27.2 相似三角形的应用优秀课件
合集下载
27.2.2-相似三角形的判定(3)优秀课件
C’
B
第13页，共22页。
(2)
D
(4)
E A
E C
2、判断题：
基础演练
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
⑵ 所有的等边三角形都相似.
⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（ ）× （ ）√
（ ）√
（ ）×
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
第14页，共22页。
顶角相等
A
A'
B
C B' C'
第4页，共22页。
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
第5页，共22页。
C B' C'
直角三角形被斜边上的高分成的 两个直角三角形和原三角形相似。
第6页，共22页。
第7页，共22页。
A
D
B
C
例1.如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2
第8页，共22页。
例2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
E
A
D
将△DAE绕A点旋转
D
A
E
B
C
B
C
如何证明∠DEA＝∠C？
《相似三角形应用举例》相似PPT免费课件
探究新知
考点 2 利用相似三角形测物体的宽
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，
在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着
在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q
且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
求旗杆的高度.
E
C
FD
B
G
课堂检测
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF .
DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴ 0.5 0.25，
20 CA
A
解得：AC = 10，
AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.
答：旗杆的高度为 11.5 m.
D E
B
C
课堂小结
相似 三角 形的 应用 举例
利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
导入新知
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角 形的性质是什么？ 2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直 接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
导入新知
怎样测量 河宽？
相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为
201m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF.
怎样测出 OA的长？
27.2.1相似三角形的判定(2)课件2024-2025学年人教版数学九年级下册
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
三、注意该定理在三角形中的应用
四、平行于三角形一边的直线和其他两边(或延 长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的
相似三角形，并说明理由。
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
A
D E F
B
G H I
C
新知应用
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，
OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OA
OF OC
.
EF∥BC，
OF OC
OE ， OB
OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
符号语言：
∵DE//BC,
∴△ABC∽△A’B’C’
思考
如图 DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系？
方法一：过点E作EF//DB交BC 的延长线于F
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
27.2.3相似三角形应用举例(优质课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
DE BC EF BC
C．AB BC
DE EF
D．DABE
AC DF
例5 如图，为了估算河旳宽度，我们能够在河对岸选定一种目 旳点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直， 接着在过点S且与PS垂直旳直线a上选择合适旳点T，拟定PT与 过点Q且垂直PS旳直线b旳交点R．假如测得QS＝45m，ST＝ 90m，QR＝60m，求河旳宽度PQ．
2. 在处理某些不能直接度量旳物体旳高度或宽
度等测量类问题时，能够借助他物间接测量，这 时往往需要构造相同三角形来处理.
3. 我们把观察者眼睛旳位置称为视点，观察时 ，从下方向上看，视线与水平线旳夹角称为仰角.
4．相同三角形旳实际应用 (1)测量物高 利用“同一时刻旳物高和影长”
比例式为：DABE＝BECF.
FH AH FK CK
为这棵树旳遮挡，右边树 旳顶端点C在观察者旳盲
即 FH 8 1.6 6.4
FH 5 12 1.6 10.4
区之内，观察者看不到 它．
解得 FH＝8
利用相同来处理测量物体高度旳问题旳一般思绪 是怎样旳?
一般情况下，能够从人眼所在旳部位向物体作垂 线，根据人、物体都与地面垂直构造相同三角形 数学模型，利用相同三角形相应边旳比相等处理 问题．
池塘旳宽为36m．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度旳示 意图，点处放一水平旳平面镜，光线从点出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙旳顶端处，已知小
明身高1.6米，且测得BP=2米，PD=10米，那么该
古城墙旳高度是（ B ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
例6 已知左、右并排旳两棵大树旳高分别是AB＝6cm和CD＝ 12m，两树旳根部旳距离BD＝5m．一种身高1.6m旳人沿着正 对这两棵树旳一条水平直路 l 从左向右迈进，当他与左边较低 旳树旳距离不大于多少时，就不能看到右边较高旳树旳顶端点
C．AB BC
DE EF
D．DABE
AC DF
例5 如图，为了估算河旳宽度，我们能够在河对岸选定一种目 旳点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直， 接着在过点S且与PS垂直旳直线a上选择合适旳点T，拟定PT与 过点Q且垂直PS旳直线b旳交点R．假如测得QS＝45m，ST＝ 90m，QR＝60m，求河旳宽度PQ．
2. 在处理某些不能直接度量旳物体旳高度或宽
度等测量类问题时，能够借助他物间接测量，这 时往往需要构造相同三角形来处理.
3. 我们把观察者眼睛旳位置称为视点，观察时 ，从下方向上看，视线与水平线旳夹角称为仰角.
4．相同三角形旳实际应用 (1)测量物高 利用“同一时刻旳物高和影长”
比例式为：DABE＝BECF.
FH AH FK CK
为这棵树旳遮挡，右边树 旳顶端点C在观察者旳盲
即 FH 8 1.6 6.4
FH 5 12 1.6 10.4
区之内，观察者看不到 它．
解得 FH＝8
利用相同来处理测量物体高度旳问题旳一般思绪 是怎样旳?
