椭圆典型例题

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，

椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，

椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴333

1-=

e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列

含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22

2112a

a x x x M +=+=，2

111a x y M M +=-=， 4

1

12===

a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭

⎫

⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的

距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．

证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a AF =

-12

， ∴ 115

4

5x ex a AF -=-=． 同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

1854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-

x x ， 即 821=+x x ．

（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭

⎫

⎝⎛

+2421

y y ，，所以它的垂直平分线方程为

()422

12

121---=

+-

x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得

()

2122

21024x x y y x --=-

又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，

∴ ()212

125259

x y -=

(

)

2

2222525

9x y -= ∴ ()()21212

22125

9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25

3640-

=-x ∴ 4

5

40

590=--=x k BT

．

典型例题五

例5 已知椭圆

13

42

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1=

e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

11121

2x ex a MF -

=-=， 11221

2x ex a MF +=+=．

∵212

MF MF MN

⋅=，

∴()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=+112

12122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ．

解之得41-=x 或5

12

1-

=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设()

θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k

k

k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．