东华大学高等数学实验考试大纲(带例题和书后习题)
东华大学研究生数值分析期末试卷
东华大学研究生《数值分析》实验考试大纲教材：«数值分析及其MATLAB实验»姜健飞胡良剑唐俭编考试规则领座试卷不同，开卷，解答全部用笔写在考卷上，作图题只需手画草图。
开考前可将准备程序Copy到硬盘, 但是开考后不允许用软盘，也不允许上网。
评分原则满分20。
对一题得6分, 对两题得11分, 对三题得15分. 对四题得18分. 基本正确题酌情给分。
类型1：使用Matlab命令的计算题共3题主要使用如下MATLAB命令解题：第二章（1）用矩阵除法解线性方程组；（2）行列式det、逆inv；（3）特征值、特征向量eig；（4）范数和条件数；第三章（1）用roots求多项式的根；（2）用fzero解非线性方程；（3）用fsolve解非线性方程组；第四章（1）多项式插值和拟合polyfit(2) 线性插值interp1(3) 样条插值spline, csape（4）最小二乘拟合lsqcurvefit第五章（1）用diff或gradiet求导数（2）用trapz、quad或quadl求积分；（3）用dblquad或triplequad求重积分；第六章（1）用ode45求解微分方程；（2）用ode45求解微分方程组；（3）用ode45求解高阶微分方程；类型2：使用课本程序的计算题共1题（不必将课本程序部分写在考卷上）第二章nagauss nagauss2 nalu nalupad第三章nabisect nanewton nags naspgs nasor第四章nalagr naspline nafit naorthfit第五章natrapz nagsint naromberg naadapt dblquad2第六章naeuler naeulerb naeuler2 nark4 nark4v naeuler2s类型3：编程题共1题(必须将程序写在考卷上）要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M 函数编写。
东华大学-几何与多元微积分A(上)(09-10)
n
).
（A）平行于 π ;
4、在下列级数中，收敛的级数是(
∞ n
n ∞ ∞ ∞ ⎛ n + ( −1) 1 ⎞ ⎛ n ⎞ （A） ∑ ( −1) ⎜ ;（ B ） ;（ C ） ;（ D ） n3e − n . ln 1 + ⎜ ⎟ ∑ ∑ ∑ ⎟ n n +1 ⎝ n +1 ⎠ n =1 n =1 n =1 n =1 ⎝ n n⎠
∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 x 2 n 的和函数. n ( 2n − 1)
七、(5 分)设 a n > 0, 且 a n +1 ≤ a n ( n = 1,2,3, ") ,若
∑ (−1) n a n 发散,证明 ∑
n =1
∞
1 收敛. n n =1 (1 + a n )
∞
4
y x
. . .
∂z = ∂x
.
4、 设 z = xe y + ln( x 2 + y 2 ), 则 dz (1,0) = 5、数项级数
∞
∑ (2n − 1)(2n + 1) 的和为
n =1
∞
1
.
6、幂级数
∑ n⋅2
n =1
1
n
( x − 1) n 的收敛域为
1
.
