一道解析几何题的研究与思考
立足解析几何本质教学——2021年北京高考第20题的思考
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７立足解析几何本质教学立足解析几何本质教学㊀㊀㊀ ２０２１年北京高考第２０题的思考Һ王㊀娜㊀（北京市八一学校，北京㊀１０００８０）㊀㊀ʌ摘要ɔ解析几何综合问题是高中数学的重点内容，主要考查的是用代数方法来解决几何问题，也是学生学习的难点内容．文章以２０２１年北京市高考第２０题为例，谈在课堂教学中如何引导学生从解析几何本质的角度解决解析几何综合问题，用以突破解析几何教学中的难点，培养学生的核心素养．ʌ关键词ɔ解析几何；几何特征；代数形式解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础．平面解析几何部分隶属 几何与代数 单元，是高中数学课程的主线之一．几何与代数的主要内容是用数㊁代数式㊁向量研究几何图形，在解析几何的学习中主要是运用代数式运算㊁向量运算研究圆锥曲线的几何特征㊁位置关系和度量关系．所以我们可以从三个角度来把握几何与代数的主线：第一，整体把握几何图形研究对象，将平面解析几何的重点放在对直线㊁圆㊁椭圆㊁双曲线㊁抛物线的几何特征的认识上．对平面解析几何的研究的顺序都是先研究单个几何对象，而后研究几何对象之间的关系．比如对圆的方程的研究就是先研究直线的方程㊁圆的方程，而后利用直线的方程㊁圆的方程研究直线和圆㊁圆与圆的位置关系．第二，整体把握几何图形研究的基本思想方法．解析几何的研究方法主要是坐标法，即通过动点运动的轨迹抽象出图形的几何特征，分析几何特征，再将几何特征在直角坐标系中进行优化，结合具体问题建立合适的坐标系，用代数语言刻画这些几何特征与问题，借助几何图形的特点，通过将几何特征转化为对应代数形式，对代数形式进行几何解释，逐步形成解决问题的思维路径，最终用代数形式的结果进行几何解释，从而解决问题．第三，整体把握代数基础，包括数的运算㊁代数式运算㊁向量运算，以及一些隐形运算．平面解析几何主要涉及的是代数运算，教师教学时要关注的是帮助学生在学习的过程中理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法．一㊁试题回顾已知椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）过点Ａ（０，－２），以四个顶点围成的四边形面积为４５．（Ⅰ）求椭圆Ｅ的标准方程；（Ⅱ）过点Ｐ（０，－３）的直线ｌ斜率为ｋ，交椭圆Ｅ于不同的两点Ｂ，Ｃ，直线ＡＢ，ＡＣ交ｙ＝－３于点Ｍ，Ｎ，若ＰＭ＋ＰＮɤ１５，求ｋ的取值范围．解答㊀（Ⅰ）由题意可知，ｂ＝２，２ａｂ＝４５，ʑａ＝５，ｂ＝２，ʑ椭圆Ｅ的标准方程为ｘ２５＋ｙ２４＝１．（Ⅱ）设直线ＢＣ：ｙ＋３＝ｋｘ，Ｂｘ１，ｙ１()，Ｃ（ｘ２，ｙ２），联立方程ｙ＋３＝ｋｘ，ｘ２５＋ｙ２４＝１，{整理得（４＋５ｋ２）ｘ２－３０ｋｘ＋２５＝０．ȵ直线ｌ交椭圆Ｅ于不同的两点Ｂ，Ｃ，ʑΔ＝（－３０ｋ）２－４ˑ（４＋５ｋ２）ˑ２５＞０，解得ｋ２＞１，即ｋ＞１或ｋ＜－１．此时，ｘ１＋ｘ２＝３０ｋ４＋５ｋ２，ｘ１ｘ２＝２５４＋５ｋ２．设直线ＡＢ为：ｙ＋２＝ｙ１＋２ｘ１ｘ，令ｙ＝－３，则ｘＭ＝－ｘ１ｙ１＋２，ʑＭ－ｘ１ｙ１＋２，－３æèçöø÷，同理，直线ＡＣ为：ｙ＋２＝ｙ２＋２ｘ２ｘ，令ｙ＝－３，则ｘＮ＝－ｘ２ｙ２＋２，ʑＮ－ｘ２ｙ２＋２，－３æèçöø÷．由题设得ｙ１＋２＞０，ｙ２＋２＞０，ｘ１ｘ２＞０，ʑｘＭｘＮ＝－ｘ１ｙ１＋２æèçöø÷－ｘ２ｙ２＋２æèçöø÷＞０，ʑ点Ｍ，Ｎ位于ｙ轴同侧．ʑＰＭ＋ＰＮ＝－ｘ１ｙ１＋２＋－ｘ２ｙ２＋２＝ｘ１ｙ１＋２＋ｘ２ｙ２＋２＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＋２（ｘ１＋ｘ２）（ｙ１＋２）（ｙ２＋２）㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７＝２ｋｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）（ｋｘ１－１）（ｋｘ２－１）＝２ｋｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｋ２ｘ１ｘ２－ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋１＝２ｋ２５４＋５ｋ２－３０ｋ４＋５ｋ２ｋ２２５４＋５ｋ２－ｋ３０ｋ４＋５ｋ２＋１＝２０ｋ４＝５ｋɤ１５，ʑｋɤ３，即－３ɤｋɤ３，综上，ｋ的取值范围为［－３，－１）ɣ（１，３］．二㊁试题教学过程从知识层面来看，题目考查的是椭圆和直线的位置关系，因此教师在教学过程中要用问题引导学生认识椭圆和直线以及位置关系的几何特征，帮助学生逐步将几何特征转化为代数形式，再利用代数形式的结果进行几何解释．对于题目的解决，教师可以设置如下问题．