人教版数学高一必修2学案4.1.2圆的一般方程

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新人教版高中数学必修二教案：4.1圆与方程

4.1圆与方程【知识要点】1、圆的定义：圆是最美的曲线。

它是平面内到定点0(,)x a b 的距离等于定长R 的点的集合。

定点0(,)x a b 就是圆心，定长R 就是半径。

对于平面内任意一点A （x ，y ），若它到0(,)x a b 的距离等于定长R ，则所有的点构成的集合就是圆O ：即： 222()()x a y b R -+-=（R>0） (1)方程亦叫做以（a ，b ）为圆心，R 为半径的圆的标准方程。

2、圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->将圆的标准方程222()()x a y b R -+-=展开得： 22222220x y a x b y a b R +--++-= 由此可知，圆的一般方程可以写成：220x y Dx Ey F ++++= 配方可得：2222(4)()()224D E D E F x y +-+++=……（2） ①当2240D E F +->时，方程（2）表示以(,)22D E --为圆心，以 ②当2240DE F +-=时，方程（2）只有一解，表示一个点(,)22D E --。

③2240D E F +-<时，方程（2）无实数解，不表示任何图形。

3、任意点（0x ，0y ）与圆的位置关系：①点在圆上 ②点在圆内 ③点在圆外 ⑴点在圆上，则点到圆心的距离=r ，或220000=0x y Dx Ey F ++++ ⑵点在圆内，则点到圆心的距离<r ，或2200000x y Dx Ey F ++++<⑶点在圆外，则点到圆心的距离>r ，或2200000x y Dx Ey F ++++>【解题方法】一、根据弦长求半径，然后求出圆的方程（1）几何法，由弦心距d ，半径r ，以及半弦长2l 构成的直角三角形，可知：l =|AB|= 二、直接定义，求圆的方程1、设圆的标准方程为：222()()x a y b R -+-=，然后找出其他条件，解出未知数a ，b ，R.2、设圆的一般方程为：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，通过其他条件求出未知数D ，E ，F 。

人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程问题导学一、圆的一般方程的定义活动与探究1判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．迁移与应用1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．下列方程能表示圆的是________． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0；(4)x 2＋y 2＋2ax ＝0．3．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围及圆心坐标和半径．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F ＞0，则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4求解．二、求圆的一般方程活动与探究2△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程．迁移与应用求经过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．用待定系数法求圆的方程：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F ．三、求动点的轨迹方程活动与探究3已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．迁移与应用1．到两个点A (－1,2)，B (3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________． 2．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x ，y 的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x ， y )，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．当堂检测1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π2．若圆x 2＋y 2－2kx －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则k 等于( ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－33．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)4．过三点O (0,0)，A (4,0)，B (0，－2)的圆的一般方程为________________．5．已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．定点定长圆心半径2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2预习交流1提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．3．点在圆外点在圆上点在圆内预习交流2提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．②可利用圆的标准方程来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．迁移与应用 1．B2．解：设圆心C (a ，b )，半径为r ，则由中点坐标公式，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6．再由两点距离公式，得r ＝|CP 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10．∴所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10．活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A ，B ，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝|MP |＝52＋(1－6)2＝52．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50．点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外．迁移与应用 1．B 2．(1，＋∞)活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．解：方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法二：由A (2，－3)，B (－2，－5)得，AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法三：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )．又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2，解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．迁移与应用 1．x 2＋(y ＋4)2＝52．解：方法一：由题意得圆心在x 轴上．设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2，解得a ＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．方法二：线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．令y ＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．【当堂检测】 1．D 2．C 3．A 4．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 5．(x －2)2＋y 2＝10 4．1．2 圆的一般方程课前预习导学【预习导引】1．x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 r ＝D 2＋E 2－4F 2预习交流1 提示：不是．只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程才表示圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．坐标(x ，y )预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是： (1)设出动点M 的坐标为(x ，y )；(2)根据条件列出关于x ，y 的关系式f (x ，y )＝0； (3)化简f (x ，y )＝0．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2．因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|．迁移与应用 1．C 2．(2)(4)3．解：将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，由1－5m ＞0得m ＜15．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15，圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m ．活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D ，E ，F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．解：方法一：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．方法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0． ∴圆心P 是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r ＝|AP |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．迁移与应用解法一：设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋D ＋3E ＋F ＝0.∴D ＝E ＝－2，F ＝－2．∴方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．解法二：线段CD 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0．又∵圆心在直线y ＝x 上，∴解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x得圆心坐标为(1,1)．则半径r ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，则一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．(2)设点N 的坐标为(x ，y )， ∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点， ∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4．∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．迁移与应用 1．2x －3y －5＝02．解：设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，当x ≠0时，OP ⊥AP ，即k OP ·k AP ＝－1，∴y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0．①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．【当堂检测】 1．C 2．B 3．D 4．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 5．x 2＋y 2＝4。

