关于具等式约束的二次规划问题
序列二次规划
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
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Questions
如何得到(*******)？
Answer
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Questions
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起作Байду номын сангаас集方法
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Algorithm
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(***)
Proof
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（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
等式约束的二次规划问题
等式约束的⼆次规划问题等式约束的⼆次规划问题⼀般形式是其中应⽤直接消去法求解：将A分块，使其包含⼀个m×m⾮奇异矩阵A B，x，g做对应的分块带⼊到等式约束条件中，可解得x B，再带⼊q(x)，于是⼆次规划问题转化为⽆约束规划问题这个⼆次规划问题有解析解⼴义消去法是消去法的⼀个推⼴，将R n划分成两个空间：⼀个A的列的像空间V，⼀个A T的零空间K 设Y是V的⼀组基构成的n×m矩阵，Z是K的⼀组基构成的n×（n-m）矩阵，并且[Y Z]是正交矩阵选取Y，Z满⾜令根据约束条件，有因此有带⼊⼀般形式，原问题转化为⽆约束优化问题可得到该⽆约束优化问题的解，从⽽得到原问题的解下⾯给出代码实现：直接消去法1from numpy import *23def equation_constraint(G,g,A,b):4 m=min(A.shape)5 n=max(A.shape)6 M = range(0, n)7 E = range(0, m)8 A_B = A[E,:]9 I = setdiff1d(M, E)10 A_N = A[I,:]11 i=012 x = arange(0, n).astype(float)13while True:14if linalg.matrix_rank(A_B)==m:15break16else:17 i+=118 E[m-i]+=119 I = setdiff1d(M, E)20 A_B = A[E, :]21 A_N = A[I, :]22 G_BB=G[E,:][:,E]23 G_AA=G[I,:][:,I]24 G_AB=G[I,:][:,E]25 G_BA=G[E,:][:,I]26 g_B=g[E]27 g_A=g[I]28 invABAN=dot(A_N,linalg.inv(A_B))29 invABb=dot(linalg.inv(A_B).T,b)30 G_hat=G_AA-dot(G_AB,invABAN.T)-dot(invABAN,G_BA)+dot(invABAN,dot(G_BB,invABAN.T))31 g_hat=g_A-dot(invABAN,g_B)+dot(G_AB-dot(invABAN,G_BB),-invABb)32 x[E]=invABb+dot(dot(invABAN.T,linalg.inv(G_hat)),g_hat)33 x[I]=-dot(linalg.inv(G_hat),g_hat)34return x。
二次规划基本介绍
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。
人工智能机器学习技术练习(习题卷8)
人工智能机器学习技术练习(习题卷8)第1部分：单项选择题，共62题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]基于二次准则函数的H-K算法较之于感知器算法的优点是()?A)计算量小B)可以判别问题是否线性可分C)其解完全适用于非线性可分的情况答案:B解析:2.[单选题]构建回归树的时间复杂度最重要的因素是()A)特征中类别的个数B)label列值域C)样本总量答案:A解析:3.[单选题]()是指为最小化总体风险,只需在每个样本上选择能使特定条件风险最小的类别标记。
A)支持向量机B)间隔最大化C)线性分类器D)贝叶斯判定准则答案:D解析:4.[单选题]下列选择 Logistic回归中的 One-Vs-All方法中,()是真实的。
A)我们需要在n类分类问题中适合n个模型B)我们需要适合n-1个模型来分类为n个类C)我们需要只适合1个模型来分类为n个类D)以上答案都不正确答案:A解析:如果存在n个类,那么n个单独的逻辑回归必须与之相适应,其中每个类的概率由剩余类的概率之和确定。
5.[单选题](__)不属于相关分析。
A)正相关B)负相关C)线性相关D)误差相关答案:D解析:6.[单选题]移动运营商对客户进行细分,设计套餐和营销活动可以使用下面哪种机器学习方法( )。
A)贝叶斯分类器B)关联方法C)聚类算法D)多层前馈网络7.[单选题]下面是三个散点图(A,B,C,从左到右)和和手绘的逻辑回归决策边界。
alt="" >上图中哪一个显示了决策边界过度拟合训练数据?A)AB)BC)CD)这些都没有答案:C解析:由于在图3中,决策边界不平滑,表明其过度拟合数据。
8.[单选题]半监督学习包括。
