正方体的截面问题研究报告
正方体的平面切割和截面特征
正方体的平面切割和截面特征正方体是一种六个面都相等且每个面都是直角四边形的立体图形。
平面切割是指将正方体沿着平面进行切割，从而得到不同的截面。
每个截面都有其特征和属性。
本文将探讨正方体平面切割和截面的特征。
首先，我们来了解一下正方体的基本属性。
正方体的六个面都是正方形，相邻面之间的边长相等。
通常，我们用字母a来表示正方体的边长。
此外，正方体的体积可以通过边长的三次方来计算，即V = a³；表面积可以通过边长的平方乘以六来计算，即S = 6a²。
接下来，我们讨论正方体的平面切割。
平面切割正方体时，切割面可以与正方体的面平行，也可以与正方体的面垂直。
对于平行切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形。
这些平行四边形的边长和对应边的长度比例与正方体底面相同。
当切割面与正方体的面垂直时，我们将得到线段、正方形、三角形或其他多边形的截面形状。
在平行切割的情况下，截面的特征与正方体的底面相似。
例如，如果我们将正方体平行地切割成一系列平行四边形，这些四边形的形状和相似性将与底面相同。
然而，它们的大小可能会有所不同，但比例关系将保持不变。
当切割面与正方体的面垂直时，截面的形状将根据切割的位置和角度而有所不同。
根据切割的位置，截面可以是线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形。
在这些截面中，正方形和长方形出现的频率最高，因为它们是与正方体面相关联的形状。
此外，截面的边长可能与正方体的边长有关，但不一定相等。
当切割面与正方体的对角线平行时，我们将得到等腰直角三角形的截面。
这是因为对角线与正方体的边相切，并且正方体的边是直角的。
所以，切割面与对角线所包围出的截面将是等腰直角三角形。
在切割正方体时，我们还可以观察到一些有趣的截面特征。
例如，当切割面与相对的两条棱平行时，我们将得到矩形形状的截面。
这是因为切割面与这两条棱所包围出的空间将是一个矩形。
总结一下，正方体的平面切割和截面特征是多样化的。
通过平行或垂直切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形，以及线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形的截面形状。
正方体截面总结(最全-适用于公务员图形推理)
正方体截面的形状tf O结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1•正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2. 矩形:因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
》》》其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下:由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3. 平行四边形:当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4. 三角形:根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下:》得到: 正三棱锥5. 猜想之外的截面形状:(1)菱形:女口下图所示，f A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形:当(2)梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形:(4 )六边形：如图所示，可以截得六边形截面:==》》》(3 )五边形：如图所示，可以截得五边形截面:通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
正方体截面问题的研究
正方体截面问题的研究作者：刘翘尘来源：《初中生世界·七年级》2015年第12期“不知道你们是不是有兴趣？如果有兴趣的话可以动手试试看.”是谁在说话呀？哦，原来是我的数学老师魏老师.在七年级上册课本第124页有这样一个数学题目，是关于正方体截面的，我当时就有了浓厚的兴趣，准备研究一番.在刚开始时，空想其实想不出什么，我主要的想法就是抓住正方体的棱和点.但是，经过一番透彻的研究后，我把它们分成了以下几点：一、三角形把正方体斜切一刀，可以得到很多的图形，其中就有三角形.如图 1，这样切得到的截面是个等腰三角形.同时，也可以像图2这样切，这不就是一个等边三角形了吗？还有一种方法，就是像图3那样，但切出来就不是特殊三角形了，而是一个普通的锐角三角形 .二、四边形切出来的四边形包括正方形、长方形、非直角梯形和平行四边形等.正方形和长方形就不说了，就像图4和图5那样，而平行四边形也不难切出来，如图6，这样稍微斜一点点，就是平行四边形了，哈哈，怎么样？是不是很有趣？再来说一说梯形，梯形不属于平行四边形，但我们也可以切出来.