弹性力学本构关系

本构关系
1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G 、λ、K 与 E 、μ的关系式；
2. 球量和偏量的本构方程。

对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。

一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：
当式中的自变量： εx 、εy 、εz 、 γyz 、 γzx 、 γxy 为小量时，可对其按Taylor 级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有
上式中（f 1）0表达了函数 f 1 在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。

而,,01 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x f ε表示函数 f 1 对应变分量的一阶偏导数，在小变形条件下，它们均为常数，这样可得一线性方程组：
上述关系式是胡克（Hooke ）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。

广义胡克定律中的系数C mn （m ，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个，但可以证明，只有21个常数独立。

如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，C mn 是坐标x ，y ，z 的函数。

但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。

这一条件反映在广义胡克定理上，就是C mn 为弹性常数。

对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，
对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。

对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。

正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。

1.极端各向异性体的弹性常数为21个。

2.具有一个对称面的各向异性材料
正交各向异性体：物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。

正交各向异性体的弹性常数为9个。

3.横观各向同性体
若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。

如：层状岩层、复合板材等。

横观各向同性体的弹性常数为5个。

4. 各向同性体：各向同性体的弹性常数仅为2个。

这两个常数可用弹性模量 E 和泊松比 μ 表示。

为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
C 11−C 12=2ν ;ν=G C 12=λ
体积应变：
体积弹性模量：
[]Θz y x 3
13
10=++=σσσσ
后文进行推导这个用体应变表示的方程
另一说法：
（2）物理方程的主应力形式
若将三个坐标轴方向设为三个主应力方向，则有：
表明：三个主应力方向与三个主应变方向重合。

3
）体积应力形式与体积弹性模量
)
(21z y x E
σσσμ
++-=
注：这里的e 就是体积应变θ
,0===xy zx yz τττ0
===xy zx yz γγγz
y x εεε++[])(2)(1z y x z y x E σσσμσσσ++-++=
令
μ
21-=
E
K —— 体积弹性模量
（4）物理方程的应变表示形式 将物理方程的基本形式中解出xy
zx yz z y x τττσσσ,,,,,将其用应变表示。

从中解出 σx ，有
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+=
x x e E
εμμμσ211
—— 用应变量表示的物理方程
进一步引入 拉梅常数
())
1(2,)
21(1μμμμ
λ+=
-+=
E
G E 则
方程中 λ 、G 称为Lame 系数。

至此，上面的结论得以验证
例：如图所示钢制圆柱，其直径为d ，外面套有一厚度为t 的钢制圆筒（圆柱和圆筒间无摩擦），沿圆柱
轴向施加均匀压力q ，求刚柱内的应力（E 、μ已知）。

ΘE e μ
21-=
e
E
Θμ
21-=
[])(1
z y x
x E
σσμσ
ε+-=[]
)()1(1
z y x x
E
σσσμσμ++-+=
[]
ΘE
x
μσμ-+=
)1(1
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=
e E
E x μ
μσμ21)1(1
讨论
（1）如果外筒为刚性筒，怎么办？ （2）如果是立方体外套刚性筒，怎么办？ （3）如果均匀压力q 变成集中力P ，有什么变化？ 总结 1本构方程
2．球量和偏量的本构方程：
体积弹性模量：
五个弹性常数： E 、μ、G 、λ、K ，只有两个独立。

注意：这里的K 和上面K 另一个定义二者意义差不多，但是有差别，差了三倍，
原因在于湖大固体力学版本的
中σ0是平均正应力[]Θz y x 3
1310=++=
σσσσ 而其他版本中e
E
Θμ21-=，因此两个版本中K 的定义不同， []Θz y x 3
13
10=++=σσσσ表示应力球张量，
而
e
E
Θμ21-=被定义为第一应力不变量，称为体积应力。