人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。

(2)．待定系数法求圆的方程。

教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。

(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。

三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。

高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程作业(系列四)

圆的一般方程A 组基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)．答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________．解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________．解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。

高中数学人教A版必修2导学案设计：4.1.2圆的一般方程(学生版)

章节4.1.2 课题圆的一般方程教学目标1.掌握圆的一般方程，会用配方法将其化为标准方程；2.会用代数法（待定系数法）和几何法求圆的一般方程；3.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的等价条件．教学重点利用待定系数法、几何法求圆的一般方程。

教学难点解三元二次方程组；坐标转移法求轨迹方程。

【复习回顾】1.圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程是。

2.求圆的标准方程的方法有。

课前预习案【新知探究】探究一、圆的一般方程问题1：方程222410x y x y+-++=和222460x y x y+-++=分别表示什么图形？问题2：方程220x y Dx Ey F++++=在什么条件下表示圆？方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F+++++=在什么条件下表示圆？新知1：圆的一般方程为220x y Dx Ey F++++=（2240D E F+->）。

探究二、点与圆的位置关系的判断问题3：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内的条件是什么？在圆外呢？新知2：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内⇔；点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=外⇔。

例4.已知线段AB 的端点B 的坐标是（3，4），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.课后达标案【达标检测】A 组１.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（） A ．2、4、4； B ．-2、4、4； C ．2、-4、4； D ．2、-4、-4２.已知方程x 2+y 2+k x +(1-k)y +134=0表示圆，则k 的取值范围 ( )A ．k>3B ．2-≤kC ．-2<k<3D ．k>3或k<-23.已知点)1,1(-A 和圆0964:22=+--+y x y x C ，一束光线从点A 经过x 轴反射到圆周的最短路程是（）A ．5B ．213-C ．21D ．3 4.由曲线围成的图形的面积是。

必修2——4.1.2圆的一般方程

2 2
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
4.1.2 圆的一般方程
复习
1 圆的标准方程的形式是什么？
( x a ) ( y b) r
2 2
2
2 以（1，-2）为圆心,2为半径的圆的标准方程是什么？
( x 1) ( y 2) 4
2 2
练习
１方程 x y 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
且点M是线段AB的中点，所以 x x 0 4 ，y y 0 3
2 2
解：设点M的坐标是（x, y） A的坐标是（x0, y 0） ,点 ,由于点B的坐标是（4， 3），
于是有：x 0 2 x 4, y 0 2 y 3
①
因为点A在圆（x 1 2 y 2 4上运动，）
所以点A的坐标满足方程 ( x 1) 2 y 2 4,
即： 0 1) 2 y02 4 (x
3 2 3 2 整理，得( x ) ( y ) 1. 2 2
②
把①代入②，得(2 x 4 1) 2 (2 y 3) 2 4,
3 3 所以，点M的轨迹是以（，）为圆心，半径长是1的圆. 2 2
2
2 2
2
y2 2x 4 y 5 0 表示什么图形？ 2 方程 x

人教版高中数学必修二教案(四川专用)4.1.2 圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
（三）教学过程
课堂练习：课堂练习
1．圆的一般方程的特征
2．与标准方程的互化。

高中数学必修二教案：4.1.2+圆的一般方程

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

【高考特训】专题4.1.2 圆的一般方程-高一数学人教版(必修2)(Word版含解析)