首先，可以像图7这样切，就得出了一个等腰梯形.当然，还有很多种切法可以得到很多种不一样的梯形，这里就不说了.咦！等等，直角梯形可以不？答案是否定的，因为无论怎么切，它的直角必须是两个，所以一刀根本做不到.重头戏来了！只要突破五边形，六边形就容易想到了.刚开始时，我一直以为切不出来五边形，但是后来经过研究，发现其实是可以的.看图8，切得稍微深一点就可以做到了，是不是很神奇？其实啊，数学并不难，只要多试验试验，肯定会有所发现的.四、六边形会切五边形之后，六边形就不是很难了.只需要在五边形的基础上再稍微改变一下角度就可以了，就像图9那样，看吧，这是不是一个六边形嘞！五、七边形那么问题来了：三角形、四边形、五边形和六边形都能切，那么有没有可能会是七边形呢？我做了很多实验，答案都是：“不可能！”那么，这是为什么呢？其实啊，在之前的切法中，都有一个共同点，就是刀切出的图形的每一条边都落在一个面上，不可能会有一个面上有两条边，而正方体正好有六个面，所以当然不可以切出七边形啦！六、结论说了这么多，也切了这么多图形，让我们来总结一下：1. 可以切出来的图形有：三角形、平行四边形、非直角梯形、正方形、长方形、五边形和六边形.2. 不可以切出来的图形有：直角梯形、七边形等.其实，想要透彻了解的话，你可以买一个土豆，自己切切看，试一试吧！（要注意安全！）数学是不是很有趣呢？实际上，生活中还有很多这样的问题，让我们一起在知识的海洋中寻宝探险吧！点评：正方体是同学们最熟悉的立体图形之一，用一个平面去切它得到的横截面是什么，这是个很值得研究一番的问题.刘翘尘同学选择了土豆这种便宜易得的蔬菜作为研究材料，切面也齐整，便于研究.他以横截面图形的边为线索展开他的研究，按照边的数量将图形分类，并在能够得到的横截面图形中，找出我们熟悉的特殊图形，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形以及梯形等，思路通畅，条理清晰，逻辑性强.刘翘尘同学是以边为线索进行他的研究的.亲爱的同学，假如让你以角度展开这个问题的探索，你会怎么做呢？（指导老师：魏思晴）。
正方体的截面问题研究资料讲解
正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。
【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。
再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
五年级：正方体截面图形
关于正方体截面图形的研究报告问题背景：一天，妈妈在切胡萝卜做菜，突然问我：“成宇轩，这个胡萝卜块切成了什么形状，你知道吗？”我跑过去一看，笑着说“就是一个正方体”，妈妈说，“最近你的课外书上提到正方体截面的问题，你解决了吗？”我说，“还没有啊，我感觉答案有很多啊”，妈妈摇摇手中的胡萝卜说，“这个可以帮助你吗？”对啊，我一拍脑门，对了，可以动手实验一下。
研究目标：通过动手操作实践，研究将一个正方体切一刀，截面可能是几边形？研究过程：一、材料准备：用胡萝卜切成正方体形状二、实验步骤：1、胡萝卜切成小正方体。
2、将刀和正方体的三条边接触，使得截面成三角形。
还可以这样切，即切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
3、将刀和正方体的四条边接触，使得截面成四边形，这两个四边形（如下图）。
这副图的截面是长方形：这副图的截面是正方形：4、还有截面是梯形的，这是将刀从上面两边切起到下面的两个顶点。
5、将刀和正方体的两条棱接触，即把正方体截成体积相等的两部分，使得截面成四边形。
6、将刀由上面的一条棱切起，并接触到下面的两条棱，使得截面成四边形。
7、将刀和正方体的五条棱接触，使得截面成五边形。
8、将刀和正方体的六条棱接触，使得截面成六边形，切的时候感觉为了容易一些，最好和每条棱的中点接触比较好。
三、实验结论：1、将正方体切一刀，可以得到三角形、长方形、正方形、梯形这样的四边形、五边形和六边形。
2、切的过程中，刀接触到几条边，截面就有几个角，形成的截面就是几条边，截面就是几边形。
3、特别发现两点：第一是若刚好切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
六边形截面比较难切好，只要把刀接触到六条棱的中点，就很容易形成六边形截面。
实验感想：在妈妈的鼓励下，我通过自己动手实践解决了这个困扰我的问题，我感到很高兴。
通过这样的研究活动，我感到非常有收获，本来在我的头脑中很难想象出的五边形、六边形这样的图形，通过亲手切出来，我感觉现在我可以很轻松的想象出五边形和六边形截面图形。
正方体截面总结
结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
课题学习正方体截面的形状
《正方体截面的形状》
安徽省阜阳市第二中学 白琴
截一个几何体
一.认识正方体：
正方体: 8个顶点 6个面 12条棱
正方体的截面 截面
思考：用一个平面截一个正方体，截面 可能是什么形状？
截面定义：用一个平面去截几何体，得到一个平面 图形，这个平面图形叫做截面.
