向量加法三角形法则

三角形向量的公式大全

三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。

1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。

- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。

2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。

- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。

- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。

1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。

- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。

2. →AB与→BA的关系。

- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。

三、三角形中的向量数量积公式。

1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。

- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。

- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。

2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。

- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。

在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。

向量加法精选教学PPT课件

即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a

向量基本定理

A N M C L
B
向量的夹角两个非零向量则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b

a
a
A
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b

b B
O
a

0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有：（ 2、3 ）

平面向量的三角形法则

平面向量的三角形法则平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。

通过平面向量的运算和性质，我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。

其中，平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。

本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。

一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有方向的线段。

根据平面向量的定义，我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。

例如，对于平面向量AB，其起点为A坐标(x1, y1)，终点为B坐标(x2, y2)，我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

二、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时，可以将它们的起点放在同一个点，然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。

这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。

具体来说，对于平面向量AB和AC，它们的和向量是平面向量AD，即AB + AC = AD。

三、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。

换言之，对于任意平面向量AB，AC和AD，满足AB + AC = AC + AB，以及(AB + AC) + AD =AB + (AC + AD)。

2. 平面向量的乘法平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。

（1）数量积数量积也称为点积，表示为AB · AC。

数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘，然后将两个结果相加。

即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。

其中，ABx为AB的横坐标，ACx为AC的横坐标，ABy为AB的纵坐标，ACy为AC的纵坐标。

（2）向量积向量积也称为叉积，表示为AB × AC。

向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘，然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。

向量加法三角形法则优秀课件

B
AB BC AC
香港
上海台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
a
ab
b
首首 C 尾尾
相连接
bAa源自B已知非零向量 a、 b,在平面内任取一点 A ，作 ABa,BCb, 则向量 AC 叫做 a与 b的和，记作 ab,即
向量加法三角形法则优秀课件
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
abABBCAC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
A B B C _ A__ C__
B C C D _ B_D___
A
C A B B C C D _ A_ _ D_ _
A B B C C D D E _ A_ _ E_ _
B
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B

向量三角形法则口诀

向量三角形法则口诀向量三角形法则是求解向量三角形碰撞、合力等问题时的一种常用方法。

它是基于向量的代数运算和三角函数的几何性质，通过研究力的大小、方向和作用点等因素，进而求解出力的合力或分力大小与方向。

下面是关于向量三角形法则的口诀，详细进行解释和说明。

口诀：力合力矩，加加减就好。

解释：向量三角形法则主要涉及两个方面的运算，即力的合力和力对应的力矩。

在进行运算时，需要进行力的加法运算，同时考虑一定的方向性，以及正负号的取舍。

下面将详细介绍力合力矩的计算方法和运算规则。

一、力的合力计算：1.平行力的合力：若两个力同方向，则合力等于两个力的和，方向沿着原来的方向；若两个力反方向，则合力等于两个力的差值，方向指向力大的方向。

2.非平行力的合力：将各个力按照平行或共面的方式进行分解或合成；将力按照其在x轴和y轴上的分量进行相加，得到合力的x分量和y分量；利用勾股定理和三角函数，计算合力的大小和方向。

二、力矩的计算：1.力矩定义：力矩指力相对于旋转轴的转动效果大小。

力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积；力矩的方向遵循右手定则，通过拇指、食指和中指的关系进行确定。

2.力矩的计算：将力矢量与力臂矢量进行叉乘运算，得到力矩的大小和方向；力矩的大小等于力的大小与力臂的垂直分量的乘积；力矩的方向通过右手定则进行确定。

三、加加减就好：1.加法原则：启创点“加”，矢量相同方向，叠加即可；矢量不同方向，矢量之和为矢量相减的绝对值。

2.强调方向：力的合力和力矩的方向通过矢量的代数运算得到；正负号的取舍由力的相对位置和角度决定。

综上所述，向量三角形法则是一种通过力的分解和合成，以及运用向量的代数运算和三角函数的几何性质来求解力合力矩问题的方法。

它是一种较为直观和简便的计算方法，可以有效地计算出力的合力大小和方向，以及力的旋转效果大小。

通过记住和运用这个口诀，可以更好地理解和应用向量三角形法则，从而解决相关的物理问题。

向量的加减法及数乘运算

o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1．相反向量：
与做记作
a长aa度的相相等反，向方量向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注：（1） a a
（（32））如任即那果意：么，向：量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和，0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法，
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图，ar ,平uAuDu行r 四br边，形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur，和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另：（1） a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A

