非线性大气动力学-duan1
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非线性大气非线性大气-海洋动力学 非线性地球流体力学) (非线性地球流体力学)
穆穆、胡非、李建平、段晚锁 中国科学院大气物理研究所
第一讲：引言(穆 穆、段晚锁)
确定性与随机性 动力系统(相空间,有限维,无限维) 线性系统与非线性系统 保守系统和耗散系统 动力系统的(不)稳定性 分叉和混沌。
第二讲、 第二讲、天气和气候系统的可 段晚锁) 预报性 (穆 穆、段晚锁 穆
Steady state Thermally-driven, TH Salinity-driven, SA Perturbation
Norm
Finite amplitude stability of the TH state
稳定性和分叉的关系
稳定性是研究动力系统解对初值的敏感 性。 分叉研究动力系统结构对控制参数的敏 感性。
平衡态(equilibrium)
不动点（与自身映像相同的点/定常解/定 常流） 周期轨道（周期解/周期流动） 吸引子（周围的轨线以它们为极限，并 最后趋于它们，只出现于耗散系统）
无穷维动力系统
2 ∂u ∂u ∂u =σ 2 +u ∂x ∂x ∂t u ( x, 0) = u ( x) 0
稳定性分析在大气、海洋 科学中的应用
Barotropic instability Baroclinic instablilitቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Symmetric instability Normal-mode analysis (正规模方法)
控制方程
两维正压准地转方程：
∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ( + − )∆ψ + β =0 ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
dξ a = ( β − U ′′) = 0 dy
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(1)
1.上述等式两边同时乘以复共轭:
ϕ 并在[0,1]上积分
′ (ϕ′ −k ϕ + ∫
2 0
1
β −U′′
U −c
2
ϕ)ϕdy = 0
′ U′ −β 2 ∫0 (ϕ′ +k ϕ + U −c ϕ )dy =0
1 2 2
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(2)
算子是非线性的系统（非线性的物理规 律作用）(Burger 方程)
∂u ∂u ∂ 2u =σ 2 +u ∂x ∂x ∂t u( x,0) = u ( x ) 0
∂P + J (Φ , P ) = 0 ∂t P = ∆Φ
保守系统
动力系统在演化过程中，总能量（体积 等）保持不变的系统。例如：
非线性大气和海洋动力学 引言
中国科学院大气物理研究所 穆 穆、段晚锁
内 容
确定性与随机性 动力系统(相空间 有限维,无限维 相空间,有限维 无限维) 动力系统 相空间 有限维 无限维 线性系统与非线性系统 保守系统和耗散系统 动力系统的稳定性 分叉和混沌
确定性系统
确定性系统：在该系统中，后面的状态 是由先前的状态按一固定规律演化而来。
混沌(Chaos)
表征一个动力系统的特性，在该系统中 绝大部分轨道显示出对初值的极端敏感 依赖性； 表征一个动力系统的特性，在该系统中 某些特殊的轨道是非周期的，但大多数 轨道是周期的或准周期的。
Lorenz 方程
Lorenz吸引子
Lorenz 系统
解对初值极端敏感性 存在非周期解 奇异吸引子 耗散系统
虚部：
∫
1
′ (U′ −β)ci U −c
2
0
ϕ dy =0
2
不稳定波要求：
1
ci ≠ 0
2
∫ U −c
0
′ U′ −β
ϕ dy = 0
2
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(3)
定理：基本流不稳定的必要条件是：速度剖面存在拐点 拐点
′′ Us −β =0 =0
或：绝对涡度的导数在区间内改变符号。 绝对涡度=-dU/dy+f
u = ∑ ai (t )ei ( x)
i =0
∞
线性系统
当（1）中的算子f(x,t)是线性算子时候， 称为线性系统，如f(x,t)=ax，a是常数
dx = ax dt x |t = 0 = x 0
dx = − ay dt dy = ax dt
非线性系统
(微分)动力系统（流、轨线）
dx = f ( x,t) dt x |t = 0 = x 0
解
x = ϕ (t , x0 ) = ϕt ( x0 )
流： ϕ : R × R n → R n 相空间： R n 轨线：过某一初值，解的随时间变化全体集合
x(t , x0 )
动力系统一般概念
重构相空间、 关联维和李雅普诺夫指数、 小波分析、 神经网络…
