10平方差公式 立方和与立方差公式
数学北师大版七年级下册立方和与立方差公式
和公式计算。
A）① B）② C）③ D）②③
例2 计算 (a1)(a2a1)
A） a 3 1 B） a 3 1
C） a 3 1
D） a 3 1
1）计算 (x5)(x25x25)=（ ）
A） x3 125 B） x3 125
22ababaababbababababaabbababaabbabmnmmnnmnmnmnyxxy1对于上式的计算有以下几种说法你认为那几种合理不符合立方和或立方差公式的特征因此只能用多项式的乘法法则进行运算
立方和与立方差公式
平方差公式： 文字表述：两数的和与这两数的差的
积等于这两个数的平方差.
A） a
B） b
C） a b
2） (a b（) ）= a 3 b 3
A） a 2 b2
B）a2 abb2
C）a2 abb2
D）a22abb2
立方和与立方差公式：
文字表述：两数的和（或差）乘以它 们的平方和与它们的积的 差（或和），等于这两个 数的立方和（或差）.
字母表示：(a b )(a 2 a b b 2 ) a 3 b 3
A）(mn)(m 22m nn2) B）(mn)(m2mnn2)
C）(m 2n)(m 24n22m n)
D）(m 2n)(m 22m n4n2)
2、下列计算正确的是（ ）
A）(xy)(x2xyy2)x31y3
2
4
8
B）(x2 y)(x21 2xy4 y2)x31 2y3
2）x(x 1 )2(x2x 1 )(x 1 )
C） x3 75 D） x3 125
例3 计算 ( a 2 b ) ( a 2 b ) ( a 2 2 a b 4 b 2 ) ( a 2 2 a b 4 b 2 )
乘法公式
平方差：（a+b)(a-b)=a方-b方完全平方1:(a+b)的平方=a的平方+2ab+b的平方完全平方2:(a-b)的平方=a的平方-2ab+b的平方三数的平方：（a+b+c)的平方=a的平方+2ab+b的平方+2bc+c的平方+2ac两数立方1：（a+b）的立方=a的立方+2a的平方b+2ab的平方+b的立方两数立方2:（a-b）的立方=a的立方-2a的平方b+2ab的平方-b的立方a的平方+b的平方=(a+b)的平方-2ab=(a-b)的平方=2ab立方和：（a+b）（a的平方-ab+b的平方)立方差：（a-b）（a的平方+ab+b的平方)分式方程的解法::①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤（移项,合并同类项,系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根.否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是曾根,则原方程无解.如果分式本身约了分,也要带进去检验.在列分式方程解应用题时,不仅要检验所的解是否满足方程式,还要检验是否符合题意因式分解1提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）运用公式法①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+…-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)3分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.4拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形十字相乘法①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2＋（p q）x ＋pq＝（x＋p）（x＋q）②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）a \---/b ac＝k bd＝nc /---\d ad＋bc＝m例如把x^2-x-2=0分解因式因为x^2=x乘x-2=-2乘1x -2x 1对角线相乘再加=x-2x=-x 横着写(x-2)(x+1)。
初中数学必备公式
初中数学必备公式初中数学是建立在小学数学基础之上的，具有一定难度和抽象性质的学科。
在学习初中数学过程中，公式是必不可少的工具。
掌握了必备公式，可以帮助学生更好地理解数学概念，解决问题，提高解题能力。
下面将详细介绍一些初中数学必备公式。
1. 平方差公式(a+b)² = a² + 2ab + b²这是最常用的平方差公式，表示两个数相加后的平方可以展开为该数的平方、两倍乘积和另一个数的平方。
这个公式在解方程、因式分解等方面都有广泛应用。
2. 二次根式的加减法公式√a ± √b = √a ± √b二次根式的加减法公式用于化简含有二次根式的方程或表达式。
当二次根式内的数相同的时候，可以直接计算；当二次根式内的数不相同时，只能进行合并或拆分。
3. 三角函数的定义正弦函数：sinθ = 对边/斜边余弦函数：cosθ = 临边/斜边正切函数：tanθ = 对边/临边这些是最基本的三角函数定义公式，用于描述角度和三角形的关系。
通过这些公式，可以计算任意角的正弦、余弦和正切值。
4. 同角三角函数关系sinθ = 1/cscθ，cosθ = 1/secθ，tanθ = 1/cotθ这个公式描述了同一个角度的正弦、余弦和正切函数之间的关系。
通过这个公式，可以方便地计算三角函数的值。
5. 三角函数的和差化积公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这个公式用于将两个三角函数的和或差表示成乘积的形式。
它在三角恒等式的证明中非常常用。
6. 三角函数的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式用于将一个角的三角函数表示成两倍角的三角函数形式。
立方和与立方差公式
第一阶梯???[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：???(1)(2x+3y)(2x-3y)??????(2)(1+2a)(1-2a)????(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)??(4)(-a2-b2)(b2-a2)???提示：???刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y)=（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
???参考答案：???(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2???(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2???(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4???(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4???说明：???平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：???（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
???（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：???①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式???②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
