龙格库塔方法及其matlab实现

+（ = f（ ， ）
+）
（10）
f（ + ，
）
= f（ + ，
= f（ +h，
）
这就是标准四阶龙格库塔公式 对实例的研究
利用龙格-库塔法求解方程
） n=0,1…N-1
少保留四位小数。
的数值，其中 h=，计算 y 的近似值。至
解：f(x，y)＝8－3y，利用四阶龙格-库塔公式有
）=－
当 x0＝0，y0＝2， y≈y1＝＋＝＋×2＝ y≈y2＝＋＝＋×＝
研究的方法
对实例的研究对比，实现精度的要求，龙格库塔是并不是一个固定的公式，所以只是对典 型进行分析
2. 龙格-库塔方法
龙格-库塔公式 在一阶精度的的拉格朗日中值定理有： 对于函数 y=f（x，y）
y'=f(x,y) y(n+1)=y(n)+h*K1
K1=f( , ) 这就是一阶龙格-库塔方法
形如
满足（5）式，若取 = ，则得到 =
则公式则恰为预估-校正法公式
若取 = ，则
f（ ， ） (6)
f（ + ，
由（5）式，可知龙格-库塔法不是唯的 三阶龙格-库塔法
） n=0,1…N-1
+h（
）
= f（ ， ）
（7）
f（ +h ，
）
= f（ +h ，
）
若，
，
，,
（ ）。类似二阶龙格-库塔法推导的
且满足 +
关键词：龙格-库塔 matlab 微分方程
1. 前言
：知识背景
龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭 代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于 1900 年左右发明。通常 所说的龙格库塔方法是相对四阶龙格库塔而言的，成为经典四阶龙格库塔法。该方法具有 精度高，收敛，稳定，计算过程中可以改变步长不需要计算高阶导数等优点，但是仍需计 算在一些点上的值，比如四阶龙格-库塔法没计算一步需要计算四步，在实际运用中是有 一定复杂性的。
龙格-库塔方法及其 matlab 实现
摘要：本文的目的数值求解微分方程精确解，通过龙格-库塔法，加以利用 matlab 为工具 达到求解目的。龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算 法，用于数值求解微分方程。MatLab 软件是由美国 Mathworks 公司推出的用于数值计算和 图形处理的科学计算系统环境。MatLab 是英文 MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩 写。在 MratLab 环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输 出、文件管理等各项操作。
Matlab 是在 20 世纪七十年代后期的事：时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的 Cleve Moler 教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用 LINPACK 和 EISPACK 库程序的“通俗易用”的接口，此即用 FORTRAN 编写的萌芽状态的 MATLAB。
经几年的校际流传，在 Little 的推动下，由 Little、Moler、Steve Bangert 合 作，于 1984 年成立了 MathWorks 公司，并把 MATLAB 正式推向市场。从这时起，MATLAB 的 内核采用 C 语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。
MATLAB 以商品形式出现后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的可靠性， 使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的 UMIST，瑞典的 LUND 和 SIMNON，德国的 KEDDC）纷纷淘汰，而改以 MATLAB 为平台加以重建。在时间进入 20 世纪九十年代的时 候，MATLAB 已经成为国际控制界公认的标准计算软件。
+（ = f（ ， ）=8-3
f（ + ，
）=
= f（ + ，
）=
+） = f（ +h，
n=0,1…N-1
y(n+1)=y(n)+h* =f（ ， ）
f（ 故二阶龙格-库塔公式
， h* i=2…r
y(n+1)=y(n)+h（ + ）
f（ ， ） (2)
f（
，
将 y（x）在 处展成幂级数
） h）
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y（ ）=y( )+h ( )+
( )+o（ ）
f（x，y（x））
（x，y（x））+ （x，y（x））·f(x，y（x）)
= ，，并使得局部截断误差为 o
+
=1
+
= （8）
+=
形如（7），常数满足（8），局部截断误差为 o（ ）的求解方法称为三阶龙格库塔法
在（8）式中若取
则得 = ， = ，
代入（7）中得三阶龙格-库塔法公式
1， =-1， =2
+（
）
= f（ ， ）
（9）
f（ + ，
）
= f（ +h ，
）
四阶龙格库塔法的推导类似于三阶龙格-库塔法，但相对复杂这里不再进行推 导，公式如下
到九十年代初期，在国际上 30 几个数学类科技应用软件中，MATLAB 在数值计算方面独占 鳌头，而 Mathematica 和 Maple 则分居符号计算软件的前两名。Mathcad 因其提供计算、 图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢迎。
研究的意义
精确求解数值微分方程，对龙格库塔的深入了解与正确运用，主要是在已知方程导数和初 值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。利用 matlab 强大的数 值计算功能，省去认为计算的过程，达到快速精确求解数值微分方程。在实际生活中可以 利用龙格库塔方法和 matlab 的完美配合解决问题。
y（ ）=y( )+hf+ (
)+ o（ ） (3)
将（2）式中的 在（ ， ）点展成幂级数
f（
， h）
=f+h + h
+ o（ ）
将 ， 代入（2）式，得
= +h（
）f
+h （
）+ o（ ）
对比（3）（4），当 y( )= 时
（4）
只有
（5）
形如(2)存在常数满足（5）式，局部截断误差为 o（ ）的求解方法称为二阶龙格-库塔 法。