差分方程的迭代解法
差分方程的求解
Y ( z) G( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 G ( z )
16
计算机控制技术课程讲义
例：已知采样控制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递 函数
r(t) + —
10 s ( s 1)
Y(z)
y(t)
解： 系统开环脉冲传递函数为：
计算机控制技术课程讲义
Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z )
15
闭环脉冲传递函数
Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 GH ( z )
误差脉冲传递函数
对于单位反馈系统
闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
k 0
则g * (t ) [1( k T ) e 10t ]z k 方法一： G ( z ) Z [ g * (t )] 1( k T) z
k 0 k
e 10t z ) 10T z 1 z e ( z 1)( z e 10T ) 方法二： G(s) 1 1 s s 10
9
10T 1 z z ( 1 e ) 直接查表得：G ( z) 计算机控制技术课程讲义 z 1 z e 10T ( z 1)( z e 10T )
4.5.3 开环脉冲传递函数
一、连续系统串联环节 方框图
R(s) Y(s)
G1(s)
G2(s)
Y ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s )
b0 rk b1rk 1 b2 rk 2 ... bm rk m ( y : 输出，r : 输入)
有限差分法-3
一、差分方程
下式为一维非稳定流的差分方程：
T Hi,k1 Hi1,k1 T 1 Hi,k Hi1,k
x
x
T
Hi1,k 1 x
Hi,k 1
T
1
Hi1,k x
Hi,k
S
x
Hi,k1 t
Hi,k
利用水量均衡原理，可得二维流的差分方程：
沿x方向流入量和流出量之差为：
T Hi, j,k 1 Hi1, j,k1 T 1 Hi, j,k Hi1, j,k
h2m,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
2
x
2
x
x
t
h m 1 1,k 1
h1,k
K
hm 1,k 1
hm 2,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
K
hm 2,k 1
h3m,k 1
h m 1 2,k 1
h m 1 3,k 1
x
2
x
2
x
t
h m 1 2,k 1
F3
A H m1 1 0,k 1
A H m1 2 1,k 1
A H m1 3 2,k 1
C1H
m 2,k
1
C2
H
m 3,k
1
C3
H
m 4,k
1
H m1 n1,k 1
Fn1
A H m1 n1 n2,k 1
Cn
1H
m n,k
1
简单迭代法也叫同步迭代法。
高斯-塞德尔迭代法也叫异步迭代法。
3、超松弛迭代法
2
x
x
t
hi,k 1 hi,k
差分方程解法及其在离散系统中的应用
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
§7.3 差分方程及其求解
P,Q为待定系数
M 1 y n 为等幅正弦序列 M 1 y n 为增幅正弦序列 M 1 y n 为减幅正弦序列
X
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
第 21 页
输入 an x n e
x n e
jn
输出 an y n Ae
y n Ae
第 11 页
X
常系数线性差分方程的求解
北京电子科技学院
第
解法
1.迭代法
13 页
2.时域经典法：齐次解+特解； 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。
缺点：得不到y n 输出序列的解析式
通式 : a k y n k br x n r
k 0 r 0 N M
X
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写 会画。
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C2 r
n
n
X
第
例3
y n 2 y n 1 5u n 求全解 且 y 1 1
22 页
r 2 0 r 2
由递推关系,可得输出值：
y n 1, 4, 13, 40, n 0
差分方程的迭代解法
1
实验目的
学习用Matlab计算离散信号的功率和能量。