7、若级数
∑ an 收敛, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 , 则 p 的取值范围是
四、 （8 分）将函数 f ( x ) = arctg
1+ x (n) 展为 x 的幂级数, 并求 f (0) . 1− x
高等数学(一)考试大纲
高等数学（一）考试大纲一、考试性质二、考试目标《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力。
三、考试内容和基本要求一、函数、极限与连续（一）考试内容函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
了解反函数的概念；理解复合函数的概念。
理解初等函数的概念。
会建立简单实际问题的函数关系。
2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出ε，求N或δ的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。
3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。
掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。
4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类与第二类）。
6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。
二、导数与微分（一）考试内容导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。
（二）考试要求1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程；2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练求函数的导数。
3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。
3．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。
会求简单函数的n 阶导数。
4．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。
三、中值定理与导数应用（一）考试内容罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。
东华大学《高等数学AⅡ》课件 第三章 二重积分在极坐标系下的计算
ex2 d x ①
0
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
y x x2 ( y) d
D
则
f (x, y) d
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
计算方法——化为二次定积分
(通常先对r 后对 积分
)
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
r
sin
其中 0r <+, 0 2
(或 - )
r x2 y2
arctg y
x
y
r
0
(x, y) x
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
r (r, )
0
x
? f ( x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
极坐标系下被积函数如何表示？
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
东华大学材料科学实验复习提纲
粒径原理：(重要)沉降法是根据不同粒径的颗粒在液体中的沉降速度不同测量粒度分布的一种方法。
大颗粒的沉降速度较快，小颗粒的沉降速度较慢，沉降速度与粒径的关系由Stokes定律来描述，按公式计算：η（γ γ ）式中：r = 颗粒半径厘米η = 沉降液粘度泊，即克/厘米·秒γk = 颗粒比重克/厘米 3γt = 沉降液比重克/厘米 3H = 沉降高度（沉降液面到称盘底面的距离）厘米t = 沉降时间秒g = 重力加速度980厘米/秒 2当测出颗粒沉降至一定高度H 所需之时间t 后，就能算出沉降速度V、颗粒半径r思考题：(重要)1.粒度测量过程中应注意哪些问题？①仪器打开后，至少预热15min后，再进行下一步操作。
②粉体搅拌需均匀、充分③天平“去皮”直至显示“+”后才可采集数据，尽量在去皮的同时采集数据④采集数据时，挂钩不能用力下压，应轻挂挂钩，以免损坏仪器内部传感器2.根据试样重复测试的三次测试数据，分析测试结果中数据误差产生的原因。
①样品搅拌不均匀②沉降时间不充分③天平“去皮”和点击“沉降曲线采集”间有一定时间间隔，未同时进行3.常用的测定颗粒粒度的方法有哪些？沉降法测定颗粒粒径的基本原理以及与哪些因素有关？什么是平均粒径和中位径？筛析法、沉降法、显微镜法、光透视法沉降法是根据不同粒径的颗粒在液体中的沉降速度不同测量粒度分布的一种方法。
故与温度、颗粒分散和悬浮液的均匀性有关平均粒径：样品的总粒径和与全部颗粒数的比值，即粒径的平均值中位径：一个样品的累计粒度分布百分数达到50%时所对应的粒径。
注意事项：(重要)1.根据待测粉体样品大致颗粒度选择仪器，本实验所用仪器可测10μm左右粉体2.测量之前粉体需进行分散，分散方法：搅拌、超声分散、加电解质等3.实验开始前需已知：粉体密度、沉降液密度、沉降液粘度4.沉降液一般由水、酒精、甘油调配而成，选择合适的沉降液以便于控制沉降的速度粘度的定义：若将两块面积为1 m2的板浸于液体中，两板距离为1米，若在某一块板上加1N的切应力，使两板之间的相对速率为1m/s，则此液体的粘度为1Pa·s。
东华大学概率论与数理统计B考试大纲final(带公式)
概率论与数理统计B考试大纲答疑：1月5日下午3：00-4：30。
2号学院楼543。
第2章描述统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；2.样本中位数、分位数；先对数据按从小到大排序。
如果np不是整数，那么第[np]+1个数据是100p%分位数。
如果np是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。
特别地，中位数是50%分位数。
3.样本相关系数。
，重点例题：例2.3.1, 例2.3.7, 例2.3.8，例2.6.2。
重点习题：P5ex4, P29 ex6, ex12第3章概率论根底1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；，2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；对于任何的互不相交事件序列，3. 等可能概型的计算，排列和组合；4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；，4.事件独立性及其概率的计算。