CT已经成为各大中医院 必备的检查设备．
想一想
1.正方体中能用几个平面截出正四面 体，正八面体呢？
2.求正方体最大面积的截面三角形、 截面四边形，以及最大面积的截面形状。
“正方体截面的形状”课题学习报告
年级 班 完成时间
课题名称 研究的简要过程和方法，相关信息及参 考文献的来源和出处等
初步、结论（写明所得结论的性质，如 由实验观察得到、猜想、已证、能证、 待证、已构造出、已找到实例等）
特殊情形
练一练
用平面去截一个几何体，如果截面是 圆面，你能想像出原来几何体可能是 什么吗？读来自你知道CT吗？一读
拓展
CT技术的发明人A. M. 柯马赫 和 G. N. 洪斯菲 尔德爵士因此获1979年 诺贝尔医学奖．
CT技术以射线作为无形的刀， 按照医生选定的方向，对病 人的病灶作一系列平行的截 面，通过截面图像的解读， 医生可以比较精确地得出病 灶大小和位置．
演思示考实：验用1一：个用平一面个截平一面个截正一方个体正，方截体面， 截可面能是是三什角么形形.状？
二.如果截面是三角形,可以截得什么形 状的三角形？
三 角 形 截 面： 等腰三角形： 正三角形：
三.合作探究：
1.如果截面是四边形,可以截出什么形状的四边形？ 2.能截出五边形，六边形吗？ 3.能截出七边形吗？ 4.截面多边形的边数最多有几条？
正方体截面研究
正方体截面研究
正方体是一种三维几何形状，它是由六个正方形构成的。
它有平行于X、Y和Z轴的六面，它们是相等的，每个面垂直于另外两个面，使它有均衡的外形。
正方体的特点之一就是它
的三角形截面相同。
三角形截面是指由一个三角形的顶点和两条由顶点联系的线所组成的截面。
当一个体被切
割时，正方体截面是三角形的形状。
正方体有三个三角形，每个三角形都是相等的。
它们
由一个90°角和兩个60°角组成。
正方体的六个面形成了三个等腰三角形截面。
它们两两之间的夹角为90°，从而使得正方体形成六个等边三角形。
这些正方体表达出了对对称性和均衡性的追求。
正方体的三角形
截面与三角形相似，但它们的三维几何形状在其探索形状的独特性的基础上进一步考虑到
了结构的完整性、可靠性和稳定性，因此在各种设计及其应用中是极受重视的。
正方体的三角形截面的另一个特点是它可以投射出不同的几何形。
它可以在直角坐标系中
表示出平行四边形或平行多边形，并且可以利用三角形截面表示出其他一些各种形状，例
如六角形，十二边形等等。
当从无限多个三角形截面组合而成的图形被投射到同一个平面时，形成了许多几何形，它们能够为设计引入充满创意的潜力。
正方体的三角形截面提供了一种独特的三维几何形状，可以高效地应用于航天、运动机械、设计和工程等领域。
它是由六个正方形构成的，其三角形截面可以投射出不同的几何形状，为设计引入充满创意的机会。
它不仅美观大方，而且能够充分发挥其设计潜力，为人们提
供精确、稳定和安全的设计。
正方体截面问题的再研究_侯典峰
R 分别是三对互为异面直线的棱上任一 点(端点
除外), 能否类似作出过这三点的截面 ?
本文拟给出此问题的解答 , 但要首先解决其
中三点中有两点在正方体的同一个表面上的类似
问题 .
问题 1 如图 1 , P , Q , R 三 点分别在正方体 AB CD-A 1 B1 C1 D1 的棱 A1 D 1 , C1 C , BC 上 , 求过这
Q , R 是 AB , D1 A1 , CC 1 上任意一点(端点除外), 作
出过这三点的截面 .
求解问题 2 可有如下几种作法 .
作法 1(略解) 如图 3 所示 .
①过 Q 点作 QH ⊥
AD , 垂足为点 H .
②连结并延长 P H ,
与 CD 的 延 长 线 交 于
点G .
③ 过 G 作 GS ∥
三点的平面在此正方体表面上的截痕 .
作法 :① 如图 2 , 连 结 QR , 并延长交 B 1 C1 的延长
线于点 H .
②因为 A1 D1 与 B1 C1
在同 一 平 面 内 , 所 以 连 结
PH 交 D 1 C1 于点 K .