一、选择题1．圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为A．（4，–6），r=16 B．（2，–3），r=4C．（–2，3），r=4 D．（2，–3），r=16【答案】C【解析】将圆x2+y2+4x–6y–3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y–3）2=16，∴圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心为C（–2，3），半径r=4，故选C．2．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线【答案】D3．已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是A．a=–1，b=2，r=2 B．a=–1，b=2，r=4C．a=1，b=–2，r=2 D．a=1，b=–2，r=4【答案】A【解析】圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，它的标准方程为（x+1）2+（y–2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a，b），半径为r，可得a=–1，b=2，r=2，故选A．4．方程x2+xy=x表示的曲线是A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线【答案】C【解析】方程x2+xy=x即x（x+y–1）=0，化简可得x=0或x+y–1=0．而x=0表示一条直线，x+y–1=0也表示一条直线，故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，故选C．5．已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为A1B C．3-D．2【答案】C【解析】圆x2+y2–2x–2y+1=0，即（x–1）2+（y–1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x2+y2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO2=2，∴x2+y2的最小值为)21=3–C．6．过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为A．x2+y2+4y–21=0 B．x2+y2–4y–21=0C．x2+y2+4y–96=0 D．x2+y2–4y–96=0【答案】A7．已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A．（2，+∞）B．（–2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，1）【答案】C【解析】∵方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，∴22+22–4a>0，∴4a<8，∴a<2，故选C．8．曲线x2+y2––4=0关于A．直线x B．直线y=–x轴对称C．点（–2D0）中心对称【答案】B【解析】曲线x2+y2––4=0于圆心在直线y=–x上，∴曲线关于直线y=–x对称．∴A、C、D都不正确．故选B．9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（–∞，–2）D．（–∞，–1）【答案】B10．已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=A．8 B．16 C．12 D．13【答案】D【解析】圆x2+y2–4x+6y=0化为：（x–2）2+（y+3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a2+b2=4+9=13．故选D．二、填空题11．圆x2+y2–2x+4y=0的面积为___________．【答案】5π【解析】圆的方程即（x–1）2+（y+2）21，–2的圆，故圆的面积为π•r2=5π，故答案为：5π．12．圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为___________．【答案】【解析】圆x2+y2–2x+6y+8=0，即圆（x–1）2+（y+3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，．13．圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是___________．【答案】（–3，2）【解析】圆x2+y2+6x–4y+12=0，即（x+3）2+（y–2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）．14．若直线3x –4y +12=0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为___________．【答案】x 2+y 2+4x –3y =0【解析】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r 52=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15．若方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是___________．【答案】（0，12）【解析】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r ．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0<m <1．∴实数m 的取值范围是0<m <12．故答案为：（0，12）．三、解答题16．若方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆，求：（1）实数m 的取值范围；（2）圆心坐标和半径．17．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有420 1640 240D FD FE F++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②–①得：12+2D=0，∴D=–6，代入①得：4–12+F=0，∴F=8，代入③得：2E+8+4=0，∴E=–6，∴D=–6，E=–6，F=8，∴圆的方程是x2+y2–6x–6y+8=0．18．求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．【解析】（1=故圆的方程为（x–2）2+（y+2）2=41；（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，–3），即圆心的坐标，r=故圆的方程为（x–1）2+（y+3）2=29．19．已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．（2）令y–x=t，即x–y+t=0对应直线l，将直线l平移，当l与圆C：（x–2）2+y2=3相切时，t达到最大或最小值，由d=t=–2∴t的最小值为–2（3）满足x2+y2–4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0x2+y2=|OP|2，∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值，∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC得到x2+y2的最大值为（2当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|得到x2+y2的最大值为（22=7–综上所述，x2+y2的最大值为7–20．m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．。

人教数学必修24.1.2 圆的一般方程

一、内容及其解析（一）内容：圆的一般方程22220,(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->（二）解析：本节课是关于圆的一般方程的一节概念课，是高中新课改人教A 版教材数学必修2第四章的第二节课．在第三章学生已经学习了直线的一般方程。

本节首先给出了两个二次项系数相同的二元二次方程，思考这两个方程分别表示什么图形，从特殊到一般，进而让学生思考满足什么条件的二元二次方程表示圆，从而得到圆的一般方程。

1．本节是进一步对圆的方程进行探讨，是解决直线和圆的位置关系的基础。

2．本节的知识是建立在旧知识之上，是旧知识的应用和延伸。

3．采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

4．本节体现了类比的数学思想。

二、目标及其解析（一）教学目标1．掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心和半径，会用待定系数法求圆的方程。

2．提高学生从特殊到一般的归纳概括能力，提升学生的数学语言表达和交流能力，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度。

