数电第一章 逻辑代数基础

各种表示方法间的相互转换
1、从真值表写出逻辑函数式（应用：设想功能，写出真值
表，再转换为函数）先“与”后“或”
第一步：使输出为“1”的所有输入的对应逻辑变量相与
（变量为1用原变量、变量为0用反变量）。
第二步：将上面所得的乘积项相或。
注意：函数式不是唯一的，上述方法写出的函数只是其中一种
例：（1110001100101.01）2=（1，1100，0110，0101.0100）
=（1C65.4）16 （2B5.E）16=（0010，1011，0101.1110）= （1010110101.111）2
思考题：八进制，四进制与二进制间的相互转换。
1.2 数值和码制
三、码制
什么叫BCD码？ P6 表1.2
关于逻辑函数
2。分析现有电路的功能
如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，输出
随输入变化。一一对应，是一种函数关系。这种函数关 系称为逻辑函数，写作：
Y=F(A，B，C，…)
逻辑函数的常用表达方法：
真值表、逻辑函数式、逻辑图（和卡诺图）
裁决电路
逻辑函数的表达方法
一、逻辑真值表（真值表）
i
mi (i 3,6,7)
1.3.5 逻辑函数的公式化简

逻辑函数的最简形式
定义：在函数式中
若其中包含的乘积项已经最少 每个乘积项里面的因子也不能再减少时
则称此逻辑函数式为最简形式。
利用摩根定理，可以实现与-或式与非-与非式。
1.3.5 逻辑函数的公式化简法