③因为 K 与 R 在侧面
图1
D 1 C1 CD 内 , 所以连 K R .
· 辅教导学 · 数 学通讯 ——— 2011 年第 4 期(上半月)
17
正方体截面问题的再研究
侯典峰
(黑龙江省大庆实验中学 ,正方体三条棱
中点作正方体截面的作法 , 并在文末提出这样的
思考问题 .
问题 在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 , P , Q ,
L 作 OL ∥QH , 交 PQ 于点
O.
图4
《数学探究活动(一)：正方体截面探究》
教师给出截面的概念,学生理解截面的边是平面和几何体各面的交线.
教师继续提出问题：正方体是立体几何中的一个重要模型,它是一种非常对称的几何体.
如果我们拿一个平面去截一个正方体,那么会得到什么形状的截面图呢？
学生分组,利用手中的橡皮泥（或萝卜）及小刀做实验,先用橡皮泥捏一个正方体（或用
萝卜切块）,再用小刀截手中的正方体,得到一个截面并观察,完成6个探究任务,得出答案.
北师大版同步教材精品课件
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
《数学探究活动（一）： 正方体截面探究》
学而优 · 教有方
情景引入
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学内容
按照习惯,我们是不吃西瓜皮,只吃西瓜瓤的.现在有一个外皮已经洗净的西瓜,设想一下,你 一般是如何吃到里面的瓢的呢？
师生互动
教师拿出一个西瓜,让学生抽象出它是哪一种空间图形. 学生回答,一致认为它应该是球体. 教师进一步提出左边的问题让学生抢答,并进一步要求学生思考：刀经过的面是一个什么 形状的图形呢？ 学生回答后,教师再请学生上台演示切西瓜,验证答案.
2.正方体截面
（1）锐角三角形、等边三角形、等腰三角形
（2）正方形、矩形、非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形 （3）五边形、六边形、正六边形 3.例 4.小结与作业
学而优 · 教有方
教学研讨
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学设计中设计了一系列跨度很大的探究问题串,探究的难点是分类找出所有可能的截 面,并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在.经历通过动手操作试验、猜想、验证 答案等活动,逐渐深入地探究观察,有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理 论证等能力.
探究5：能否截出正五边形？为什么？
正方体的截面问题
数理化 解题研究2019年第28期总第449期正方体的截面问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形 的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本文仅举例说明正方体的截面面积和周长 的最值（取值范围）的求解方法以及截面图形的性质的判定方法.关键词：正方体；截面；面积；最值;性质中图分类号:G 632文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2019)28 -0010-03一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面 图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体 的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四 边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但 不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形， 但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形. 正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状 的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及 其三个推论.正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面 积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判 定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本 文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值（取值范围）的 求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个 问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.―、正方体的截面面积的最值问题例1 (2018年高考全国卷I .理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为A . 了B •丁C .