问题１：求椭圆方程需要知道哪些量？这些量有哪些几何特征？设计意图：让学生认识到椭圆曲线几何特征和椭圆方程代数表示的对应关系，体会方程和曲线之间的几何特征和代数形式的对应关系．从本题来说，通过对椭圆的几何特征的认识，学生可以意识到求出ａ，ｂ，ｃ中的两个量即可求出椭圆方程．在利用代数方法解决问题的过程中，需要两个方程来解决问题．ａ，ｂ，ｃ在椭圆曲线上都有具体的几何特征，学生在曲线的方程和方程的曲线的对应中，可以发现点Ａ（０，－２）即为短轴的端点，而另一个方程的找寻过程就是对 以四个顶点围成的四边形面积为４５ 的代数化过程，同样通过椭圆中ａ，ｂ的几何特征的解释，就可以得到代数化的式子：２ａｂ＝４５．通过对椭圆方程中的ａ，ｂ的几何特征和代数形式的对应关系的认识，学生可以顺利解决求椭圆方程的问题．问题２：经过点Ｐ（０，－３）的直线ｌ斜率为ｋ，如何用代数形式表示？直线有哪些特征？能得到哪些几何结论？如何用代数形式表示？设计意图：通过对直线方程的几何特征和代数形式的认识，引导学生将几何特征转化为代数形式，利用代数结论解释几何图形的性质．具体来说，学生通过对不同形式的直线方程的几何特征的认识，选择利用点斜式写出直线ＢＣ的方程ｙ＋３＝ｋｘ，通过分析题目中直线的几何特征发现直线ＢＣ的斜率一定存在，说明Ｂ，Ｃ两点不能与椭圆的上㊁下顶点重合，同时可以发现直线ＢＣ在绕着点Ｐ（０，－３）旋转的过程中，在与椭圆有两个交点Ｂ，Ｃ的情况下，其斜率ｋ是有限制的，从而利用椭圆方程与直线方程联立求得ｋ成立的取值范围．相应的代数表达的过程为：联立方程ｙ＋３＝ｋｘ，ｘ２５＋ｙ２４＝１，{整理得（４＋５ｋ２）ｘ２－３０ｋｘ＋２５＝０．ȵ直线ｌ交椭圆Ｅ于不同的两点Ｂ，Ｃ，ʑΔ＝（－３０ｋ）２－４ˑ（４＋５ｋ２）ˑ２５＞０，解得ｋ２＞１，即ｋ＞１或ｋ＜－１．问题３：对于 直线ＡＢ，ＡＣ交ｙ＝－３于点Ｍ，Ｎ 你能找出点Ｍ，Ｎ的位置吗？具有有哪些几何特征？如何用代数形式表示？设计意图：通过引导学生利用图形表示直线方程，帮助学生将题目中点Ｍ，Ｎ的几何特征转化为代数形式，即将点Ｍ，Ｎ代数化．本题中，通过画图，学生直观地看到点Ｍ，Ｎ的位置位于ｙ轴同侧，而且点Ｍ，Ｎ在ｙ轴左右两侧的情况是对称的．对于 点Ｍ，Ｎ的位置位于ｙ轴同侧 的代数形式是点Ｍ，Ｎ的横坐标乘积大于零，那么点Ｍ，Ｎ如何表示呢？教师引导学生设出点Ｂｘ１，ｙ１()，Ｃ（ｘ２，ｙ２），利用点Ｂ，Ｃ的坐标表示点Ｍ，Ｎ的坐标，相应的过程是：设Ｂｘ１，ｙ１()，Ｃ（ｘ２，ｙ２），设直线ＡＢ为：ｙ＋２＝ｙ１＋２ｘ１ｘ，令ｙ＝－３，则ｘＭ＝－ｘ１ｙ１＋２，ʑＭ－ｘ１ｙ１＋２，－３æèçöø÷，同理，直线ＡＣ为：ｙ＋２＝ｙ２＋２ｘ２ｘ，令ｙ＝－３，则ｘＮ＝－ｘ２ｙ２＋２，ʑＮ－ｘ２ｙ２＋２，－３æèçöø÷．由题设得ｙ１＋２＞０，ｙ２＋２＞０，ｘ１ｘ２＞０，ʑｘＭｘＮ＝－ｘ１ｙ１＋２æèçöø÷－ｘ２ｙ２＋２æèçöø÷＞０，ʑ点Ｍ，Ｎ位于ｙ轴同侧．需要说明的是，对于ｘＭｘＮ＞０这个不等式，教师要引导学生进行几何解释：对于 点Ｍ，Ｎ在ｙ轴左右两侧的情况是对称的 的代数解释是求出的斜率ｋ的取值范围也是关于ｙ轴对称的，这也为后继求斜率ｋ的取值范围提供了一定的参考．问题４： ＰＭ＋ＰＮɤ１５ 具有哪些几何特征？可㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７以转化为其他的几何特征吗？如何用代数形式表示？设计意图：通过问题引导学生从几何图形上找寻几何特征，并进行相应的转化，从而得到代数形式．具体来说，学生会通过画图找到ＰＭ，ＰＮ的具体位置，并尝试对两条线段的和小于等于１５进行其他的几何形式的转换，但是相应的转化都没有得到比表示出ＰＭ，ＰＮ线段的长度后直接相加更简单的几何特征．但是这一步是不可缺少的，几何特征的互相转化，转化的过程若能化繁为简，则对应的代数形式的表示也会变得简单，计算量也会相应减少．比较典型的是肖海英的‘新高考背景下的解析几何问题解题策略探究 以２０２１年高考数学新高考卷Ⅰ第２１题为例“中２０２１年高考数学新高考卷Ⅰ第２１题的解法３就是对几何特征的转化．相应的过程为：ＰＭ＋ＰＮ＝－ｘ１ｙ１＋２＋－ｘ２ｙ２＋２＝ｘ１ｙ１＋２＋ｘ２ｙ２＋２＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＋２（ｘ１＋ｘ２）（ｙ１＋２）（ｙ２＋２）＝２ｋｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）（ｋｘ１－１）（ｋｘ２－１）＝２ｋｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｋ２ｘ１ｘ２－ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋１，到这里学生意识到需要求出ｘ１＋ｘ２＝３０ｋ４＋５ｋ２，ｘ１ｘ２＝２５４＋５ｋ２才能解决问题，从而构造了关于斜率ｋ的不等式ｋɤ３，求出了－３ɤｋɤ３，将这个结果与判别式Δ＝（－３０ｋ）２－４ˑ（４＋５ｋ２）ˑ２５＞０的解集取交集，即可求出斜率ｋ的取值范围．