A)主动学习B)回归学习C)聚类学习D)直推学习答案:D解析:9.[单选题]在统计语言模型中,通常以概率的形式描述任意语句的可能性,利用最大相似度估计进行度量,对于一些低频词,无论如何扩大训练数据,出现的频度仍然很低,下列哪种方法可以解决这一问题()A)一元切分B)一元文法C)数据平滑D)N元文法答案:C解析:10.[单选题]将原始数据进行集成、变换、维度规约、数值规约是在以下哪个步骤的任务?A)频繁模式挖掘B)分类和预测C)数据预处理D)数据流挖掘答案:C11.[单选题]图像数据分析的常用方法不包括（ ）A)图像变换B)图像编码和压缩C)图像增强和复原D)图像数据采集答案:D解析:12.[单选题]下列关于数据的说法，不正确的是（）A)数据的类别有多种多样B)数据库中的一列代表一个特征C)一组数据平均值不会受异常值影响D)数据点之间的距离满足d_ij+d_jk≥d_ik答案:C解析:13.[单选题]关于ZooKeeper的说法不正确是()A)采用层次化的数据结构B)采用类似于LINUX命令进行数据访问C)具备临时节点和永久节点D)永久节点会随客户端会话的结束而结束其生命周期答案:D解析:14.[单选题]下面数据结构能够支持随机的插入和删除操作、并具有较好的性能的是A)链表和哈希表B)数组和链表C)哈希表和队列D)堆栈和双向队列答案:A解析:15.[单选题]下面关于数据科学与统计学的关系描述不正确的有(__)。
求解一类等式约束二次规划问题的交替变量极小化方法
求解一类等式约束二次规划问题的交替变量极小化方法郝欢欢;任孚鲛【摘要】In this paper,we consider the special alternating minimization with multiplier methods apply to special quadratic programming problems with equality constraints,some general methods are discussed to solve the special quadratic programming problems with equality constraints,we also discuss that the rigorous convergence analysis of this methods.Finally,we estimate the corresponding asymptotic convergence rate of the special methods.%本文针对一类特殊的等式约束二次规划问题,提出带有乘数的交替变量极小化方法.比较了一般的交替方向乘子算法与交替变量极小化算法在解决这类特殊的等式约束二次规划问题时的异同.并研究了这种特殊交替变量极小化算法的收敛性,给出了该方法的渐进收敛率.【期刊名称】《天津理工大学学报》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】6页(P39-44)【关键词】等式约束二次规划;可解性;迭代法;收敛性;渐进收敛率【作者】郝欢欢;任孚鲛【作者单位】太原师范学院数学系,山西030619;太原师范学院数学系,山西030619【正文语种】中文【中图分类】O241.6考虑以下特殊等式约束二次规划问题：其中A∈Rp×n，B∈ Rp×m且 B=（I 0），m ＞ p，I为 p 阶单位矩阵，0 为 p ×（m-p）阶零矩阵，b∈Rp为已知向量，两个二次函数φ：Rn→R，ψ：Rm→R 定义如下：其中F∈Rn×n是对称半正定矩阵，f∈Rn和g∈Rm为已知向量.这样的二次规划问题出现在科学计算和工程的许多方面，例如在经济学[1]，电路和网络[2，3]，电磁学[4]，财务[5]，图像处理[6]，图像恢复[7，8，9]，最优控制等方面都有重要的应用，同时也常运用于l1正则最小二乘问题，各类图像处理问题，标准二次规划等问题，详见文献[10，11].本文假设在（1）的解集非空条件下对此问题进行讨论.那么，等式约束二次规划问题（1）等价于如下无约束优化问题：其中z∈Rp为拉格朗日乘子，β为参数.众所周知，当且仅当z∈Rp使得点（x*，y*，z*）∈Rn× Rm× Rp是问题（3）-（4）的解，点（x*，y*）∈Rn×Rm是问题（1）-（2）的一个解.解决等式约束二次规划问题（1）一种有效的迭代方法是交替方向乘子算法（ADM方法）.直观来看，ADMM方法实质上是利用具有乘子超收敛性的对偶下降法的变量分离思想来解决这类等式约束二次规划问题的.它通过块高斯-赛德尔迭代计算出增广的拉格朗日函数La（x，y，z）的一个鞍点，从而解决线性或非线性的块系统问题[12-13]，在这种方法中高斯-赛德尔迭代的运用回避了通常同时求解x，y的最小量值，而用变量x，y交替.求解采代替.在文献[14]中，Gabay阐述了这种迭代法是Douglas-Rachford分解在对偶问题上的应用，Eckstein和Bertsekas在文献[15]中指出Douglas-Rachford分解是一种特殊的邻近点问题.从而，ADM方法是一种特殊的邻近点问题；而对于解决鞍点问题来讲，ADM方法又是对古典Uzawa方法的自然推广，详见文献[1，16，17].许多研究的前提是在一定条件下去分析ADM方法.在问题（1）的解集非空条件下它的局部收敛性已经被证明（[14，18，19]），但是仍不能准确计算它的收敛率（[9，10，11，20，21]）.此后，在加权内积和相应的加权范数的基础上，通过应用预处理矩阵和参数加速技术，白中治和陶敏[22]对于解决等式约束二次规划问题（1）-（2）提出了预处理交替方向法.这种方法实质上就是ADM的一种特殊情况.本文所讨论的是预处理交替方向法的一种特殊情况，称为交替变量极小化方法.它是利用块矩阵的变换，从所涉及的子空间的零空间关系讨论问题（1）-（2）的可解性，给出了保证解的存在性与唯一性的充分必要条件.通过研究一个可以直接计算迭代矩阵的特征值的公式，证明了该方法渐近收敛性，分析了该方法的渐近收敛速度.这种方法实质上是改进的高斯-赛德尔迭代在这类特殊的等式约束二次规划问题求解方面的一个应用.