—D.y解析因为在正方体/^(^-^^"，中，/^//^：/) //4,B , //C ,£», ,AD //BC //B , C j /AK D ,,A A j /B B j /CC , //所以当平面a 与棱所在的直线所成的角 相等时，正方体的所有棱所在的直线与平面a 所成的角都相等，由正方体的性质易得平面与棱所在的直线所成的角相等，则平面a //平面七BC ,或平面 a 为平面由图易得当平面a 过棱C ,£>,,的中点时，a 截此正方体所得截面面积最大，此时截面是边长为f的正六边形，如图1.则其面积为6x f x (f )2=手,故选 A .评注根据正方体的性质确定平面a 的位置是解题 的关键.图1图2例2 (2004年湖南省数学竞赛试题）过正方体4BCD的对角线仙,的截面面积为S ,记S ,和S 2分别为S 的最大值和最小值，则^为（）.V f#2/J2/6A . 2B . 2L . 3D . 3解析由已知可得如图2,设正方体的棱长为1，故当 M ，/V 分别为A 4,，(：(：,的中点时，截面的面积最小，最小为+勝xBZ ),•当截面为就时，截收稿日期:2019 - 07 - 05作者简介：武增明（1965. 5 -),男，云南省玉溪市易门县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究. —10—2019年第28期总第449期数理化解题研究面的面积最大，最大为1x W=力.故S,，于D, /!是从而选C.S23D;........2/D x C, Q Ax/-L/Z)；-B i二、正方体的截面的周长问题例3在正方体/^(：£>-/1",/),中，若过/)1；8的平面截正方体所得的平面四边形的周长的最小值为则正方体的体积K=( )•A.27B. 16C.9D.8分析先由四边形是平行四边形将四边形的周长转化为2( BA/ + MD,),再将正方体的侧面 展开，得到BM+ MD,的最小值，由已知条件求得a的值即 可求解.解析设正方体的棱长为a,如图3,M，yv分别是平面四边形A与A4,,CC,的交点，由题意可知四边形是平行四边形，所以四边形BM Z),；V的周长为2(BM+ MD.).图3沿将正方体的侧面展开，在矩形B Z W,中，易知当且仅当三点共线时, + MD,取得最小值，为V§a.所以二4尽，得a=2, 所以 F= 23 =8.评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找 到使得平面四边形的周长取得最小值时点M的位置.解析对于①，②，如图5,因为正方体4SCZ) - 的棱长为1,当时，，这时过P，P三点的截面与正方体表面交于点D,,= f，且,截面S为等腰梯形；当0 < C(?< ^■时，过/>，(？三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截 面S为四边形，故①，②正确.对于③，④，⑤，如图6,延长(?/?交的延长线于点/V,连接4/V交4, £»,于点M，连接MC,.取/!£»的中点G,作C////PC»交DD,于点//，可得，GH// AN，R GH =专 AN.设 CQ(+<«吳1)，则 = = 2i/ /!RC,「.当-时，可得C,f f:，故③正确.当+<t<l时，S为五，ND'D,R2tC,R1J\R=~2边形，故④错误.当《 = 1时,M为/l,D,的中点，S为菱形狀=尸c,，，：及』的面积=菱三、正方体截面图形的性质问题例4 (2013年高考安徽卷.文15理15)如图4,正方体/1BCZ)-义fi,C,/?,的棱长为1,P为6C的中点，()为 线段CC,上的动点，过点/I，P，（(的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号）.①当0<(^<士时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当C(?= |时，S与C,£>,的交点/?满足C,尺=+;④当|< 1时,S为六边形；⑤当〇?=丨时，S的面积为形 /1PC,A/ 的面积二 2S A C，抑=2x士 f，故⑤正确.故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.例5 (2005年全国高中数学联赛试题）如图7,已知正方体/1B C D任作平面《与对角线/1C,垂直，使得平面a与正方体的每个面都有公共点.记这样得到 的截面多边形的面积为S,周长为Z.则（）.A. S为定值，/不为定值B. S与/均为定值C. S不为定值，/为定值C.S与Z均不为定值解析先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7，取£，F，C,//，/,1/分别为六条棱的中—11—数理化 解题研究2019年第28期总第449期点，显然，正六边形是符合要求的截面，它的周长 =於,面积S , =¥.当截面为正W D 时，其周长/2 =3/5"，面积 S 2=f .注意到= Z 2 ,S , #S 2，由此可以断定S 不为定值，而/ 有可能为定值.再考察一般情形•设六边形W, G ,//,/,为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例，得£丨尸,_B ,£,Z ),B ,所以=在A A=在B A ，J ,E , +E ,F , =^2(A ,E , +B lE l)—=^/2 .同理,另四边之和为2尽.因此，六边形■/,£，,(；,//,/,的周长为定值3^.故选C .评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这 是求解复杂问题的常用方法之一.参考文献：[1]陆珂•截面[J ].中学数学教学参考（上旬），1995(4) ：43 -45.