一般情况下，能够从人眼所在旳部位向物体作垂 线，根据人、物体都与地面垂直构造相同三角形 数学模型，利用相同三角形相应边旳比相等处理 问题．
池塘旳宽为36m．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度旳示 意图，点处放一水平旳平面镜，光线从点出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙旳顶端处，已知小
明身高1.6米，且测得BP=2米，PD=10米，那么该
古城墙旳高度是（ B ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
例6 已知左、右并排旳两棵大树旳高分别是AB＝6cm和CD＝ 12m，两树旳根部旳距离BD＝5m．一种身高1.6m旳人沿着正 对这两棵树旳一条水平直路 l 从左向右迈进，当他与左边较低 旳树旳距离不大于多少时，就不能看到右边较高旳树旳顶端点
27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
感悟新知
特别解读
知4－讲
利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：
1. 利用平行线、标杆等构造相似三角形；
2. 测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一
组对应边的长度；
3. 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未
知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
4. 检验并得出答案.
感悟新知
综合应用创新
又∵ CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m， ∴C2M＝12.2，解得CM＝130 m. ∵ BC＝4 m，∴ BM＝BC＋CM＝4＋130＝232(m).
∴A2B2 ＝12.2，解得AB＝4.4 m. 故这棵树AB的高度是4.4 m. 3
综合应用创新
另解 如图27.2－49，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形
感悟新知
知1－讲
特别提醒 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： 1. 被测物体的底部能够到达； 2. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时
刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
示例
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.2－41，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根 已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔 的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB. 如果 O′B′＝1 m，A′B′＝2 m，AB＝274 m， 求金字塔的高度OB.
∴C2D＝132. ∴ CD＝8 m. 答：该古城墙CD的高度为8 m.
感悟新知
知3－练
3－1.[中考·南充] 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆 高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后 退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚 好在镜子中看到旗杆的顶端. 已知小菲的眼睛离地面的 高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m， 镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗 杆高度为( B ) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
相似三角形的应用课件
03
相似三角形在三角函数中应用
利用相似三角形推导三角函数公式
利用相似三角形的性质，推导 出正弦、余弦、正切等基本三 角函数公式。
通过设定相似三角形的边长比 例，进一步推导出和差化积、 积化和差等复杂三角函数公式。
结合相似三角形的性质和三角 函数定义，推导出三角函数的 半角公式、倍角公式等。
利用三角函数值求角度或边长
折射定律与相似三角形
在光的折射现象中，入射光线、折射 光线和法线构成相似三角形，可用于 计算折射角和折射率。
利用相似三角形解决力学问题
力的平行四边形法则与相似三角形
01
在力的合成与分解中，利用平行四边形法则和相似三角形可求
解合力或分力的大小和方向。
杠杆平衡原理与相似三角形
02
在杠杆平衡问题中，利用相似三角形可求解力臂和力矩，进而
利用相似三角形解决复杂几何图形问题
解决复杂几何图形中的线段长度问题
在一些复杂的几何图形中，可能难以直接求出某些线段的长度。但是，如果这些图 形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来求解这些线段的长度。
解决复杂几何图形中的角度问题
同样地，在一些复杂的几何图形中，可能难以直接证明某些角相等或互补。但是， 如果这些图形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来证明这些角 的相等性或互补性。
案例分析
例如，在分析某种商品的需求情况时，可以构建以价格为自变量、需求量为因变量的直角坐 标系。然后，通过绘制不同价格水平下的需求曲线，并利用相似三角形原理进行分析，可以 得出该商品的价格弹性以及不同价格水平下的需求量预测。
生物医学图像处理中特征提取技术
生物医学图像处理中的特征提取：在 生物医学图像处理中，特征提取是一 个重要的步骤，用于从图像中提取出 有意义的信息以进行后续的分析和诊 断。相似三角形在特征提取技术中发 挥着关键作用。
27.2.1相似三角形的判定课件(优秀课件)
你还能画出其 他图形吗？
D
B
A 即：
在△ABC中，
如果DE∥BC， E 那么△ADE∽△ABC
C
第十页，共45页。
相似具有传递性
C
E
M
A ND
B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△ADE∽△ABC
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
第十一页，共45页。
延伸
X型
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延
27.2.1相似三角形的判定课件(优秀课件)
第一页，共45页。
新课导入 A1
A
要把表示对应角顶点的字母
写在对应的位置上。
注意
B
C
B1
C1
在△ABC与△A1B1C1中
如果 ∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1，
AB BC AC K AB BC AC
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
那么
C1
△ABC∽△A1B1C1.