先介绍本文用到的知识与符号：R 为实数域，Rn为满足欧几德内积＜.，.＞的 n 维实线性空间，Rm×n为m×n实矩阵空间.（·）T和‖·‖分别表示向量或矩阵的转置和欧几里德范数.对于一个对称正定矩阵H∈Rp×p，在Rp×p中，＜.，.＞H 为权重矩阵H下的加权内积，或称为H-内积.‖·‖H为相应的加权矩阵的范数，或称为H-范数.对于u，v∈Rp，X∈Rp×p ，有u，v∈Rp，若＜u，v＞H=0，称为H-正交，用u⊥H v表示.特别的，当H=I时，那么称u，v正交，可简单表示成u⊥v.C表示复数域.ζ∈C，表示它的共轭复数.Cn表示满足欧几里德内积＜.，.＞的n维复线性空间.Cm×n是m×n复矩阵空间.给定一个矩阵，用（·）表示列向量生成的值域空间.⊕表示Cn中子空间直和.对于 Cn中一个向量或Cm×n中一个矩阵，（·）T和‖·‖分别表示共轭转置和欧几里德范数.对于两个对称矩阵X和Y，当XfY（或X≥Y）称X-Y是正定的（半正定）.λ（·）表示相应矩阵的一个特征值，ρ（·）表示相应矩阵的谱半径，λmi（n·）和λma（x·）表示相应矩阵的最小和最大特征值.nul（l·）表示对应矩阵的零空间.1 交替变量极小化方法设对角矩阵W∈Rp×p，且等式约束二次规划问题（1.1）等价于如下无约束优化问题：此处Lwa（x，y，z）是广义拉格朗日函数，定义如下：其中W∈Rp×p为权重矩阵，z∈Rp为拉格朗日乘子，β是一个合理化因子.更确切地说，当且仅当z∈Rp使得点（x*，y*，z*）∈Rn× Rm× Rp是问题（5）-（6）的解，那么点（x*，y*）∈Rn× Rm是问题（1）-（2）的一个解.类似于ADM方法可建立如下交替变量极小化方法来解决问题（1）-（2）.问题（1）的交替变量极小化方法算法1设W∈Rp×p为如上定义的对角矩阵，Q∈Rp×p是一个满秩矩阵，α是一个正参数.给定初值y(0)∈Rm，z∈Rp，直到迭代序列是收敛的 t=0，1，2….根据如下交替规则计算 x(t+1)，y(t+1)和 z(t+1)：权重矩阵W可以用来平衡成本函数和等式约束，它可以调节加权广义拉格朗日函数Lwa（x，y，z），这对于提升算法效率是很有用的，预处理矩阵Q和正参数α的选择可以使交替变量极小化方法的收敛速度进一步加快.二次函数φ（x）和ψ（x）求导得到φ′（x）=Fx+f，ψ′（x）=Fx+g.代入（7）式重排后，可得到交替变量极小化方法的矩阵向量形式如下：由A=（aij）∈Rm×p，b=（b1b2L bp）T，上式可化简为：此处，Ai表示矩阵A的第i列.直观地，算法1也可以称为预处理交替方向极小化算法.这种方法主要是通过拉格朗日乘子的收敛性将问题分解为若干子问题并逐级对偶上升的求解.算法迭代格式（8）主要是解决线性方程组的n×n系数矩阵在预处理矩阵W和正参数β作用下，增广拉格朗日函数矩阵A比原来的系数矩阵F具有更好的条件.满足null（F）I null（A）={0}，则是对称正定的，相应的线性方程组可以通过Cholesky分解直接求解或通过迭代求解，例如运用预处理共轭梯度法[12]求解.2 渐进收敛性证明以下引理证明对于2×2块鞍点形式矩阵非奇异性判别的充要条件，见文献[23-24]. 引理2.1[22]设H∈Cn×n是半正定Hermitian矩阵，E∈Cm×n.当且仅当null（H）I null（E）={0}且E为行满秩时，K是非奇异的.对于3×3块鞍点形式矩阵的非奇异性判别，充要条件如下：引理 2.2[22] 设Ha∈Cn×n，Hb∈Cn×n 是半正定Hermitian 矩阵，Ea∈Cp×n，Eb∈Cp×m.当且仅当null（Ha）⊕null（Hb））I null（EaEb））={0}，null（H）null（E）={0}时，K是非奇异的.通过引理2.2可以直接得到3×3块鞍点形式矩阵，K的非奇异性的充要条件.引理2.3[22]设Ha∈Cn×n，Hb∈Cn×n 是半正定Hermitian 矩阵，Ea∈Cp×n，Eb∈Cp×m.当那么null（Ha）I null（Ea）=0，null（Hb）I null（Eb）={0}.下面证明一些定义在（6）中的广义拉格朗日函数Lwa（x，y，z）的鞍点特点.定理 2.1 设F∈Rn×n 是对称半正定矩阵，I∈Rm×m为单位矩阵，矩阵A∈Rp×n，B∈ Rp×m 且 B=（I0），m ＞ p，I为 p阶单位矩阵，0为 p（m-p）阶零矩阵.若：那么，下面的结论成立：（1）当且仅当，是线性系统 A（β）x=b（β）的解，那么x*∈Rn，y*∈Rm，z*∈Rp，（x*，y*，z*）是在（6）中定义的广义拉格朗日函数 Lwa（x，y，z）的鞍点.（2）当且仅当（a）null（F）I null（（A（I 0）））={0}，（b）null（AT）I null（（I 0）T）={0}成立，那么A（β）为非奇异的.证明：先证明（1）通过简单计算，广义拉格朗日函数Lwa（x，y，z）关于x，y，z求偏导.令得：x*∈Rn，y*∈Rm，z*∈Rp.则：记（x*，y*，z*）为Lwa（x，y，z）的一个鞍点.为了验证（2）的有效性，定义3×3块上三角矩阵显然，（β）与 A（β）相似.由引理2.2可知，当且仅当{0}成立，那么°A（β）是非奇异的.当且仅当null（AT）I null（（I 0）T）={0}成立，得到所证明的结果.定义矩阵对称矩阵H的正定性和谱半径在讨论交替变量极小化方法的收敛性和收敛速度时尤为重要，关于这点我们将在下面的引理中说明.引理 2.4 设F∈Rn×n是对称正定矩阵，I∈Rm×m 为单位矩阵，W为以上定义的对角矩阵.矩阵A∈Rp×n，B∈Rp×m且 B=（I 0），m ＞ p，I为 p 阶单位矩阵，0 为p ×（m-p）阶零矩阵.（12）和（13）中定义了 A，B，F，I则以下结论成立：（a）0≤AF-1AT＜和0≤H＜I；（b）如果A，B满足null（AT）I null（（I0）T）={0}，那么H＞0.下面用一个复二次多项式方程的两个根的标准分布为基础来证明交替变量极小化方法的收敛性.