[2] 傅钦志•立体几何中的截面问题[J ].中等数学，2007(3) ：5 -9.[3] 蒋孝国•立体几何中的最值问题[J ] •数学通讯(上半月），2016(3) :40-43.[责任编辑：杨惠民]一个正三角形面积最值的求法探究许银伙(福建省泉州外国语中学362〇00)摘要：本文对一个正三角形的面积最值问题，分别运用坐标法、几何性质法、三角函数法、向量法、复数 法等多种知识，从不同角度和方法进行分析解决，提高知识应用能力.关键词：三角函数；坐标法；向量法；正三角形中图分类号：G 632文献标识码：A文章编号：丨008 -0333(2019)28 -0012 -03问题已知中，乙/l 〇e =90°，04=l ，O B =W ， 等边A £F C 的三个顶点分别在A /10S 的三边上运动，求 A £F C 面积的最小值•分析一以边〇/1,所在直线分别为*,y 轴，建立 直角坐标系，通过正三角形的直观性质三边相等和已知 条件求出的长度关系，进而求出的最小值.解法一如图1，建立平面直角坐标系，则点/!(1，〇)，B (0，万），设点 £(*。
探究：正方体的截面
截面：用一个平面去截几何体得到的平面图形
正方体的截面
问题情景
哈尔莫斯：“问题是数学的心脏”
康托尔：“ 在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问
题的艺术更为重要”
问题1：如果给你一个正方体，你能提出关于正方体
截面的哪些问题呢？
探究一
用一个平面去截一个正方体，截面可能是什么形状？
请同学们分组实验，记录，分类，展示，并说出如
何得到你的图形？
探究二
三角形
1：截面的边是如何产生的？
2：截面最多几条边？最少几条边？
3：四边形、五边形、六边形的边具有怎样的位置关系？
四边形
五边形
六边形
探究二
截面的作图原理和方法
D1
C1
A1
A1
C1
B1
B1
P
P
D
A
D1
C
B
画出过点A1 , 1 , 的截面
A
D
C
B
画出过点A1 , 1 , 的截面
截出的五边形有何特点？可能是正五边形吗？
探究六
截出的六边形有何特点？能得到正六边形吗？
截
面形Biblioteka 状小结高考题
拓展探究
最大面积的截面三角形是怎样的？
最大面积的截面四边形形是怎样的？
最大面积的截面形状是怎样的？
锐角等腰三角形
能截出直角三角形或钝角三角形吗？尝试证明
锐角等边三角形
探究三
证明截出的三角形一定是锐角三角形
D1
C1
F
E
A1
B1
G
D
A
C
B
探究四
如果截的是四边形，可以是几类不同形状的四边形
关于一个正方体截面的小论文,500字
关于一个正方体截面的小论文,500字
正方体是一种十分常见的几何体，不管是在题干中，还是在生活上，都已是我们眼中的常客。
但就是这么令人熟悉的物体，在它的背后仍然有许多有趣、深奥，甚至堪比未解之谜的问题待我们一一发掘、解答。
这不，正方体截面形状的多样性则是像这样一个趣味无穷的讨论点。
借助几何画板，我也发现了它其中的一些奥秘。
多次试验过后，我归纳出4种正方体的截面形状：三角形，四边形，五边形以及六边形。
下面，我们来讨论讨论这4种截面形状的产生条件。
三角形应该是我们最容易发现的截面形状之一了。
“很随便”地一截，就可以获得一个三角形截面。
当截面仅截过同一顶点的三条棱时，即可截得一对三角形截面。
二、四边形
四边形形状的截面也是比较容易发现的。
在此分以下两种情况讨论：
1. 当截面仅过四条相互平行的棱时，则有四边形截面出现。
2. 当截面仅过一个面内一对相交棱及其平行面内另一对完全相同的相交棱即可得到四边形截面。
四边形的出现和获得可由上述三角形某一顶点的运动，即截面绕棱旋转的角度推导而来。
运用这个顶点“一生二”的思路，我们应该很容易进行后面的探究。
若要得到面积最大的截面四边形，则可作以两条平行的面对角线为长，以对棱为宽的矩形。
三、五边形
五边形截面相对于前两种截面形状来说就不是那么能直观地看出来了——当然，我们借助前面顶点“一生二”的思想，也可较为容易地得到五边形的截面。
四、六边形
依据刚才所提出的思想，下面我们进行六边形的研究，将所得五边形在正方体底面上的棱所对顶点继续上移，即可得到六边形。
正方体最大截面面积
正方体最大截面面积引言正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是相等的正方形。
对于正方体而言，最大截面面积是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
在本文中，我们将探讨正方体最大截面面积的问题，并介绍一种可以求解该问题的方法。
定义首先，让我们来回顾一下正方体的几何性质。
正方体有六个面，每个面都是一个正方形。
正方体的边长通常用字母s表示，因此，正方体的表面积可以表示为6s^2，其中s表示正方体的边长。
正方体的截面正方体有无限个截面，截面可以是平行于任意一个面的平面。
每个截面都是一个封闭的图形，其形状可以是矩形、正方形、三角形等。
对于每个截面来说，我们可以计算其面积。
寻找最大截面面积下面，我们将探讨如何寻找正方体的最大截面面积。
暴力搜索法最简单的方法是使用暴力搜索法，即计算所有可能的截面的面积，并找到最大的面积。
但这种方法效率低下，尤其是当正方体的边长很大时，很难计算所有截面的面积。
穷举法另一种方法是使用穷举法。
我们可以通过遍历所有可能的截面来找到最大面积。
然而，这种方法依然需要进行大量的计算，因此效率并不高。
切割法切割法是一种更高效的方法。
我们可以通过将正方体切割为若干个较小的立方体，然后计算每个立方体的截面面积，最后在所有截面中找到最大的面积。
这种方法的关键在于如何切割正方体。
平分切割法平分切割法是一种常用的切割方法。