学习并掌握用迭代法求解差分方程的方法 。 掌握用Matlab进行离散卷积运算的数值方法 和解析方法。加深对离散卷积的理解。
2
实验原理与说明
离散信号的能量与功率
与连续信号类似，离散信号也可分为能量信号和 功率信号。对于非周期信号，信号能量定义为
1
0
其它
2
0
其它
解 用Matlab并调用DSCONV（）函数，程序如下：
% 计算离散信号的卷积 exp23_2a.m n1=-2;f1=[2 2 2 2 2 2]; % 序列的起始点,序列值 n2=0;f2=[1 1 1 1 1 1]; % 序列的起始点,序列值 M=6; % 将卷积值显示在中间,左右插入M点 dsconv(f1,n1,f2,n2,M) 在命令窗口显示的卷积结果 y= 2 4 6 8 10 12 10 8 6 4 2
9
计算示例
例2 求下述差分方程的解 y(k ) 1.5 y(k 1) y(k 2) 2 f (k 2) y (2) 2 。 其中输入信号 f (k ) (k ) ，初始条件 y (1) 1 ，
解 Matlab程序如下： % 计算例2的程序 exp23_1.m a=[-1.5 1];b=[0 0 2]; y0=[2 1];f0=[0 0]; n=0:30; f=ones(1,length(k)); y=recur(a,b,n,f,f0,y0); stem(n,y,'.'), xlabel('k'),ylabel('y(k)')
第二项与上类似
navierstokes方程的三种迭代法
navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
Newton迭代法与有限差分迭代法求解方程
非线性方程的数值解法作业1.问题表述设20()12f x x x ⎧=-⎨=⎩，试用Newton 迭代法与有限差分迭代法求解方程，并画出对比图像。
迭代停止条件为61|()|(10)2f x -<，即误差不超过61(10)2-。
2.MATLAB 程序利用牛顿法求解非线性函数的根求解f(x)=x^2-1=0的根初始值x0=2实现方法：牛顿法，有限差分牛顿法%% 主程序function mainszfun1=zeros(1,50);szfun2=zeros(1,50);%预存|f(xk)|的数组% 牛顿法tic,[szfun1,k1]=newton;s1=tochold on;rx1=1:1:k1-1;szfun1=szfun1(1:length(rx1));plot(rx1,szfun1,':^b');% 有限差分牛顿法tic,[szfun2,k2]=YQCF_newton(1.2);s2=tocrx2=1:1:k2-1;szfun2=szfun2(1:length(rx2));plot(rx2,szfun2,':or');title('两种数值方法比较');xlabel('迭代次数k');ylabel('|f(x)|函数值');legend(['牛顿法','time:',num2str(s1)],['有限差分','time:',num2str(s2)]);end%% 牛顿法迭代格式function [szfun1,k1-1]=newtonx0=2;xk=x0;k1=1;fk=abs(fun(xk));while fk>1/2*10^-6df=dfun(xk);%函数的导数值%避免导数过小if df<10^-10df=df+1/2*rand(1);endxk_1=xk-fun(xk)/df;%牛顿迭代公式 xk=xk_1;%更新点fk=abs(fun(xk));szfun1(k1)=fk;k1=k1+1;endend%% 有限差分法迭代格式function [szfun2,k2-1]=YQCF_newton(h) % h 初始迭代的步长x0=2;xk=x0;k2=1;fk=abs(fun(xk)); while fk>1/2*10^-6df=wfun(xk,h);%函数的导数值%避免导数过小if df<10^-10df=df+1/2*rand(1);endxk_2=xk-fun(xk)/df;%牛顿迭代公式 xk=xk_2;%更新点fk=abs(fun(xk));szfun2(k2)=fk;k2=k2+1;h=rand(1)*h;endend%% 辅助函数function y=fun(x)y=x^2-1;end% 函数导数function dirv_y=dfun(x)dirv_y=2*x;end% 差商带微商function wy=wfun(x,h)if h<10^-10h=h+1/2*rand(1);endwy=(fun(x+h)-fun(x))/h;end3.程序结果表1:图1:4.结果分析由程序结果可知：对于Newton法，达到问题要求的精度只需要4步，运行时间为0.0037，收敛速度很快；对于有限差分法，达到问题要求的精度只需要6步，运行时间为0.0039，收敛速度比newton慢些。
考研数学——差分方程及其应用