重点习题：P53 ex12, ex13, ex18, ex25, ex29, ex31, ex33, ex35, ex47第4章随机变量与数学期望1. 随机变量的分布函数及其性质；2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。
概率质量函数：，3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有,,4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；,,5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；随机变量X与Y独立: ;分布函数离散型连续型6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数〔先求分布函数，再求导〕；Y=g(X)7. 数学期望〔离散型，连续型〕，函数的数学期望〔离散型，连续性〕；离散型连续型8. 数学期望的性质，当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]9. 方差和它的性质；；当X与Y独立，，10 协方差、相关系数，有关性质；Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时，X与Y不相关，即.11. 矩母函数，利用矩母函数求各阶矩；矩矩母函数利用矩母函数求各阶矩12. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。
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计算题（6题共60%）：要求熟练使用MATLAB 命令解题。
第三~七章各至少1题。
其中带∆号共出1题。
第三章（1）用矩阵除法解线性方程组；（ch3.ex2）解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+--=-+=-+14235231543421431321x x x x x x x x x x x 。
>>A=[5 1 –1 0;1 0 3 –1;-1 –1 0 5;0 0 2 4];b=[1;2;3;-1]; x=A\b解线性方程组123411932621531x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
>> A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];b=[9;-2;1];>> rank(A), rank([A,b])ans =3,ans =3 %相等且为x 个数有唯一解；不等无解（最小二乘）；相等不为x 个数无穷多解>> x=A\b（2）行列式det 、逆inv ；(ch3. ex6) p56411326153-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭>>a=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];det(a),inv(a),（3）特征值、特征向量eig ；（ch3.ex6）411326153-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭>>a=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3]; [v,d]=eig(a)（4∆）线性方程组通解； (ch3.ex3) p58>>a=[2,1,-1,1;1,2,1,-1;1,1,2,1];b=[1,2,3]';>>rref([a,b])（5∆）矩阵相似对角化。
P59第四章（1）用roots 求多项式的根；p71>>roots([3 0 -4 0 2 -1])存在高次项237625685x x x x -+-，求其所有根，进行验算>>p=zeros(1,24);p([1 17 18 22])=[5 -6 8 -5]; x=roots(p),polyval(p,x)（2）用fzero 解非线性方程；(ch4.ex2) p72 eg4.3>>fun=@(x)x*sin(x^2-x-1) ; %一定是一元函数fplot(fun,[-2,0.1]);grid on;>>fzero(fun,[,])（3）用fsolve 解非线性方程组；(ch4.ex5,ex6) p74%方程组在某点或某区域附近的解求解下列方程组在区域0,1αβ<<内的解0.7sin 0.2cos 0.7cos 0.2sin ααββαβ=+⎧⎨=-⎩>>fun=@(x)[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))];[a,b,c]=fsolve(fun,[0.5 0.5])（4）用fminbnd 求一元函数极值； （ch4.ex8）%极小值点，求极大值点fun2=inline([‘-’,str])clear;fun=@(x)x^2*sin(x^2-x-2);fplot(fun,[-2 2]);grid on; %作图观察x(1)=-2;x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);x(5)=fminbnd(fun,1,2);fun2=@(x)-(x^2*sin(x^2-x-2)); %将fun 变号x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);x(4)=fminbnd(fun2,-0.5,0.5);x(6)=2fun=@(x)x.^2.*sin(x.^2-x-2); %注意用数组运算fun(x)（5）用fminsearch 求多元函数极值；(ch4.ex8,ex9) p76close;x=-2:0.1:1;y=-7:0.1:1;[x,y]=meshgrid(x,y);z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9;mesh(x,y,z);grid on;%作图观察, 可看到[0 0]附近极小值，[0 -5]附近极大值fun=@(x)x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9;x=fminsearch(fun,[0 0])%求极小值fun2=@(x)-(x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9);x=fminsearch(fun2,[0 -5])%求极大值（6∆）最小二乘拟合polyfit、lsqcurvefit；(ch4.ex10) p76第五章（1）用diff或gradiet求导数；(ch5.ex4) p91t=0:0.01:1.5;x=log(cos(t));y=cos(t)-t.