我们将正方体的一个面分成若干个相等的小正方形区域，并将其沿着纵向或横向切割。
这样，我们可以得到多个立方体，然后计算每个立方体截面的面积，最终在所有截面中找到最大的面积。
斜切割法斜切割法是另一种切割方法。
我们将正方体切割为若干个更小的立方体，然后计算每个立方体的截面面积，最后找到最大的面积。
与平分切割法不同的是，斜切割法可以切割出更多形状各异的截面。
实例分析为了更好地理解如何寻找正方体的最大截面面积，我们将进行一个实例分析。
假设我们有一个边长为s的正方体。
我们将使用平分切割法将正方体的一个面平分为4个小正方形区域。
研究性学习 正方体的截面
陕西省商洛中学数学研究性学习结题报告课题：正方体截面问题班级：高一年级十九班小组：数学兴趣小组指导老师：阮涛组长：李文涛廉育杰王龙赵琦范宇坤刘永强屈宁波寇煜辉大题小做：问题1：什么叫几何板的截面？答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。
问题2：截面的边是如何得到的？答：截面的边是平面和几何体各面的交线。
问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。
如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？答：因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。
所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
探究1：截面图为三角形时，有几种情况？1.是否可以截出等腰三角形：（1）解析:如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是以为bc底的等腰三角形，那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。
所以，截到等腰三角形的情况存在。
（2）做法：在一棱AA’上取a在棱AB.AC上取Ab.等于Ac.就可得到以bc为底的等腰三角abc。
（3）证明:因为角bAa等于角cAa，Aa边公用，Ab等于Ac，所以三角形全等于三角形。
所以ba等于ca,所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。
2.是否可以截出等边三角形:（1）解析一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，只要三角形aAb,aAc,bAc两两全等就可以得到。
所以，截到等边三角形的情况存在。
（2）做法：在棱AA’,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形。
（3）证明:因为Aa等于Ab等于Ac，角bAa等于角cAa,所以，三角形bAa全等于三角形cAa。
所以ab等于ac。
同理可证ba等于bc,ca等于cb。
所以三角形是等边三角形。
3.是否可以截出直角三角形：解析：若一正方体被一平面截后角acb是直角，那么就有：ac2+cb2=ab2.因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2;因为角adc是直角，所以ac2=ad2+cd2;因为角bdc是直角，所以bc2=db2+cd2.所以ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.化简后得2cd2=0.所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。
正方体截面的探究
正方体截面的探究教学设计无为县襄安中学李向林背景介绍为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。
2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。
3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。
4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。
在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。
考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。
因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。
为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。
教材分析《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。
本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。
新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。
正方体的截面
正方体的截面引言截面是指一个物体被一个平面所切割后的形状。
正方体是一个具有六个相等的正方形面的立方体。
在本文中，我们将讨论正方体的截面形状和性质。
正方体的基本概念正方体是一种特殊的立方体，具有六个相等的正方形面。
它的每个面都与其他三个面相邻，形成直角相交。
正方体的边长被定义为所有正方形面的边长。
正方体的截面形状正方体的截面形状取决于截割平面的方向和位置。