引理2.5[22]设η和ζ为两个复参数.假设二次多项式方程为λ2+λη+η=0当且仅当复二次多项式方程的两根模小于1，详见文献[25-26].尤其，当η和ζ为两实参数时，（14）的条件可以减弱到|η|＜ 1，|ζ|＜1+ η，详见文献[25].下面，证明交替变量极小化方法的收敛性以及计算它的渐进收敛率.设满足 A（β）=M（α，β）-N（α，β）的块矩阵，那么迭代序列（8）可被重写为固定迭代格式：根据以上等式，可以将交替变量极小化方法理解为在解决3×3块系统线性方程组A（β）x=b（β）时，它是一种基于基于 A（β）=M（α，β）-N（α，β）的分裂迭代法.当且仅当迭代矩阵 L（α，β）=M（α，β）-N（α，β）的谱半径ρ（L（α，β）））计算出渐进收敛率如下，详见文献[27].给出矩阵Pl（β），Pr（β），M（α，β）=Pl（β）M（α，β）Pr（β），N（α，β）=Pl（β）N（α，β）Pr（β）.可得：L（α，β）=M（α，β）-1N（α，β）=Pl（β）Pr（β）M（α，β），L（α，β）与L（α，β）相似,因此具有相同的特征值.基于此，我们研究在F是对称正定矩阵的前提下讨论L（α，β）特征值的解析公式.定理 2.2 设F∈Rn×n是对称正定矩阵，I∈Rm×m 为单位矩阵，W为以上定义的对角矩阵.矩阵A∈Rp×n，B∈Rp×n且B=（I 0），m ＞p，I为p 阶单位矩阵，0 为p×（m-p）阶零矩阵.满足null（AT）I null（（I 0）T）={0}.定义 R=AF-1AT，S=BF-1BT，Q=（I- βS）-1Q=（I-βS）.交替变量极小化方法给出的迭代序列对于等式约束二次规划问题（1）-（2）的精确解是收敛的，且特征值λ的模都小于1.此外，交替变量极小化方法的收敛因子为max{|λ|λ为问题（3.7）的特征值}.该定理可参照文献[22]中定理4.1类似证明.二次特征值问题（16）的推导过程不需要null（AT）I null（（I 0）T）={0}.这个条件用于保证等式约束二次规划问题是唯一可解的.预处理矩阵Q∈Rp×p选择正定的或负定的是很重要的，相应地，根据定理2.2和引理2.5，证明该方法的收敛性，具体如下：定理 2.3 设F∈Rn×n是对称正定矩阵，I∈Rm×m 为单位矩阵，W为以上定义的对角矩阵.矩阵A∈Rp×n，B∈Rp×m且 B=（I 0），m ＞ p，I为 p 阶单位矩阵，0 为p×（m-p）阶零矩阵.满足：null（AT）I null（（I 0）T）={0}.猜想Q∈Rp×p为对称正定矩阵或对称负定矩阵.记 R=AF-1AT，S=BI-1BT，R=（I-βR）-1R（I- βR）-1.对于非零向量w∈Rp，定义当参数α和β满足下列条件时：此处δ（α，β）= ακ - ν- β（2α χ- χ）.交替变量极小化方法的迭代序列收敛于等式约束二次规划问题（1）-（2）的精确解.同时，该方法的迭代序列的收敛率可计算如下：综上所述，本文得到了求解这类等式约束二次规划问题的交替变量极小化方法，证明了该方法的收敛性，并得出了迭代序列收敛率的计算公式.在实际运用过程中，可以从权重矩阵W出发，去选择预处理矩阵Q.如果交替变量极小化方法的附加条件即权重矩阵和预处理矩阵更具体，证明过程会更加简便.同时该方法在图像去模糊中的运用值得我们进一步研究.参考文献：［1］Arrow K，Hurwicz L，Uzawa H.Studies in linear and nonlinear programming［J］.American Mathematical Monthly，1958，67（2）：67-110.［2］Bergen A R.Power systemd analysis［M］.Englewood Cliffs：Prentice Hall，1986.［3］Chua L O，Desoer C A，Kuh E S.Linear and nonlinear circuits［M］.New York：McGraw-Hill Book Company，1987.［4］Bossavit A.“Mixed”sy stems of algebraic equations in computational electromagnetics［J］.Compel Intermational Journal of Computations，1998，17（1）：59-63.［5］Markowitz H M.Portfolio selection：Efficient diversification of investments［M］.NewYork：Wiley，1959.［6］Hall E puter image processing and recognition［J］.Proceedings of the IEEE，1979，69（9）：1169-1170.［7］Haber E，Modersitzki J.Numerical methods for Volumepreserving image registration［J］.Inverse Problems，2004，20（20）： 1621-1638. ［8］Perugia I.A field-based mixed formulation for the twodimensional magnetostatic problem［J］.Society for Industrial and Applied Mathematics，1997，34（6）： 2382-2391.［9］Tao M，Yuan X M.On the （1\n）σ convergence rate of alternating direction method with logarithmic-quadratic proximal regularization ［J］.Siam Jourmal on Optimization，2012，22（4）：1431-1448. ［10］Han D R，Yuan X M.Local Linear Convergence of the Alternating Direction Method of Multipliers for Quadratic Programs［J］.Siam Jourmal on Optimization，2013，51：3446-3457.