3．体会方程、待定系数法、代入法等数学思想方法，感受用代数思想解决几何问题的优势。

（二）解析1．《课程标准》已明确提出掌握圆的一般方程，且圆的一般方程是为解决直线和圆的位置关系奠定基础，基于以上分析特提出此目标。

2．掌握圆的一般方程及其特点，主要是指能够判断一个二元二次方程是圆的一般方程，并且能够通过配方和公式得到圆的圆心和半径，掌握能够利用待定系数法求圆的方程，掌握什么时候用圆的标准方程，什么时候用圆的一般方程。

3．在圆的一般方程的探究中，进一步学习由特殊到一般，待定系数法等数学思想方法。

三、问题诊断分析同学在理解圆的一般方程的特点的过程中可能会遇到困难，具体表现在忽略D 、E 、F 所要满足的条件和二次项的系数要求，以及不知道什么时候用圆的一般方程什么时候用圆的标准方程。

因为并不是所有的二元二次方程都是圆的一般方程，圆的一般方程和标准方程各有各的特点。

2020-2021学年数学人教A版必修2学案：4.1.2圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程[目标] 1.知道二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径；2.会根据所给条件求圆的一般方程；3.会解答简单的轨迹问题．[重点] 求圆的一般方程．[难点] 求动点的轨迹方程．知识点一圆的一般方程[填一填]二元二次方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①配方得到：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F 4； (1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点(－D 2，－E 2)．(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个圆，称方程①为圆的一般方程．[答一答]1．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程都表示圆吗？提示：不是，只有D 2＋E 2－4F >0时才表示圆．2．圆的标准方程和一般方程各有什么特点？二者怎样互化？提示：(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径长需要代数运算才能得出．(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程．3．已知P(x0，y0)，圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，如果x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0，那么点P一定在圆内吗？提示：一定在圆内．圆的方程化为标准方程得(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4，由上节标准方程知点P在圆内⇔(x0＋D2)2＋(y0＋E 2)2<D2＋E2－4F4⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0.知识点二动点的轨迹方程[填一填]在直角坐标平面上，一个动点按照某种规律运动，所形成的曲线称为这个动点的轨迹，曲线的方程称为动点的轨迹方程．求轨迹方程的一般步骤为：(1)建系：建立适当的直角坐标系；(2)设点：用(x，y)表示动点的坐标，该点是轨迹(曲线)上任意一点；(3)列式：列出关于x，y的方程；(4)化简：化方程为最简形式；(5)证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤(5)可以省略不写，如果有特殊情况，可适当予以说明．[答一答]4．轨迹和轨迹方程等价吗？二者的联系是什么？提示：(1)“轨迹”与“轨迹方程”有区别．“轨迹”是图形，是指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．类型一圆的一般方程的概念[例1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．[解] (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0.∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0.∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2>0. ∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a |.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.[变式训练1](1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(D)A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)解析：(1)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心(2，－3)，故选D.(2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：①实数m的取值范围；②圆心坐标和半径．解：①据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<1，5故m的取值范围为(－∞，15)．②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.类型二求圆的一般方程[例2]已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,3)，B(3,4)，C(－4，－3)，求它的外接圆的方程．[解]设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三顶点坐标代入圆的方程得，⎩⎪⎨⎪⎧16＋9＋4D＋3E＋F＝0，9＋16＋3D＋4E＋F＝0，16＋9－4D－3E＋F＝0，解方程组得，D＝0，E＝0，F＝－25，∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＝25.一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷，而其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意，从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.[变式训练2]求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.类型三轨迹问题命题视角1：直接法求轨迹方程[例3] 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点B 是(3,5)．求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解] 设底边另一端点C 的坐标是(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点，所以点C 不能为(3,5)，x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．解答本题时易出现忘记除去两点(3，5)和(5，－1)的错误答案，导致这种错误的原因是忽视了构成三角形的条件.[变式训练3] 已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求经过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．解：设动点P 的坐标为(x ，y )．当AP 垂直于x 轴或点A 与点P 重合时，点P 的坐标分别为(1,0)，(1,2)，符合题意，此时x ＝1；当点P 在原点，或AP 垂直于y 轴时，即当点P 的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，此时x ＝0；当x ≠0，且x ≠1时，根据题意可知AP ⊥OP ，即k AP ·k OP ＝－1，∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝y x ，∴y －2x －1·y x ＝－1，即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．经检验，点(1,0)，(0,0)，(0,2)也适合上式．综上所述，点P 的轨迹是以(12，1)为圆心，52为半径长的圆．命题视角2：代入法求轨迹方程[例4] 已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．[解] (1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.(2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4.∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等)，可用定义直接求解．(3)代入法(也称相关点代入法)：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．[变式训练4] 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，它与点P 连线的中点坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2.又(x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( D )A.以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B.以(1,2)为圆心，11为半径的圆C.以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D.以(－1,2)为圆心，11为半径的圆解析：方程配方为(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，表示以(－1,2)为圆心，半径为11的圆．2．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,3)，半径为3的圆，则a ，b ，c 的值依次是( B )A.2,6,4B.－2,6,4C.2，－6,4D.2，－6，－4解析：由题意可知－a ＝2，b 2＝3，解得a ＝－2，b ＝6，∴r ＝12(－4)2＋(－6)2－4c ＝3，解得c ＝4.3．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为22π.解析：由圆的一般方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可得D ＝－2，E ＝6，F ＝8，则半径r ＝D 2＋E 2－4F 2＝(－2)2＋62－4×82＝2，故圆的周长为22π.4．已知点E (1,0)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0的外部，则k 的取值范围是(35，1)．解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k >0，即k <1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>3，所以k的取5，1)．值范围为(355．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，求P点的轨迹方程．解：如图所示，P A是圆C：(x－1)2＋y2＝1的切线，所以AC⊥AP，|PC|＝|AC|2＋|AP|2＝2，所以P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝2.——本课须掌握的三大问题1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数相等且不为0(如果x2和y2项的系数是不等于1的非零常数，只需在方程两边除以这个数，就可以变系数为1)；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0.2．圆的一般方程和标准方程的关系：圆的一般方程和圆的标准方程从本质上讲并无区别，它们只是表达形式不同，它们也可互相转化．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心、半径来求解，则用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好．3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．(2)列出点M满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．。

