拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题
拉丁方试验设计
拉丁方试验设计拉丁方试验设计在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。
每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。
它是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
拉丁方——以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n 阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
拉丁方设计一般用于5~8个处理的试验，设计的基本要求：①必须是三个因素的试验，且三个因素的水平数相等；②三因素间是相互独立的，均无交互作用；③各行、列、字母所得实验数据的方差齐（F 检验）。
试验设计的步骤：①根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另外两个次要因素的水平数与之相同；②先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。
可通过对拉丁方的任两列交换位置或任两行交换位置实现随机化；③规定行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。
数据处理的相关理论：拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行。
将横行单位组因素记为A ，直列单位组因素记为B ，处理因素记为C ，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r ，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：),,2,1()()(r k j i x k ij k j i k ij ===++++=εγβαμ式中:μ为总平均数；i α为第i 横行单位组效应；j β为第j 直列单位组效应，）（k γ为第k 处理效应。
拉丁方设计
拉丁方设计--——--—--——-—----————--——-—--———-—--——---———--------—-———-——-———-“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制,使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中,每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小,试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计.这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出,每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
拉丁方的一个性质及应用
一、定义及引论1.拉丁方的定义。
设是含有S 个n 元素的集合，这些元素构成一个n ×n 矩阵L=（l ij ），如果S 的每一个元素在每一行和每一列中恰好出现一次，则该矩阵就叫做S 上的n 阶拉丁方。
本文讨论的拉丁方指的是S={1，2，Λ，n}上的拉丁方。
拉丁方的一个性质及应用刘崇华（广西工业职业技术学院，广西南宁530001）摘要：拉丁方是组合数学中的一个重要课题，在试验设计中有着重要的应用。
本文证明了拉丁方的非奇异性，同时给出了它的行列式的计算公式。
关键词：拉丁方；非奇异；行列式中图分类号：G712文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0094-02易否定的结论，这就是通常把不能被轻易否定的结论作为原假设的基本原理和基本依据。
特别地，在进行单侧检验时，一般取与预想结果的相反面为原假设。
比如说，当病人前来问诊时，医生要对病情作出诊断，这时医生可能会犯“无病看成有病”或者“有病看成无病”的错误，而这两种结果相对比较来说，更严重的错误是把“有病看成无病”的结论，所以应将“看病的人有病”作为原假设H 0，“看病的人无病”作为备择假设H 1。
三、实例应用，对假设检验一个误区的解释在统计学教学实践中，有些学生甚至是教师，对于下面的假设检验问题常常会得出一个令人困惑的结论。
问题如下：从某厂生产的一批灯泡中随机地抽取20只进行寿命测试。
由测试结果计算得这批灯泡的平均寿命为x=1960（小时），s=2000（小时）。