附录：差分方程及其应用一、差分的概念定义1设函数称改变量为函数的差分, 也称为函数的一阶差分, 记为, 即或 .一阶差分的差分称为二阶差分, 即类似可定义三阶差分, 四阶差分,……例1 设，求，。
解 。
二、差分方程的概念定义2含有未知函数的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：或差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是其特点是都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：（1）其中, P为非零常数, 为已知函数. 如果则方程变为：称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：， （2）其中常数，为的已知函数，当不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当时，差分方程： （3）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
下面给出差分方程的迭代解法。
1、求齐次差分方程的通解把方程（3）写作，假设在初始时刻，即时，函数取任意常数。
分别以代入上式，得最后一式就是齐次差分方程（3）的通解。
特别地，当时，齐次差分方程（3）的通解为：，。
2、求非齐次线性差分方程的通解1、设为常数此时，非齐次差分方程（2）可写作：。
分别以代入上式，得。
（4）若，则由（4）式用等比级数求和公式，得，， 或，，其中为任意常数。
若，则由（4）式，得：，，其中为任意常数。
计量经济学：平稳时间序列分析-差分方程与延迟算子
f (t)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
, , 给出初值y-1， y-2，…，y-p以及 0 1
t 的值，即可得到yt。
定理：矩阵F的特征根满足的特征方程为
p 1 p1 2 p2 p1 p 0
1、具有相异特征根的p阶差分方程的通解
如果矩阵F的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵
1
0
0
F 0 1 0
0 0 0
p1 p
0
0
0 0 ,
1 0
t
0
Vt
0
0
则原p阶差分方程变为一阶向量差分方程
t Ft1 Vt
参照一阶向量差分方程的递归解法有
t
F
t
1 1
F tV0
F t1V1
F t2V2
FVt1 Vt
即
yt
yt 1
y1
y2
0
0
t 21
1
2 1 2 3
1 p 2 p
t p1
1
p 1 p 2
p p1
将此结果代入 ci t1iti1 即得
ci
p
p1 i
k1(i k )
k i
如果从t期开始迭代，则有
yt j
f ( j1)
11
yt 1
f y ( j1)
12
t2
f y ( j1)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
其中
f ( j)
11
c11j
c22j
cppj
§2.8 差分方程的求解
X
第
例2-8-3
学 院
9 页
求方程yn 6 y n 1 12 yn 2 8 y n 3 0的解。
特征方程
y n C1 2 C 2 n 2 C 3 n工 2 程
n n 2
r 6 r 2 0 电r 12 r 8 0 邮 京 所以r 2 三重根 北
3
学 2 大
电
子
工
程
3
院 学 n
学 C1 , C 2 , C 3 给定初始(边界)条件即可求出常数 大 北 京 邮 电
电
子
X
第
例2-8-4
j r2 Me j 设 r1 Me n n 院 y n C 1 r1 C 2 r2 学
10 页
C 1 Me Me n 大学 cos n j sin n C 2 M n cos n j sin n C1 M 电 邮 n n P C1 C2 京 PM cos n QM sin n 北 Q j (C 院 1 C2 ) P,Q为待定系数 学 程 M 1 y n 为等幅正弦序列 子工 子 C2 电
j n
工
程
j n
M 1 M 1
yn 为增幅正弦序列 大 电 邮 为减幅正弦序列 京 yn 北学 电 NhomakorabeaX
第
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式。
输入 输出
j n
11 页
x n e an
电 邮 x n cos 京 n 北
x n e
电 jn 学 y n A e 大
院
2 学 r 特征方程 电大 5r 6 0 r 2r 3 0 特征根 京邮 r1 2, r2 3 北 n n y n C1 2 C 2 3 齐次解 院 学 n 0 y 0 C1 C 2 2 工程 定 C1 , C 2 子 电 n 1 y 1 2C1 3C学 2 1 大 解出 C1 5, C 2 3 邮电 n 京 n 所以y n 52北 33