第六讲、大气湍流的非线性动 力学(胡非)
湍流与湍流现象、 湍流的不封闭问题、 泰勒统计理论、 科尔莫戈罗夫理论 、 湍流的相空间动力学
主要参考书： 主要参考书：
洛伦兹著（刘式达等译）：混沌的本质，气象出版社， 1997 丑纪范：大气科学中的非线性与复杂性，气象出版社， 2002 刘式达、刘式适：非线性动力学和复杂现象，气象出 版社，1989 黄思训、伍荣生：大气科学中的数学物理问题，气象 出版社，2001 亨利.N.波拉克:不确定的科学与不确定的世界,上海科 技教育出版社,2005 Tim Palmer and Renate Hagedorn,Predictability of Weather and Climate,Cambridge University Press,2006
平面平行流假设下，线性化小扰动方程
∂ ∂ ∂ψ ′ ( + U )∆ψ ′ + ( β − U yy ) =0 ∂t ∂x ∂x
Rayleigh方程
正规模方法
′ = ϕ ( y ) e ik ( x − ct ) ψ
β −U′′ ′ 2 ϕ ϕ =0 ′ −k ϕ + U −c ϕ(0) =ϕ(1 = 0 )
混沌和非线性科学Lorenz, 1965 混沌和非线性科学
|ΔxT |=14.743
|Δx0 |=0.000114
Lorenz奇怪吸引子→解对初值的极端敏感 奇怪吸引子→ 奇怪吸引子 性
Δt=0.01 T=3100 |ΔxT |/|Δx0 |=1.29x105 |
思考题
何种条件下可以用线性小扰动的近似？ 为什么要求特征值问题？而不是求解方 程？ 为什么在特征值问题中只需要求特征值？ 不需要求特征向量？ 为什么只关注最大特征值，不需要求所 有特征值？
Vt
V0
一些(不)稳定性现象（1）
一些稳定性现象（2）
unstable Stable
Lyapunov稳定性定义
任取 ε > 0 ∀t0 ∈ I , ∃δ (ε , t0 ), ∀x0 ,
当
x0 < δ (ε , t0 ) 对一切 t ≥ t0 , 有 x (t , t0 , x0 ) < ε
x2 δ(ε,t0) ε
可预报性的研究内容， 研究方法与意义 可预报性的分类与量化研究 可预报性研究举例：厄尔尼诺和海洋热 盐环流
第三讲：气候系统的全局分析理论 与应用 (李建平)
全局分析理论的基本概念、 全局分析理论的基本概念、 主要思想、研究内容 主要思想、 主要的理论成果（气候系统解的渐近行为） 主要的理论成果（气候系统解的渐近行为）
dx dt = −ay dy = ax dt
d 2 (x + y2 ) = 0 dt
∂P + J (Φ, P ) = 0 ∂t P = ∆Φ
∂ ( ∫ P 2dx ) = 0 ∂t Ω
耗散系统
相空间的有限体积的任何点集的映像都 是更小体积的点集。
dx = ax dt x |t = 0 = x 0
当参数连续变动时，非线性系统的拓扑 结构发生突然变化，则称系统出现分叉， 并称此时的参数为一个分叉值。 分叉研究的是结构稳定性问题，也就是 控制参数发生变化时，动力系统奇点数 目以及稳定性是否发生变化的问题。
2-box Model
Strength of the thermal forcing Strength of the freshwater forcing Ratio of the relaxation time of T and S to surface forcing
dx = f ( x, t ) dt x |t = 0 = x 0 f ( x, t ) 是一个确定性的映射（算子/函数），对于给定
的变量x和时间t，只有一个值与之对应。
随机性系统
1.后面的状态不由早先的状态完全按任何 固定的规律演变而来，即非确定性系统 。 2.后面状态的发生完全独立于前面的状 态 例子: 掷硬币 打靶 等等
全局分析理论的重要应用， 全局分析理论的重要应用，
包括气候系统的适应和演变、 包括气候系统的适应和演变、 方程组简化的算子约束原则、 方程组简化的算子约束原则、 大气的吸引子观等。 大气的吸引子观等。
第四讲：非线性误差增长理论 (李建平)
非线性局部Lyapunov指数； 天气和气候预报时效
第五讲 大气观测资料的非线性 胡非) 动力学分析 (胡非)
t x1
Lyapunov不稳定的定义
∃ε 0 , ∃t0 , 对于∀δ > 0, ∃x0 [∀x0 ], 虽然 x0 < δ , 但∃t1 > t0 , 使得 x(t , t0 , x0 ) > ε 0
x2 δ(ε,t0) ε
t x1
线性稳定性
来源于线性微分（偏微分）动力系统。 它是非线性动力系统的线性小扰动下的 近似。 利用了线性微分方程解的线性迭加原理 通过分析特征值来判断原来系统稳定性。 通过分析特征值来判断原来系统稳定性
由线性常系数微分方程组理论 判定平衡态的稳定性
一个例子
& x = x + 2y & y = 3x + 4 y
λ − 5λ − 2 = 0
2
1 2 A= 3 4