常用的化简方法
逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数的最小项之和形式
利用基本公式 A A 1 转换逻辑函数。 形式：Y mi 例子：
Y ABC BC ABC ( A A) BC ABC ABC ABC m6 m7 m3 m(3,6,7)
方法 并项法 公式
AB AB A
吸收法 消项法
消因子法 配项法
A AB A
AB AC BC AB AC， AB AC BCD AB AC
A AB A B
A A A，A A 1
采用公式化简法的要求
1.熟悉基本公式和常用公式；
0
1
1
1
Y A B
逻辑代数中的三种基本运算
三、非
若条件具备了，结果就不
会发生；条件不具备时，结 果一定发生。这种因果关系
A 0 1
Y 1 0
叫做逻辑非，又叫逻辑求反。
YA
复合逻辑运算
与非和或非
与非
Y A B
或非
Y A B
A
B
Y
A
B
Y
0
0 1 1
0
1 0 1
1
1 1 0
A 0 0
B 0 1
Y 0 0
条件都同时具备时，结果才 发生，这种因果关系叫做逻
辑与，又叫逻辑相乘。
1
1
0
1
0
1
Y A B
逻辑代数中的三种基本运算
二、或
在决定事物结果的诸条件
A 0 0
B 0 1
Y 0 1
中只要有任意一个满足，结 果就会发生，这种因果关系
叫做逻辑或，又叫逻辑相加。
1
1
1.3.2 若干常见公式
常用公式9（以小去大）
证明：
A A B A(1 B) A 1 A 右式
常用公式10（以原去非）
A A B A B
常用公式 11式（原非消余）
证明：
A B A C B C A B A C B C ( A A) A B AC A B C A B C A B(1 C ) A C (1 B) A B AC
定义
n
变量的个数 n=3，最小项个数为2 =8，每一项表示为mi。
重要性质：
在输入变量的任何取值下有且只有一个最小项的值为1。 全体最小项的“或”为1。 任意两个最小项的“与”为0。 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。
逻辑函数的两种标准形式
一、最小项
逻辑代数的三种基本运算
逻辑运算：电路系统中只有0和1两种状态，所以信号在进行
运算处理时，不是单纯的代数运算（加减乘除），而是逻辑 运算
介绍3种最基本的：与，或，非 模型：
输入 开关：1 闭合、0 断开； 输出 灯：1 亮、0 暗
逻辑代数中的三种基本运算
一、与
只有决定事物结果的全部
将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表
格，即可得到真值表。
逻辑函数的表达方法
二、逻辑函数式（逻辑表达式）
把输出与输入之间的逻辑关系写成与或非等运算式，
以便下一步用具体的电路资源来实现功能。
注意：函数式不是唯一的
即：同一个电路，同一种功能，可能有不同函数表达式。
三、逻辑图
将函数中各变量之间的运算关系用图形符号表示出来．
1.1 概述
1.1.1 数字量和模拟量
数字信号：该信号的变化在时间上和数量上都是不连续
的。跳跃的。采用0和1表示(只能判断有和没有）。 把工作在数字信号下的电子电路叫做数字电路。
模拟信号：该信号的变化在时间上或数值上是连续的。
把工作在模拟信号下的电子电路叫做模拟电路。 数字电路优点：数字信号只有“１”和“０”两种，对 精度要求不高，使得数字电路工作可靠，并适合于对数 字电路进行集成化
对偶式：对于任意一个逻辑式
，若将其中所有的“∙” 换成“+”，“+”换成“∙”， “0”换成“1”，“1”换
Y
成“0” ，则得到一个新的逻辑式 Y' ' Y 叫做 的对偶式。或者说 和 Y Y
偶式相等来完成。
，这个 就 Y' 互为对偶式。
应用：证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对
与反演式的区别：没有单个变量取反。
运算规则 逢2进1，1＋1＝10 基本运算 加、减、乘、除
1.3.4 逻辑代数的基本公式和基本定理
基本公式：
注意： 每个变量只有0、1两个状态； 逻辑运算没有进位； 所有的公式除了可用其他基本公式证明外， 全部可以用真值表证明。 0－1律，自等律，等幂律、互补律、分配律、 交换律、求反律
2.熟悉化简技巧；
3.能准确判断化简结果是否为最简与-
或表达式。 （对初学者有一定难度）
1.3.6 逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图表示法
一、表示最小项的卡诺图
定义 特点：循环邻接。在卡诺图中，几何位置相邻的最小项
在逻辑上应具有相邻性。
二到五变量最小项的卡诺图
（a）两变量（A、B）最小项的卡诺图 （b）三变量（A、B、C）最小项的卡诺图 （c）四变量（A、B、C、D）最小项的卡诺图 （d）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图
A B A B
B A
A B
( A B)( A B) AB AB A B
例题
写出逻辑函数式并化简成最简与或式
逻辑函数式的两种标准形式
前提：函数式的形式有很多种，也就是，根据同一个真值表
写出来的函数式可以不一样。但彼此之间一定是相等的。
一、最小项（任何函数式都可以写成最小项之和）
1.2 数值和码制
二、数制转换
N进制十进制转换
按权展开
110110.12 1 25 1 24 1 22 1 21 1 21 32 16 4 2 0.5 54.510
十进制二进制转换
整数：除2取余，依次得到二进制的低位到高位 小数：乘2取整，依次得到二进制小数的高位到低位。 （54.2）10=（ 110110.00110…）2运算精度取决于小数点后所取
0
0 1 1
0
1 0 1
1
0 0 0
复合逻辑运算
异或和同或
异或
Y AB AB
同或
Y AB AB
A
B
Y
A
B
Y
0
0 1 1
0
1 0 1
0
1 1 0
0
0 1 1
0
1 0 1
1
0 0 1
算术运算和逻辑运算
比较
算术运算
逻辑运算
符号
意义
0 、1
0、1表示数值大小
0、1
事物的两种对立状态 没有进位（1＋1＋…＋1＝1） 与、或、非
说明
余3码是其表示值加3 余3循环码是循环码加3
循环码每次只有一个变量发生变化，避免出现竞争冒险；
例题
区分8421码和普通的二进制 （1001 1001)2和（1001 1001）8421
（1001 1001）2 =27×1+24×1+23×1+20×1 =153 （1001 1001）8421 =（9 9 ）D =99
1.3.6 逻辑函数的卡诺图表示法
二、用卡诺图表示一个逻辑函数
把输出的1或0填入卡诺图中相应的最小项的空格
1.3.6 用卡诺图化简逻辑函数
一、合并最小项的规则
基本原理：相邻的最小项可以合并。若两个最小项相邻，
则可合并为一项并消去一对因子。
上下看AB，左右看CD：
BCD
哪个保持不变就保留，
1.2 数值和码制
一、数制
十六进制 (H)
代码：0，1，～，8，9，A(10)，B(11)，C(12)，D(13)，E(14)，
F(15)。
逢16进1。 权16i。
(3CD.F 2) H 3 162 12161 13160 15161 2 162 3 256 1216 131 15 0.0625 2 0.00390625 973.9453125
1.3.4 逻辑代数的基本公式和常用公式
基本公式
求反律- 摩根定理
A B A B A B
A B A B A B A B
A
B
A B
0 0 1 1
互补律
0 1 0 1
A A 0
1 1 1 0
1 1 1 0
A A 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以
另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。
代入定理的应用－－证明反演律的推广
代入定理的应用
逻辑代数的基本定理 2. 反演定理（求反）
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“∙”
换成“+”，“+”换成“∙”，“0”换成“1”， “1”换成“0”,原变量 换成反变量，反变量变 成原变量，则得到的结果就是 Y 。
演算规则：
先括号、然后乘、最后加，保持原式的运算顺序。
不属于单个变量上的反号应保留不变。
逻辑代数的基本定理
反演定理
摩根定理是反演定理的一个特例而已，故也称作反
演律。 例题
Y A B C D C 1
逻辑代数的基本定理 3 对偶定理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
1.2 数制和码制
一、数制
十进制 (D)
代码：0，1，～，8，9。 逢10进1。 权10i。
二进制 (B)
代码：0，1 逢2 进1 权2i。
(1011 .01) B 1 23 0 22 1 21 1 20 0 21 1 22 13.25
（最小项之和）
2、从逻辑式画出逻辑图（应用：把函数用电路来实现）
用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑
图。
四、各种表示方法间的相互转换
3、从逻辑图写出逻辑式（应用：已经有一个实现电路，写
出函数式，化简，判断它的功能）
从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式
A B
A B
例：求取下列逻辑式Y 的 Y 和 Y '
Y A B C D C 1
Y ( A B) C D (C 0) Y ( A B) C D (C 0)
'
补充：建立逻辑函数及其表示方法
构建逻辑函数：根据功能构建函数
1。 以便用电路实现
位数。取3位为.001，取4位为.0011，取5位为.00110
1.2 数值和码制
二、数制转换
二进制十六进制转换
从小数点开始往前或往后4位二进制数转换为1位十六进制数， 位数不够前后补0,整数部分往高补，小数部分往低补。
十六进制二进制转换
从小数点开始往前或往后1位十六进制数转换为4位二进Байду номын сангаас数， 位数不够前后补0，整数部分往高补，小数部分往低补。