???[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
ok立方和立方差
平方差公式公式： ( a+b)(a-b)= a 2-b 2两数的 和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差 ，公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）(a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b填空：1、(2x-1)( )=4x 2-12、(-4x- 7y )( -4x)=16x 2-49y 2第一种情况：直接运用公式( 2a+3b)(2a-3b) (1+2c)(1-2c) (-x+2)(-x-2) (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便1998×2002 498×502 30.8×29.2 （100-13）×（99-23）第三种情况：两次运用平方差公式（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) (a+2)(a-2)(a 2+4) (x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式（-2x-y ）(2x-y) (y-x)(-x-y) (b+2a)(2a-b) (a+b)(-b+a)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ，(a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=一、计算下列各题2)21(b a + 2)12(--t 2)313(c ab +- 2)2332(y x +二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a （4）)3)(3(-+++b a b a（5）)2)(2(-++-y x y x （6）)3)(3(+---b a b a立方和及立方差公式a 3+b 3 ＝(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3－b 3＝(a －b)(a 2+ab+b 2)(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)；1.填空，使之符号立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-82 填空，使之符号立言和或立方差公式：(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)( )(41x 2-xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是 [ ]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1)5 计算：(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)；（3）(2x-5)(4x 2+25+10x)(4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y)(6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)（7）(1+4x)(16x 2+1-4x)；(8)(x-1)(x 2-x+1)；(9)(a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)；(10)(a-3)(a 2+3a-9)3311b a -）（ 3312b a +）（ 33813b a -）（164143-x ）（ 332715y x -）（ 38116x +）（33812517y x -）（66318x y x -）（ 63320z x y +）（。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
立方和与立方差公式
3n
3n
B） x ）
y
3n
C） x3n + 75y 3n ） D） x + 125y ）
3n 3n
例2 计算 ( a 1)( a
2
a + 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 对于上式的计算有以下几种说法， 种合理（ 种合理（ ） 不符合立方和或立方差公式的特征， ①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。 用多项式的乘法法则进行运算。 直接用立方差公式计算， 相当于公式中的“ ②直接用立方差公式计算， a相当于公式中的“a ”， 1”相当于公式中的 ” 相当于公式中的“ “1”相当于公式中的“b 。 将第一个因式变为“ ③将第一个因式变为“ ( a + b)”后，然后用立方 和公式计算。 和公式计算。
3
2 2
B）( a b)( a + b +L) ） C） C）( a + b)( a + b +L)
2 2
Q (a b)(a + b ) = a + ab a b b
2 2 3 2 2
3
∴ (a b)(L) = a b ab
2
2
A） ）
a
B） b ） C） ab ）
) 2） ( a + b（ ）
3
x + 75
3
D） x + 125
3
例3 计算
(a 2b)(a + 2b)(a + 2ab + 4b )(a 2ab + 4b )
2 2 2 2
练习 计算 1 1）(3 x 2 y )(9 x + 6 xy + 4 y )(27 x 8 y )
10平方差公式_立方和与立方差公式[1]
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平方差公式完全平方公式立方和与立方差公式一、学习目标熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算二、学习要求1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。
2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。
三、例题分析第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2 -a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
立方和与立方差公式
第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)(4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
数学平方公式大全
数学平方公式大全平方公式是数学中常用的一类公式，它们在解决各种数学问题时起到了重要的作用。
下面是数学平方公式的一些常见公式：1. 二次平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数分别平方之后的和再加上这两个数的乘积的两倍。
2. 二次平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数分别平方之后的差再减去这两个数的乘积的两倍。