根据截面与正方体边长的相对位置，可以将截面分为以下几种情况：1. 水平截面当截割平面与正方体的底面平行时，截面为一个正方形。
正方形的边长等于正方体的边长。
2. 垂直截面当截割平面与正方体的一个侧面平行时，截面为一个长方形。
长方形的边长等于正方体的边长，而宽度则取决于截割平面与正方体的相对位置。
3. 平面截面当截割平面与正方体的一个角相交时，截面为一个不规则多边形。
多边形的形状取决于截割平面的位置和角度。
4. 对角线截面当截割平面通过正方体的两个相对角点时，截面为一个菱形。
菱形的对角线为正方体的对角线。
5. 中心截面当截割平面通过正方体的中心点时，截面为一个正六边形。
正六边形的边长等于正方体的边长。
正方体截面的性质正方体的截面具有一些特殊的性质，这些性质可以用来解决一些几何问题。
以下是一些常见的性质：1. 截面面积正方体的截面面积取决于截割平面的形状和位置。
对于水平和垂直截面，其面积等于正方体的底面积。
对于其他类型的截面，其面积可以通过几何计算方法进行求解。
2. 截面形状对称性正方体的截面形状具有一定的对称性。
例如，水平和垂直截面是关于正方体的中心点对称的。
对称性可以帮助我们简化计算和分析截面的性质。
3. 截面相对位置正方体的截面相对位置可以用来确定截面之间的关系。
例如，两个水平截面之间的距离等于正方体的高度。
总结正方体的截面形状和性质是几何学中的重要概念。
通过研究截面，我们可以更好地理解正方体的结构和特性。
了解正方体截面的形状和性质对于解决几何问题和应用数学都具有重要的意义。
数学探究活动(一)：正方体截面探究+课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版选择性必修一
力与空间想象能力，积累数学活动经验，培养探究意识，提升数学核心素养。
重难点
重点：1.将实物模型抽象为数学模型，重点探究截面是三角形，四边形情况；
2.对特殊截面情形给出严谨证明。
难点：在每类截面图形中，具体截面形状如何，又如何给出科学严谨的论证。
数学核心素养
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理。
03
教学过程
谈到数学给人的感觉就
是抽象和枯燥,而数学原本来
源于生活,下面请欣赏一段视
频,感受生活中数学之美.
情境引入
源自生活，情境引入
截面：是指用一个平面去截一个几何体得到的平面图形.
课堂探究，展示交流
正方体截面的形状特征
（1）如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形（分
例1、如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过两点M，N作正方体的
截面，则截面的形状可能为（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】B D
例1、如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过两点M，N作正方体的
截面，则截面的形状可能为（
）
【分析】由正方体的对称性即可得解，如图所示
深度挖掘，继续探究
别按边、角分类）？
（2）你认为可以截出几类不同的四边形？
（3）能截出什么特征的五边形、六边形？
合理猜想，严谨论证
猜想1：截面三角形不可能是直角三角形、钝角三角形.
交流分享，理性推证
试证明：截出的三角形一定是锐角三角形。
D1
C11
2
2
2
则MN 2 a 2 b2，
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正方体的截面问题研究报告
研究报告：正方体的截面问题
一、引言：
正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个问题是关于正方体的截面问题，即在不同位置和方式截取正方体，观察其截面形状和特征。
本研究报告将对正方体的截面问题进行研究和分析。
二、研究目的：
1. 研究正方体的截面形状及特征。
2. 探索正方体的不同截面位置和方式对截面形状的影响。
3. 分析正方体的截面特性与其它几何形体的关系。
三、研究方法：
通过数学分析与计算机模拟相结合的方式进行研究。
首先，研究者将正方体进行截面，观察并记录截面形状、面积和其他特征。
然后，通过数学模型和计算机模拟，研究者将确定各种截面形状的数学方程，并分析其特性和关系。
四、实验过程与结果：
1. 实验过程：
研究者首先在正方体的不同位置划定截面平面，包括水平截面、垂直截面和倾斜截面。
然后，使用切割工具在规定的截面平面上进行截取操作，获得正方体的截面。
最后，通过测量和计算，记录截面的形状、面积及其他特征。
2. 实验结果：
不同位置和方式的截面形状各不相同。
水平截面和垂直截面一般为正方形，但大小和位置不同。
而倾斜截面则为一种四边形，具有奇特的形状。
截面的面积也因位置和方式的不同而有差异。
五、分析与讨论：
1. 正方体的截面形状与其位置和方式密切相关。
对于水平和垂直截面，截面形状为正方形，且大小和位置相对稳定。
而倾斜截面则更具变化性，形状可能是一种特殊的四边形。
2. 正方体的截面特性与其他几何形体有一定的关系。
在特定的截面位置和方式下，正方体的截面形状可能与柱体、圆柱体等具有相似的形态。
3. 正方体的截面问题与数学几何有密切关系，通过研究正方体的截面形状和特性，可以深入理解几何形体的性质，丰富几何学科的研究。
六、结论：
通过对正方体的截面问题进行研究和分析，我们发现正方体的截面形状与其位置和方式密切相关，同时也与其他几何形体具有一定的关系。
正方体的截面问题在数学几何研究中具有一定的重要性，对于深入理解几何形体的性质具有积极的作用。