向量加法三角形法则课件

向量加法的数学运算为三角形法则提供了理论支持，使得三角形法则的应用更加广泛和精确。
在解决实际问题时，我们可以根据需要选择使用向量加法或三角形法则，或者将它们结合起来使用，以获得更准确的结果。
04 向量加法与三角形法则的拓展
向量加法与三角形法则在物理学中的应用
力的合成与分解
通过向量加法与三角形法则，可以更方便地计算多个力的合成效果，以及将一个力分解为多个分力。
在数学中的应用
向量加法三角形法则在数学中也有广泛的应用，如在解析几何、线性代数等领域中，需要使用向量加法三角形法则进行向量的运算和推导。
在实际生活中的应用
向量加法三角形法则在实际生活中也有广泛的应用，如导航、交通规划、气象分析等领域中，需要使用向量加法三角形法则进行位置、速度和方向的运算和推导。
对向量加法三角形法则的未来展望
深入研究
随着数学和物理学的发展，向量加法三角形法则的应用范围将越来越广泛，需要对其进行更深入的研究和探索。
拓展应用领域
随着科技的发展，向量加法三角形法则的应用领域将不断拓展，如人工智能、机器学习等领域中也可以应用向量加法三角形法则进行向量的运算和推导。
02 向量加法的三角形法则
三角形法则的推导过程
三角形法则的推导基于向量的基本定义和性质，通过平行四边形的性质和平行四边形的对角线性质，推导出向量加法的三角形法则。
具体推导过程包括：首先，将两个向量首尾相接，构成一个平行四边形；然后，根据平行四边形的对角线性质，得到两个向量的和向量；最后，根据平行四边形的性质，证明得到的和向量与三角形另一边的向量相等。
向量加法与三角形法则的区别
向量加法是一种数学运算，它定义了向量之间的加法关系，具有交换律和结合律等性质。

(完整版)向量公式大全

向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。

若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量加法三角形法则和平行四边形法则

向量加法三角形法则和平行四边形法则1. 引言向量加法听起来可能像个高深莫测的数学概念，但其实生活中到处都是它的影子。

就像我们平时走路、跑步一样，都是在用向量加法在舞蹈。

没错，今天就让我们轻松幽默地聊聊这两个法则，三角形法则和平行四边形法则，保证让你在笑声中学到东西。

1.1 向量的基本概念首先，什么是向量呢？简单来说，向量就是有方向和大小的量。

想象一下，你在地图上找路，方向和距离都得考虑，这不就是向量吗？所以，向量就像你人生路上的导航，告诉你该怎么走，往哪儿去。

1.2 三角形法则的魅力接下来，咱们先从三角形法则开始。

这个法则说的是，如果你有两个向量，比如说A和B，要把它们加在一起，你只需把它们的起点和终点连接起来，形成一个三角形。

这个三角形的另一边就代表了向量和，也就是A+B。

就像两个小伙伴一起出门，A先走一步，然后B紧跟其后，最后他们一起到达的那个地方，就是结果。

是不是很简单？2. 生活中的应用生活中到处都有向量加法的应用，想想你打篮球时，投篮的角度和力度，都是向量的表现。

你投篮的力量和方向，结合起来就是你进球的关键。

而在这过程中，三角形法则帮你找到了最佳路径，呵呵，真是妙不可言。

2.1 平行四边形法则的奇妙好吧，接下来我们聊聊平行四边形法则。

这可不是简单的几何图形，而是更进一步的向量加法。

当你有两个向量A和B时，如果把它们的起点重合，向外画出两条平行线，形成一个平行四边形。

这个四边形的对角线就是A+B的结果。

想象一下，你和朋友在一起做计划，两个方向结合起来，最终的方案就像是那个四边形的对角线，既新颖又有趣。

2.2 为什么选平行四边形？那么，为什么要用平行四边形法则呢？因为它提供了更全面的视角，帮助你看清两个向量的结合效果。

就像你在筹备聚会，光有一个方向的想法是远远不够的，得多方面考虑，才能办出个让人赞不绝口的聚会来。

3. 总结通过三角形法则和平行四边形法则，我们不仅能看到向量加法的简单与神奇，还能感受到它在生活中的广泛应用。

向量的几个公式

向量的几个公式向量的运算的公式向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

数与向量的乘法满足下面的运算律：结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的数量积的运算律：a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的向量积运算律：a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.。