人教A版高中数学必修二 4-1-2 圆的一般方程导学案精品

4.1.2 圆的一般方程【学习目标】：1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

【学习重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．【学习难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

学习过程复习引入圆的标准方程：_______ ________，圆心_______ __半径____ _。

探究1：把圆的标准方程展开，并整理得：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0。

取 222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？基础知识把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得。

1．当_______时，方程表示以__________为圆心,__________为半径的圆；2．当_______时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点_________; 3．当_______时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程圆的一般方程的特点：① x 2和y 2的系数都为1. ② 没有xy 这样的二次项．③ 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．④ 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

高中数学必修二导学案-圆的一般方程

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ．点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（）Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0．点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２：求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10．故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程．【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１：例2 变式训练２：【作业布置】导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测１．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（）Ａ．在x 轴上方的圆Ｂ．在y 轴右方的圆Ｃ．x 轴下方的半圆Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

人教版必修二 4.1.2 圆的一般方程学案(优秀经典公开课比赛学案(教案))

人教版必修二 4.1.2 圆的一般方程学案
【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．
1．圆的一般方程的定义
(1)当________________时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为______________________．
(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点________________．
(3)当__________________时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．，则其位置关系如下表：
答案
1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2 (3)D 2＋E 2－4F <0
2．> ＝ <。

4.1.2 圆的一般方程学案(人教A版必修2)

