中考数学考点经典系列专题46图形的相似

）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【答案】B. 【解析】 试题分析：由 DE∥AC 可得△DOE∽△COA，又 S△DOE：S△COA=1：25，根据相似三角形的性质可得 DE:AC=BE:BC=1:5, 所以 BE:EC=1:4,即 S△BDE 与 S△CDE 的比是 1：4，故答案选 B． 考点：相似三角形的判定与性质． 7. （2016 湖南湘西州第 17 题）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE 的面积为 1，则四边形 DBCE 的面积为（ ）
【答案】A.
B． DF AE FC EC
C． AD DE DB BC
D． DF EF BF FC
【解析】
试题分析： ∵DE∥BC，∴ AD AE （平行线分线段成比 例）.故选 A. AB AC
考点：平行线分线段成比例.
2. （2016 山东东营第 8 题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（―3，6）、B（―9，一 3），以原点
A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D．
考点：相似三角形的判定与性质．
8. （ 201 6 湖 南 衡 阳 第 16 题 ） 若 △ ABC 与 △ DEF 相 似 且 面 积 之 比 为 25 ： 16 ， 则 △ ABC 与 △
DEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的 周 长 之 比 为
．
【答案】5： 4．
【解析】
试题分析：已知△ ABC 与 △ DEF 相 似 且 面 积 之 比 为 25 ： 16 ， 根 据 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相
m n
a b
3.平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形
的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角
A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D．
考点：相似三角形的判定与性质． 4. （2016 河北第 15 题）如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的 阴影三角形与原三角形不．相．似．的是（ ）
第 15 题图
【答案】C. 【解析】 试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项Ｃ项不能判定两个三角形相似，故答 案选 C. 考点：相似三角形的判定. 5. （2016 新疆生产建设兵团第 7 题）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，下列说法中不正确 的是（ ）
形三边对应成比例．
4.相似三角形.
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比 等于相似比，面积比等于相似比的平方． 7．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似 图形．这个点 叫做位似中心． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
1 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是( )
3
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D.
考点：位似变换. 3. （2016 湖南湘西州第 17 题）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE 的面积为 1，则四边形 DBCE 的 面积为（ ）
A．DE= BC B． AD AE AB AC
【答案】D.
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2
考点：相似三角形的判定及性质.
6. （2016 湖北随州第 7 题）如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交于点 O，
若 S△DOE：S△COA=1：25，则 S△BDE 与 S△CDE 的比是（
易证 Rt△B0F∽Rt△BAC
得 BF BO OF ， BC BA AC
设 BO =y BF=z
yz zy3
4
3
4
即 4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得 z= 27 7
y= 25 7
∴AB= 27 ＋4= 100
7
7
考点：圆的综合题.
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例 4】（2016 辽宁营口第 15 题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
似 比 的 平 方 求 出 相 似 比 ，可 得 △ ABC 与 △ DEF 的 相 似 比 为 5：4；即 可 得 △ ABC 与 △ DEF 的 周
长之比为 5：4．
考点：相似三角形的性质.
9. （2016 辽宁沈阳第 16 题）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE 是△ABC 的中位线，点
若 4y-3x=0，则 x y y
7
【答案】 .
3
考点：比例的性质． 考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例 2】（2016 湖南怀化第 21 题）如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E、H 分别在 AB、AC 上，已知 BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长与面积．
M 是边 BC 上一点，BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O．若△OMN 是直
角三角形，则 DO 的长是
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 【答案】D.
考点：位似变换． 课时作业☆能力提升 1. （2016 黑龙江哈尔滨第 9 题）如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相 交于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AD AE AB AC
专题 46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
（2）第四比例项：若 a c 或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项. bd
（3）比例中项：若 a b 或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项. bc
（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段 AB 与较短线段（BC）
（2）（3 分）已知 AO 交⊙O 于点 E，延长 AO 交⊙O 于点 D， tanD＝ 1 ，求 AE 的值。 2 AC
（3）（4 分）在（2）的条件下，设⊙O 的半径为 3，求 AB 的长。
【答案】(1)详见解析；（2） 1 ；（3） 100 .
2
7
【解析】
试题分析：（1）过 O 作 OF⊥AB 于 F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接 CE，证明
△ACE∽△ADC 可得 AE CE = tanD＝ 1 ；（3）先由勾股定理求得 AE 的长，再证明△B0F ∽△BAC，得
AC CD
2
BF BO OF ，设 BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题. BC BA AC
试题解析：⑴证明：作 OF⊥AB 于 F
∵AO 是∠BAC 的角平分线，∠ACB=90º ∴OC=OF ∴AB 是⊙O 的切线
由勾股定理得 AB=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴ DC AC DA 3 ，设 DC=3k，DB=4k， DB BC CD 4
∵CD2=DA•DB，
∴9k2=（4k﹣5）•4k，
20
∴k= ，
7
60
80
∴CD= ，DB= ，
7
7
考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理. 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用． 【举一反三】 （2016 湖北鄂州第 22 题）（本题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，AO 是△ABC 的角平分线。 以 O 为圆心，OC 为半径作⊙O。 （1）（3 分 ）求证：AB 是⊙O 的切线。
考点典例三、相似三角形综合问题 【例 3】（2016 湖北十堰第 24 题）如图 1，AB 为半圆 O 的直径，D 为 BA 的延长线上一点，DC 为半圆 O 的 切线，切点为 C． （1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图 2，∠BDC 的平分线分别交 AC，BC 于点 E，F； ①求 tan∠CFE 的值； ②若 AC=3，BC=4，求 CE 的长．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
【例 1】已知 b 5 ，则 a b 的值是（ ） a 13 a b
2
3
9
4
A． B． C． D．
3
2
4
9
【答案】D．
故选 D． 考点：比例的性质． 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
【举一反三】
【答案】（1）详见解析；（2） 12 . 7
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在 RT△ABC 中，∵AC=3，BC=4，
【答案】（1）详见解析；（2）①BP＝ 5 ；② 7 1 .
∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，
∴△AP0C∽△MPB，∴ AP0 P0C ， MP BP
∴MP∙
P0C＝
1 2
P0C
2
(
3)2 (1 x)2 AP0 ∙BP＝x（ 2
3 －1＋x），
解得 x＝ 7 3
∴BP＝ 3 －1＋ 7 3 ＝ 7 1 ．
ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点 O 为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC 的相似比为
2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是
．
【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．
考点：作图-位似变换．
【点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 【举一反三】 （2016 湖北十堰第 5 题）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知 OB=3OB′，则 △A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ）
的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即 AC2=AB·BC，AC= 5 1 AB 0.618AB ；一条线段的黄金分 2
割点有两个.
2.比例的基本性质及定理
（1） a c ad bc bd
（2） a c a b c d
bd b d
（3）
a b
c d
m n
(b
d
n
0)
a b
c d
120
14400
【答案】（1）详见解析；（2）正方形 EFGH 的边长为 7 cm，面积为 49 cm2．
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【举一反三】 （2016 湖北武汉第 23 题）（本题 10 分）在△ABC 中，P 为边 AB 上一点． (1) 如图 1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB； (2) 若 M 为 CP 的中点，AC＝2， ① 如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出 BP 的长．