假定灯泡寿命服从正态分布：X~N （μ，σ2）其中μ，σ均未知。
那么在显著性水平α=0.05下能否认为这批灯泡的平均寿命达到国家标准2000小时？对上述问题，给出以下有两种解法，确得到了截然相反的结论。
解法1：提出原假设H 0：μ≥2000备择假设H 1∶μ＜2000，作检验统计量T=X ⎺-2000S/20√，显然，该统计量符合自由度为19的T 分布，即：T=X ⎺-2000S/20√~t （19）.结合假设，确定拒绝域的形式为{T ＜-t 0.05（19）}由α=0.05，查t 分布表，定出临界值-t 0.05（19）=-1.729，从而求出拒绝域{T ＜-1.729}.由测试结果得到：T=x ⎺-μ0S/20√=1960-2000200/20√=-0.894，由于T ＞-1.729，作出接受假设H 0的判定，即认为这批灯泡的平均寿命达到国家标准2000小时.解法2：提出原假设H 0：μ＜2000备择假设H 1μ≥2000，作检验统计量T=X ⎺-2000S/20√，显然，该统计量符合自由度为19的T 分布，即：T=X ⎺-2000S/20√~t （19）.结合假设确定拒绝域的形式{T ＞t 0.05（19）}由α=0.05，查t 分布表，定出临界值t 0.05（19）=1.729，从而求出拒绝域{T ＞1.729}。
如何理解拉丁方实验设计
如何理解“拉丁方实验设计”(邓涛)近来，不少学生问到拉丁方设计如何理解的问题，而且提出不同教材的表述也不一样.为了不去一一解答，我这里再结合《应用实验心理学》上的表述作一说明.我的基本看法是：拉丁方实验设计与区组实验设计一样，都是为了平衡额外变量，以防止这些额外变量成为混淆因子，破坏实验研究的内部效度.如果简化点来解释，一般来说，区组实验设计多用于对一个额外变量的平衡，如被试因素、时间顺序因素、空间位置因素等；拉丁方实验设计则可以看成是区组设计的扩展，即扩展到可以平衡两个额外变量（当然，如果设计巧妙，也可以达到对多于两个额外变量的平衡，但那也是在二维平衡模式上变化出来的）.为了说明，拉丁方设计及其与区组设计的联系，我们先说一说区组设计.区组实验设计是在考察自变量影响效应的实验中，考虑到一个额外变量的影响，将这个额外变量作为区组变量，对其在各种实验处理条件下产生的影响进行平衡，同时将该区组变量引起的变异从残差中分离出来.比如，限于实验室条件，研究者开展某一实验研究时每天只能为4名被试进行测试，实验处理也有四个水平：A1、A2、A3、A4.如果认为不在每周中的同一天进行测试，可能会引起测试结果的变化，这种影响又是比较重要的.于是可以将测试时间作为区组变量，即把同一天接受测试的被试看作是一个区组.这样就可以形成一个区组实验设计，如表2-8所示.表2-8 四种实验处理的随机区组实验设计现在我们进一步设想：假如，在每天的实验中，一次只能测试一人，每天参加实验的四名被试只能分别在下午2～3点、3～4点、4～5点和5～6点的四个时段接受测试，而测试时段不同也可能会造成结果变化.这样一来，每一种实验处理条件安排的时段就也要取得平衡才行，你不能每天都在2点钟安排所有被试接受A1处理条件，或3点钟接受A1处理条件.于是，研究中采用测试天和测试时段两方面因素的平衡方法安排实验，构成了一个单因素的拉丁方实验设计，设计模式如图2-9所示.在这一设计中，测试是在星期几、测试是在每一天的哪一时段，这两个额外变量就都取得了很好的平衡.表2-9 四种实验处理的拉丁方实验设计从这一例子可以看出，拉丁方（latinsquare）是一个含P行P列，把P个实验处理分配给P×P方格的管理方案，它便于在复杂研究程序中有条理地管理各个工作单元，并平衡两种额外变量的影响.在工农业生产试验和心理与教育研究中，拉丁方都得到普遍应用.在这种实验设计中，首先根据自变量处理的水平数确定两个额外变量的水平数，然后利用两个额外变量的各个水平结合在一起构造一个拉丁方格，最后再将自变量的不同处理平衡地安排在这个方格中，就构成了一个研究方案，其结果要保证自变量的每一个水平在拉丁方格的每一行和每一列都出现且只出现一次.很明显，在这种设计中，自变量的水平数或水平结合数、额外变量的水平数必须相等.拉丁方设计常被用于平衡实验安排的时空顺序，也可被用于平衡机体变量的影响.我们再以下面这个例子对拉丁方做进一步说明.问题模式：为了研究简单反应时间与光刺激的颜色和强度的关系，研究者同时考虑到被试的气质类型及年龄因素可能对反应时间具有明显影响，为了将这两个因素的影响从变异的残差项中分离出去，研究者采用了拉丁方实验设计.拉丁方格的组成：拉丁方格是由实验中明显存在的两个额外变量即被试的气质类型和被试年龄档组成，其中年龄分为四档：10～13岁、15～18岁、20～23岁、25～28 岁.从四个年龄档的青少年中筛选出四种典型气质类型者各2人，这样就有共计32名被试参加这一实验.