三㊁教学反思解析几何的产生是为了使直观形象的 形 能借助抽象精准的 数 进行计算，其源头是坐标平面上的点与有序数对的一一对应．解析几何的教学也要遵循这样的原则，教师要让学生分析每一个几何特征，引导学生将几何特征化繁为简地表示为代数形式，在几何特征和代数形式互相转化的过程中，发现几何图形的特征，逐渐形成解决问题的思维，再通过几何直观和代数运算的互相转化，得到结果，给出几何解释．比如，在解决上述问题的过程中，教师通过问题让学生先分析单个几何对象的几何特征，即分析直线㊁椭圆的几何特征，而后分析几何对象之间的几何特征，即直线和椭圆交点的几何特征，引导学生将这些几何特征转化为代数形式．可以发现，解决问题的过程并没有按照所谓的套路 将直线方程和曲线方程联立，然后表示出判别式㊁两根和㊁两根积 ，而是根据几何特征代数化的需求逐步实现的．在完成了前述四个问题的过程中，学生就可以整理出解决问题的思维路径，进行几何直观和代数运算的转化，得到代数运算结果，并对应了几何解释．同时，对于几何特征的分析要全面，比如 点Ｍ，Ｎ在ｙ轴左右两侧的情况是对称的 在结果中也是有体现的，也是验证结果是否正确的依据．总之，在解析几何的教学过程中，教师所谓的通性通法应该处处体现的是解析几何本质．教师如果在教学中让学生理解几何特征和代数形式，并在研究问题的过程中不断加深理解，就能让学生在解决解析几何问题的过程中有法可依，增强解决问题的信心，同时在解决问题的过程中逐步培养学生的数形结合㊁化归转化等意识，最终培养学生的核心素养．结束语数学学科教学的根本任务是发展学生的思维，数学核心素养说到底就是学生在面对没见过的问题的时候如何想到解决的方法．因此，教师要引导学生从基本概念㊁基本原理及其联系性出发思考和解决问题．在数学教学中，教师要关注数学学科本质的教学，让学生体会数学学习的目标不仅在于数学概念㊁数学定理的积累，更在于形成这些概念和定理背后蕴含的一般观念㊁一般方法和思维过程，真正提升学生的数学素养．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［２］王尚志，吕世虎，胡凤娟．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）教师指导：数学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０２０．［３］李昌官．为发展学科一般观念而教 兼谈解析几何复习起始课教学［Ｊ］．数学通报，２０１９，５８（０９）：１１－１５．［４］章建跃．第三章圆锥曲线的方程教材介绍与教学建议［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２１（０１）：８－１６．［５］肖海英．新高考背景下的解析几何问题解题策略探究 以２０２１年高考数学新高考卷Ⅰ第２１题为例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２１（２８）：６７－６９．。
对解析几何的心得体会
对解析几何的心得体会
题目：对解析几何的心得体会
写作格式：文章
在学习数学课程中，其中一门被认为最难的课程就是解析几何。
我不断地尝试着去理解它，通过自己的思考和老师的讲解，我逐
渐掌握了一些技巧和方法，让解析几何变得更加容易掌握。
在这里，我将分享一些我在学习解析几何过程中的心得体会。
首先，了解重要概念是学习解析几何的关键。
学习者应该理解
直线，平面，向量，坐标系等重要概念的定义和性质，这将有助
于更好的理解和应用解析几何的公式和定理。
其次，解析几何需要对一些常见的曲线有深刻的了解。
例如圆、椭圆、双曲线等，每个曲线的定义和性质对解析几何的应用都有
不同的影响。
对于学习者来说，理解曲线性质是掌握解析几何的
首要任务。
第三，提高计算能力是掌握解析几何的另一个重要方面。
解析
几何在计算过程中要求大量的代数和计算，因此掌握基本的代数
和计算技巧是至关重要的。
此外，在学习过程中，要尝试多做例题和找到更多的练习机会。
通过不断锻炼与实践，学习者才能够更好地掌握解析几何，并在
实践中获得更优秀的成绩。
最后，我深刻认识到解析几何的学习需要耐心和不断努力。
解
析几何是一门需要反复实践和思考的学科，学习者需要不断地提
高自己的专注力和耐心，才能够在掌握知识的过程中取得更好的
成果。
总之，解析几何这门学科虽然困难，但并不是无法掌握。
只要
我们增强信心，耐心地学习，认真地去理解和应用公式，我们一
定会在这门学科中获得更高的成就。
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究解析几何中斜率之和为零的问题探究教学目标：掌握解析几何中斜率之和为零这类问题的基本解法，并不断推广、深入，掌握一般性的结论；通过一类问题的探究提高学生的分析能力，引导学生养成探究、拓展、深入思考的惯。