［11］He B S，Yuan X M.On the （）1\nσconvergence rate of the Douglas-Rachford alternating direction method［J］.Siam Jourmal on Numerical Analysis，2012，50（2）：700-709.［12］Golub G H，Van Loan C F.Matrix computations［M］.3rd EditionBaltimore： The Johns Hopkins University Press，1996.［13］Ortega J M，Rheinboldt W C.Iterative solution of nonlinear equations in several variables［M］.Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，2000.［14］Gabay D.Applications of the 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mechanics［M］.Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1989，58（197）.［21］Lions P L，Mercier B.Splitting algorithms for the sum of twononlinear operators［J］.Siam Jourmal on Numerical Analysis，1979，16（6）：964-979.［22］Bai Z Z，Tao M.Rigorous convergence analysis of alternating variable minimization with multiplier methods for quadratic programming problems with equality constraints［J］.BIT Numerical Mathematics，2016，56：399-422.［23］Bai Z J，Bai Z Z.On nonsingularity of block two-by-two matrices ［J］.Linear Algebra and its Applications，2013，439（8）：2388-2404. ［24］Bai Z Z，Ng M K ，Wang Z Q.Constraint preconditioners for symmetric indefinite matrices［J］.Society for Industrial and Applied Mathematics，2010，31（2）：410-433.［25］Bai Z Z，Parlett B N，Wang Z Q.Ongeneralized successive overrelaxation methods for augmented linear systems ［J］.Numerische Mathematik，2005，102（1）：1-38.［26］Young D M.Iterative solution of large linear systems［M］.New York：Academic Press，1971.［27］Varga R S.Matrix iterative analysis［M］.Englewood Cliffs：Prentice Hall，1962.。
第16讲 二次规划
其中 xB ∈ R m , xN ∈ R n−m .
AB 可逆， 对应 A 的分解为 A = 使得 AB 可逆，则等式约束可写 AN
成：
T T AB xB + AN xN = b ，
(3)
− 的存在， 由于 AB1的存在，故知 − T xB = AB 1 (b − AN xN ) .
模型的建立
设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为 。设此n中 设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为n。设此 中 金融资产的年收益为随机变量ξ = (ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n ) ' 。由于我们 金融资产的年收益为随机变量 主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为1个单位，用 个单位， 主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为 个单位 于第j中投资的资金比例为 于第 中投资的资金比例为 w j ( j = 1, 2, ⋯ , n ) ， 令
w= (w , w2,⋯, wn)' 1
称为投资组合向量，显然应有： 称为投资组合向量，显然应有：
n
∑
w
j = 1
j
= 1
也是一个随机变量， 投资一年的收益 w ' ξ 也是一个随机变量，期望收益为
E(w'ξ ) = E(ξ1)w1 + E(ξ2 )w2 +,⋯, +E(ξn )wn
马库维茨建议用随机变量 风险的度量， 风险的度量，即
ˆ ˆ ˆ 正定,则由(5) (5)式 可得唯一解: ∗ 如果 G 正定,则由(5)式,可得唯一解: xN = −G −1 g N .