第三十三页，共45页。
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角相等）
✓ 平行于三角形一边的直线
✓ 三边对应成比例 （SSS） ✓ 两边对应成比例且夹角相等 （SAS）
✓ 两角对应相等
✓ 两直角三角形的斜（边AA和）一条直角边对应成比例
∴ AD AB k A1D1 A1B1
第三十页，共45页。
相似三角形对应中线的比等于相似比
A1
A
B
D C B1
D1
C1
AD AB k A1D1 A1B1
27.2.3相似三角形应用举例课件(共33张PPT)(共33张PPT)
A
B
D
C
E
如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸
选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,
使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC
和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60
米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
解: ∵ ∠ ADB = ∠ EDC
A
∠ ABC =∠ECD =900.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
温馨提示：
１、旗杆的高度是线
段 BC ；旗杆的高
度与它的影长组成什
么三角R形t△？ABC
（
）这个三
角形有没有哪条边可
以直接测量？
Ａ
6m
P
Q Rb
a
S
T
知பைடு நூலகம்要点
测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
如图:为了估算河的宽度,我们可以
在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的 这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E, 使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此 时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米, 求两岸间的大致距离AB.
毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
PE N
所以
AE
PN =
AD
BC
B Q DM C
因此
80–x =
x
，得 x=48（毫米）。答：-------。
80
120
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
B
D
C
E
如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸
选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,
使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC
和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60
米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
解: ∵ ∠ ADB = ∠ EDC
A
∠ ABC =∠ECD =900.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
温馨提示：
１、旗杆的高度是线
段 BC ；旗杆的高
度与它的影长组成什
么三角R形t△？ABC
（
）这个三
角形有没有哪条边可
以直接测量？
Ａ
6m
P
Q Rb
a
S
T
知பைடு நூலகம்要点
测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
如图:为了估算河的宽度,我们可以
在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的 这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E, 使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此 时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米, 求两岸间的大致距离AB.
毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
PE N
所以
AE
PN =
AD
BC
B Q DM C
因此
80–x =
x
，得 x=48（毫米）。答：-------。
80
120
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
相似三角形的应用课件初中数学PPT课件
相似三角形可以与三角函数、向量等知识点结合，解决更广泛的实际问题。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
27.2.2 相似三角形的性质 人教版九年级数学下册课件
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线 A
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′ ∴∠B＝∠B' ， AB k
A'B' ∴△ABD ∽△A' B' D'
（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ AD AB k
A'D' A'B'
BD
C
相似三角形的性质
——第二十七章相似
教学目标
01.掌握相似三角形对应高线、中线和角 平分线的比与相似比之间的关系 重点
02.理解并掌握相似三角形周长与面积的的 比与相似比之间的关系. 重点
03.能够运用相似三角形的性质解决相 关问题 难点
大家回忆一下相似三角形的定义是什么？
三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似.
AM AM
AB AB
k
由两角分别相等的两个三角形相
似，得△ABN∽△ABN ，再由相似 对 应 角 平 分 线 的
三角形的定义，得
AN AN
AB AB
k
比等于相似比
相似三角形的周长有什么关系呢？
解：如图 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 AB BC CA k， A'B' B'C ' C ' A'
应角相等，所以∠BB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相
A'
等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似，
然后由相似三角形的对应边成比例得到
AD AD
27.2.1 相似三角形的判定(第2课时)人教版九年级数学下册课件
思考：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
如图所示,已知在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.
求证△ABC∽△A′B′C′.
A
思路：作△ADE ≌ △A′B′C′.
证△ADE∽△ABC.
A'
D
E
△ABC∽△A′B′C′.
A'B' B'C ' A'C '
∴△ABC∽△A′B′C′
（三边成比例的两个三角形相似）
例题巩固： 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，
A′C′＝24cm.
(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm， A′C′＝6cm.
D
E
△ABC∽△A′B′C′.
B
C
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB BC AC .
求证：△ABC∽△A'B'C'.
A' B' B' C' A' C' A'
证明：在AB上取AD=A'B'，过点D作DE//BC，
交AC于点E ∵DE//BC ∴△ABC∽△ADE
B'A
∴ AD DE AE
解：(2)∵ AB ＝ 7 ， AC ＝14 ＝ 7 ，∴ AB ＝ AC .
A'B' 3 A'C ' 6 3
A'B' A'C '
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B
D
C
E
答： 两岸间的大致距离为100米．
在一时刻,一根1.8米长竹竿影长为3米,测得
练习 一楼的影长为60米,那么这楼的高度是多少米?
练习
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找 到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到 一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
27.2相似三角形的应用
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
Ｏ
怎样测量旗 杆的高度呢？
Ｏ′
ＡＢBiblioteka Ａ′Ｂ′河流的宽度如何求？
A
B
D
C
E
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．
A
解：因为 ∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
A
B
D
E
C
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈!你对这堂课的感受?
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体 的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题, 建立相似三角形模型,再利用对应边的比相等 来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
D
C
E
答： 两岸间的大致距离为100米．
在一时刻,一根1.8米长竹竿影长为3米,测得
练习 一楼的影长为60米,那么这楼的高度是多少米?
练习
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找 到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到 一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
27.2相似三角形的应用
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
Ｏ
怎样测量旗 杆的高度呢？
Ｏ′
ＡＢBiblioteka Ａ′Ｂ′河流的宽度如何求？
A
B
D
C
E
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．
A
解：因为 ∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
A
B
D
E
C
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈!你对这堂课的感受?
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体 的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题, 建立相似三角形模型,再利用对应边的比相等 来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.