴组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝m 2－39－3m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4n ＝3或⎩⎨⎧m ＝6n ＝9； (3)①当m ＝－2时，由(2)得9－3m ＋n ＝0， 解得 n ＝－15，∴y ＝x 2－2x －15.∵二次函数对称轴为直线x ＝1，在－3≤x ≤0右侧， ∴当x ＝0时，y 取得最小值是－15.②∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴9－3m ＋n ＝0，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝－m 2， i)如解图①，当对称轴－3＜－m 2＜0时，最小值为4n －m 24＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝－49－3m ＋n ＝0， 解得⎩⎨⎧m ＝2n ＝－3或⎩⎨⎧m ＝10n ＝21(由－3＜－m 2＜0知不符合题意舍去) ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝－3； ii)如解图②，当对称轴－m 2＞0时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝0时，y有最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n ，得n ＝－4，把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53. ∵－m 2＞0，∴m ＜0，∴此种情况不成立；iii)当对称轴－m 2＝0时，y ＝x 2＋mx ＋n 当x ＝0时，取得最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n ＝－4，把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53.∵－m 2＝0，∴m ＝0，∴此种情况不成立；iiii)当对称轴－m 2≤－3时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝－3时，y 取得最小值－4，∵当x ＝－3时，y ＝0，不成立．综上所述，m ＝2，n ＝－3.第2题解图3. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2(k－2)x＋k2－4k＋5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；(3)当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值．(1)证明：∵b2－4ac＝4(k－2)2－4(k2－4k＋5)＝－4<0，∴函数图象与x轴没有交点，当x＝0时，y1＝k2－4k＋5＝(k－2)2＋1>0，∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：∵y1＝(x＋k－2)2＋1，∴函数y1的顶点坐标为(2－k，1)，代入函数y2＝kx＋3得(2－k)k＋3＝1，解得k＝1＋3或k＝1－3，∴y1＝x2＋2(3－1)x＋5－23或y1＝x2－2(3＋1)x＋5＋23；(3)解：①当对称轴x＝－b2a＝2－k≤1时，k≥1，当x＝1时，y1取得最小值2，即1＋2(k－2)＋k2－4k＋5＝2，解得k＝0(舍去)或k＝2；②当对称轴1<2－k<3时，－1<k<1，当x＝2－k时，最小值恒为1，无解；③当对称轴x＝2－k≥3时，k≤－1，当x＝3时，y1取得最小值2，即9＋6(k－2)＋k2－4k＋5＝2，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0(舍去)或k ＝－2.综上所述，k 的值为2或－2.4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点．(1)用含a 的代数式分别表示b 、c ；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ；(3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1.(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1，1)、B (2，4)两点，∴⎩⎨⎧1＝a ＋b ＋c 4＝4a ＋2b ＋c， 化解得3＝3a ＋b ，∴b ＝3－3a ，∴1＝a ＋3－3a ＋c ，∴c ＝2a －2；(2)解：由(1)得b ＝3－3a ，c ＝2a －2，∴p ＝－b 2a ＝3a －32a ；∴q ＝4a （2a －2）－（3－3a ）24a ＝－a 2＋10a －94a； (3)证明：∵a ＞0，∴－32a ＜0，∴p ＝3a －32a ＝32－32a ＜32；∵－（a －3）24a≤0， ∴q ＝－a 2＋6a －94a ＋4a 4a ＝－（a －3）24a＋1≤1. 5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)用含a 、c 的代数式表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (c a ，b ＋8)，求当x ≥1时，y 1的取值范围．解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )经过点A (1，0)，把点A (1，0)代入即可得到a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ；(2)点B 在第四象限．理由如下：∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)， ∴抛物线y 1与x 轴至少有1个交点，令ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x 1·x 2＝c a ，∴x 1＝1，x 2＝c a ，∵a ≠c ，∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，又∵抛物线不经过第三象限，∴a ＞0，且顶点B 在第四象限；(3)∵点C (c a ，b ＋8)在抛物线上，令b ＋8＝0，得b ＝－8，由(1)得a ＋c ＝－b ，∴a ＋c ＝8，把B (－b 2a ，4ac －b 24a )、C (c a ，b ＋8)两点代入直线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧4ac －b 24a ＝2×（－b 2a ）＋mb ＋8＝2×c a ＋m a ＋c ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8c ＝6m ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8c ＝4m ＝－2(a ≠c ，舍去)， 如解图所示，C 在A 的右侧，∴当x ≥1时，y 1≥4ac －b 24a ＝－2.第5题解图6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3(a ≠0)．(1)若函数y 1的图象经过点(－1，4)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(1，m)和Q(x0，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x0的取值范围．解：(1)∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象经过点(－1，4)，∴4＝a－2a＋3，∴a＝－1，∴函数y1的表达式为y1＝－x2－2x＋3；(2)∵y1＝ax2＋2ax＋3＝a(x＋1)2＋3－a，∴y1图象的顶点坐标为(－1，3－a)．∵一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，∴3－a＝－b＋a，∴实数a、b满足的关系式为b＝2a－3；(3)∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－2a2a＝－1，∴当m＝n时，x0＝－3.当a＞0时，如解图①所示，第6题解图∵m＞n，∴－3＜x0＜1；当a ＜0时，如解图②所示，∵m ＞0，∴x 0＜－3或x 0＞1.