东华大学高等数学实验考试大纲(带例题和书后习题)

计算题（6题共60%）：

要求熟练使用MATLAB 命令解题。第三~七章各至少1题。其中带∆号共出1题。

第三章

（1）用矩阵除法解线性方程组；（ch3.ex2）

解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+--=-+=-+1

423

5231543421431321x x x x x x x x x x x 。 >>A=[5 1 –1 0;1 0 3 –1;-1 –1 0 5;0 0 2 4];b=[1;2;3;-1]; x=A\b

解线性方程组123411932621531x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 >> A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];b=[9;-2;1];

>> rank(A), rank([A,b])

ans =3,ans =3 %相等且为x 个数有唯一解；不等无解（最小二乘）；相等不为x 个数无穷多解

>> x=A\b

（2）行列式det 、逆inv ；(ch3. ex6) p56

411326153-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

>>a=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];det(a),inv(a),

（3）特征值、特征向量eig ；（ch3.ex6）

411326153-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

>>a=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3]; [v,d]=eig(a)

（4∆）线性方程组通解； (ch3.ex3) p58

>>a=[2,1,-1,1;1,2,1,-1;1,1,2,1];b=[1,2,3]';

>>rref([a,b])

（5∆）矩阵相似对角化。 P59

第四章

（1）用roots 求多项式的根；p71

>>roots([3 0 -4 0 2 -1])

存在高次项237625685x x x x -+-，求其所有根，进行验算

>>p=zeros(1,24);p([1 17 18 22])=[5 -6 8 -5]; x=roots(p),polyval(p,x)

（2）用fzero 解非线性方程；(ch4.ex2) p72 eg4.3

>>fun=@(x)x*sin(x^2-x-1) ; %一定是一元函数

fplot(fun,[-2,0.1]);grid on;

>>fzero(fun,[,])

（3）用fsolve 解非线性方程组；(ch4.ex5,ex6) p74

%方程组在某点或某区域附近的解

求解下列方程组在区域0,1αβ<<内的解0.7sin 0.2cos 0.7cos 0.2sin ααββαβ

=+⎧⎨=-⎩

>>fun=@(x)[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))];

[a,b,c]=fsolve(fun,[0.5 0.5])

（4）用fminbnd 求一元函数极值； （ch4.ex8）

%极小值点，求极大值点fun2=inline([‘-’,str])

clear;

fun=@(x)x^2*sin(x^2-x-2);

fplot(fun,[-2 2]);grid on; %作图观察

x(1)=-2;

x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);

x(5)=fminbnd(fun,1,2);

fun2=@(x)-(x^2*sin(x^2-x-2)); %将fun 变号

x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);

x(4)=fminbnd(fun2,-0.5,0.5);

x(6)=2

fun=@(x)x.^2.*sin(x.^2-x-2); %注意用数组运算

fun(x)

（5）用fminsearch 求多元函数极值；(ch4.ex8,ex9) p76

close;

x=-2:0.1:1;y=-7:0.1:1;

[x,y]=meshgrid(x,y);

z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9;

mesh(x,y,z);grid on;%作图观察, 可看到[0 0]附近极小值，[0 -5]附近极大值

fun=@(x)x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9;

x=fminsearch(fun,[0 0])%求极小值

fun2=@(x)-(x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9);

x=fminsearch(fun2,[0 -5])%求极大值

（6∆）最小二乘拟合polyfit、lsqcurvefit；(ch4.ex10) p76

第五章

（1）用diff或gradiet求导数；(ch5.ex4) p91

t=0:0.01:1.5;

x=log(cos(t));

y=cos(t)-t.*sin(t);

dydx=gradient(y,x) %这里dydx仅仅是个普通变量名

plot(x,dydx) %dydx函数图，作图观察x=-1时，dydx的值约0.9

%以下是更精确的编程计算方法

[x_1,id]=min(abs(x-(-1)));%找最接近x=-1的点，id为这个点的下标

dydx(id)

（2）用trapz、quadl或integral求积分；(ch5.ex5) p93

Ex5(2)

方法一：fun=@(x)exp(2*x).*cos(x).^3;

integral(fun,0,2*pi)

方法二用trapz：

x=linspace(0,2*pi,100);

y=exp(2*x).*cos(x).^3;

trapz(x,y)

（3）用dblquad(二元)或triplequad(三元)求矩形区域重积分；(ch5.ex5(6)) p94 fun=@(r,th)sqrt(1+r.^2.*sin(th));

dblquad(fun,0,1,0,2*pi)

（4∆）一般区域重积分quad2d, integral2, integral3；(ch5.ex5(7))p94

fun=@(x,y)1+x+y.^2;%必须用点运算

clo=@(x)-sqrt(2*x-x.^2);

dhi=@(x)sqrt(2*x-x.^2);

integral2(fun,0,2,clo,dhi)

（5∆）函数单调性分析；