高考数学总复习 圆的一般方程学案
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)二、引入新知1.圆的一般方程的概念当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝.2.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论①D2＋E2－4F＞0时表示圆．②D2＋E2－4F＝0时表示点.③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．【经典例题】题型一圆的一般方程的认识注意：判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0＝D2＋E2－4F4，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．例1若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．题型二求圆的一般方程注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．题型三与圆有关的轨迹问题注意：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．例3点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；[思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程(2)求BP的中点E的轨迹方程．三、课堂小测1、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)2、若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是()A．m＞0B．m＜12C．0＜m＜12D．0≤m≤12。
学案1：2.3.2 圆的一般方程
2.3.2圆的一般方程【情境导学】情景引入在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题．新知初探1．圆的一般方程的概念当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． ( )(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． ( )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．( )2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝ ． 4．过O (0,0)，A (3,0)，B (0,4)三点的圆的一般方程为 ．【合作探究】【例1】 已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )所表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.[跟进训练]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路探究]用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A、B、C三点坐标代入，求出D、E、F即可．[规律方法]应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．[探究问题]1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．【例3】已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2)[思路探究]直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．[母题探究]过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为．[规律方法]求与圆有关的轨迹的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程．【课堂小结】1．本节课要重点掌握的规律方法 (1)二元二次方程表示圆的判定方法． (2)应用待定系数法求圆的方程的方法． (3)代入法求轨迹方程的一般步骤．2．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．【学以致用】1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 2．若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2D ．03．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程为 ．4．方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a ＋b ＋c ＝ ． 5．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．圆的一般方程的概念 D 2＋E 2－4F ＞02．圆的一般方程对应的圆心和半径⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 212D 2＋E 2－4F 3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明 思考1：[提示] 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． 思考2：[提示] 只要求出一般方程中的D 、E 、F 圆的方程就确定了． 思考3：[提示] 不是，Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，只有在A ＝C ≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0时才表示圆． 初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√[提示] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <23时才表示圆．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎫x 0＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．2．D [圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]3．4 [以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16．即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4．]4．x 2＋y 2－3x －4y ＝0 [该圆的圆心为⎝⎛⎭⎫32，2，半径为52，故其标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝254．化成一般方程为x 2＋y 2－3x －4y ＝0．] 【合作探究】【例1】[解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9＝－7t 2＋6t ＋1， 由r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0得－17＜t ＜1．(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∵37∈⎝⎛⎭⎫－17，1，∴当t ＝37时，圆的面积最大，r max ＝477． 所对应的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167． (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜34．[跟进训练]1．[解] (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∵a ≠0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a |．【例2】[解] 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．将A 、B 、C 三点坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0， 即(x ＋3)2＋(y －1)2＝25，∴△ABC 的外接圆圆心为(－3,1)． [跟进训练]2．[解] 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0．[探究问题]1．[提示] 设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．2．[提示] 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． 【例3】C [设P (x ，y )，由条件知PM ⊥PN ，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故k MP ·k NP ＝－1．即x 2＋y 2＝4，又当P ，M ，N 三点共线时，不能构成三角形，所以x ≠±2，即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．] [母题探究](x －4)2＋y 2＝1 [设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，则AB 中点P 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝1．]【学以致用】1．A [方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．]2．D [圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)， ∵直线2x ＋y ＋m ＝0过x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心．∴2－2＋m ＝0得m ＝0．]3．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .又(x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4．]4．2 [根据题意，方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，－b2＝2，14(a 2＋b 2－4c )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝4.∴a ＋b ＋c ＝2．]5．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0．。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案教学目标：1.理解圆的一般方程的含义和概念；2.掌握圆的一般方程的推导方法；3.通过例题练习，熟练运用圆的一般方程求解问题。