根据气质类型和年龄档组成拉丁方格，拉丁方格中的每一个格子中可以有年龄档相同、气质类型相同的两名被试，如表2-10所示.表2－10 4×4拉丁方格被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～1315～1820～2325～28实验处理的组成：实验中自变量有两个，即光的颜色和强度.自变量的颜色取两个水平，红光和绿光，分别用A1和A2表示；光的强度也取两个水平，相对强度为1和1/4，分别用B1和B2表示.于是两个自变量结合而成的实验处理分别为：A1B1——红光＋1（即光的颜色为红光、光的相对强度为1）A1B2——红光＋1/4A2B1——绿光＋1A2B2——绿光＋1/4实验处理的编排：按照拉丁方实验设计的基本原则，将四种实验处理安排在拉丁方格中，某种实验处理被分配到拉丁方格中的某一方格，该方格中对应的两个被试就要完成这一种实验处理.首先，我们给出一个基本的拉丁方设计形式，如表2－11所示.表2-11 标准的4×4拉丁方实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A1B1A1B2A2B1A2B215～18A1B2A2B1A2B2A1B120～23A2B1A2B2A1B1A1B225～28A2B2A1B1A1B2A2B1表2-11所示的实验设计方案就是一个标准的或基本的4×4拉丁方的实验设计.有了这样的设计方案之后，实验程序的编排就非常清晰了.按照这一设计进行实验，不仅能将两个额外变量的效应从残差项中分离出来，而且也有利于增进复杂实验过程的条理性.有了表2-11所示的实验方案，每个被试需要完成什么样的实验就很清晰了，比如15～18岁组两个胆汁质的学生只需完成A2B1实验处理，即“绿光＋1”实验处理、25～28岁组两个粘液质的学生只需完成A1B2实验处理，即“红光＋1/4”实验处理.有了表2-11所示的标准拉丁方实验设计方案之后，还可以将该方案进行随机化处理，即可以对其中的实验安排做随机的两行互换或两列互换，得到各种不同的拉丁方实验方案.比如，将表2-11中第1列和第四列对换就可以得到表2-12所示的拉丁方实验方案.表2－12 在标准4×4拉丁方实验方案基础上变换得到的实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A2B2A1B2A2B1A1B115～18A1B1A2B1A2B2A1B220～23A1B2A2B2A1B1A2B125～28A2B1A1B1A1B2A2B2再将表2-12中的第2行和第3行对换就可以得到表2-13所示的拉丁方实验方案.表2-13 在表2-12基础上变换得到的拉丁方实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A2B2A1B2A2B1A1B115～18A1B2A2B2A1B1A2B120～23A1B1A2B1A2B2A1B225～28A2B1A1B1A1B2A2B2进行拉丁方实验设计中，其选取用来构成拉丁方格的额外变量不能与研究的自变量之间存在交互效应，两个额外变量之间也不能存在交互效应.其数据的方差分析方法与随机区组实验设计相似，可以对数据的变异及其自由度进行分解，计算过程是：首先计算总变异，然后计算自变量及其交互效应引起的变异、两个额外变量主效应引起的变异，再计算误差项变异，即可得到各种变异方差及其与误差方差的比率F.拉丁方实验设计既有优点也有缺点.其优点是，在许多研究情境中，这种设计比完全随机和随机区组设计更加有效，它可以使研究者平衡并分离出两个额外变量的影响，因而减小实验误差，可获得对实验处理效应的更精确的估价.另外，通过对方格单元内误差与残差的F检验，可以检验额外变量与自变量是否有交互作用，以检验采用拉丁方设计是否合适.拉丁方设计的缺点是，它的关于自变量与额外变量不存在交互作用的假设在很多情况下都难以保证，尤其当实验中含有多个自变量的时候.因此，拉丁方实验设计在多因素实验中不常用.另外，拉丁方实验设计要求每个额外变量的水平数与实验处理数必须相等，这也在一定程度上限制了拉丁方实验设计的使用[1].(其他实验设计的模式可参见《应用实验心理学》第一、第二、第三章)[1] 舒华. 心理与教育研究中的多因素实验设计. 北京：北京师范大学出版社. 1994:58。
拉丁方试验设计方案统计分析
拉丁方实验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处理数=横行单位组数=直列单位组数=实验处理的重复数。
在对拉丁方设计实验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从实验误差中分离出来，因而拉丁方设计的实验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，实验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA的顺序来安排实验处理的顺序。