3. 立方和公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。
4. 立方差公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³这个公式表示了两个数的差的立方等于第一个数的立方减去三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再减去第二个数的立方。
5. 平方和公式：a² + b² = (a + b)² - 2ab这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数的和的平方减去两倍的两个数的乘积。
6.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数的和与差的乘积。
7. 完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²这个公式表示了一个完全平方等于两个相等的数相减后再平方。
8. 立方和展开公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。
人教版数学九年级上册(新)教案：21.2《公式法》
（2）平方差公式的适用范围：学生需要理解平方差公式仅适用于形如a²-b²的差平方形式，而不仅仅是数字，也可以是含有变量的表达式。
举例：解释为什么x²-y²可以因式分解为(x+y)(x-y)，而x²+y²则不能。
（3）立方和与立方差公式的复杂性：这些公式相对复杂，学生需要克服对立方项分解的恐惧，理解并掌握公式的结构。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法的基本概念。公式法是指利用已知的数学公式来简化代数表达式或解决方程问题。它是数学中非常重要的一环，可以帮助我们快速准确地解决各种数学问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，利用完全平方公式将x²+6x+9分解为(x+3)²。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
举例：如x²+6x+9的因式分解，应能迅速识别为(x+3)²。
（2）平方差公式的应用：关键是掌握a²-b²=(a+b)(a-b)公式的适用条件，能够解决形如x²-4、9x²-16等类型的因式分解问题。
举例：如x²-9的因式分解，应能迅速得到(x+3)(x-3)。
（3）立方和与立方差公式的理解：重点在于掌握a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)两个公式的推导和应用，能够处理相应的因式分解问题。
学生小组讨论的部分，我尝试让每个小组记录并分享他们的讨论成果，这样的方式既能促进学生之间的交流，也能让全班同学从中受益。但我也发现，部分学生在表达自己的观点时还不够自信，可能是因为他们对知识的掌握还不够扎实。因此，我计划在接下来的课程中，多给予学生表达的机会，鼓励他们大胆地说出自己的想法。
人教版数学八年级上册：14.3.2公式法(教案)
-对于完全平方公式的应用，难点在于如何引导学生从(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9中抽象出通用的公式。
-在解决如x^3 - 8 = 0的问题时，难点在于如何指导学生使用立方差公式(x - 2)(x^2 + 2x + 4)来求解。
-针对复杂的表达式如(x + 1)^2 - (x - 2)^2，指导学生如何先使用完全平方公式展开，再应用平方差公式简化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，比如立方和与立方差公式的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与公式法相关的实际问题，如计算长方形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过实际构建完全平方公式中的图形来直观感受其结构。
2.教学难点
-难点内容：
-对完全平方公式的理解和记忆，尤其是a^2 ± 2ab + b^2与(a ± b)^2之间的转换。
-在实际问题中识别和应用平方差公式，特别是当a和b不是直观的数值时。
-立方和与立方差公式的应用，因为它们的结构相对复杂，学生可能难以把握。
-在混合运算中，如何选择合适的公式来简化计算，避免不必要的错误。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
立方和与立方差公式
第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)(4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
完全平方公式及平方差公式
乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ ab＋ ab－ b2＝ a2－b 2，所以 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ b2.【例 1】利用平方差公式计算．(1)(2a＋ 3b)(－ 2a＋ 3b)；(2)503 × 497.2．完好平方公式(1)两数和的完好平方公式：(a＋ b)2＝ a2＋ 2ab＋ b2；两数差的完好平方公式：(a－ b)2＝ a2－ 2ab＋ b2.析规律完好平方公式的特色完好平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例 2】计算：(1)(4m＋ n)2；1(3)(－ a－ b)2；(4)( －2a＋1b)2.(2)(y－ )2；2 23．添括号法规法规：添括号时，若是括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；若是括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法规的易错点添括号时，若是括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不能只改变部分项的符号，如：a－ b＋ c＝ a－ (b＋ c)，这样添括号时可是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例 3】填空： (1)(x－ y＋ z)(x＋y－ z)＝[x－ ()][x＋ ()]；(2)(x＋ y＋ z)(x－ y－z)＝[x＋ ()] [x－()]．【例 4 】如，在 a 的正方形中剪去一个 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分算两个形阴影部分的面，了公式__________．【例 6】察以下各式的律：12＋ (1 ×2)＋ 22＝ (1 ×2＋1)2；222＝ (2 ×3＋1)2；2＋ (2 ×3)＋ 332＋ (3 ×4)2＋ 42＝ (3 ×4＋1)2；⋯写出第 n 行的式子，并明你的．