综上所述：x 0的取值范围为⎩⎨⎧－3＜x 0＜1 （a ＞0）x 0＜－3或x 0＞1 （a ＜0）. 类型二 函数类型不确定型1. 已知函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)．(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n ＞－1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m ＝1，n ≠－2时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0，∴x ＝n －1n ＋2， ∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点； ②当m ＝2，n ≠－1时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是二次函数，当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0，即(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ＝0，∴Δ＝22－4(n ＋1)(1－n )＝4n 2≥0，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点； ③当n ＝－1，m ≠0时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n 是一次函数，当y ＝0时，x ＝n －1m ，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m ＝2，函数y ＝(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ，∵n ＞－1，∴n ＋1＞0，抛物线开口向上，对称轴：x ＝－b 2a ＝－22（n ＋1）＝－1n ＋1＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小，故为假命题；②它一定过点(1，4)和(－1，0)，理由如下：当x ＝1时，y ＝n ＋1＋2＋1－n ＝4.当x ＝－1时，y ＝0.∴它一定经过点(1，4)和(－1，0)．2. 设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．第2题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描点法画函数图象如解图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0时，y＝1；当x＝－2时，y＝－1.∴函数图象必过(0，1)，(－2，－1)；②∵当k ＝0时，函数为一次函数，∴y ＝x ＋1的图象是一条直线，且与x 轴有一个交点；∵当k ≠0时，函数为二次函数，y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象是一条抛物线．Δ＝(2k ＋1)2－4×k ×1＝4k 2＋4k ＋1－4k ＝4k 2＋1＞0，∴抛物线y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1与x 轴有两个交点．综上所述，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)与x 轴至少有一个交点；(3)∵k ＜0，∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴直线x ＝－2k ＋12k 的左侧时，y 随x 的增大而增大．根据题意，得m ≤－2k ＋12k ，而当k ＜0时，－2k ＋12k ＝－1－12k ＞－1，∴m ≤－1.3. 已知函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4. (1)求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)当k ≠0时，A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点．①求抛物线的表达式；②求n 的值．(1)证明：当k ＝0时，函数为一次函数，即y ＝43x －4，与x 轴交于点(3，0)；当k ≠0时，函数为二次函数，∵Δ＝(43－3k )2－4k ×(－4)＝(3k ＋43)2≥0，∴函数与x 轴有一个或两个交点；综上可知，无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)解：①当k ≠0时，函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4为二次函数， ∵A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝n －3－n ＋12＝－1， ∴－43－3k 2k ＝－1，解得k ＝415，∴抛物线的表达式为y ＝415x 2＋815x －4；②∵(n －3，n －7)是抛物线y ＝415x 2＋815x －4上的点，∴n －7＝415(n －3)2＋815(n －3)－4，解得n 1＝194，n 2＝3.4. 已知y 关于x 的函数y ＝(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 21＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2.①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值． 解：(1)当k ＝1时，函数为一次函数y ＝－2x ＋3，其图象与x 轴有一个交点．当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y ＝0得(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0.Δ＝(－2k )2－4(k －1)(k ＋2)≥0，解得k ≤2.即k ≤2且k ≠1.综上所述，k 的取值范围是k ≤2.(2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ≠1，函数图象与x 轴有两个交点，∴由题意得(k －1)x 21＋(k ＋2)＝2kx 1①，将①代入(k －1)x 21＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2中得：2k (x 1＋x 2)＝4x 1x 2.令(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0，则x 1＋x 2＝2k k －1，x 1x 2＝k ＋2k －1， ∴2k ·2k k －1＝4·k ＋2k －1. 解得k 1＝－1，k 2＝2(不合题意，舍去)．∴所求k 的值为－1；第4题解图②如解图，∵k ＝－1，∴y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2(x －12)2＋32. 且－1≤x ≤1.由图象知：当x ＝－1时，y 最小＝－3；当x ＝12时，y 最大＝32.∴y 的最大值为32，最小值为－3.5. 设函数y 1＝(x －k )2＋k 和y 2＝(x ＋k )2－k 的图象相交于点A ，函数y 1，y 2的图象的顶点分别为B 和C .(1)画出当k ＝0，1时，函数y 1，y 2在直角坐标系中的图象；(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3)设A (x ，y )，求证：x 是与k 无关的常数，并求y 的最小值．第5题图(1)解：画出图象如解图所示；第5题解图(2)解：∵当k ＝0时，函数y 1＝y 2＝x 2的顶点为(0，0)， 当k ＝1时，函数y 1＝(x －1)2＋1的顶点为(1，1)，函数y 2＝(x ＋1)2－1的顶点为(－1，－1)，∴它们的顶点都在直线y ＝x 的图象上，因为它们的坐标均满足解析式y ＝x ；(3)证明：令(x －k )2＋k ＝(x ＋k )2－k ，整理得4kx ＝2k ，∵函数y 1＝(x －k )2＋k 和y 2＝(x ＋k )2－k 的图象相交于点A ， ∴k ≠0，解得x ＝12，∴x 是与k 无关的常数；此时y ＝(12＋k )2－k ＝k 2＋14≥14，即y 的最小值为14.。