(完整版)向量公式大全

向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的加法运算

A. 0
B. 3 C.
D. ADA DC B a ， B C b ， A C c ，
C
D.
22
2
4.下列说法：
①在△ABC中，必有
A ； B B C C A 0
②若 A B B ，则 AC 、C B、C 为一A 0 个三角形的
三个顶点；
a b ③若、均为非零向量，则
与
相等.
其中正确的个数为（）
3.向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作
OACB，则以O为起点的对角线就是与的
a b OC a b
和.
a
b
A
C
ab
O
bB
起点相同连对角
两种加法法则在本质上是一致的
应用
a b 例1.如图，已知向量、，求作向量
.
bO
A
O
a
ab
B
B
作法1：
在平面内任取一点O，作
图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于
对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度大小与方向.
解：（1）如图所示. 以AD、AB为邻边作
AB 表示水速，表示船速，
AD
AC ABCD，则表示船实际航行的速度.
一定 a b
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
ab
自主小结 1.向量加法的定义及运算法则； 2.向量模的不等式； 3.向量加法的交换律、结合律.
2. 向量加法的三角形法则：
已知非零向量、，

向量公式大全

向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x,y）,b=(x',y').1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对任意实数λ,都有λa=0.注：按界说知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.3、向量的的数量积界说：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π界说：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标暗示：a•b=x•x'+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.向量的数量积与实数运算的主要分歧点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积界说：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin 〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次第构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点,P是l上分歧于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编纂本段]向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.零向量0平行于任何向量.[编纂本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.零向量0垂直于任何向量.。

向量加法的三角形法则

向量加法的三角形法则向量加法是数学中的重要概念，它描述了两个向量相加的规则。

在向量加法中，三角形法则是一种常用的方法，用于计算两个向量的和。

本文将详细介绍向量加法的三角形法则，包括其定义、应用和相关实例。

1. 三角形法则的定义。

在向量加法中，三角形法则是指通过将两个向量的起点连接起来，然后以它们的终点作为新向量的起点，连接起来形成一个三角形，从而得到两个向量的和。

具体而言，如果有两个向量a和b，它们的和可以表示为c=a+b。

根据三角形法则，向量c的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点，这样就形成了一个三角形。

2. 三角形法则的应用。

三角形法则可以用于计算两个向量的和，同时也可以用于验证向量加法的结果。

通过将两个向量连接起来形成一个三角形，我们可以直观地看出它们的和的方向和大小。

这种方法特别适用于平面向量，因为在平面上可以直接绘制出向量和所形成的三角形。

在三维空间中，虽然无法直接绘制出向量和所形成的三角形，但仍然可以通过三角形法则来计算向量的和。

3. 三角形法则的实例。

为了更好地理解三角形法则，我们可以通过一个实例来说明。

假设有两个向量a=[3,4]和b=[1,2]，我们需要计算它们的和c=a+b。

根据三角形法则，我们可以将向量a和b的起点连接起来，然后以它们的终点作为新向量c的起点，连接起来形成一个三角形。

通过计算向量a和b的和，我们可以得到c=[4,6]。

这样，我们就通过三角形法则成功地计算出了向量a和b的和。

4. 三角形法则的推广。

除了用于计算两个向量的和外，三角形法则还可以推广到多个向量的情况。

当有多个向量需要相加时，我们可以依次连接它们的起点和终点，形成一个闭合的多边形，然后通过闭合多边形的性质来计算它们的和。

这种方法被称为多边形法则，它是三角形法则的推广。

总之，三角形法则是向量加法中的重要方法，它可以帮助我们直观地理解和计算向量的和。

通过将两个向量连接起来形成一个三角形，我们可以清晰地看出它们的和的方向和大小。