4．1.2 圆的一般方程【课标要求】1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．【核心扫描】1．依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．(重点) 2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．(难点)3．准确理解方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0及其表示的图形．(易混点)新知导学圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程．其中圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . 温馨提示：圆的一般方程的形式特点：(1)x 2，y 2的系数相等且不为零(如果x 2，y 2的系数不是1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个数，系数就可变为1)；(2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0.互动探究探究点 (1)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示圆的条件是什么？ (2)二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F 表示圆的条件是什么？提示 (1)D 2＋E 2－4F ≤0当D 2＋E 2－4F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0不表示任何图形；(2)A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.类型一二元二次方程的曲线与圆的关系【例1】下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.[思路探索] 可以直接判断D 2＋E 2－4F 的符号，也可以通过配方得到“标准方程”形式，进而解决问题．解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆． (3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径的圆． [规律方法] 研究A 1x 2＋A 1y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0表示什么曲线，通常是等号两边先同除以A 1，转化为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，然后可以朝着圆的标准方程方向直接配方求解，也可以利用公式法研究D 2＋E 2－4F 的符号来判断方程表示圆、点或不表示任何图形．【活学活用1】已知方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示一个圆． (1)求实数a 的取值范围；(2)求当圆的面积最大时，对应圆的方程．解 (1)原方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－3a24－a ＋1. 因为原方程表示圆，则－3a 24－a ＋1＞0，即－3a 2－4a ＋4＞0，解得－2＜a ＜23，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，23. (2)∵半径r ＝12 －3a 2－4a ＋4＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋232＋163，a ∈⎝⎛⎭⎫－2，23， ∴0＜r ≤233，且当a ＝－23时，r max ＝233，此时面积最大．其对应方程为9x 2＋9y 2－6x －12y －7＝0. 类型二求圆的一般方程【例2】已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[思路探索] 已知圆上三点求其圆的方程，常设一般方程，用待定系数法求解．解法一设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. [规律方法] 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【活学活用2】已知A (6,0)，B (－2,0)，C (－3,3)，D (6,3)，判断A ，B ，C ，D 四点是否共圆．解设过A (6,0)，B (－2,0)，C (－3,3)的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把A ，B ，C 三点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧62＋02＋6D ＋E ×0＋F ＝0，(－2)2＋02－2D ＋E ×0＋F ＝0，(－3)2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－6，F ＝－12.故A 、B 、C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y －12＝0，把D (6,3)代入上述方程的左端得 62＋32－4×6－6×3－12＝－9＜0∴点D 在该圆内，∴A 、B 、C 、D 四点不共圆．类型三求动点的轨迹方程【例3】 (1)求点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程．(2)已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (a,0)(a ≠0)距离的比为k 的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状．[思路探索] (1)用代入法；(2)用直接法．解 (1)设圆上任意一点(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2.代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(2)设M (x ，y )是曲线上的任意一点，即M 属于集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪|OM ||AM |＝k ，由两点间的距离公式知点M 所适合的条件可以表示为x 2＋y 2(x －a )2＋y2＝k ，化简得(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2k 2ax ＋k 2a 2＝0. 当k ≠1，即k ＞1或0＜k ＜1时，k 2－1≠0，∴x 2＋y 2＋－2k 2a k 2－1x ＋k 2a 2k 2－1＝0.∵4k 4a 2(k 2－1)2－4k 2a 2k 2－1＝4k 2a 2(k 2－1)2＞0， ∴所求曲线的方程是x 2＋y 2＋－2k 2a k 2－1x ＋k 2a 2k 2－1＝0，曲线表示以⎝⎛⎭⎫k 2a k 2－1，0为圆心，以kak 2－1为半径的圆．当k ＝1，即k 2－1＝0时，方程(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2k 2ax ＋k 2a 2＝0变成－2ax ＋a 2＝0，即x ＝a2，表示线段OA 的垂直平分线．[规律方法] (1)对于已知(或能判定)曲线类型或形状的曲线求方程常用直接法、待定系数法．(2)对于不能判定曲线类型或形状的曲线求方程主要有以下两类：(i)若所求轨迹的动点依赖于已知轨迹上的点的运动而运动，设出这两个动点，利用过两个动点坐标之间的关系，用代入法求解．(ⅱ)若不是(ⅰ)的情况时，常用直接法求曲线的方程，其一般步骤：①建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x ，y )；②列出点M 所满足的条件；③用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0；④将上述方程化简；⑤证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．【活学活用3】 (1)已知点A (4,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则AP 的中点M 的轨迹方程．(2)等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解 (1)设AP 的中点M 的坐标为(x ，y )．则点P 的坐标是(2x －4,2y )．又因为P 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以P 点满足圆的方程，则(2x －4)2＋(2y )2＝1.即(x －2)2＋y 2＝14为所求．(2)设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合，所以C 点的横坐标x ≠3，而且点B 、C 不能为一直径的两端点，所以x ＋32≠4，点C 的横坐标x ≠5.故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3，x ≠5)，即C 的轨迹是以A (4,2)为圆心、10为半径的圆，但除以(3,5)和(5，－1)两点．易错辨析运用圆的方程因忽视隐含条件而致错【示例】若动点(x ，y )在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，求3x 2＋4y 2的最大值．[错解] 由x 2＋y 2－4x ＝0得，y 2＝4x －x 2，所以3x 2＋4y 2＝3x 2＋4(4x －x 2)＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，所以当x ＝8时，3x 2＋4y 2取得最大值64.[错因分析] 圆x 2＋y 2－4x ＝0即(x －2)2＋y 2＝4是一个封闭图形，表示以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以x 的取值范围不是R ，而是[0,4]．[正解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝4，∴y 2＝4x －x 2，x ∈[0,4]．所以3x 2＋4y 2＝3x 2＋4(4x －x 2)＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64.因为x ∈[0,4]，所以当x ＝4时，3x 2＋4y 2取得最大值48.[防范措施] 用函数思想求与圆有关的最值问题时，一定注意不能忽略圆上的点(x ，y )中的x ，y 的限制条件，也就是说要注意自变量的取值范围．课堂达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )．A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析－D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．答案 D2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )．A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b ) 解析原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a y ＝－b 故方程表示的图形是一个点(－a ，－b )．答案 D3．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．解析方程x 2＋y 2－2ay －4＝0表示圆，则x 2＋(y －a )2＝a 2＋4，a ∈R 时，a 2＋4＞0恒成立，又点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部且不包括边界，所以有(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4＜0，解得a ＜1.答案 (－∞，1)4．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.答案 35．已知M (－2,0)，N (2,0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程．解法一设P (x ，y )，由条件知PM ⊥PN ，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故k PM ·k PN ＝－1，即y －0x ＋2·y －0x －2＝－1，x 2＋y 2＝4，又当P 、M 、N 三点共线时，不能构成三角形，所以x ≠±2，即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．法二由直角三角形斜边中线的性质知|OP |＝12|MN |＝2，由圆的定义知，点P 的轨迹是圆去掉M 、N 两点，设点P 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．法三由直径所对的圆周角为直角可知点P 的轨迹是以M 、N 为直径的圆去掉M 、N 两点，设P 点的坐标为(x ，y )故其方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．课堂小结1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。