教学重难点：1.圆的一般方程的推导方法；2.如何将已知条件转化为圆的一般方程；3.如何根据圆的一般方程解决相关问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔等教学工具；2.学生准备好课本和笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1.教师大声朗读以下问题并呈现在黑板上：“在平面上，如何描述一个圆？”2.学生思考问题，并给出自己的答案。
二、引入（5分钟）1.教师讲解圆的一般方程的含义和概念：圆的一般方程是描述圆所在平面上的点与圆心之间的关系的方程，即任意一个平面上的点(x,y)都满足该方程的条件，该方程可以用来推导圆的性质和解决相关问题。
2.教师讲解圆的一般方程的形式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
三、推导（20分钟）1.教师通过几何方法讲解圆的一般方程的推导过程：a.以点$(x_0,y_0)$为圆心，半径为r的圆为例，画出这个圆；b.过点$(x_0,y_0)$引一条直径，并确定直径上的一点$(x_1,y_1)$；c.根据圆的性质，点$(x_0,y_0)$到点$(x_1,y_1)$的距离即为半径r；d.根据点到直线的距离公式，得到$(x_1,y_1)$到直线$x=x_0$的距离为r；e.根据距离的定义，得到圆的一般方程$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$。
2.学生进行模仿演练，用类似的方法尝试推导出圆的一般方程。
四、例题练习（25分钟）1.教师提供一些例题，要求学生根据已知条件利用圆的一般方程解决问题。
2.学生在课本和笔记本上进行计算和推导，并给出解答。
3.教师批改学生的答案，并给予必要的解释和指导。
五、归纳总结（10分钟）1.教师让学生归纳总结圆的一般方程的形式和推导方法。
2.学生将归纳总结的内容写入笔记本中，并复习整理。
高中数学《圆的一般方程》导学案
数学（高二上）导学案二、 合作探究 归纳展示 任务1 探究圆的标准方程将圆的标准方程展开,化简,整理,可得x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0,取D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,可写成:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 也就是说:任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ①请大家思考一下,反过来讲,形如①的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题.任务2 研究二元二次方程表示的图形再将上述方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ①左边运用配方法, 得(x+)2+(y+)2=(1) 当D 2+E 2-4F ＞0时,②式可化为(x+ )2+(y+)2=( )2(2) 当D 2+E 2-4F=0时,②式可化为(x+)2+(y+)2=0方程只有实数解x=,y= ,表示一个点(,).（3）当D 2+E 2-4F ＜0时,②式可化为(x+ )2+(y+)2＜0方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.任务2 得结论、给定义方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹. 我们把D 2+E 2-4F ＞0时x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2明确指出了圆心和半径D 2E 222D E 4F4+-D 2E 222D E 4F 2+-D2E 2D 2E 2D 2E 2D 2E 2。
高中数学《圆的一般方程》导学案
2.2 圆的一般方程[学习目标] 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.【主干自填】1．圆的一般方程的定义当□01D ＋E －4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以□02⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以□0312 D 2＋E 2－4F 为半径的圆．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点□04⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程□05不表示任何图形． 3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点M 在□06圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点M 在□07圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点M 在□08圆内 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0【即时小测】1．思考下列问题(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程．∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4<0.∴此方程不表示任何图形．(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件．①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF>02．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－2 1－2，即x＋y－3＝0.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)提示：D例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.类题通法二元二次方程是否表示圆的判定方法对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x－542＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆.例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.解法二：设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a)2＋(4－b)2＝r2，(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－1，r＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.解法三：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.类题通法待定系数法求圆的方程的规律(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .[变式训练2] 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.由|x1－x2|＝6得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.易错点⊳二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F>0 [典例] 已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m 的取值范围．[错解] ∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，∴m>－2.[错因分析] 错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．[正解]∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，即m>－2，∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0，即m<1 4.∴－2<m<1 4.课堂小结1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1．能将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 答案 B解析 由D 2＋E 2－4F ＝16＋4－20k >0得k <1，故k <1时所给方程表示圆． 3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F答案 A解析 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线为圆，圆关于直线y ＝x 对称，故圆心在直线y ＝x 上．∴－E 2＝－D2，即E ＝D .4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．答案 (0，－1)解析 将圆的方程配方后得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2.∴当k ＝0时，r 最大为1，面积最大，此时圆心为(0，－1)．时间：25分钟1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16 D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16 答案 C解析 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方得：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 A解析 由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12－m .∵该方程表示圆，∴12－m >0，即m <12.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2，故选D.4．