或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB的顺序实施处理。
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
S4 拉丁方设计
D47
192 A314
C31
202 B145
A87
236 C136
A87
205 D240
213
835
1.H0：（1）各动物对药液的反应总体均数相等 （2）各用药次序的反应总体均数相等 （3）各药液的反应总体均数相等 H1：（1）各动物对药液的反应总体均数不全相等 （2）各用药次序的反应总体均数不全相等 （3）各药液的反应总体均数不全相等
自由度
15 3 3 3 6
MS
F值
257.73 90.23 1784.23 176.65
1.46 0.511 10.101
4.P值
F0.05,3,6 5.14 F0.01,3,6 9.78 药液间F>F0.01,3,6 9.78, P 0.01, 有统计学意义。
5.结论
统计分析举例：
例 四只大白鼠对不同药液、不同次序的反 应的拉丁方试验设计的实验数据的方差分 析。
用药次序 大白鼠编号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 A75 B45 C25 2 B29 D71 A71 3 C27 A81 D80 4 D42 C53 B23 各动物 合计 173 250 199
Ⅳ
各次序合计 各药液合计
0.05
C
( X ) 2 n
835
16
2
43576.56
2 2 2
2.
SS
总
2
X 2 C 75 45 87 C 7456.44
SS动物间
各动物小计的平方和 C 动物数
2
173
SS次序间
213 C 773.19 4 各次序小计的平方和 C 次序数 205 C 270.69 4 各药液小计的平方和 C 药液种类
第八章 单因素拉丁方设计
第三节 拉丁方设计的优缺点 （一）拉丁方设计的主要优点
1、精确性高
拉丁方设计在不增加实验单位的情况下，
比随机单位组设计多设置了一个区组因素，能
将横行和直列两个单位组间的变异从实验误差
中分离出来，因而实验误差比随机区组设计小，
实验的精确性比随机区组设计高。 2、实验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点
b4
∑
a2
9 48
a3
15 44
a4
19 48
a1
12 52
a1 35
a2 31
a3 56
a4 70
第一步：作统计假设
1) 处理水平总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
2) 无关变量（横行）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
五、实验工具
拉丁方格 标准型拉丁方 拉丁方块随机化
（一） 拉丁方 以 n 个 拉 丁 字 母 A， B， C……，为元素，列出一个 n阶方阵，若这 n个 拉丁方字母在这 n 阶方阵的每一行、 每一列都 出现、且只出现一次，则称该 n阶方阵 为n×n 阶 拉 丁方。
例如： A B B A B A A B
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+ d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
在选定拉丁方之后，若是非标准型，则可 直接由拉丁方中的字母获得实验设计。若是标 准型拉丁方，还应按下列要求对直列、横行和 实验处理的顺序进行随机排列。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题拉丁方实验设计（Latinsquaredesign，LSD）是指利用全排列采样技术对地层因素（如温度、盐度、污染物等）和人工因素（如抽样时期、采样设备等）为每个试验单元构建定量模型的一类实验设计方法，它已经成为多元统计分析（Multivariate statistical analysis）中的重要工具之一。
它使实验者能够迅速而有效地研究出实验变量，也能够发现更多实验变量与实验结果之间的关系及其趋势。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理主要有：（1）排列和组合原理。
实验设计的本质是一种排列，因此拉丁方实验设计的基本思想是利用排列的原理来解决实验问题。
拉丁方实验设计需要通过排列和组合手段，让实验变量的不同效应在实验中得到充分展现。
