数列-高考文科数学单元测试题

单元质量测试(四)

时间：120分钟

满分：150分

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案 D

解析 由S 3＝6，知a 1＋d ＝2；由a 3＝0，知a 1＋2d ＝0，联立⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋d ＝2，

a 1＋2d ＝0，解得d ＝

－2．故选D ．

2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297 答案 B

解析 由等差数列的性质得2a 6＝27－a 6，所以a 6＝9，又S 11＝11a 6＝99．故选B ． 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝12，若a k ＝2－5

，则k ＝( )

A ．5

B ．6

C ．9

D ．10 答案 D

解析 设该数列的公比为q ，则由等比数列的通项公式可得，q 3

＝a 4a 1＝14，∴q ＝2－23

，

∴a k ＝a 1q

k －1

＝2·q

k －1

＝2－5，∴q

k －1

＝2－6

，∴2(k －1)3

＝6，∴k ＝10．

4．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1

x n ＋1

－1，则x 2018＝( ) A ．－1 B ．－12 C ．1

2 D ．1

答案 B

解析 将x 1＝1代入x n ＋1＝

1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1

x n ＋1

－1，得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2018＝x 2＝－1

2

．故选B ．

5．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝S 4，则S 8a 9

＝( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 A

解析 由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0．所以S 8＝8a 1＋8×7

2d

＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝

36d a 1＋8d ＝36d

9d

＝4．故选A ．

6．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2

n －1

B ．1

2

n －1

C ．23n －1

D ．32n －1 答案 D

解析 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以

S n ＋1S n ＝3

2

，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝32

n －1

．故选D ．

7．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( ) A ．－495 B ．765 C ．1080 D ．3105 答案 B

解析 由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765．故选B ．

8．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2

＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )

A ．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案 C

解析 ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *

，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2

＋λ(n ＋1)>n 2

＋λn ，化简得

λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3．故选C ．

9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 70 D ．S 15>0 答案 C

解析 因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大，即S n ≤S 7对一切n ∈N *

恒成立．可见A 错误；易知a 16

S 16＝S 15＋a 16

2(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝132

(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C

正确．

10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”

其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )

A ．一鹿、三分鹿之一

B ．一鹿

C ．三分鹿之二

D ．三分鹿之一 答案 B

解析 由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋2

3＝

53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B ．

11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

(1)构造数列1，12，13，14，…，1

n

；①

(2)将数列①的各项乘以n

2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．

则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 2

4 B ．(n －1)

2

4

C ．

n (n －1)

4

D ．

n (n ＋1)

4

答案 C

解析 依题意可得新数列为n 2，n 4，n

6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2

411×2＋

12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 2

41－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2

4·n －1n ＝n (n －1)

4

．故选C ． 12．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－

a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )

A ．－2

B ．－4

C ．2

D ．4 答案 D

解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4

q 2

－1＝[(q 2

－1)＋1]2

q 2

－1＝(q 2

－1)＋2＋1q 2－1

≥2(q 2

－1)·

1q 2

－1

＋2＝4(q 2

－1>0)，当且仅当q ＝2时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．