非线性差分方程组的解法研究
非线性差分方程组的解法研究一、引言非线性差分方程组是现代数学、物理学和工程学中经常遇到的问题，解法研究对于实际问题的解决至关重要。
本文将从差分方程组的定义和特点入手，介绍非线性差分方程组的解法研究。
二、差分方程组的定义和特点差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程是一种数学模型，用来描述离散时间下的变化规律。
与微分方程相似，差分方程具有多样的形式和难以求解等特点，但由于模型的离散性，更适合于描述离散的现象。
由于非线性系统具有非线性、非齐次性和复杂性等特点，非线性差分方程组的特点也主要由这些性质所决定，具有以下几个特点：（1）多自变量多因变量：非线性系统一般有多个自变量和多个因变量。
（2）复杂性：非线性系统参数众多、模型复杂，难以建立和求解。
（3）混沌现象：非线性系统在一定范围内表现为混沌现象，规律性难以捕捉。
三、差分方程组的解法解非线性差分方程组一般没有通解和定解，需要采用数值模拟等方法求出近似解。
常用的解法有以下几种：（1）迭代法：迭代法是差分方程组求解的一种基本方法，将原方程组转化成单个差分方程迭代求解近似解。
迭代法求解速度快，适用于解初始值问题、不稳定问题和混沌问题等。
（2）差分-微分法：差分-微分法将差分方程组转化为微分方程组，通过数值方法求解得到近似解。
此方法相对于迭代法稳定性更好，适用于解具有稳定性的问题。
（3）有限元法：有限元法是差分方程组求解的一种数值方法，将微分方程或差分方程离散化，采用有限元法求解得到近似解。
此方法适用于几何形状不规则、边界条件不确定的问题。
（4）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法将差分方程的多项式表达形式进行插值，从而得到差分方程组的逼近解。
此方法精确度高，但需要求解大量的插值多项式。
（5）谱方法：谱方法是差分方程组求解的高精度数值方法，利用傅里叶变换等数学工具将非线性差分方程组转化为谱方程，再通过谱方法求解得到近似解。
此方法适用于几何形状规则、边界条件确定的问题。
高数3差分方程1
5.2.1 一阶常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
一般地，
yt at y0 (t 0,1,2, ).
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知： yt Cat (C 为任意常数)
是齐次方程的通解.
例4 求 2 yt1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0,
从而特征根为
1.
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解
5.1.2 差分方程
一个例子：有某种商品 t 时期的供给量St与需求 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a,b 0), Dt c dPt (c,d 0) 设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt1与供给量 及需求量之差 St1 Dt1 按如下关系确定.
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理A 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的特解。
(1) 当 b a 时 ， 令yt* kbt , 代 入 方 程(6) , 得
kbt1 akbt cbt 即 k(b a) c ,
Z3.3 差分方程的经典解法
知识点Z3.3
第三章 离散系统的时域分析
差分方程的经典解法
主要内容：
1. 递推迭代 2. 经典法
基本要求：
1. 了解递推迭代法 2. 掌握经典法的齐次解和特解的求解方法
1
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3.1 差分方程的建立及经典解法
已知y(0)=0，y(1)= –1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
解：特征根： λ1=λ2= –2
（how？）
设齐次解：yh(k)=(C1k+C2) (–2)k
设特解为：yp(k)=P (2)k , k≥0，代入得：P =1/4
故全解为：y(k)= yh+yp = (C1k+C2) (–2)k+2k–2, k≥0
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所对应的齐次解
特征根 单实根 2重实根 一对共轭复根
1，2＝a jb e j
齐次解yh (k) Ck