代入(4)式可得对应的 ∗ 代入(4)式可得对应的 xB . (4)
从而问题的最有解： 从而问题的最有解：
0-1二次规划的全局最优性条件及算法
0-1二次规划的全局最优性条件及算法全局优化问题广泛见于工程、国防、经济等诸多重要领域,是数学规划理论的一个重要研究领域。
本文首先讨论一类特殊结构的全局优化问题:二次规划的全局优化问题。
我们给出了0-1二次规划的全局最优性条件,并讨论了其相应的算法。
然后,对于一般结构的全局优化问题,我们给出了一个新的无参数的填充函数方法。
本论文的第一章介绍全局优化理论的一些研究成果。
第二章讨论无约束0-1二次规划的全局最优性条件。
在第二节得到一个充分条件和一个必要条件的基础上,我们希望能够得到一些充要条件。
为此,我们首先在第三节中给出在线性约束条件下,(?)成为一个凸的二次函数的全局极大点的充分必要条件。
从这个结论出发,在第四节,我们得到了无约束0-1二次问题全局最优的充分必要条件及其等价形式。
在第五节,我们将注意力放在全局最优的必要条件上。
我们得到的必要条件都不含对偶变量,仅用到原问题的数据。
这样,这些条件在实际中都是可以被检验的。
进一步,为了使必要条件在实际中易被检验、易操作,我们降低了必要条件中的维数,在比原问题维数更低的空间中,给出一些简洁的必要条件,以达到方便检验的目的。
在第三章,我们进一步研究有约束的0-1二次规划的全局最优条件。
对于带有线性不等式约束的0-1二次问题,我们在第一节中得到了它全局最优的充分条件和必要条件。
必要条件也不含对偶变量。
当系数矩阵正定时,我们建立了原0-1问题的解与松弛问题的解之间的联系。
对于带有线性等式约束的0-1二次问题,我们在第二节证明了一个带有线性等式约束的0-1二次规划问题,它的全局最优解集和其相应的罚问题的全局最优解集是相等的。
这样,带有线性等式约束的0-1二次问题的解,可以通过无约束0-1二次规划问题的解得到。
第三章的另一个内容是讨论0-1二次规划问题的实际应用。
将我们得到的一些结论运用于极大团问题和二次分派问题,我们得出了一些相关的结论。
将全局最优条件发展成为可实现的算法,是全局优化研究中的重要的工作。
二次规划问题
二次规划问题二次规划（Quadratic Programming，QP）是指在一定约束条件下，优化一个二次目标函数的数学问题。
它是数学规划（Mathematical Programming）中的一种重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。
二次规划问题的一般形式如下：minimize f(x) = (1/2)*x^T*Q*x + c^T*xsubject to: Ax ≤ bAx = blx ≤ x ≤ ux其中，x 是一个 n 维向量，Q 是一个 n×n 矩阵，c 是一个 n 维向量，A 是一个 m×n 矩阵，b 是一个 m 维向量，lx 和 ux 分别是 x 的下界和上界。
二次规划问题具有以下特点：1. 目标函数是一个二次函数，有一个二次项、一个一次项和一个常数项。
2. 约束条件是线性的，可以是等式约束或者不等式约束。
3. 决策变量是一个向量，需要满足一定的边界条件。
解决二次规划问题有多种方法，常用的有凸优化、KKT 条件和梯度法等。
在工程领域，二次规划问题经常出现在优化设计、控制系统和信号处理等方面。
例如，在机械设计中，可以使用二次规划问题来优化零件的尺寸和形状，以实现最小体积和质量。
在控制系统中，可以使用二次规划问题来设计最优控制器的参数，以实现系统的最佳响应和稳定性。
在信号处理中，可以使用二次规划问题来估计信号的频率、幅度和相位，以实现最佳的信号采样和重构。
总之，二次规划问题是一种重要的数学工具，能够解决许多实际问题。
通过优化目标函数，可以得到满足约束条件的最优解，提高系统的性能和效益。
随着计算机技术的发展和数学优化算法的改进，二次规划问题的求解越来越高效和可靠，为工程、经济和金融领域的决策提供了有力支持。
最优化：二次规划
从而二阶充分条件等价于 y T Z T QZy d T Qd 0, 0 y R n-m 即矩阵Z T QZ 正定.
我们称Z T QZ为等式二次规划问题(11.4)的投影Hessian 矩阵或既约Hessian 矩阵
关于问题(11.4)的KKT系统解的存在性, 有下面的结论 :
定理11.1.1 设矩阵A行满秩, 若二阶充分条件成立, 则 线性方程组(.)的系数矩阵 Q AT A 非奇异,因此线性方程组(.)有惟一解.
求得KKT点及乘子为 : * x ,
*
d d 令d , 得基础解系 Z
Z T QZ 13 0
T
所以x * 是最优解
由上面的分析知, 解等式二次规划问题(11.4)等价于解 KKT半正定, ai R , q, bi R
n
设x 是问题(11.1)的最优解 存在Lagrange 乘子*满足 : f ( x )
* T i T i * * iE I
*
λ a
* i
* i i
0 (11.2)
a x bi 0, i E a x bi 0, λ 0, λ (a x bi ) 0, i I
f ( x* ) AT * AE x bE
* T * AI x* bI , I , * ( A x bI ) 0 I I
(.)
当只有等式约束时, (11.3)是一线性方程组.