教学重点：方法的确定与推广。
教学难点：运算的简化。
教学方法：探究研讨式。
教学过程：问题一：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及定点A(1,2/3)，E,F是椭圆上两个不同的动点，且直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，问直线EF的斜率是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由。
思路分析：方法一：利用两直线斜率之和为零，设一条斜率为K，另一条为-K，解出E、F两点的坐标，再计算斜率。
方法二：假设直线EF斜率为定值，设为K，设出EF直线，与椭圆方程联立，然后再通过斜率之和为零构造关于K 的方程。
方法三：先从特殊位置（考虑E、F两点重合）猜出EF 斜率是定值，并确定该值，然后验证。
解答一：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
frac{3x^2}{4y^2}+k^2=1$与$\frac{3x^2}{4y^2}+(-k)^2=1$联立得：$4k^2x^2+12kxy-3y^2=243$4k^2x^2+12kxy-3y^2-243=0$Delta=144y^2-4(4k^2)(-3y^2+243)=16(4k^2+3)y^2-192k^2$Delta=0$时，$y=\pm\frac{3}{2}$，代入得$x=\pm 1$，即E、F两点坐标为$(1,\frac{3}{2})$和$(1,-\frac{3}{2})$。
frac{y-\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，$\frac{y+\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，故直线EF斜率为0.解答二：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
解析几何问题-解题之后再思索
解析几何问题——解题之后再思索江苏省姜堰中学 张圣官 （225500）在高三数学各类模拟练习中，解析几何题往往处于关键位置，成为区分中等水平上下的分水岭。
同学们也普遍对于解析几何题有种畏惧情绪，在解题过程中经常出现半途而废的现象，或者运算过程繁琐耗时太多，或者思路受阻无法突破。
确实的，解析几何的本质就是“解析法”，也就是在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数运算处理几何问题的一门数学分支。
解题时必要的运算是少不了的，但不能一味强攻，而是要采取合理的策略。
那么在高三考试后于试卷讲评课之时我们该怎样引导学生进行解析几何题解题之后的反思呢？ 反思之一：曲线的几何性质充分挖掘了吗？ 我们先来赏析一道高考题。
（2013江苏17题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。
设圆C 的半径为1，圆心在l 上。
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
命题组提供的解法如下：（1）切线为3y =或334y x =-+（略）；（2）因为圆心在y=2x-4上，所以圆C 方程为22()[(24)]1x a y a -+--=。
设(,)M x y ，因为MO MA 2=，所以=22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=。
所以M在以(0,1)D -为圆心、2为半径的圆上。
由题意，M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则13CD ≤=≤，解得1205a ≤≤。
这道题因为朴实平和、轻盈飘逸，获得了一片叫好声，有老师为此欢呼“春风又绿江南岸”。
但据阅卷老师反映，该题得分并不高。
据说凡能转化到“圆C 与圆D 有公共点”的，后续过程大都一蹴而就，否则受困于此，或者解题走进死胡同。
例如，当得到圆D 的方程后，有些同学并未有意识地去认识轨迹是何图形，只是专注于M 点同时在两条曲线上，故由两条曲线方程联立，得2222230()[(24)]1x y y x a y a ⎧++-=⎨-+--=⎩有解，消去x 或y 转化为一元二次方程。