(C1k C0 ) k k[C cos( k) D sin( k)]或A k cos( k )
其中Ae j C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
表3-2 不同激励所对应的特解
激励f (k) km
ak cos( k)或sin( k)
特解yp (k)
Pmk m Pm1k m1 P1k P0 k(P1k P0 )
所有的特征根均不等于1； 有一个特征根等于1；
Pak (P1k P0 )ak
a不等于特征根； a等于特征单根；
P cos( k)+Q sin( k)
精品课件-计算物理学(郭立新)-第8章
2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)
差分方程及其Z变换法求解
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr(k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
y (t ) y(kT )(t kT )
* n 0
[1/ 6 1/ 2(1) k 2 / 3(2) k ](t kT )
n 0
例4：求y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数 作用下的解。初始条件y(0)=0, y(T)=1。
U ( z ) Z [1(t )]
z z 1
0.446 1.429 1.875 z ( z -1) ( z 0.4) ( z 0.6)
y(kT ) 0.446 1.429(-0.4)k -1.875(-0.6)k
y (t ) [0.446 1.429(0.4) k 1.875(0.6) k ](t kT )
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
(整理)差分方程
第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
差分方程含有三角函数的解法
差分方程含有三角函数的解法差分方程是数学中的一种重要的方程形式，它描述了变量之间的变化关系。
而含有三角函数的差分方程则更加复杂，但是同样具有重要的应用价值。
本文将介绍含有三角函数的差分方程的解法。
首先我们来了解一下什么是差分方程。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它使用差分运算符（通常表示为△）来描述变量之间的变化。
差分方程的形式可以表示为：△y(n) = f(n, y(n))其中，y(n)表示第n个离散点的变量值，f(n, y(n))表示变量在该点的变化关系。
这个方程可以用来描述离散点之间的变化规律，例如时间序列、信号处理等。
接下来我们来介绍含有三角函数的差分方程的解法。
含有三角函数的差分方程通常可以通过迭代的方式求解。
假设我们要求解的差分方程为：△y(n) = A*sin(B*n) + C*cos(D*n)其中A、B、C、D为常数。
我们可以通过迭代的方式来逐步逼近解。
我们可以选取一个初始值y(0)，然后通过差分方程来逐步计算出后续的值。
具体的计算过程如下：y(1) = y(0) + △y(0)y(2) = y(1) + △y(1)...y(n) = y(n-1) + △y(n-1)其中，△y(n) = A*sin(B*n) + C*cos(D*n)。
通过不断迭代计算，我们可以得到y(n)的近似解。
当然，为了提高计算的精度，我们可以选择更小的△n（即离散点之间的间隔），并增加迭代的次数。
这样可以使得近似解更加接近真实解。
需要注意的是，含有三角函数的差分方程的解通常是周期性的。
根据三角函数的性质，我们可以知道sin(x)和cos(x)的周期都是2π。
因此，差分方程的解也会呈现出周期性的特点。
在实际应用中，含有三角函数的差分方程可以用来描述许多周期性现象。
例如，天文学中的行星运动、物理学中的波动现象等都可以通过差分方程来进行建模和分析。
因此，研究含有三角函数的差分方程的解法具有重要的理论和实际意义。
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10
运行程序后，系统响应波形如图7-13所示。
图23-1 例1的系统响应波形
11
例3 用Matlab求下列序列的卷积和。 (a) f1 (k ) [2, 2, 2 , 2, 2, 2] , f 2 (k ) [1, 1, 1, 1, 1, 1] 。 1 k 5 k 1 2k 2 (b) f (k ) ， f (k )
9
计算示例
例2 求下述差分方程的解 y(k ) 1.5 y(k 1) y(k 2) 2 f (k 2) y (2) 2 。 其中输入信号 f (k ) (k ) ，初始条件 y (1) 1 ，