−5 + 33 −5 − 33 λ1 = , λ2 = 2 2
λ1 > 0，所以平衡态是不稳定的
分叉（bifurcation/分支/分歧）
穆穆、胡非、李建平、段晚锁 中国科学院大气物理研究所
第一讲：引言(穆 穆、段晚锁)
确定性与随机性 动力系统(相空间,有限维,无限维) 线性系统与非线性系统 保守系统和耗散系统 动力系统的(不)稳定性 分叉和混沌。
第二讲、 第二讲、天气和气候系统的可 段晚锁) 预报性 (穆 穆、段晚锁 穆
Steady state Thermally-driven, TH Salinity-driven, SA Perturbation
Norm
Finite amplitude stability of the TH state
稳定性和分叉的关系
稳定性是研究动力系统解对初值的敏感 性。 分叉研究动力系统结构对控制参数的敏 感性。
平衡态(equilibrium)
不动点（与自身映像相同的点/定常解/定 常流） 周期轨道（周期解/周期流动） 吸引子（周围的轨线以它们为极限，并 最后趋于它们，只出现于耗散系统）
无穷维动力系统
2 ∂u ∂u ∂u =σ 2 +u ∂x ∂x ∂t u ( x, 0) = u ( x) 0
稳定性分析在大气、海洋 科学中的应用
Barotropic instability Baroclinic instablilitቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Symmetric instability Normal-mode analysis (正规模方法)
控制方程
两维正压准地转方程：
∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ( + − )∆ψ + β =0 ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
dξ a = ( β − U ′′) = 0 dy
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(1)
1.上述等式两边同时乘以复共轭:
ϕ 并在[0,1]上积分
′ (ϕ′ −k ϕ + ∫
2 0
1
β −U′′
U −c
2
ϕ)ϕdy = 0
′ U′ −β 2 ∫0 (ϕ′ +k ϕ + U −c ϕ )dy =0
1 2 2
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(2)
算子是非线性的系统（非线性的物理规 律作用）(Burger 方程)
∂u ∂u ∂ 2u =σ 2 +u ∂x ∂x ∂t u( x,0) = u ( x ) 0
∂P + J (Φ , P ) = 0 ∂t P = ∆Φ
保守系统
动力系统在演化过程中，总能量（体积 等）保持不变的系统。例如：
非线性大气和海洋动力学 引言
中国科学院大气物理研究所 穆 穆、段晚锁
内 容
确定性与随机性 动力系统(相空间 有限维,无限维 相空间,有限维 无限维) 动力系统 相空间 有限维 无限维 线性系统与非线性系统 保守系统和耗散系统 动力系统的稳定性 分叉和混沌
确定性系统
确定性系统：在该系统中，后面的状态 是由先前的状态按一固定规律演化而来。
混沌(Chaos)
表征一个动力系统的特性，在该系统中 绝大部分轨道显示出对初值的极端敏感 依赖性； 表征一个动力系统的特性，在该系统中 某些特殊的轨道是非周期的，但大多数 轨道是周期的或准周期的。
Lorenz 方程
Lorenz吸引子
Lorenz 系统
解对初值极端敏感性 存在非周期解 奇异吸引子 耗散系统
虚部：
∫
1
′ (U′ −β)ci U −c
2
0
ϕ dy =0
2
不稳定波要求：
1
ci ≠ 0
2
∫ U −c
0
′ U′ −β
ϕ dy = 0
2
Rayleigh-Kuo(郭晓岚)定理(3)
定理：基本流不稳定的必要条件是：速度剖面存在拐点 拐点
′′ Us −β =0 =0
或：绝对涡度的导数在区间内改变符号。 绝对涡度=-dU/dy+f
u = ∑ ai (t )ei ( x)
i =0
∞
线性系统
当（1）中的算子f(x,t)是线性算子时候， 称为线性系统，如f(x,t)=ax，a是常数
dx = ax dt x |t = 0 = x 0
dx = − ay dt dy = ax dt
非线性系统
(微分)动力系统（流、轨线）
dx = f ( x,t) dt x |t = 0 = x 0
解
x = ϕ (t , x0 ) = ϕt ( x0 )
流： ϕ : R × R n → R n 相空间： R n 轨线：过某一初值，解的随时间变化全体集合
x(t , x0 )
动力系统一般概念
重构相空间、 关联维和李雅普诺夫指数、 小波分析、 神经网络…
第六讲、大气湍流的非线性动 力学(胡非)
湍流与湍流现象、 湍流的不封闭问题、 泰勒统计理论、 科尔莫戈罗夫理论 、 湍流的相空间动力学