2018-2019学年人教A版必修2第四章4.1.2圆的一般方程学案

4.1.2 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？答案对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形．梳理1．圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)2．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)类型一圆的一般方程的理解例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径解由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m ，1)，半径为1－5m .反思与感悟形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为______．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案 (－2，－4) 5解析由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1.当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0， ∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0， ∴a ＝2不符合题意．当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)若点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案 9π解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－k 2，－1，由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心，∴－k 2＋1＋1＝0，得k ＝4， ∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.类型二求圆的一般方程例2 已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)．(1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a ，2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，∵点M (a ，2)在△ABC 的外接圆上，∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6.引申探究若本例中将“点C (3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52， ∵AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72，得⎩⎨⎧ x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，－132， r ＝ ⎝⎛⎭⎫132－22＋⎝⎛⎭⎫－132－22＝ 3702， ∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －1322＋⎝⎛⎭⎫y ＋1322＝1852. 反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根，∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. ④联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0，∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2. (*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.类型三与圆有关的轨迹方程例3 已知圆心为C 的圆经过点A (1，1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5，0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝⎛⎭⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．因为点P 的坐标为(5，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y . 又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25.整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )依赖于某圆上的一个动点Q (x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将Q 点的坐标代入到已知圆的方程中，得P 点的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3 等腰三角形的顶点是A (4，2)，底边一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？考点与圆有关的轨迹问题题点求三角形顶点的轨迹方程解设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10，这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点．因为B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3，5)．又因为B ，C 不能为一条直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点.1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.2．若点M (3，0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3，0)的最长的弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0 考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4，2)，则过点M (3，0)且过圆心(4，2)的弦最长．由k ＝2－04－3＝2，可知C 正确． 3．若方程x 2＋y 2－axy －4y ＋1＝0表示圆，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件答案 B4．若方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2，2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( )A ．－2，4，4B ．－2，－4，4C ．2，－4，4D ．2，－4，－4 考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 A解析由方程得圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a ，b 2，半径为r ＝ 4a 2＋b 2－4c 2.由已知，得－a ＝2，b 2＝2，4a2＋b2－4c2＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题解设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4，3)且点C 是线段AB的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4， ② 把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D. 2 考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 D解析因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题答案 D解析原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b )．3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r ＞0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 D解析因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆，又方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，r 2＝－34a 2－3a . 由r 2＞0，即－34a 2－3a ＞0，解得－4＜a ＜0，故该圆的圆心在第四象限．5．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＜12C ．0＜m ＜12D ．0≤m ≤12考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12－m ，则12－m ＞0，解得m ＜12.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m ＞0，即m ＞0，所以0＜m ＜12.故选C.6．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题答案 A解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为() A.53 B.213 C.253 D.43考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 B解析设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1. 即△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0. ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，233， ∴圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 D解析设圆心C 的坐标为(a ，0)，a >0，∴d ＝|3a ＋4|5＝2， ∴a ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.二、填空题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案－2解析由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2，则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2.10．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案 (0，－1)解析因为r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案 (－∞，1)解析由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得b ＝4，所以圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.12．已知点A (1，－2)，B (4，0)，P (a ，1)，N (a ＋1，1)，当四边形P ABN 的周长最小时，过A ，P ，N 三点的圆的圆心坐标为________________．考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案 ⎝⎛⎭⎫3，－98 解析因为AB ，PN 的长为定值，所以只需求|P A |＋|BN |的最小值．因为|P A |＋|BN |＝(a －1)2＋[1－(－2)]2＋(a －3)2＋(1－0)2，其几何意义为动点(a ，0)到两定点(1，3)和(3，－1)的距离之和，所以当这三点共线，即a ＝52时，其和取得最小值．此时，线段PN 的中垂线x ＝3，与线段P A 的中垂线y ＋12＝－12⎝⎛⎭⎫x －74的交点为⎝⎛⎭⎫3，－98，即所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫3，－98. 三、解答题13．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2. ① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.四、探究与拓展14．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 D解析曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a ，2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a ，2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.15．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象，解得－17<t <1. ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－17，1. (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内， ∴8t 2－6t <0，∴0<t <34，满足圆的定义． ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34.。