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第06期［摘要］蝴蝶模型在解析几何中十分常见，开展模型解读、挖掘模型本质、总结模型问题十分必要. 文章以椭圆中的蝴蝶模型为例，开展模型深度探究，并结合教学实践，提出教学建议.［关键词］解析几何；蝴蝶模型；特征；考点；解法蝴蝶模型解读蝴蝶模型是解析几何的重点模型，从外形来看，模型形如两个三角形对顶角相接，因形似蝴蝶的翅膀，故称为蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析几何中十分常见，是几何与函数相结合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征，总结模型结论. 下面探究椭圆中的蝴蝶模型.1. 蝴蝶模型在图1所示的☉O中，△CFM和△DEM有共顶点M，两三角形的其他顶点F，C，D，E 位于☉O上. 蝴蝶模型中隐含着相应定理，即蝴蝶定理：点M是弦AB的中点，两条弦CD和EF过点M，连接DE，CF，与AB分别相交于点P，Q，则点M为线段PQ的中点.2. 本质探究高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多见，常将蝴蝶模型与解析几何相结合，对其赋予“数”与“形”的特征.蝴蝶模型背景下的椭圆综合题中，注重考查直线与椭圆的位置关系. 该类问题本质上是研究椭圆的内接四边形，即两对接三角形的四个顶点构成的四边形. 其中形如蝴蝶的四边形通常由椭圆的两条相交弦来构建. 在实际问題中，并不会直接给定弦，而是设定两条弦过定点，或由某固定线的斜率来确定.椭圆问题常围绕蝴蝶模型来构建，基于相交弦设定问题，如定点问题、定值问题、斜率问题等. 在具体求解时，注意分析模型特征，充分利用蝴蝶定理来推导条件，通过数形结合分析转化.典例探究椭圆中的蝴蝶模型问题多样，常见的有定点定值问题、斜率问题、弦长关系问题等. 下面结合实例具体探究，总结方法策略.1. 蝴蝶模型中的定点问题例1 在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=9，Q是圆O上任意一点，Q在x轴上的投影是点Q′，点P满足=，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若A（-3，0），B（3，0），过直线x=9上任意一点T（不在x轴上）作两条直线TA，TB与曲线E分别相交于点C（x，y），D（x，y）（异于点A和B），求证：直线CD 过定点.解析本题为椭圆综合题，问（2）中的弦AB与CD相交于点K，构成了蝴蝶模型，可将其归为椭圆中的蝴蝶模型问题.（1）该问求曲线E的方程，设点P（x，y），Q（x，y），由=推知x=x，y=y，将其代入方程x+y=9，可得+=1. 所以，曲线E的方程为+=1.（2）该问求证直线CD过定点，可根据韦达定理，采用“整体代换”的方法解析，具体如下：设直线CD的方程为x=my+t（t≠0），与椭圆+=1联立，并整理得（5m2+9）y2+10mty+5t2-45=0，由韦达定理得y+y=，yy=，Δ=180（5m2+9-t2）>0.利用点坐标表示蝴蝶模型中两条弦所在直线的解析式，则AC：y=（x+3），当x=9时，y=；BD：y=（x-3），当x=9时，y=. 所以，=，化简得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t （y+y）=②. 综合①和②可得xy=+2y++1y2，xy=-2y+-1y2.在直线CD的方程y-y=（x-x）中，令y=0，则x==. 分析可知，当-4+-2=0，即t=1时，直线CD过定点（1，0）.评析上述为蝴蝶模型中的定点问题，解析时把握模型特征，采用传统的待定系数法来代换简化. 问题解析有两大关键点：一是把握蝴蝶模型中的两条特殊弦，结合相关点分设直线方程；二是灵活构造对称式方程，形成对应的方程组，巧妙化简求解.2. 蝴蝶模型中的斜率比值问题例2 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，M在椭圆C上，△MFF的周长为2+4，其面积的最大值为2，试解决下列问题.（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C相交于A和B，连接AF，BF，并延长交椭圆C于D和E，连接DE，则AB与DE的斜率之比是否为定值？说明理由.解析本题为椭圆中的蝴蝶模型问题，其中△ABF和△DEF共顶点F，由椭圆的两条相交弦构建.题设两问，第（1）问求椭圆C的方程，转化△MFF的周长和面积最值条件即可求出椭圆方程的特征参数. 第（2）问是关于蝴蝶模型中两条关键弦的斜率之比的问题，探索其值是否为定值，可采用“设而不求”“整体代换”的方法构建斜率之比.（1）已知△MFF的周长为2+4，则FF+MF+MF=2a+2c=2+4，其最大面积S=·2c·b=bc=2，解得a=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.（2）第一步，设定点坐标：设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（-x，-y）.第二步，构建方程：推得直线AD的方程为x=y+2，将其代入椭圆C的方程，整理得［（x-2）2+5y］y2+4（x-2）yy-y=0①. 