（2）分组原理。
拉丁方实验设计是把所有实验观测数据进行分组处理，使实验结果能够达到最大程度的描述和控制。
每一个分组中，实验设计要求所有变量的单位观测值（平均）达到均衡，这样就可以有效地消除每个实验变量的误差影响。
（3）协方差原理。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理还包括协方差原理，它是实验设计时最重要的原理之一。
协方差原理指的是两个变量之间的关系，它可以帮助实验者有效地控制实验当中的干扰因素，以便更好地控制实验结果。
在实际使用拉丁方实验设计过程中，实验者会遇到几个常见的问题：（1）实验变量选择问题。
由于拉丁方实验设计本身具有排列、组合、分组和协方差原理，在实际使用中，实验变量的选择非常重要，否则试验结果会不准确。
（2）试验设计问题。
拉丁方实验设计的本质是实验变量的排列，因此实验者需要合理设计实验，以便能够更好地揭示不同实验变量之间的关系。
（3）实验结果分析问题。
拉丁方实验设计得出的实验结果需要进行相应的分析才能够得出准确的结论，而且拉丁方实验设计是包含多种因素的实验设计，实验结果分析需要对多种变量进行分析，因此，分析的结果会更加准确。
拉丁方试验设计
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1欢迎下载拉丁方试验设计拉丁方试验设计在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。
每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。
它是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
拉丁方—— 以n 个拉丁字母A ，B ，C ……，为元素，作一个n 阶方阵，若这n 个拉丁方字母在这n 阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n 阶方阵为n ×n 阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
拉丁方设计一般用于5~8个处理的试验，设计的基本要求：①必须是三个因素的试验，且三个因素的水平数相等；②三因素间是相互独立的，均无交互作用；③各行、列、字母所得实验数据的方差齐（F 检验）。
试验设计的步骤：①根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另外两个次要因素的水平数与之相同；②先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。
可通过对拉丁方的任两列交换位置或任两行交换位置实现随机化；③规定行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。
数据处理的相关理论：拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行。
将横行单位组因素记为A ，直列单位组因素记为B ，处理因素记为C ，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r ，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：),,2,1()()(r k j i x k ij k j i k ij ===++++=εγβαμ式中:μ为总平均数；i α为第i 横行单位组效应；j β为第j 直列单位组效应，）（k γ为第k 处理效应。
第八章拉丁方设计
第八章拉丁方设计
因此，可以将饲料作为主要因素 A，牛场或血统作 为因子 B，泌乳阶段作为因子 C，在试验中同时 考虑因子 A即饲料的作用、因子 B即血统的作用、 因子 C即泌乳阶段的作用；这里，由于因子 B和 因子 C的作用无法相互抵消，且它们可能产生系 统误差，因此，有必要将 B和 C的作用在统计分 析中反映出来；但显然，因子 B和因子C的效应 在方差分析中不是主要的，它们仅仅是为了消除 系统误差而设立的
SE 0.5330.42
查q表，得： q0.05,2,2 =6.09
q0.01,2,2 =14.0
则：
LSR0.05,2,2 =2.56
LSR0.01,2,2 =5.88
饲料
0.05 0.01
q0.05,2,3 =8.28 q0.01,2,3 =19.0 LSR0.05,2,3 =3.48 LSR0.01,2,3 =7.98
对A因子各水平进行累加，得：
A1：27.1 A2：20.2 A3：31.7
x 1 ＝ 9.03
x 2 ＝ 6.73 x 3 ＝10.57
T＝79.0
上述数据为试验结束以后每一种饲料在每一个蛋鸡
