第八章 图 (可平面图)讲解

9
8.7 可平面图 Planar Graphs
(c) e-v+2 =(e’+L)-(v’+(L-1))+2 =e’+L-v’-LLeabharlann Baidu1+2 =e’-v’+2+1 =r’+1 =r ∴定理成立
r’
Vi
e’
v’ Vj G’
L条边 (L-1)个点
G
10
8.7 可平面图 Planar Graphs
COROLLARY If G is a connected planar simple graph with e edges and v vertices, where v≥3, then e≤3v-6。
13
8.7 可平面图 Planar Graphs
③由欧拉定理：
2 e v 2 e e 3v 6 3
14
8.7 可平面图 Planar Graphs
例：证明K5图不是平面图 ∵ K5图中，v=5,e=10, 3*5-6=9≤10 ∴ K5图不为平面图 思考：证明K3,3不是平面图
16
8.7 可平面图 Planar Graphs
Elementary subdivision(初等细分) Removing an edge {u, v} and adding a new vertex w together with edges {u, w} and {w, v}
The graphs G1 and G2 are called homeomorphic(同胚) if they can be obtained from the same graph by a sequence of elementary subdivisions.
8.7 可平面图 Planar Graphs
1
8.7 可平面图 Planar Graphs
例：
有六个结点的图如上，
试问：能否转变成与其等价的，但没有任何相 交线的平面上的图？
结论：不能
2
8.7 可平面图 Planar Graphs
DEFINITION A graph is called planar(可平 面的) if it can be drawn in the plane without any edges crossing. Such a drawing is called a planar representation(平面表示) of the graph
17
8.7 可平面图 Planar Graphs
例：同胚图
18
8.7 可平面图 Planar Graphs
THEOREM A graph is nonplanar if and only if it contains a subgraph homeomorphic to K3,3 or K5.
19
15
8.7 可平面图 Planar Graphs
COROLLARY If G is a connected planar simple graph, then G has a vertex of degree not exceeding five.
COROLLARY If a connected planar simple graph has e edges and v vertices with v≥3 and no circuits of length three, then e≤2v-4.
EULER’S FORMULA Let G be a connected planar simple graph with e edges and v vertices. Let r be the number of regions in a planar representation of G. Then
11
8.7 可平面图 Planar Graphs
证明： ①∵G为简单连通平面图 ∴每一面至少用三条或更多条边构成，e总 =所有面 的边的总数。 因此边的总数 e总 ≥3r（ e总 包含重复计算的边）
12
8.7 可平面图 Planar Graphs
②∵一条边是在至多二个面的边界中， ∴各面的实际总边数一定有3r≤（ e总 ≤2e） 2 即 e r 成立 3
r=e-v+2.
7
8.7 可平面图 Planar Graphs
证明：用数学归纳法 ①归纳基础： 面数r=1，r=e-v+2成立。 面 数 r=2 ， G 为 一 多 边 形 ， 且 e=v=3 （e=v=4…）， 得e-v+2=3-3+2=r成立， 或e-v+2=4-4+2=r成立…；
8
8.7 可平面图 Planar Graphs
8.7 可平面图 Planar Graphs
Example: Determine whether the following graph is planar
20
8.7 可平面图 Planar Graphs
Example:
21
8.7 可平面图 Planar Graphs
Example:
22
3
8.7 可平面图 Planar Graphs
例：
4
8.7 可平面图 Planar Graphs
例：
5
8.7 可平面图 Planar Graphs
一个图的可平面表示把平面分割成一些面，包 括一个无界的面。包围每个面的边界的长度称 为面的次数，记为Deg(R)。
6
8.7 可平面图 Planar Graphs
②归纳步骤： 设图G’的面为r’时，r’=e’-v’+2成立。 证明面数为r=r’+1时，等式也成立。 (a)先构成图G’，其中点数为v’,边数为e’,面数为r’； (b) 在 G’ 中 ， 加 入 一 条 长 度 为 L 的 简 单 通 路 （ L≥1 ） , 且与 G’ 共有二个结点，从而使 G’ 变为 G；