小学数学思想方法——推理

• 案例：如下图，两条直线相交形成4个角，你能说明∠2=∠4吗？ • • 分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那 么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知 道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最 简单的证明： • 因为∠1和∠2、∠1和∠4分别组成平角， • 所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根据加减法各部分间的关系， 可得 • ∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根据等量代换， • 可得∠2=∠4。 • 再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。
• 类比推理，是从特殊到特殊的推理方法， 即依据两类事物的相似性，用一类事物的 性质去推测另一类事物也具有该性质的推 理方法。依据该方法得到的结论可能为真 也可能为假，需要进一步证明结论的可靠 性。
二、推理思想的重要意义
• 我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培 养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力。传统的数 学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的课 程标准又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力 方面有所淡化。近年来课程改革的实践证明，二者不可偏 废。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情 推理都是不可或缺的。据了解，课程标准修改稿在这方面 有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力 的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本 思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。 推理一般包括合情推理和演绎推理。……在解决问题的过 程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论； 演绎推理用于证明结论的正确性”。
小学数学思想方法——推理
八里庄小学 郝莉娜
推理在数学中具有重要的地位。 《课标（2011年版）》指出：推理是数学的 基本思维方式，也是人们学习和生活中经 常使用的思维方式“
一、推理思想的概念
• 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判 断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据 前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式： 演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的 真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。 演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为 真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、 假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事 实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推 测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理 和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结 论可能为真也可能为假。
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• 选言推理，分为相容选言推理和不相容选 言推理。这里只介绍不相容选言推理：大 前提是个不相容的选言判断，小前提肯定 其中的一个选言支，结论则否定其它选言 支；小前提否定除其中一个以外的选言支， 结论则肯定剩下的那个选言支。
• 一个三角形，要么是锐角三角形，要么是 直角三角形，要么是钝角三角形。这个三 角形不是锐角三角形和直角三角形，所以， 它是个钝角三角形。
• (3)三段论。在人们的传统观念中，小学几 何是实验几何，很难在演绎推理证明方面 有所渗透。同时，在初中阶段，培养学生 的演绎推理能力是重要的教学目标之一； 然而对于部分初中学生而言，这部分知识 又是学习中的难点。那么，在小学高年级， 能否进行演绎推理思想的渗透，从而使刚 升入初中的学生有演绎推理的初步经验呢？ 下面的案例也许能说明问题。
• 根据以上课程标准关于推理思想的理念和 要求，在小学数学教学中要注意把握以下 几点。
• 第一，推理是重要的思想方法之一，是数 学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的 始终。在小学数学中，除了运算是数学的 基本方法外，推理也是常用的数学方法。 无论是低年级的找规律、总结计算法则， 还是高年级的面积、体积公式的推导，无 不用到推理的思想方法。因而，广大教师 要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和 应用，是一个长期的培养过程。
• 关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推 理。 • 下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称 性关系推理，如１米＝１００厘米，所以１００ 厘米＝１米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所 以b不大于a ；(3)传递性关系推理，a>b，b>c， 所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍， 如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从 小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了 关系推理。
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案例：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？ １＝１2 １＋３＝４＝２2 １＋３＋５＝９＝３2 １＋３＋５＋７＝ …… １＋３＋５＋７＋…＋99＝ 分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比 前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，１是一 个奇数，等于１的平方；（１＋３）是前２个奇数相加，等于２的平 方；（１＋３＋５）是前３个奇数相加，等于３的平方；（１＋３＋ ５＋７）是前４个奇数相加，通过与前面算式进行类比，猜想应该等 于４的平方；（１＋３＋５＋７）＝１６，４2＝１６，猜想正确。 那么最后的算式是前５０个奇数相加，等于５０的平方。因此，可以 归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。
• 第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。 合情推理多用于根据特殊的事实去发现和 总结一般性的结论，演绎推理往往用于根 据已有的一般性的结论去证明和推导新的 结论。二者在数学中的作用都是很重要的。
• 第三，推理能力的培养与四大内容领域的 教学要有机地结合。推理能力的发展与各 领域知识的学习是一个有机的结合过程， 因而在教学过程中要给学生提供各个领域 的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、 验证等活动，去发现结论，培养推理能力。