组、每一试验期的产蛋量及各个和
对这一类数据一般可用三因子（无互作）的方差分 析法进行分析
作无效假设（A、B、C因子各水平其效应相同）
course SS df MS F
饲料间 22.34 2 11.17 21.08** 蛋鸡组 1.70 2 0.85 1.60 产蛋阶段 1.42 2 0.71 1.34 误差项 1.06 2 0.53
拉丁方设计
拉丁方的应用注意事项一：当实验的动物数量较少的时候二：当需要排除单位组因素所产生的系统误差对实验造成的影响的时候。
（在后面有详细的例子会对该问题就行阐述）。
三;主要是为了消除单位组内的实验单位之间的差异而对于拉丁方的定义是什么呢？如果有n个字母排列起来，将他们分成一个矩阵，这n个字母在n排和n列当中只能出现一次，我们称之为n阶方程为n×n阶拉丁方。
第一行第一列都是按照顺序来排列的拉丁方叫做基本拉丁方或标准拉丁方。
拉丁方实验的优点①精确度高:他比随即组多设置了一个单位组因素，因此横列和竖列两个单位组的变异则从实验误差当中分离了出来，误差小，而且精确度较高，在动物较少的情况下可以选择。
②实验结果的分析非常的方便③尤其是适合做大型动物或者成本比较高，数量较少的一些动物实验，因此反刍动物的实验用的比较多。
拉丁方实验设计可用于处理三因素的实验，行因素和列因素考虑在内，而不考虑其他的外来因素时所使用的方法。
拉丁方实验的缺点①因为在处理的过程当中，横列、竖列、实验处理数等都必须要相等，因此在处理数这一环节收到了比较大的影响，处理数多了工作量大，处理数少了影响检验的灵敏性。
因此此实验设计就缺乏灵活性，实验空间缺乏延展性，而且重复过多。
②注意是否有交互影响，例如做钙与磷对泌乳的影响时，他们都会对奶牛的泌乳量产生影响，但是还可能会产生交互影响，发挥1+1＞2的效果。
还有就是例如前一阶段做的奶牛的泌乳实验，用的某种微量元素或者添加剂，在做下一阶段实验时还要考虑到是否有残留效应。
为了研究夏季蛋鸭圈舍当中不同的温度对蛋鸭的生产性能的影响，我们将温度分为了A、B、C、D、E，5个，这5种温度分别在5个圈舍内起作用，对应的圈舍为1、2、3、4、5，由于鸭群和温度对于它的产蛋量都有非常大的影响，因此采用拉丁方实验设计，这样可以更好的消除这几组因素对于实验当中所产生的系统误差。
那么根据上面的一些内容以及定义我们在对鸭子进行实验的时候，有可能会遇到以下的一些情况。
06拉丁方设计
第六节拉丁方设计“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
一、拉丁方简介（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n 个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n 阶拉丁方。
例如：A B B AB A A B为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B CB C AC A B3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。
若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。
在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。
（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。
下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。
其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 4 × 4（1）（2）（3）（4）A B C BCACABABCDBADCCDBADCABABCDBCDACDABDABCABCDBDACCADBDCBAABCDBADCCDABDCBA5 × 5（1）（2）（3）（4）A B C D EBADECCEABDDCEABEDBCAABCDEBAECDCDBEADEABCECDABABCDEBAECDCEDBADCAEBEDBACABCDEBADECCDEBADEACBECBAD6 × 6ABCDEFBFDACECDEFABDCFEBAEABCFDFEABDC二、拉丁方设计方法在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。
第4章拉丁方试验设计与分析
5 E=11 A=13 B=10 C=15 D=15 64 63
T..k 57 64 62 64 66 T=313 T..k2 3249 4096 3844 4096 4356 19641