又+y=1，代入方程①，化简得（9-4x）y2+4（x-2）yy-y=0.第三步，斜率推导：设点D的坐标为（x，y），点E的坐标为（x，y），则yy=，所以y=，x=y+2.直线BE的方程可以表示为x=y+2，同理可得y=，x=y+2. 所以，直线DE的斜率为k===9·=9k，即k∶k=9∶1.评析上述蝴蝶模型中的斜率比值问题，属于解析几何中的斜率问题，探究解析时关注模型特点，采用“设而不求”“整体代入”的方法简化斜率比值. 问题突破有两大关键点：一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置关系，推导所在直线的方程；二是充分利用类比推导简化的方法，整体代入化简直线斜率比值.实际上，可推广上述椭圆蝴蝶模型中的直线斜率比值结论，在求解相应问题时直接使用. 具体如下：如图4所示，在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其左、右顶点为A，B，椭圆C的弦PQ过定点M（t，0），则k·k=3. 蝴蝶模型中的弦长关系问题例3 如图5所示，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同的两点A和B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E相交于不同的两点C和D，求证：MA·MB=MC·MD.解析本题同样为椭圆中的蝴蝶模型问题，椭圆的两条弦CD和AB构成蝴蝶模型. 本题第（2）问为核心之问，求证弦长之间的关系，涉及四条弦，探究解析可采用“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，推导线段的长，再整理化简.（1）把握几何特征，可得a=2b，再结合P，在椭圆E上，可得椭圆E的方程为+y2=1.（2）设直线l的方程为y=x+m （m≠0），点A（x，y），B（x，y），联立直线与椭圆的方程，有y=x+m，+y2=1，整理得x2+2mx+2m2-2=0. 结合韦达定理得x+x=-2m，xx=2m2-2，且Δ=4（2-m2）>0，可知参数m的取值范围为（-，）. 由点M的坐标-m，推得直线OM的方程为y=-x，与椭圆的方程联立，有y=-x，x2+4y2-4=0，可得點C-，，D，-. 结合点的距离公式得MC·MD=（-m+）·（m+）=（2-m2），MA·MB=AB2=（x+x）2-xx=（2-m2），所以MA·MB=MC·MD，得证.评析上述蝴蝶模型中的弦长关系问题，证明弦长乘积相等. 解析采用的是“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理推导参数条件，将弦长乘积问题转化为与坐标参数相关的代数问题. 问题解析有两个关键点：一是挖掘其中的隐含模型，即蝴蝶模型，把握模型中的两条弦的特点；二是联立方程，设而不求，简化运算过程.教学思考上述深入探究了椭圆中的蝴蝶模型，剖析模型特征，结合实例探究常见问题，并探索解题过程，总结破题关键点. 下面对教学探究提出几点建议.1. 解析模型特征，挖掘模型本质蝴蝶模型是高中几何中常见的模型，教学探究要注意模型特征的解析，挖掘模型本质，让学生认识、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本质挖掘-考点探究”来开展，探究过程具有连贯性、系统性，循序渐进、逐步深入. 教学时需要注意两点：一是模型解析中的数形结合，即探究时结合直观的模型图象，引导学生关注其几何特征；二是挖掘本质立足知识考点，即引导学生挖掘、理解模型的本质，掌握对应的知识考点.2. 关注模型考点，总结解题方法教学时教师要深入剖析模型的知识重点，围绕模型开展考点探究，精选问题，总结解题方法. 上述蝴蝶模型的探究，围绕三大典例问题开展，分析了定点问题、斜率比值问题、弦长关系问题的破解思路，总结了相应的解题方法. 教学引导时要注意两点：一是解题过程中的思维引导，即引导学生思考，锻炼学生思维能力；二是解法的归纳总结，即开展解后反思，让学生充分认识问题，掌握解题策略.3. 渗透数学思想方法，提升学生综合素养模型问题的探究教学要注意渗透数学思想方法，以提升学生的综合素养. 以上述蝴蝶模型的探究为例，其涉及了数形结合、模型构建、方程思想等，教学可分三个阶段进行：第一，讲解数学思想方法的内涵，引导学生初步理解数学思想方法；第二，结合模型解析渗透数学思想方法，引导学生感悟数学思想方法，体会数学思想方法的作用；第三，升华数学思想方法，促使学生独立使用数学思想方法构建解题思路，提升学生的思维能力.。
2025届高考备考研讨--解析几何
当点 B 位于点 A、P 关于坐标原点的对称点
0, − 3
和
−3, − 3
2
时，恰好满足S∆ABP
= 9.
直接得到直线 l 的方程为 3x 2y 6 0 或 x 2 y 0 .