• 如推导出平行四边形的面积公式之后，三 角形的面积公式的推导过程是先把两个同 样的三角形拼成一个平行四边形，再根据 平行四边形的面积公式推出三角形的面积 公式。这个过程实际上应用了演绎推理， 如下：平行四边形的面积等于底乘高，两 个同样的三角形的面积等于平行四边形的 面积，所以两个同样的三角形的面积等于 底乘高；因而一个三角形的面积就等于底 乘高的积除以2。
• （2）归纳思想。不完全归纳法在小学数学 的教学中应用比较广泛。小学数学中很多 运算法则、公式、定律等的推导，都是在 例举几个特殊例子的基础上得出的。如根 据40+56=56+40，28+37=37+28， 120+80=80+120等几个有限的例子，得出 加法交换律。数学课程标准特别强调培养 学生探索图形和数的排列规律，探索规律 的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。
• 数学在当今市场经济和信息化社会有比较 广泛的应用，人们在利用数学解决各种实 际问题的过程中，虽然大量的计算和推理 可以通过计算机来完成。但是就人的思维 能力构成而言，推理能力仍然是至关重要 的能力之一，因而培养推理能力仍然是数 学教育的主要任务之一。
三、推理思想的具体应用
• 推理思想作为数学的一个重要的思想方法， 无论在小学还是在中学都有着广泛的应用， 尤其是合情推理作为数学发现的一种重要 方法，在小学数学的探究学习和再创造学 习中应用更为广泛。在小学数学中虽然没 有初中类似于数学证明等严密规范的演绎 推理，但是在很多结论的推导过程中间接 地应用了演绎推理。
• 第四，把握好推理思想教学的层次性和差 异性。推理能力的培养要结合具体知识的 学习，同时要考虑学生的认知水平和接受 能力。综合现行课程标准及其修改稿关于 “数学思考”分阶段的目标要求，推理能 力在小学阶段的要求可参考下表。
• 下面再结合案例谈谈几种在小学数学中应 用较多的推理思想的教学。
• （1）类比思想。无论是学习新知识，还是利用已有知识解决新问题， 如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比，进而找 到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的正迁移。因此，要引 导学生在学习数学的过程中善于利用类比思想，提高解决问题的能力。 有些类比比较直接，如由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定 律，问题解决中数量关系相近的问题的类比等。而有些类比比较隐蔽， 需要在分析的基础上才能实现。如抽屉原理，变式练习有很多，难度 较大，解决此类问题的关键就是通过类比找到抽屉。应用类比的思想 方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比 的基础。另外，中学数学与小学数学可以类比的知识有很多，如果打 好小学数学的知识基础和掌握类比思想，对于初中数学的学习会有较 大益处。如在代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导 出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的基本性质相类比， 可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进 行化简和运算。
• 小学数学中推理思想的应用。
四、推理思想的教学
• 就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程 标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终， 推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐 进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理 性，不要过分强调推理的形式。……教师在教学 过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通 过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动 发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能 力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性 需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征 提出不同程度的要求”。
1. 演绎推理
• 三段论，有两个前提和一个结论的演绎推 理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一 般模式，包括：大前提——已知的一般原 理，小前提——所研究的特殊情况，结 论——根据一般原理，对特殊情况做出的 判断。
3 • 一切奇数都不能被２整除，(２＋１ )是奇数， 3 所以(２＋１)不能被２整除。
2. 合情推理
• 归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物 中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一 般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归 纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子 类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的 一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象， 所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事 物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这 种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论 可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数 学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有 考察所有对象，但是根据自然数的性质，相当于考察了所 有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理。
• 案例：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？ • 14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121 • 分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位 数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换， 变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位 数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现，每个数 都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和 十位数的两位数相加，结果是11的倍数。再举例验证：57+75=132＝ 11×12，69+96=165=11×15，初步验证猜想是正确的。那么如何进 行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是1～9的自然 数)，那么 ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证 明了结论的正确。
• 假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单 介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条 件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件 就要否定前件。
• 例如：如果一个数的末位是０，那么这个数能被 ５整除；这个数的末位是０，所以这个数能被５ 整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种 推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段 论。