过A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＝－26，5D ＋5E ＋F ＝－50，6D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故选C.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A. 5 B ．3＋5 C ．14－6 5 D ．14＋65答案 D解析 由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为(－2)2＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22 C ．1 D.2 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.7．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，∴(a ＋1)2＋(a －1)2－(a ＋1)＋(a －1)－4>0，即2a 2－4>0，∴a >2或a <－ 2.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．答案 5解析 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.9．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 答案 －3或7解析 设A ，B ，C 三点所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5D ＋F ＋25＝0，D －F －1＝0，3D －3E －F －18＝0.解得D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由点D (a,3)在圆上知a 2＋9－4a －253×3－5＝0，即a 2－4a －21＝0，解得a ＝－3或7.10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．数学•必修2[S] 解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.∴D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。
4.1.2圆的一般方程学案
4.1.2圆的一般方程学案学习要求：1．掌握圆的一般方程及其特点；2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．学法指导：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.填一填知识要点，记下疑难点1．圆的一般方程的定义(1)当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.(3)当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：问题探究：探究点一圆的一般方程问题1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？问题2把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？问题3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径．(1)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋9＝0； (2)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋11＝0.跟踪训练1 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0； (3)x 2＋y 2＋2ax ＝0.探究点二 圆的一般方程的应用问题1 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？问题2 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是怎样的？例2 求过三点A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．课堂小结：1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程．当堂检测：1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝02．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和194 B ．(3,2)和192 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1和192 3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为 ( )A ．2 B.22 C ．1 D. 2。
教学设计2：2.3.2 圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程(y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以为圆心，为半径的圆；（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x2 + y2 – x + 3y += 0D = –1，E =3，F =.∵D2 + E2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径r =.（2）将原方程化为x2 + y2 – x + 3y += 0 D = –1，E =3，F =.D2 + E2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，而不是D = –4，E = 12，F = 9.例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，–3).或将x2 + y2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M 是线段AB中重点，所以，①于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即(x0 + 1)2 + y02 = 4 ②把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，整理得所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.。
高中数学(圆的一般式方程)学案 新人教A版必修2 学案
重点：圆的一般方程的特点及应用
难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关问题
自主学习案
【知识梳理】
思考：方程 表示什么图形？为什么？____________________________
方程 表示什么图形？为什么？____________________________
1.形如x2+y2+Dx+Ey+F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1
3．已知实数x,y满足 则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
课后练习案
1.圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆 与圆
的交点的圆的方程．
2. 已知方程x2+y2–2(t+ 3)x+ 2(1–t2)y+ 16t4+ 9 = 0表示一个圆，求
（1）t的取值范围；
例4 已知线3;y2= 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程(画图）
【当堂检测】
1．圆的方程为（x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为( )
A.(1,-1) B. C.(-1,2) D.
2．若方程 表示圆，则a的值为（ ）
【预习自测】
1. 圆 的一般方程为__________________________
2.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
（1） 转化为标准方程为____________________圆心为___________,
半径为___________
（2）(2) 转化为标准方程为____________________圆心为___________,
例2 △ABC的三个顶点的坐标是A (5，1)，B(7，–3)，C(2，–8). 求它的外接圆的方程
高中数学必修二41圆的方程412圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。
二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。
三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。
2.4.2 圆的一般方程 导学案正文