第一节 等式约束二次规划
考虑凸二次规划
min s.t. 1 T f ( x ) x Qx q T x 2 Ax b (11.4)
求解线性约束的区间二次规划问题的神经网络
ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｔ ｏ ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｕ ｓ ｅ ｆ ｕ ｌ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｅ ｆｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈｅ ｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍｉ ｎ ｇ；ｎｅ ｕ ｒ ａ ｌ ｎ ｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ；ａ ｕ ｇ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ Ｑｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ Ｐｒ Ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ｍｉ ｎ ｇ Ｎｅ ｕ ｒ ａ ｌ Ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｓ ｆ ｏ ｒ Ｓｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ
Ｐｒ ｏｂ ｌ ｅｍ ｓ ｗｉ ｔ ｈ Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｃｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ
ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍ ｉ ｎｇ ｉ ｓ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ．Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｓａ ｄ ｄ ｌ ｅ ｐ ｏ ｉ ｎｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ，ｔ ｈ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｎｅ ｕ— ｒ ａ ｌ ｎ ｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｏ ｂ ｅ ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍｉ ｎｇ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ．Ｔｈｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｅ ｘ ｐｏ ｎｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ ｎｅ ｕ ｒ ａ ｌ ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｉ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｏ ｆ ａ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ． Ｔｗｏ
二次规划问题
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序列二次规划法求解一般线性优化问题:12min (x)h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m }i i f g I =∈=⎧⎨≥∈=⎩ (错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
)基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。
1。
1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法考虑等式约束优化问题min (x)s.t.h (x)0,E {1,...,m}j f j =∈=\＊ MERGEFORMAT 错误!未定义书签。
(错误!未定义书签。
.错误!未定义书签。
) 其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =。
则错误!未定义书签。
（错误!未定义书签。
.错误!未定义书签。
)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()mT i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑（1。
3)其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。
约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =∇=∇∇。
对（1.3）求导数，可以得到下列方程组：(,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ∇⎡⎤⎡⎤∇-∇===⎢⎥⎢⎥∇-⎣⎦⎣⎦（1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程(1。
4）.(,)L x u ∇的Jacobi 矩阵为:(,)()(,)()0T W x u A x N x u A x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭(1。
5）其中221(,)L(,)()*()mxx iii W x u x u f x u h x ==∇=∇-∇∑是拉格朗日函数L(,)x u 关于x 的Hessen 矩阵。
最优化方法 第三章(二次逼近法)
min s.t.
ci x ci x
1 T Q(d ) d Bk d f ( x k )T d 2
k T
d ci x k 0, i I m 1,..., p
k T
d ci x k 0, i E 1,..., m .
基本思想：将问题转化为求解一系列的二次规划子问 题。从已知点和近似乘子向量进行迭代，由二次规划 问题计算出的结果对迭代过程进行更新。
s.t.
三、二次逼近法 等式约束问题 由等式约束K-T条件，有
f x hE x 0,
T
即
hE x 0.
T x L x , f x A x F x, 0. hE x hE x
d,
T
k W x k , λ k A x k T d f x k A xk h x 0 E
一般约束问题
min s.t.
f (x), ci x 0, i I m 1,..., p ci x 0, i E 1,..., m .
x 1 不是原二次规划问题的可行解，令
，显然为函数值下降方向。但在 x1
1
d 1 x 1 x1
沿 d 趋向
T a 某些不等式约束 i x bi , i t 1, t 2,..., p ，设
x
1
的过程中，不满足原二次规划问题的
在移动的过程中，最先遇到某个不等式约束，对应 的下标为 l ，相应的交点记为 x ，x 点处对应的有
等式约束优化问题的求解方法
等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。
它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。
本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。
设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。
根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。
我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。
具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。
4. 代入公式，解出x*。
值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。
二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。
它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。
具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。
2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。
3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。
4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。
5. 判断是否满足终止条件。
若满足，则停止迭代，输出结果。
否则，返回第2步。
牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。
三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。
其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。
这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。
一种改进的求解含等式约束凸二次规划问题的lemke算法
一种改进的求解含等式约束凸二次规划问题的
lemke算法
1. 改进的lemke算法
改进的lemke算法是一种求解含等式约束凸二次规划问题的新方法。
它的基本思想是，引入凸分割的概念，根据把多维搜索空间分割成多个凸曲面互不相交的凸区域，用网格搜索的思想逐步收敛到最优解点来求解凸二次规划问题。
2. 流程介绍
(1) 变量数量n，等式约束条件m：求解n个变量和m个等式约束条件的凸二次规划问题。
(2) 引入约束右端向量b：将等式约束条件Ax=b转换成矩阵A及其右端向量b。
(3) 引入分割变量z：将每一个等式约束条件转换成一个新的变量，写成z-Ax=0的形式。
(4) 构建解空间：将系数矩阵A和真实变量x分割开来，作为解空间的秩m阶子空间和其他n-m维空间，形成一下解空间：
Z_matrix = [z_matrix, x_matrix]
(5) 求解函数：在解空间中使用梯度下降法，对对偶变量Z 进行更新，基于线性搜索的思想，构建求解函数：
f(Z) = c'Z
(6) 收敛至函数最优解：从初始点开始，使用改进的lemke 算法，构建网格搜索，沿z的分量的正负方向搜索，不断收敛至函数最优点，从而求解函数最优解。
3. 优势与应用
改进的lemke算法的优势在于利用了把多维搜索空间分割成多个凸曲面互不相交的凸区域，继而采用网格搜索的思想，搜索到凸函数最优解。
它适用于解决多种问题，如优化路径规划、信号最优解码和机器学习等。
二次规划
的唯一整体最优解.