解：1.拉丁方设计的统计模型是
Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p,
u处是理试X的ij验k效是的应第总，i行均c、k值是第，第ka列ki是列、第效第i应行j个，效处e应i理jk，~的Nb(观j0是,察d第2值)j.个， 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响，
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素
数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合
• 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
第4章拉丁方试验设计与分析
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
拉丁方设计及其统计分析
拉丁方设计及其统计分析拉丁方设计及其统计分析若试验中涉及到3个因素,当它们之间不存在交互作用或交互作用可以忽略不计, 且各因素均取相同水平时,适合于选择拉丁方设计。
１．试验设计假定某项研究中涉及1个试验因素,它有K个水平,同时,还需排除2个重要非处理因素的影响,研究者希望采用拉丁方设计。
于是,需选用K×K拉丁方设计格式之一作为此设计的核心部分,K×K拉丁方阵中的每一个字母代表试验因素的一个水平;让２个区组因素也各取K个水平,并把它们分别放在K×K拉丁方阵的横向和纵向上,由２个区组因素便形成了K×K种水平组合,每种水平组合下伴有试验因素的1个水平,此3个水平便构成了1个特定的试验条件, 每个试验条件下做1次试验(若数据间变异很大,建议做2次以上重复试验)。
常见的正交拉丁方(同阶的任何２个拉丁方阵之间互相正交)设计格式如下, 使用时可选其一。
每1个拉丁方阵具有如下的性质: 每个拉丁字母在每行及每列中只出现1次且仅容许出现1次;同阶的任何2个拉丁方阵具有如下的性质:任何2富同符号(字母或数字)都只相遇1次。
3×34×4A B C a b c A B C D a b c dα β γ δB C A c a b B A D C c d a bδ γ β αC A B b c a CD A B d c b aβ α δ γD C B A b a d cγ δ α β5×5A B C D E a b c d eα β γ δ ε 1 2 3 4 5B C D A E c d e a bδ ε α β γ 5 1 2 3 4C D E A B e a b c dε α β γ δ 4 5 1 2 3D E A B C b c d e aβ γ δ ε α 3 4 5 1 2E A B C D d e a b cδ ε α β γ 2 3 4 5 1[说明]同阶方阵中几个方阵分别用不同符号表示是为了便于把其中任何2个搭配起来使用(即希腊拉丁方设计),一般统计书上一律用拉丁字母A,B,…,给出。
第五章 拉丁方设计
验树种随意配对。
5/14/2014
拉丁方实验设计的特点
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进行双 重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组的设 计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个 完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出 现一次，即在拉丁方设计中：
5/14/2014
试验处理数 = 横行单位组数 = 直列单位组数= 试验处理的重复数。 • 在拉丁方设计试验结果统计分析时，由于能将横行、 直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，故 拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精 确性比随机单位组设计高
5/14/2014
•
• • • • • • • • •
例如：
A B B A
B A A B
为2× 2阶拉丁方，2× 2阶拉丁方只有 这两个。
A B C B C A C A B
为3× 3阶拉丁方。
5/14/2014
•
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺 序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。 3× 3阶标准型拉丁方只有上面1种， 4× 4阶标准型拉丁方有4种，
4.适用范围：