解 Matlab程序如下： % 计算例2的程序 exp23_1.m a=[-1.5 1];b=[0 0 2]; y0=[2 1];f0=[0 0]; n=0:30; f=ones(1,length(k)); y=recur(a,b,n,f,f0,y0); stem(n,y,'.'), xlabel('k'),ylabel('y(k)')
差分方程的迭代解法
a y (k i ) b f (k i )
i 0 i i 0 l
N
M
y (k ) ai y (k i ) bi f (k i )
i 1 i 0
N
M
4
实验原理与说明
令上式中，有
y(0) a1 y(1) a 2 y(2) a N y( N ) b0 f (0) b1 f (1) bM f ( M )
实验23 迭代法及离散卷积的计算
1
实验目的
学习用Matlab计算离散信号的功率和能量。
学习并掌握用迭代法求解差分方程的方法 。 掌握用Matlab进行离散卷积运算的数值方法 和解析方法。加深对离散卷积的理解。
2
实验原理与说明
离散信号的能量与功率
与连续信号类似，离散信号也可分为能量信号和 功率信号。对于非周期信号，信号能量定义为
1
0
其它
2
0
其它
解 用Matlab并调用DSCONV（）函数，程序如下：
% 计算离散信号的卷积 exp23_2a.m n1=-2;f1=[2 2 2 2 2 2]; % 序列的起始点,序列值 n2=0;f2=[1 1 1 1 1 1]; % 序列的起始点,序列值 M=6; % 将卷积值显示在中间,左右插入M点 dsconv(f1,n1,f2,n2,M) 在命令窗口显示的卷积结果 y= 2 4 6 8 10 12 10 8 6 4 2
k=0:10;fk=3*(0.5).^k;E=sum(abs(fk).^2)
f (k ) 6 cos( 2 k / 4)
k=0:3;fk=6*cos(0.5*pi.*k); E=sum(abs(fk).^2);P=E/4
f (k ) 6e j 2 k / 4
k=0:3;fk=6*exp(j*0.5*pi.*k); E=sum(abs(fk).^2);P=E/4
7
实验原理与说明
对于有限长序列，我们建立一个通用函数，它可
以计算并画出两个有限长序列卷积的结果和波形 。能使三个波形的横坐标统一，间隔相同。卷积 结果显示在横坐标的中间位置。这个函数取名为 DSCONV（），程序自己阅读.
8
计算示例
例1 计算下列离散信号的能量或功率。
f (k ) 3(0.5) k , k 0
5
实验原理与说明
迭代计算的一般规律
y (k ) ai y (k i ) bi f (k i )
i 1 i 0
N
M
第一项
a y(k i) a
i 1 i
NLeabharlann Na N 1 y (k N ) y (k N 1 a1 y ( k 1 )
E
k
f (k )
2
对于周期的离散信号，由于其能量无限大，故常
常用功率来作其测量参数。设有一周期为离散信 号，其功率定义为：
1 P N
k 0
N 1
f (k )
2
3
实验原理与说明
能量有限的信号称为能量信号。功率有限的信号称 为功率信号。所有周期信号都是功率信号。 离散序列的求和在MATLAB中可利用sum函数来实 现，其调用形式为 y=sum(f(n:m))
y(1) a1 y(0) a 2 y(1) a N y( N 1) b0 f (1) b1 f (0) bM f ( M 1)
以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时
刻的响应值。这种迭代方法最适合用计算机计 算，下面我们用Matlab来实现这种计算。
12
运行后显示的波形如图23-2(a)所示。
图23-2 离散卷积的图形 (a)
13
% 计算离散信号的卷积 exp23_2b.m n1=-2:2;f1=[1 1 1 1 1]; % 序列的起始点,序列值 n2=1:5;f2=n2; % 序列的起始点,序列值 M=6; % 将卷积值显示在中间,左右插入M点 dsconv(f1,n1,f2,n2,M) 在命令窗口显示的卷积结果 y= 1 3 6 10 15 14 12 9 5 运行后显示的波形如图23-2(b)所示。
14
图23-2 离散卷积的图形 (b)
15
实验内容
1、画出下列各信号的波形，求能量或功率。 (a) f (k ) [6, 4, 2, 2]
(b) f (k ) [3, 2, 1, 0, 1] (c) f (k ) cos(0.5k ) (d) f (k ) 8(0.5) k (k )
第二项与上类似
6
实验原理与说明
离散卷积的计算 Matlab信号处理工具箱提供了一个计算两个离散序列 卷积和的函数conv()，其调用格式为 y=conv(f,h) 式中，f、h分别为待卷积的两序列的向量表示，y是 卷积的结果。 如 >> f1=[2 2 2]; >> f2=[1 4 9]; >> y=conv(f1,f2) y = 2 10 28 26 18