高一数学必修二第四章圆与方程复习(学案).

必修二第四章 圆与方程小结与复习

【知识归类】

1．圆的两种方程：（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，表示________________________．

（2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ．

①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示_______________；

②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2

E y -=，即只表示____________； ③当0422<-+

F E D 时，方程___________________________________________．

综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．

2．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_________；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在__________；

（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在__________．

3．直线与圆的位置关系

方法一：（几何法）设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2

,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C ___________；（2）当r d =时，直线l 与圆C _____________；

（3）当r d <时，直线l 与圆C ____________．

方法二：（代数法）方程组⎩⎨⎧=++=-+-0

y )()(222C B Ax r b y a x 消去y （或x ），整理得到关于x （或y ）的一元二次

方程，设其判别式为∆，于是有：①当0∆=时，直线l 与圆C ②0∆>时，直线l 与圆C ；③当0∆<时，直线l 与圆C .

弦长问题：弦长=222d r -=2121x x k -+（其中d 表示圆心到直线的距离，k 表示弦所在直线斜率）

4．圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；

（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．

5.圆的切线方程：先判断点与圆的位置

⑴点在圆上：

①过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+

②若点(x 0 ,y 0)在圆222)()(r b y a x =-+-上，则圆的切线方程为(x –a)(x 0–a)+(y –b)(y 0–b)=r 2

⑵点在圆外：用点斜式设切线方程()00x x k y y -=-，然后化成一般式方程，再利用圆心到直线的距离等于半径求得k 。若k 的解只有一个，则另一条切线的斜率不存在，即0x x =。

6.空间直角坐标系

⑴已知点P(x,y,z)，则它在面xoy 的射影是(x,y,0)，在面yoz 的射影是(0,y,z)，在面xoz 的射影是(x,0,z)。

⑵已知点P(x,y,z)，则它关于x 轴的对称点是(x,-y,-z)，关于y 轴的对称点是(-x,y,-z)，关于z 轴的对称点是(-x,-y,z)，关于原点的对称点是(-x,-y,-z)。

⑶任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．

⑷空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式__________ ___．

【题型归类】

题型一：求圆的方程：

例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

题型二：圆的切线问题：

例2 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．

变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆

C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 所在的直线方程．

题型三：与圆有关的动点轨迹问题：

例3. 已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2

214x y ++=运动，求线段AB 的

中点M 的轨迹方程．

题型四：直线与圆的位置关系：

例4：已知圆C ：22(1)(3)16x y -+-=，直线:(23)(4)220l m x m y m ++++-=

（1） 当m=1时，直线l 与圆C 时怎么样的位置关系？

（2） 当m 取任意实数时，直线l 和圆的位置关系有无不变性，试说明理由

（3） 请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时，m 的值以及弦的长度。

【自我检测】

1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ）．

（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4

2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)2

3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）．

(A) 11<<-a (B) 10<-

4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）． (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5

5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．

(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x

6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）．

(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-1

7.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．

(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=4

8．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）．

(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D ）相切或相交

9.点P(a,b,c)关于z 轴的对称点为1P ，点1P 关于xOy 平面的对称点为2P ，则2P 的坐标是

10.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是

11．已知点M 在y 轴上，A(1,0,2),B(1,-3,1)，且MA MB =，则点M 的坐标是

12．已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．