一道解析几何题的研究与思考

一道解析几何题的研究与思考
发表时间：2019-07-19T11:45:05.693Z 来源：《中国教师》2019年9月刊作者：李开成
[导读] 解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。

我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

李开成浦江职业技术学校 322200
【摘要】解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。

我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

【关键词】思维品质；一题多解；一题多变
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2019）09-188-02
数学教学大纲在教学目的中提出，数学教学要“注意培养学生良好的思维品质”。

怎样更好地实现这个目标呢？我在教学中发现，采用一题多解和一题多变的教学方式是比较有效的途径。

所谓一题多解就是对同一问题从不同角度去分析、寻找不同的解题途径。

通过一题多解可以沟通各种知识的内在联系，使已学知识形成系统，同时，学生也学会从不同角度去观察思考问题，遇到问题时，能多向联想、随机应变，提高学生的应变能力和思维能力。

所谓一题多变，就是不断变换所提供的材料或问题呈现的形式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变。

通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。

下面我以一个典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

题目：在椭圆上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。

解法1（向量法）设点，由题设知
为.
∵，
即（1）
又点P在椭圆上，∴（2）
联立（1）、（2），解得点P的坐标为（3，±4），（－3，±4）.
解法2（交轨法）设点，
∵，∴P点在以F1F2为直径的圆上，即，以下同解法1.
解法3（应用斜率）设，
∴，∴，
即.以下同解法1.
解法4（应用焦半径公式）设，∵，
则，.
∵，∴，
∴.以下同解法1.
解法5（面积法）设点，则.由椭圆定义知，∴ =180，又，∴，
∴.
∴，，以下同解法1.
解法6（几何法）如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，以下同解法2.
比较上述六中解法，笔者认为第六种解法最直观，简洁，易懂，让学生能够很清楚地看到点P在什么位置时是直角，锐角，或者钝角,在下面的变式题目中也有很好的启示作用。

对本题的思考还没有结束，接着我们对它尝试着做如下的变式训练：
变式1：椭圆的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。

分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。

当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是。

变式2：双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。

分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以|F1F2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为，故所求距离为。

变式3：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（） A. B.3 C. D.
分析：该题是将原题中∠为直角改为△为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠=90°时，只要找以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F1F2|为直径的圆的方程与椭圆无交点，故此种情况无解；当∠=90°或∠=90°时，易求点P到x轴的距离为，故选D。

变式4：已知F1、F2是椭圆C：的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_____。

分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以|F1F2|为直径的圆方程为，与椭圆C：相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。

变式5：设椭圆的两个焦点是F1（－c，0），F2（c，0），c>0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。

分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使
PF1⊥PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即，易得。

下面将上述问题推广到一般：
结论1：已知F1、F2是椭圆（a>b>0）的两个焦点。

（1）若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是；
（2）若椭圆上存在点P，使∠为钝角，则椭圆的离心率的范围是；
（3）若椭圆上存在点P，使∠，则椭圆的离心率的范围是。

证明：（1）若存在点P，使PF1⊥PF2，表明，因而－，解得。

（2）若存在点P，使∠为钝角，表明c>b，因而，解得<1。

（3）在△中，由余弦定理得 =（＋）2－
∴
∴，，解得。

通过一题多解，沟通了代数、三角、几何之间的联系，更好地复习巩固有关基础知识，以利于知识点的横向联系和纵向深化，有助于发散思维的积极训练，特别是对于培养解题的灵活性和创造性大有裨益.通过一题多变，深刻的领悟知识内涵，使所学内容系统化，实现做一题，会一类，通一片，发展求异变通能力。

参考文献
[1]付巍.一道解析几何试题的解法研究与变式思考.《数学通报》. 2011,01:42-45
[2]胡军.对一道“题目”变式的深层次思考.《中学数学教与学》，2009，2
[3]徐卫东.解题教学与学生思维发展.《中学教研》，2009。