证明:任意的可行解x
令p x * x.
A x* A x b
T T
A xb
T
nm
A p0
T
p Zu, u R
1 T T q ( x) ( x * p ) G ( x * p) g ( x * p) 2 q( x*) u ( Z GZ )u 2
Av 0
列满秩
与假设
v0
矛盾
( p, v) 0
K是非奇异的.
r 定理: 假设 A 为列满秩矩阵， A m , 若投影 Hesse阵 Z T GZ 正定，则满足方程组
KKT对x* , * 中x*是
min s.t
G T A
A x * g 0 * b
性条 件
例
2 2 2 min q x x1 x2 x3
s.t
x1 x2 x3 1 x2 x3 1
1 2 3
x2 x3 1 x1 2 x3
4 5
q ( x) x1 x2 x3
2 2
2
4 x32 ( x3 1) 2 x32
A* g Gx* * , 只需考虑该方程组的前 m 行就可以给出 * 1 * * AB g B GBB xB GBN xN
^
相应的最优Lagrange乘子 * 可由下式确定，
G正半定
^
G不定、负定、负半定
^
G正半定
( I GG ) g 0 问题有界
^ ^ ^
* T ˆ xB AB T b AB T AN G 1 g ˆ * * 1 ˆ ˆ G正定 xN G g x * x ˆ ˆ G 1 g N
二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以 使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法； 此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支 持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介 绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
* T i i *
m l
很 明 显 A ( x x ) =0 ， 而
i 1 * i T i *
m
i m 1
A
* i
m l
T i
( x x* ) 可 以 写 成 两 部 分 之 和 ，分 别 是
根 据 x* 处 起 作 用 约 束 和 不 起 作 用 不 等 式 约 束 下 标 分 别 求 和 ， 由 （ 9-56 ） 和 x H 可以推出
T 1 T ( AB ) AN F , I
(9-71)
并 且 秩 ( F)= n -m ， 因 此
T 1 T G G ( A BB BN T 1 B ) AN (9-72) G N F GF ( AN AB , I ) G I NB G NN 由于 F 是列满秩的，并且 G 正定，因此 G N 也是正定的，对称性显然． 定 理 9-5 表 明 对 于 等 式 约 束 的 严 格 凸 二 次 规 划 问 题 ，可 以 用 直 接 消
9.6.2 等式约束二次规划问题
本小节讨论等式约束二次规划问题
min
f ( x)
1 T x Gx r T x, 2
(9-58)
s.t. AT x b,
其 中 ，G 为 n n 阶 对 称 矩 阵 ， r 为 n 维 列 向 量 ， A 为 n m 阶 矩 阵 ， n m 且 秩 ( A )= m ， 即 矩 阵 A 是 列 满 秩 的 ．
二次规划问题的降维算法
二次规划问题的降维算法
童东付;李泽民
【期刊名称】《重庆建筑大学学报》
【年(卷),期】1999(021)005
【摘要】对等式约束二次规划问题的线性方程组算法进行了研究。
从一般等式约束问题的最优性条件出发，构造一个线性方程组，解此方程组便可求得二次规划问题的最优解。
【总页数】5页(P64-68)
【作者】童东付;李泽民
【作者单位】重庆建筑大学;重庆建筑大学
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.用非线性方程组求解等式约束非线性规划问题的降维算法 [J], 史秀波;李泽民
2.等式约束二次规划问题的降维算法 [J], 王开荣
3.二次约束二次规划问题的二元均值松弛定界算法 [J], 田福平;高岳林;孙滢
4.等式约束的凸非线性规划问题降维算法 [J], 冯祈善;陈荣;杨兴月;TONG Dong-fu
5.具有线性不等式约束非线性规划问题的降维算法 [J], 杨懿;张守贵
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
线性等式约束二次规划问题的无约束的优化方法
T
-1
T
-1
T
-1
T
T
T
-1
T
T
1 -1 T -1 T T -1 T -1 T -1 T b TA 1 G 11 A 1 A 2 + b A 1 G 21 + b A 1 G 21 ) X 2 + C 2 A 1 b - C 1 A A 2 X 2 + C 2 X 2 +
T
T
T
1 T - 1T 1 b A 1 G 11 A1 b 2 1 T T - 1T -1 = X 2 ( A 2 A 1 G 11 A 1 A 2 2
-1 -1
1 T T X 2 WX 2 + U X 2 + V 有唯一的全局最优解。 2
得 于是
X2 = - W
U
-1
X 1 = A ( b + A 2 W U) 1 T 原规划 minf = X GX + CT X 2 s . t. AX = b 的全局最优解 X* = A- 1 ( b + A 2 W- 1 U) - W- 1 U
3 D. G. 鲁恩伯杰著 . 线性 与非线性规划引论 . 北京 : 科学出版社 , 1982
A method of Unoonditional Optinization of Quadratic Programming Under Linear Equality Constraints
Ni Keshe
! a m2
T
(x1
x2
! x m ) , X 2 = ( x m+ 1
T
于是 A 1 X 1 + A 2 X 2 = b, A 1 X 1 = b - A 2X 2 , X 1 = A - 1 ( b - A 2X 2 ) 。 f =