人教高一数学教学设计之《4.1.2圆的一般方程》

人教高一数学教学设计之《4.1.2圆的一般方程》一. 教材分析《4.1.2圆的一般方程》这一节主要让学生了解圆的一般方程形式，并学会如何将圆的参数方程转化为一般方程。

教材通过实例引导学生理解圆的方程，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析高一学生已经学习了函数、方程等基础知识，具备一定的数学思维能力。

但学生对圆的一般方程可能初次接触，理解上存在一定难度。

因此，在教学过程中，教师需要通过具体实例、引导学生自主探究，以加深学生对圆的一般方程的理解。

三. 教学目标1.了解圆的一般方程的形式及意义；2.学会将圆的参数方程转化为一般方程；3.能够运用圆的一般方程解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆的一般方程的形式及意义；2.如何将圆的参数方程转化为一般方程。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体实例让学生了解圆的一般方程；2.自主探究：引导学生自主探究圆的一般方程的特点及转化方法；3.小组讨论：分组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。

六. 教学准备1.准备相关实例，如圆的参数方程和一般方程的例子；2.准备投影仪，用于展示实例和讲解；3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示圆的参数方程和一般方程的例子，引导学生思考：如何用一个方程来表示一个圆？2.呈现（10分钟）介绍圆的一般方程的形式及意义，解释圆的一般方程与圆的参数方程之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将给出的圆的参数方程转化为一般方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）挑选几组学生的答案，进行讲解和评价。

让学生明确圆的一般方程的特点及转化方法。

5.拓展（10分钟）让学生运用圆的一般方程解决实际问题，如：已知圆的方程，求圆的半径和圆心坐标。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调圆的一般方程的重要性和应用价值。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关圆的一般方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

高一数学：4.1.2《圆的一般方程》学案

自学设计：自学设计：一、课前准备：预习教材 P121～P123 内容二、导学：
圆的一般方程：当当当时方程表示圆的一般方程,其圆心为时方程表示一个点为时方程不表示任何图形。；。半径；
合作探究：合作探究：探究圆的一般一般方程探究一探究圆的一般方程例 1 求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
D. m < 1 ）.
2．M（3，0）是圆 x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 10 = 0 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程是（ A. x + y − 3 = 0 B. x − y − 3 = 0 C. 2 x − y − 6 = 0 D. 2 x + y − 6 = 0
3．（04 年重庆卷.文理 3）圆 x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 3 = 0 的圆心到直线 x − y = 1 的距离为（ A . 2 B.
2 2
2
2 2
，半径是
．
。
5．★★△ABC 的三个顶点为 A(1.4)，B(-2,3)，C(4，-5)，求△ABC 的外接圆方程，外心坐标和半径。课巩固提高 1．方程 x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + 5m = 0 表示圆的条件是（ A.
1 < m <1 4
）.
B. m > 1
C. m <
1 4
5+3
B. 6 5 + 14
2 2
C. − 5 + 3
D. −6 5 + 14 . .