主要参考书： 主要参考书：
洛伦兹著（刘式达等译）：混沌的本质，气象出版社， 1997 丑纪范：大气科学中的非线性与复杂性，气象出版社， 2002 刘式达、刘式适：非线性动力学和复杂现象，气象出 版社，1989 黄思训、伍荣生：大气科学中的数学物理问题，气象 出版社，2001 亨利.N.波拉克:不确定的科学与不确定的世界,上海科 技教育出版社,2005 Tim Palmer and Renate Hagedorn,Predictability of Weather and Climate,Cambridge University Press,2006
平面平行流假设下，线性化小扰动方程
∂ ∂ ∂ψ ′ ( + U )∆ψ ′ + ( β − U yy ) =0 ∂t ∂x ∂x
Rayleigh方程
正规模方法
′ = ϕ ( y ) e ik ( x − ct ) ψ
β −U′′ ′ 2 ϕ ϕ =0 ′ −k ϕ + U −c ϕ(0) =ϕ(1 = 0 )
混沌和非线性科学Lorenz, 1965 混沌和非线性科学
|ΔxT |=14.743
|Δx0 |=0.000114
Lorenz奇怪吸引子→解对初值的极端敏感 奇怪吸引子→ 奇怪吸引子 性
Δt=0.01 T=3100 |ΔxT |/|Δx0 |=1.29x105 |
思考题
何种条件下可以用线性小扰动的近似？ 为什么要求特征值问题？而不是求解方 程？ 为什么在特征值问题中只需要求特征值？ 不需要求特征向量？ 为什么只关注最大特征值，不需要求所 有特征值？
Vt
V0
一些(不)稳定性现象（1）
一些稳定性现象（2）
unstable Stable
Lyapunov稳定性定义
任取 ε > 0 ∀t0 ∈ I , ∃δ (ε , t0 ), ∀x0 ,
当
x0 < δ (ε , t0 ) 对一切 t ≥ t0 , 有 x (t , t0 , x0 ) < ε
x2 δ(ε,t0) ε
可预报性的研究内容， 研究方法与意义 可预报性的分类与量化研究 可预报性研究举例：厄尔尼诺和海洋热 盐环流
第三讲：气候系统的全局分析理论 与应用 (李建平)
全局分析理论的基本概念、 全局分析理论的基本概念、 主要思想、研究内容 主要思想、 主要的理论成果（气候系统解的渐近行为） 主要的理论成果（气候系统解的渐近行为）
dx dt = −ay dy = ax dt
d 2 (x + y2 ) = 0 dt
∂P + J (Φ, P ) = 0 ∂t P = ∆Φ
∂ ( ∫ P 2dx ) = 0 ∂t Ω
耗散系统
相空间的有限体积的任何点集的映像都 是更小体积的点集。
dx = ax dt x |t = 0 = x 0
当参数连续变动时，非线性系统的拓扑 结构发生突然变化，则称系统出现分叉， 并称此时的参数为一个分叉值。 分叉研究的是结构稳定性问题，也就是 控制参数发生变化时，动力系统奇点数 目以及稳定性是否发生变化的问题。
2-box Model
Strength of the thermal forcing Strength of the freshwater forcing Ratio of the relaxation time of T and S to surface forcing
dx = f ( x, t ) dt x |t = 0 = x 0 f ( x, t ) 是一个确定性的映射（算子/函数），对于给定
的变量x和时间t，只有一个值与之对应。
随机性系统
1.后面的状态不由早先的状态完全按任何 固定的规律演变而来，即非确定性系统 。 2.后面状态的发生完全独立于前面的状 态 例子: 掷硬币 打靶 等等
全局分析理论的重要应用， 全局分析理论的重要应用，
包括气候系统的适应和演变、 包括气候系统的适应和演变、 方程组简化的算子约束原则、 方程组简化的算子约束原则、 大气的吸引子观等。 大气的吸引子观等。
第四讲：非线性误差增长理论 (李建平)
非线性局部Lyapunov指数； 天气和气候预报时效
第五讲 大气观测资料的非线性 胡非) 动力学分析 (胡非)
t x1
Lyapunov不稳定的定义
∃ε 0 , ∃t0 , 对于∀δ > 0, ∃x0 [∀x0 ], 虽然 x0 < δ , 但∃t1 > t0 , 使得 x(t , t0 , x0 ) > ε 0
x2 δ(ε,t0) ε
t x1
线性稳定性
来源于线性微分（偏微分）动力系统。 它是非线性动力系统的线性小扰动下的 近似。 利用了线性微分方程解的线性迭加原理 通过分析特征值来判断原来系统稳定性。 通过分析特征值来判断原来系统稳定性
由线性常系数微分方程组理论 判定平衡态的稳定性
一个例子
& x = x + 2y & y = 3x + 4 y
λ − 5λ − 2 = 0
2
1 2 A= 3 4
−5 + 33 −5 − 33 λ1 = , λ2 = 2 2
λ1 > 0，所以平衡态是不稳定的
分叉（bifurcation/分支/分歧）