与随机区组基本一致,单因素、多因素、综合因子试验均可。
• 拉丁方简介 • • 以 n 个 拉 丁 字 母 A， B，C……，为 元素，列出一个 n 阶方阵，若这 n 个拉丁方 字母在这 n 阶方阵的每一行、 每一列都出现、 且只出现一次，则称该 n 阶方阵 为n× n 阶 拉 丁方阵。
二.拉丁方设计的线性模型
假定以 x代表拉丁方的i横行、j纵行的交叉观察值,再以t代 ij 表处理,则样本中任一观察值的线性模型为：
xij (l ) x ai b j tl eij (l )
a b
多因素拉丁方试验资料的统计分析研究
多因素拉丁方试验资料地统计分析虽然拉丁方不能布置太多地考察因素，每因素地水平数也不能太多.但是拉丁方又有较高地试验精确度，所以人们偏喜欢用它来布置高级试验.当你已经经过初级试验，并从其中找到一些极有希望地因素和水平要进行仔细地比较时，可考虑使用拉丁方试验设计.如果有两个因素A 和B ，其中因素A 有(k ＝1，2，…，t )个水平，因素B 有(l ＝1，2，…，s )个水平，共有ts 个处理组合.按拉丁方设计安排试验.横行数为(i ＝1，2，…，ts )；直行数为(j ＝1，2，…，ts )；共有ts ×ts 个观察值.各观察值地数学模型为：)()(kl ij kl j i kl ij x ετϕγμ++++= 其中kl l k kl )(αββατ++=其中i γ为第i 横行地效应值，j ϕ为第j 直行地效应值，kl τ为第kl 处理地效应值，k α为第k 个A 水平地效应值，l β为第l 个B 水平地效应值，kl )(αβ为A k 与B k 之间地交互作用.)(kl ij x 和)(kl ij ε地下标kl 外面加个括号，是为了表明下标kl 与下标i 和j 之间有重叠现象.对数据地分析分为两个步骤：第一步将总变异分解为横行区组间变异、直行区组间变异、处理组合间变异和试验误差，第二步将处理组合间变异分解为因素A 各水平间变异、因素B 各水平间变异和AB 间地交互作用效应.下面举例说明一个3×2两因素拉丁方试验地分析方法.例8.7 用3种精饲料(A1、A2、A3)按2种不同比例(B1、B2)喂养奶牛，观察它们地产奶量，找了6个奶牛场中地6个品种地奶牛作试验.将奶牛场编号视为横行，奶牛品种编号视为直行，将3×2＝6个处理组合按拉丁方试验设计布置试验.牛奶产量数据如表8.36所示.表8.36六个饲料组合在不同奶牛场和奶牛品种中地表现将表8.36中地数据按横行和直行进行整理，得表8.37.因为横行和直行都不是考察因素，所以对横行和直行都没有求平均数.表8.37对试验数据地横行和直行进行整理将表8.36中地数据按处理组合进行整理，得表8.38.因为处理组合是考察因素，所以求出了各处理地平均数.表8.38对处理组合数据地整理整个分析过程分为两步：第一步：利用表8.36和表8.37按表8.29地形式将总变异分解为横行间变异、直行间变异、处理组合间变异和误差变异.得方差分析表如表8.39所示.方差分析表明处理间差异显著.因此需要进行第二步.表8.39对六个饲料组合地方差分析表第二步：利用表8.38中各处理组合之和作得AB 二向表，如表8.40所示.表8.40AB二向表利用这个二向表将处理组合间地差异分解为因素A各水平间地变异、因素B各水平间地变异和因素AB之间地交互作用.将这些效应地自由度和平方和插入表8.39得总地方差分析表如表8.41所示.表8.41 对六个饲料组合地总方差分析表 变异来源 自由度平方和 均 方 F 值 F 0.05 F 0.01横行间 5 53.33310.667 直行间 5 14.333 2.867处理间 5 35.000 7.000 3.962* 2.711 4.103 A 间 2 6.500 3.250 1.840 3.493 5.849 B 间 1 9.000 9.000 5.094* 4.351 8.096 AB 互作 2 19.500 9.750 5.519* 3.493 5.849 误 差 20 35.333 1.767 总变异 35 138.000分析表明：三种不同地精饲料之间没有显著差异，即使用哪一种精饲料地效果都差不多；但喂养地饲料中，精饲料所占地比例不同，其效果253035404550A 1 A 2 A 3差异显著.由于因素B 只有两个水平，因此无需进行多重比较就可以知道B 1水平显著优于B 2水平.分析还表明：不同地精饲料配上不同地比例，效果也不一样.图8.3显示了两因素之间地交互作用.表8.42和表8.43列出了对各处理组合地多重比较地判别临界值和比较结果，其中5427.06/767.1==SE ，df e ＝(t －1)(t －2)＝20.表8.42 对处理组合进行比较地判断值 表8.43 对处理组合进行比版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.dvzfv 。