几何画板：动态演示
2024新高考1卷题16.gsp
几点领“悟”：
(1)重视通性通法，对于大多数同学来说，考场上没有多余的时间或想不出巧妙的方法。 圆锥曲线的通性通法是联立消元，判别式、韦达定理和弦长公式，也就是胡主任跟我 们分享的“四个基本点”。 (2)直线方程的设法有时反而成为了解题中决定运算量的关键因素。 选对直线方程的形式，切中入手点，找对突破口，事半功倍。所以在平时的教学中要 双管齐下，既要锻炼学生的运算，提高运算能力，增强运算信心。又要注重培养曲线 方程的转化，争取化繁为简，提升解题效率。 (3)解析几何的本质在于"几何"，所以解析几何问题的处理应该以 “几何”作为切入点； “代数解析” 辅佐，只有对解析几何形成这样的意识，才能在解题中找到恰当的、巧妙 的方法。
角度四：典型错误
数学书写要求:准确性、简洁性、逻辑性、规范性。
角度五：题目的推广
本题源自人教 A 版选择性必修第一册第 116 页练习第 13 题： 已知椭圆 2 + 2 = 1，直线 l：4x − 5y + 40 = 0.椭圆上是否存在一点，使得：
25 9
（1）它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？
角度2：课本母题
几点思考：
(1)每一届高三带完都下定决心，以后再带高一、高二一定慢点把课本吃透，把 概念和原理讲清楚。希望学生对新课学习中的基础题熟练掌握且不失分(运算能 力过关)，具备基本数学思维能力。 (2)高三教学要注重对教材主干的整合。 关于解析几何的主干知识：直线方程， 距离公式，圆的方程，圆锥曲线方程，离心率，弦长公式，几何性质等。
关于解析几何教学方法的思考与研究
关于解析几何教学方法的思考与研究一、解析几何教学的现状。
1.1 目前在解析几何教学中啊，存在不少问题。
很多学生觉得解析几何太难了，就像面对一座难以翻越的大山。
老师们呢，教学方法有时候也比较单一，就是照本宣科地讲那些公式、定理。
比如说，在讲椭圆方程的时候，就只是单纯地推导公式，学生们听得云里雾里，根本不理解这公式到底是怎么来的，为啥要这么推导。
1.2 还有啊，教学过程中缺乏实际的应用举例。
解析几何在生活中有很多用处，像建筑设计里计算空间结构，卫星轨道的计算等。
可要是在课堂上不把这些实例融入进去，学生就会觉得这是一门很枯燥、很抽象的学科，学起来一点劲儿都没有。
二、有效的教学方法探索。
2.1 要从实际生活出发。
这就好比是“万丈高楼平地起”，得先把基础打好。
在讲点、线、面的关系时，可以拿咱们身边的例子来说，像教室的墙角，这就是三条线相交于一点，天花板和墙面的交线就是面与面的交线。
让学生们从熟悉的场景里去理解这些抽象的概念，那可比干巴巴地讲概念效果好多了。
2.2 多媒体教学手段得用起来。
现在都啥时代了，不能光靠黑板和粉笔。
在讲解圆锥曲线的时候，用动画展示圆锥被不同角度的平面所截得到的曲线，这就像给学生们打开了一扇通往几何世界的大门。
他们能直观地看到椭圆、双曲线、抛物线是怎么来的，一下子就把那些复杂的概念给弄明白了，这就是所谓的“百闻不如一见”。
2.3 小组合作学习也很重要。
让学生们分成小组去讨论问题，就像一群小蜜蜂在共同酿造知识的蜂蜜。
比如说在解决解析几何中的一些证明题时，小组里的成员可以各抒己见，从不同的角度去思考问题。
有的学生可能擅长计算，有的学生可能思维比较灵活，这样大家相互学习、相互启发，学习效率就提高了。
三、教学方法实施的保障。
3.1 教师自身的素质得不断提高。
老师不能总是抱着以前的老一套方法不放手，要不断学习新的教育理念和技术。
就像逆水行舟，不进则退。
要参加各种培训，学习如何更好地利用多媒体教学，如何引导学生进行小组合作学习等。
对一道解析几何题的几点思考
椭 圆的右焦 点 ， 椭 圆离心 率的取 值范 围． 求
略 解 如图 ４由 ，
ｙ 。
—
分别 为 ： Ａ： 一 如 ， Ｂ： 一 一 Ｏ Ｏ
．９ ｚ ＂ ｙ ＝ ｋ
（ 足≠ ０ ．由 ）
Ｏ Ｈ 上１ 是建立 在原题解决 的基础上 ， 解 法２ “ 从 直线和椭 圆的位置关 系”的角度 出发 ， 利用
方程 的思 想 ， 问题 逐步 转 化 ， 程 思 想也 是 我们 将 方 解决直线 和 圆锥 曲线位置关 系的常用思 想方法．
思考 ３ 我们 应该 如何 学好 解析 几何 ？ 要学 好 解析几 何 ， 须做 到 以下几 点 ： （ ）要 以代 数 方 法 为 主 线 去 解 决 几 何 问 题 ． Ｉ
，
铃
多
图 ３
Ｏ 落在坐标 轴上 时， Ｂ 易
知 ＋ 一 十 ； 《Ｆ ０ 志 １ １１
（ ）当 Ｏ ， ２ Ａ ＯＢ 不 在
２ｙ 篇Ｄ切 １ ２ａ 一 ２ 一 十 ２ ＋ 相
（ 图 ３． 如 ）
拓 展 ３ 若 Ａ 过 Ｂ
图 ｉ
坐 标 轴 上 时 ，由 Ｏ 上 Ａ
ａ ６ （ 走 。 １＋ ）
ｎ 。ｂ ． ’
Ｔ 西
综 ， ： －Ｙｉ 上 １＋１＝ ￣ｇ） ＝ （ｆ． １
思考 １ 对原题 的拓 展
圆的外 切 四边形 ？若是 ， 求 出该 圆方 程 ； 不 是 ， 若
说 明理 由．
Ａ Ｊ
ｏ
／ Ｂ ｏ
图 ５
拓展 １ 求证 ： 到 ＡＢ 之距 为定 值． ０ 略证 如 图 ２ 连结 Ａ 过 ０作 ＯＨ － Ｂ ， Ｂ， ｌＡ Ｉ
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一道解析几何题的研究与思考
发表时间：2019-07-19T11:45:05.693Z 来源：《中国教师》2019年9月刊作者：李开成
[导读] 解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。
我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。
李开成浦江职业技术学校 322200
【摘要】解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。
