高中数学思想方法及案例分析课件

求函数值域）
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新课标关于数学思想方法的要求
重数学方法的教学，却忽略数学思想 的提升，从数学思想的高度审视数学 解法、方法不够，是中学数学思想方 法教学突出的问题之一。
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新课标关于数学思想方法的要求
【问题】 ? 基本的数学思想有哪些？为什么是基
本的？ ? 基本的数学思想与中学熟悉的数学思
想方法有什么关系？
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? 数学模型就是研究者依据研究目的， 将所研究的客观事物的过程和现象的 主要特征、主要关系，采用形式化的 数学语言，概括或近似地表达出来的 一种结构。
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? 数学模型方法是借用数学模型来研究 原型的功能特征及其内在规律，并应 用于实际的一种方法。
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数学模型的分类
? 从使用的工具，可分为微分方程模型， 概率模型，最优化模型等
【案例】 等比数列求和公式
【案例】平面几何问题的类比 30
? 教师教学要重视引导回忆或重现可供 类比的问题，从中寻找“经验性”的 解题方法
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（４）统计思想
统计思想就是在统计初步知识中提炼 并掌握一些处理数据的方法，并用来 解决一些实际问题，统计思想可使学 生认识到条件的可变性结论的不唯一、 不确定、不可靠性，事物的多样性等 等都是普遍存在的。
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课程标准中关于数学思想方法的要求
高中数学课程标准的总目标 具体目标 “1.获得必要的数学基础知识和基本技能， 理解基本的数学概念、数学结论的本质， 了解概念、结论等产生的背景、应用，体 会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它 们在后续学习中的作用。”
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新课标关于数学思想方法的变化
? 基本的数学思想 双基——四基 基本思想 基本活动经验 【问题】 为什么作这样的修改？（案例
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如何认识数学思想方法
? “数学思想方法”是指对数学内容的 本质认识，是数学的指导思想和一般 方法、手段和途径。
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如何认识数学思想方法
? 数学思想是观念的、全面的、普遍的、 深刻的、一般的、内在的、概括的
? 数学方法是操作的、局部的、特殊的、 表象的、具体的、程序的、技巧的
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中学数学中的数学思想方法
引言
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引言
【问题】 1.数学是思维的体操，学数学一定 能使人变聪明吗？怎样教、怎样学 数学才能使人更聪明？ 2.中小学数学学科的价值是什么？
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引言
【问题】 数学思想方法可教吗？怎么教？ 数学思想方法仅仅是求解数学题的利器？
案例 平行线距离公式的推导 案例 《相似多边形的性质（二）》
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引言
真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普 遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体 事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记 你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里 的判断力会使他们想起如何将这些原理应用 于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉 了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的 细节，这时，你学到的知识才有价值。
——【英】怀特海《教育的目的》
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引言
数学思想方法的作用，主要体现在它为 学生提供了有关如何学习、如何思考的 策略性知识。
中小学数学的功能是多重的，即作为知 识的数学和作为教育功能性的数学。
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内容提要
? 如何认识数学思想方法 ? 中学数学中的数学思想方法 ? 数学解决问题的基本方法——化归方法 ? 高中数学思想方法教学案例分析
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? 数学抽象的思想 其下能产生出分类思想，集合思想， 数形结合思想，符号表示思想，对称 思想，对应思想，有限与无限思想等。
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? 数学推理的思想 能派生出归纳思想，类比思想，逐步 逼近思想，代换思想，特殊与一般思 想，演绎思想，公理化思想。
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? 推理：合情推理与演绎推理。
? 合情推理是从已有的事实出发，凭借 经验和直觉，通过归纳和类比等推测 某些结果。
? 从涉及变量变化情况，可分为离散模 型，连续模型
? 从研究领域分，可分为人口模型，交 通模型，生态模型，经济模型
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（２）化归思想：将待解决或未解决的 问题，转化为在已有知识的范围内可 解决的问题。
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（３）类比思想
在数学上根据两个或两类对象之间在某 些方面的相似或相同，推出它们在其他方 面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方 法称为类比法，它既包含从特殊到特殊， 又包含从一般到一般的推理。
问题1 数学思想与数学方法有什么不同？ 【案例】
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如何认识数学思想方法
问题2 数学知识、数学方法、数学思想存在 怎样的关系？
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如何认识数学思想方法
? 数学思想是指对数学知识的本质和数 学规律的理性认识，是从某些数学内 容和对数学认识过程中提炼上升的数 学观点。
? 数学方法则是从数学的角度提出问题、 解决问题的过程中所采用的各种方式、 手段、途径等
模型思想 、化归思想、类比思想、统 计思、用字母代表数的思想、函数与映 射思想、分类思想、极限思想等。
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中学数学中的数学思想方法
（1）模型思想 “建立和求解模型的过程包括：从现实生 活或具体情境中抽象出数学问题，用数学 符号建立方程、不等式、函数等表示数学 问题中的数量关系和变化规律，求出结果 并讨论结果的意义。这些内容的学习有助 于学生初步形成模型思想，提高学习数学 的兴趣和应用意识。”
高中数学思想方法及教学案例分析
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引言 教师的角色“是学习的组பைடு நூலகம்者、引 导者与合作者”，其实好的教师应 该是一个好导游，带着学生一起领 略他们看不到的、看不懂的美丽的 数学风光。
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引言
掌握数学的一个重要标志就是善于解题 如何教会学生解题？ 如何将教师的解题经验转化为学生的解题 能力？
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模仿+练习+数学事实的接受
? 演绎推理是从已有的事实（包括定义、 公理、定理等）出发，按照规定的法 则证明（包括逻辑和运算）结论。
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? 推理能力的发展应贯穿在整个数学学 习过程中。
【案例】 高考数列题
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? 数学建模的思想 还能派生出函数思想，方程思想， 优化的思想，随机的思想，抽样统计 思想等。
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如何认识数学思想方法
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（5）函数与映射思想
对应是人的思维对两个集合间问题联系的 把握，是现代数学的一个最基本的概念。 函数思想是指用运动、变化、联系、对应 的观点，分析数学与实际生活中的数量关 系，通过函数这种数量关系表示出来并加 以研究，从而使问题获得解决的思想。