2.4.2圆的一般方程【学习目标】1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义.2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化.3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程.◆知识点一圆的一般方程将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)配方得.当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以为圆心,为半径的圆,我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.(1)圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是;②没有这样的二次项;③D2+E2-4F 0.(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆,当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示;当D2+E2-4F=0时,它表示一个;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.( )(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( )(4)在圆的一般方程中,当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上.( )◆知识点二轨迹方程轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形,点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.在解析几何中,常常把图形看作点的轨迹(集合).◆探究点一圆的一般方程的理解例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.变式 (1)若方程x2+y2+2y+m=0表示圆,则m的取值范围是 ( )A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.(-∞,1](2)(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有( )A.x2+y2-2x+4y+3=0B.x2+y2-2x+2y+7=0C.x2+3y2-2x+4y+5=0D.x2+y2-3xy-12=0◆探究点二求圆的一般方程例2 (1)已知△ABC的三个顶点为A(4,3),B(5,2),C(1,0),求△ABC外接圆的方程.(2)已知圆C经过点A(-2,0),B(6,0),且圆心C在直线y=x上,求圆C的一般方程.变式已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为√2,求:(1)圆C的一般方程;(2)圆C关于直线x-y=0对称的圆的一般方程.[素养小结]求圆的方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径长;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程.◆探究点三与圆有关的轨迹方程例3已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.变式 若线段OP 的端点P 在圆C :x 2+y 2-4x-4y-12=0上运动,端点O 为坐标原点,求线段OP 的中点M 的轨迹方程.[素养小结]求与圆有关的轨迹方程的常用方法(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法:若动点P (x ,y )随着圆上的另一动点Q (x 1,y 1)的运动而运动,且x 1,y 1可用x ,y 表示,则可将点Q 的坐标代入已知圆的方程,即得动点P 的轨迹方程.◆ 探究点四 与圆有关的最大(小)值问题例4 已知圆C 经过点(2,5),(5,2),(2,-1).(1)求圆C 的方程;(2)设点P (x ,y )在圆C 上运动,求(x+2)2+(y+1)2的最大值与最小值.变式 已知实数x ,y 满足方程y=√2-(x -2)2.(1)求y x 的最大值和最小值;(2)求x 2+y 2的最大值和最小值.[素养小结]解决与圆有关的最大(小)值问题的方法(1)形如u=y -b x -a 的最值问题,可转化为定点(a ,b )与动点(x ,y )连线的斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a )2+(y-b )2的最值问题,可转化为动点(x ,y )到定点(a ,b )的距离的最值问题.。
高中数学 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2 学案
某某省永昌县第一中学高中数学圆的一般方程学案新人教A版必修2(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．学习难点对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞一、目标展示二、自主学习222．圆的一般方程(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当时，该方程叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为，半径长3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．4．轨迹方程点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．三、合作探究1．圆的一般方程的结构有什么特征？2．圆的标准方程和一般方程如何相互转化？3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具备什么条件才能表示圆？四、精讲点拨[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径：(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.———————————————————————————————1．判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．2．圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．—————————————————————————————————————1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[例2] 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．———————————————————————————————应用待定系数法求圆的方程应注意以下两点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.—————————————————————————————————————2．求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．[例3] 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．———————————————————————————————解决此类问题，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．—————————————————————————————————————3．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值X围．五、达标检测1．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值X 围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B．2π C ．2 2π D．4π3．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝04．圆心为(2，－4)，半径为4的圆的一般方程为________．5．(2012·某某检测)点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点M 为OP (O 是原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．6．求经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 六、课堂小结1．对方程022=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆)王新敞2．与标准方程的互化王新敞3．用待定系数法求圆的方程王新敞4．求与圆有关的点的轨迹。
圆的一般方程 学案
教学过程 一、考纲解读考纲要求这部分内容为必考内容，主要是对圆的方程，直线和圆的位置关系的考查，对圆的方程达到掌握的要求，一般的二元二次方程表示圆的条件，直线和圆的位置关系的确定. 二、知识讲解 考点1三、例题精析例1 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径. （1） （2）线的方程，并画出曲线.四.课堂运用基础一、选择题1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( ) A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x 上的条件是( )A ．D ＝E ＝0，F ≠0B ．D ＝F ＝0，E ≠0C ．D ＝E ≠0，F ≠0D ．D ＝E ≠0，F ＝03．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )A.32π B.34π C ．3πD ．不存在4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或022++4-6-12=0x y x y 224+4-8+4-15=0x y x y巩固5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0)B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D．(x－2)2＋y2＝25二、填空题6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.7．过点M(－1,1)，且与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0有相同圆心的圆的方程为________．8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．拔高9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程.10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程．课程小结1、圆的方程有两种表达方式标准方程和一般方程做题时注意适当的选择这两种方式2、待定系数法是求圆的方程的一种方法3、圆的一般方程注意成立的条件。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。
2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。
二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。
2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。
三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。
3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。
它包括圆心、半径的信息。
c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。