型一：巧用乘法公式型二：平方差与完好平方公式混用计算： 4x2114x2计算：a b c a b c 22种类三：完好平方公式在三角形中的运用例 3、已知△ ABC的三边长a,b,c 满足a2b2c2ab bc ac 0，试判断△ABC的形状种类四：利用乘法公式解方程(组 )2y 2x y x y例 4：解方程组x 24x3y2种类五：多项式的证明例 5：证明无论a,b 为何值，多项式a2b22a 6b12的值恒为正种类六：灵便运用乘法公式解题例 6、计算1-11-11-1K 1111 224292102 23拓展：三项完好平方公式： a b c 2a2b2c22ab 2ac2bc 二次三项式：x a x+b x2 a b x ab立方和公式：a3b3 a b a2ab b2立方差公式：a3-b3a b a2+ab b21、若x 3 x 4x2px+q, 那么 p, q的值分别是2、若ax b x 2x2b 4,则 ab3、如x m 与 x 3 的乘积中不含 x的一次项，则 m的值为4、已知a2 a 5 0,则 a 3 a+2 的值是5、已知实数a,b满足 a b 21, a b 225,则a2b2ab6、将代数式x26x 2化成x p 2q的形式为7、若x2+2ax16是一个完好平方张开式，则a的值是________-8、已知x216x k是个完好平方式，则常数k的值为_______9、若x y 5xy 62则 x2 y2 = ___________-0,111210、已知x4,求 x2和 x的值x x2x11、知实数 a,b 满足a b 2 1, a b 2 25,则a 2 b 2 ab课后练习1.以下各式中，相等关系必然成立的是（）A.(x － y) 2＝(y － x)2－ 6) ＝ 2－6B.(x+6)(x xC.(x+y)2＝ x 2+y 2+2xy 2－y 2＝(x+y)22.以下运算正确的选项是（）2 21 2 12 2 2A.(a+3) ＝a +9B.( x －y) ＝6x －3xy+y32＝1－2m+m 22－ y2－ ＝ 4－ y 4C.(1－ m)D.(x)(x+y)(x y) x3.将面积为 a 2的正方形边长增加 2，则正方形的面积增加了（）+4+44.以下多项式乘法中，不能够用平方差公式计算的是（）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y － 1 )( 1+2y)D.(3m －2n)(－ 3m － 2n)3 35.不等式 (2x －1)2－(1－3x)2＜ 5(1－x)(x+1)的解集是（）＞－＜－ ＞ ＜6.计算： (1)－ 5 y)(－ 5y －；(2)15 2 ×(－14 1)；7 73 3(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y － z)(y+z)］； (4)(a － 2b+3c)(a+2b － 3c).7.(1)已知 x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x －y)2，③x2+xy+y2的值 .(2)已知 a(a－ 3)－(a2－3b)＝9，求a2b2－ ab 的值 .21.计算：(1)(a2+1)(a2－ 1)－(－a2) ·a2；(2)(2a－ b)(2a+b)－(－3a－ b)(－ 3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－ 2y)2－4(2x－ y)(x－y).2.已知 (a+b)2＝7，(a－ b)2＝ 4，求 a2+b2和 ab 的值 .3.已知△ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2－ ab－bc－ac＝0，试判断△ ABC的形状 .4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－ 5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2 +3y－ 2)＝y2(y+3)(y－3).。
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平方差公式完全平方公式立方和与立方差公式一、学习目标熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算二、学习要求1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。
2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。
三、例题分析第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)(4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2提示：在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。
参考答案：(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2说明：1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：（1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);（5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)提示：先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。
参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8（2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)(3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4)(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2 )=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。
参考答案：（1）解法一：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= (x2-1)[(x2+1)2-x2]= (x2-1)(x4+2x2+1-x2)= (x2-1)(x4+x2+1)= (x2-1)[(x2)2+x2-1+12]= (x2)3-13= x6-1解法二：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= [(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)] =（x3+1）(x3-1)= (x3)2-12= x6-1（2）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = (a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]= (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)= (a2-b2)(a4+a2b2+b4)= (a2)3-(b2)3= a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= [（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]= (a3+b3)(a3-b3)= (a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。