*sin(t);dydx=gradient(y,x) %这里dydx仅仅是个普通变量名plot(x,dydx) %dydx函数图，作图观察x=-1时，dydx的值约0.9%以下是更精确的编程计算方法[x_1,id]=min(abs(x-(-1)));%找最接近x=-1的点，id为这个点的下标dydx(id)（2）用trapz、quadl或integral求积分；(ch5.ex5) p93Ex5(2)方法一：fun=@(x)exp(2*x).*cos(x).^3;integral(fun,0,2*pi)方法二用trapz：x=linspace(0,2*pi,100);y=exp(2*x).*cos(x).^3;trapz(x,y)（3）用dblquad(二元)或triplequad(三元)求矩形区域重积分；(ch5.ex5(6)) p94 fun=@(r,th)sqrt(1+r.^2.*sin(th));dblquad(fun,0,1,0,2*pi)（4∆）一般区域重积分quad2d, integral2, integral3；(ch5.ex5(7))p94fun=@(x,y)1+x+y.^2;%必须用点运算clo=@(x)-sqrt(2*x-x.^2);dhi=@(x)sqrt(2*x-x.^2);integral2(fun,0,2,clo,dhi)（5∆）函数单调性分析；（6∆）曲线长度或曲面面积。
(ch5.ex6) p90%先写参数方程x=2*cos(t);y=3*sin(t);%计算x'(t)=-2*sin(t),y'(t)=3*cos(t)%4*sin(t)^2+9*cos(t)^2=4+5*cos(t)^2fun=@(t)sqrt(4+5*cos(t).^2);quadl(fun,0,2*pi)ans = 15.8654第六章（1）用ode45求解微分方程；(ch6.ex1(1)) p107fun=@(x,y)x+y;[t,y]=ode45(fun,[0 1 2 3],1) %注意由于初值为y(0)=1, [0 1 2 3]中0不可缺（2）用ode45求解微分方程组；(ch6.ex1(2)) p109fun=@(t,y)[-2*y(1)-3*y(2);2*y(1)+y(2)];[t,y]=ode45(fun,[0 10],[-2.7;2.8])plot(y(:,1),y(:,2))（3）用ode45求解高阶微分方程；(ch6.ex1(3)) p109%高阶导数y''化为一阶(y')'，多变量(y,y')化为单变量x.%令x(1)=y,x(2)=y',化为方程组%x(1)'=x(2),x(2)'=0.01*x(2)^2-2*x(1)+sin(t)%初始值x(1)=0,x(2)=1.%运行下列指令clear;close;fun=@(t,x)[x(2);0.01*x(2)^2-2*x(1)+sin(t)];%fun表示两个方程的右端，注意第一个x(2)表示x(1)的导函数。
[t,x]=ode45(fun,[0 5],[0;1]);x(end,1)plot(t,x(:,1))（4∆）齐次线性常系数微分方程通解；(ch6.ex2)roots([1 10 54 132 137 50])得到-3.0000 + 4.0000i-3.0000 - 4.0000i-2.0000-1.0000 + 0.0000i-1.0000 - 0.0000i%通解A1*exp(-3*t)*cos(4*t)+A2*exp(-3*t)*sin(4*t)+A3*exp(-2*t)+A4*exp(-t)+A5*t*exp(-t)（5 ）边值问题求解(bvpinit, bvp5c, deval)；(ch6.ex1(6)) p111%令y(1)=x, y(2)=x', 则方程为y'(1)=y(2), y'(2)=-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)))/t/t clear;close;sinit=bvpinit(1:0.5:3,[2;0]) %边值x(1)=1, x(3)=3, 估计x(t)=2, x'(t)=0.odefun=inline('[y(2);-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)))/t/t]','t','y');bcfun=inline('[ya(1)-1;yb(1)-3]','ya','yb');sol=bvp5c(odefun,bcfun,sinit)t=linspace(1,3,101);y=deval(sol,t);plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'s')legend('解曲线','解点','粗略解')y1=deval(sol,1.5:0.5:2.5);y1(1,:)第七章（1）符号对象syms, vpa, subs；(ch7.ex2) p125syms a;A=[1 2;2 a];iA=inv(A),[v,d]=eig(A)（2）符号函数factor, expand, simple；p129（3）符号极限limit, symsum；(ch7.ex4,ex5) p131syms x y;limit((3^x+9^x)^(1/x),x,inf)s1=limit(log(2*x+exp(-y))/sqrt(x^3+y^2),x,0,'right');s2=limit(s1,y,0,'right')syms k n x;s1=symsum(k^2,k,1,n);s1=simple(s1)s2=symsum(k^(-2),k,1,inf);s2=simple(s2)s3=symsum(1/(2*n+1)/(2*x+1)^(2*n+1),n,0,inf);s3=simple(s3)（4）符号微积分diff, taylor, int；(ch7.ex6,ex10) p131syms x y z;s=sin(x^2*y*z);s=diff(s,x,2);s=diff(s,y,1);s=subs(s,{x,y,z},{1,1,3})syms x y;f=(x-y)^3*sin(x+2*y);Ix=simple(int(f,y,-x,x))（5）符号解方程solve, vpasolve, dsolve；(ch7.ex12,ex13) P135syms x;solve(5*x^23-6*x^7+8*x^6-5*x^2)syms a b;[sa,sb]=vpasolve([a==0.7*sin(a)+0.2*cos(b),b==0.7*cos(a)-0.2*sin(b)],[a,b],[0.5,0.5])三、编程题（10%）：要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M函数编写。