4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。
可以用勾股定理表示。
c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。
-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。
其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。
d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。
5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、教学目标知识与技能1、在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能由已知条件用待定系数法求圆的方程。
过程与方法通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；根据已知条件确定方程中的系数：D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、理解和运用.三、教学过程（一）复习回顾复习回顾上节课所学的圆的标准方程，由标准方程指出圆的圆心坐标与半径。
然后引导学生在草稿纸上，将圆的标准方程展开，通过动手实践，观察展开后的方程特征，引入本节课内容——圆的一般方程.（二）新知探究1、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0在什么条件下表示的圆？（1）当2240D E F +->时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （2）当时 ，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （3）当 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 2、方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆 只有当2240D E F +->时，2240D E F +-=2240D E F +-<它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？3、当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？ 设计意图：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究, 理解并掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．（三）巩固练习总结出圆的一般方程的特点之后，利用5个巩固练习来强化学生对圆的一般方程的理解，然后归纳圆的标准方程与一般方程各自特点，进行对比记忆。
高考数学总复习圆的一般方程学案
高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】【学习重难点】重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．难点：圆的一般方程的特点．【学习过程】（一）检查预习、交流展示写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。
（二）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．2．引出圆的一般方程的定义当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0(2)没有xy项，即B=0；(3)D+E-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．练习:下列方程各表示什么图形?例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．（三）课堂小结：1.圆的一般方程的特点．2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．。
2 4 2圆的一般方程 学案 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
课 题： 2.4.2圆的一般方程（1） 课型： 新授课 课程标准： 掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件，选择适当的圆的方程形式，求出圆的标准方程，或圆的一般方程. 学科素养： 数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模 重 点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程；掌握圆标准方程与一般方程的互化. 难 点：与圆有关的简单的轨迹方程问题教学过程：一、复习回顾1、圆的标准方程；2、点),(000y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系及对应条件.二、讲授新知1、圆的一般方程的概念思考：4)2()1(22=++-y x 表示圆心为（1，-2）半径为2的圆，可变形为014222=++-+y x y x .一般地，圆的标准方程都可以变形022=++++F Ey Dx y x 的形式，反过来，形如这样的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？（不一定，例：064222=+--+y x y x ）探究：022=++++F Ey Dx y x 中的D,E,F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 左边配方，常数项移到右边：44222222F E D E y D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （1）0422＞F E D -+，方程表示以(22E D --，)为圆心，F E D 42122-+为半径圆； （2）0422=-+F E D ，方程表示一个点（22E D --，）； （3）0422＜F E D -+，不表示任何图形.圆的一般式方程：）＞（0402222F E D F Ey Dx y x -+=++++注：圆的标准方程特点：明确表达了圆的几何要素：圆心坐标和半径；圆的一般方程特点：是一种特殊的二元二次方程，圆心与半径需要运算得出；形式上特点：22y x ，项系数相同，可化为1；无xy 项；0422＞F E D -+.2、点与圆的位置关系点),(000y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系：0M 在圆内22020)()(r b y a x <-+-⇔0002020＜F Ey Dx y x ++++⇔0M 在圆上22020)()(r b y a x =-+-⇔0002020=++++⇔F Ey Dx y x0M 在圆外22020)()(r b y a x >-+-⇔0002020＞F Ey Dx y x ++++⇔题型一：圆的一般方程的应用1、P88练习1 求圆心坐标和半径；并把一般式化为标准式。
《圆的一般方程》教学设计和教案
《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。
2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。
3.能够运用圆的一般方程解决问题。
二、教学内容1.圆的定义和性质概述。
2.圆的一般方程的推导。
3.圆的一般方程的示例题和解题方法。
三、教学过程教学环节教学步骤教学方法时间安排引入1.引入圆的定义和性质。
教师讲解，提问10分钟2.提问：如何用方程表示一个圆？讲解1.提供一个圆的示例图，解释圆的一般教师讲解，举例20分钟方程的表示方法。
2.分析圆的一般方程的推导过程。
实例1.给出一些圆的一般方程的示例题，学生个人思考，讨论，教师点评30分钟解题让学生自己试着解答。
2.展示解题过程，并扩展其他解题方法。
练习1.分组小组合作，让学生互相出题、解题。
学生合作，教师辅导20分钟2.教师进行现场点评和总结。
四、教学重点和难点1.掌握圆的一般方程的表示方法和解题方法。
2.能够应用圆的一般方程解决相关问题。
五、教学资源和学具1.教科书或教学课件。
2.圆的示例图。
3.计算器、白板、黑板、粉笔。
六、教学评价和反思1.观察学生对圆的一般方程的理解程度，解题情况和解题方法的运用能力。
2.查看学生的笔记及练习题，分析学生的掌握程度，针对性地进行补充和巩固。
3.对教学设计的有效性进行评估，总结可借鉴部分，并进行个人教学反思，寻找改进点。
教案：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。
2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。
3.能够运用圆的一般方程解决问题。
二、教学内容1.圆的定义和性质概述。
2.圆的一般方程的推导。
3.圆的一般方程的示例题和解题方法。
三、教学步骤步骤一：引入（10分钟）1.教师引入圆的定义和性质，可示意图和实例说明。
2.提问：如何用方程表示一个圆？步骤二：讲解（20分钟）1.教师提供一个圆的示例图，解释圆的一般方程的表示方法。
2.分析圆的一般方程的推导过程，引导学生根据半径和圆心坐标的关系推导出圆的一般方程。
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河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】
【学习重难点】
重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
难点：圆的一般方程的特点．
【学习过程】
（一）检查预习、交流展示
写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。
（二）合作探究、精讲精练
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
2．引出圆的一般方程的定义
当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
探究二：圆的一般方程的特点
当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D+E-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．
练习:下列方程各表示什么图形?
例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
（三）课堂小结：
1.圆的一般方程的特点．
2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．。