我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。
【关键词】思维品质；一题多解；一题多变
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2019）09-188-02
数学教学大纲在教学目的中提出，数学教学要“注意培养学生良好的思维品质”。
怎样更好地实现这个目标呢？我在教学中发现，采用一题多解和一题多变的教学方式是比较有效的途径。
所谓一题多解就是对同一问题从不同角度去分析、寻找不同的解题途径。
通过一题多解可以沟通各种知识的内在联系，使已学知识形成系统，同时，学生也学会从不同角度去观察思考问题，遇到问题时，能多向联想、随机应变，提高学生的应变能力和思维能力。
所谓一题多变，就是不断变换所提供的材料或问题呈现的形式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变。
通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。
下面我以一个典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。
题目：在椭圆上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。
解法1（向量法）设点，由题设知
为.
∵，
即（1）
又点P在椭圆上，∴（2）
联立（1）、（2），解得点P的坐标为（3，±4），（－3，±4）.
解法2（交轨法）设点，
∵，∴P点在以F1F2为直径的圆上，即，以下同解法1.
解法3（应用斜率）设，
∴，∴，
即.以下同解法1.
解法4（应用焦半径公式）设，∵，
则，.
∵，∴，
∴.以下同解法1.
解法5（面积法）设点，则.由椭圆定义知，∴ =180，又，∴，
∴.
∴，，以下同解法1.
解法6（几何法）如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，以下同解法2.
比较上述六中解法，笔者认为第六种解法最直观，简洁，易懂，让学生能够很清楚地看到点P在什么位置时是直角，锐角，或者钝角,在下面的变式题目中也有很好的启示作用。
对本题的思考还没有结束，接着我们对它尝试着做如下的变式训练：
变式1：椭圆的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。
分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。
当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是。
变式2：双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。
分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以|F1F2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为，故所求距离为。
变式3：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（） A. B.3 C. D.
分析：该题是将原题中∠为直角改为△为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠=90°时，只要找以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F1F2|为直径的圆的方程与椭圆无交点，故此种情况无解；当∠=90°或∠=90°时，易求点P到x轴的距离为，故选D。
变式4：已知F1、F2是椭圆C：的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_____。
分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以|F1F2|为直径的圆方程为，与椭圆C：相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。
变式5：设椭圆的两个焦点是F1（－c，0），F2（c，0），c>0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。
分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使
PF1⊥PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即，易得。
下面将上述问题推广到一般：
结论1：已知F1、F2是椭圆（a>b>0）的两个焦点。
（1）若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是；
（2）若椭圆上存在点P，使∠为钝角，则椭圆的离心率的范围是；
（3）若椭圆上存在点P，使∠，则椭圆的离心率的范围是。
证明：（1）若存在点P，使PF1⊥PF2，表明，因而－，解得。
（2）若存在点P，使∠为钝角，表明c>b，因而，解得<1。
（3）在△中，由余弦定理得 =（＋）2－
∴
∴，，解得。
通过一题多解，沟通了代数、三角、几何之间的联系，更好地复习巩固有关基础知识，以利于知识点的横向联系和纵向深化，有助于发散思维的积极训练，特别是对于培养解题的灵活性和创造性大有裨益.通过一题多变，深刻的领悟知识内涵，使所学内容系统化，实现做一题，会一类，通一片，发展求异变通能力。
参考文献
[1]付巍.一道解析几何试题的解法研究与变式思考.《数学通报》. 2011,01:42-45
[2]胡军.对一道“题目”变式的深层次思考.《中学数学教与学》，2009，2
[3]徐卫东.解题教学与学生思维发展.《中学教研》，2009。