矩阵论--复习(典型例题).

O(h5 )
1 2 0 令: 1 1 0 1 0 1 1 2 2 1 1 3 1 1 得: 8 8 2
1 1 1 0 此时: 6 6 2 2
1 1 1 1 0 24 24 6 6 48
2 3
(1 2 ) y( xn )
(1 1 1 1 )hy( xn ) 1 2 ( 1 1 )h y( xn ) 2 2 1 1 3 1 ( )h y( x )
6
24 24 6 6
n 6 2 2 1 1 4 (4) 1 ( )h y ( xn )
k 0 1 2 3 4 xi 3.000000000 3.098612289 3.130954362 3.141337866 3.144648781 5 6 7 8 9 3.145702209 3.146037143 3.146143611 3.146177452 3.146188209 10 11 12 13 14 3.146191628 3.146192714 3.146193060 3.146193169 3.146193204
2 3 4 h h h y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 ) 2 6 24
y( xn )
2 3 4 h h h [ y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 )] 2 6 24
2 3 h h (4) 4 h1[ y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h )] 2 6
hy( xn )
h1[ y( xn ) hy( xn ) h y( xn ) h y (4) ( xn ) O(h4 )] 2 6
整理得:
AC
2A B 4 8 2 A 3
f x x
4
64 4 4 x dx A C 2 5
2 4
4
32 A 5 8 2 32 3 5
12
5
10 A 9
16 B 9
10 C 9
5 5
f x x f x x
百度文库a 20.1007
dI 2 (at s )t 2 i i i 2a ti 2 ti si da i 1 i 1 i 1
n
n
n
所求运动方程为: 20.1007t s 0
二 数值积分
基本概念 数 值 积 分 N-C公式 Romberg求积公式及外推加速 Gauss求积公式
1
I BGS
2 0 0 0 a 1 1 1 0 0 0 2 1 a 1 0 0 0
1
2 0 a 1 1 0 0 2 2 a 0 0 0 2 a 1 1 2 2 a
迭代法
变换法
雅可比法
QR法
先看一个简单的例子. a11 a12 是二阶实对称矩阵, 即a =a , 其特 设 A 21 12 征值为λ1, λ2.
T
a21 a22
1 R AR 2
cos sin 令 R 使得 sin cos
Gauss-Seidel迭代矩阵:
2 a 1 2 0 0 0 a 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 a 1 1 a 1 0 0 0
BG S
2 0 0 0 a 1 1 1 0 0 0 2 1 a 1 0 0 0
(1) 线性方程组
2 x ax x b 1 2 3 1 x1 x2 2 x3 b2 x1 ax2 x3 b3
Jacobi 迭代
b1 k 1 a 1 (k ) (k ) x2 x3 x1 2 2 2 k 1 k (k ) x x 2 x 2 1 3 b2 k 1 k (k ) x3 x1 ax2 b3 (2) 线性方程组
f ( xn1 , y( xn1 )) y( xn1 ) y( xn h)
2 3 h h (4) 4 y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6
线性多步公式局部截断误差
R xn1 y( xn1 ) ( y( xn ) y( xn1 ))
预备知识
范数 内积 正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合
函数逼近
函数逼近方法
三角函数逼近 帕德逼近
例1 求g(x)=x 在P1[0,1]中的最佳平方逼近元
解法一
这是C[0,1]上的最佳平方逼近问题. 取０＝１, １＝x, P1[0,1]＝span{1,x} 记 p1(x)=a０＋a１x (０,0)=1，(０,1)=1/2， (1,1)=1/3 (０,g)=2/3， (1,g)=2/5. 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为
另一种迭代格式
xk (1 lnxk ) xk 1 xk 1
0 3.000000000 1 3.147918433
2 3.146193441 3 3.146193221
五 常微分方程数值解
重要概念 局部截断误差 方法精度 差分构造 积分构造 泰勒展式构造
数值解法
重要构造方法 单步法 线性多步法
xdx 0 A C 2 2 2 f x x x2 dx 16 A 2 C 2 2 3 2 3 f x x x3dx 0 A 3 C 3
2
f x x

2
2 2
dx 4 A B C
h(1 f ( xn1, y( xn1 )) f ( xn , y( xn )) 1 f ( xn1, y( xn1 )))
y( xn1 ) ( y( xn ) y( xn1 ))
h(1 y( xn1 ) y( xn ) 1 y( xn1 ))
2 3 4 h h h y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 ) 2 6 24
f ( xn1 , y( xn1 )) y( xn1 ) y( xn h)
2 3 h h (4) 4 y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6
时间t/s
距离s/m 0 解
作直线模型: at+s=0 n为观测点数
定义残差向量:
V (at1 s1, at2 s2 ,
2
2
, atn sn )T
I (a) V
(ati si )
i 1
n
2
dI 2 53.63a 2 1078 所以: da 令: dI 2 53.63a 2 1078 0 da
2 6
5 6

2
2
x dx 0 A C
5
128 8 12 6 6 2 x dx 7 A C 2 3 52
所以代数精确度为5次.
2
因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式.
三 线性方程组
Gauss消去法 矩阵三角分解法 直接法 追赶法 向量和矩阵范数 矩阵条件数
所以当:
1 2
3 1 8
1 1 8
1 3 1 yn1 ( yn yn1 ) h( f n1 f n f n1 ) 2 8 8
为三阶多步公式.
1 4 (4) h y ( xn ) 局部截断误差主项为: 48
六 特征值特征向量
特 征 值 及 特 征 向 量 解 法 重要概念 特征值特征向量正交相似 反射 变换 平面旋转 QR分解 幂法 反幂法
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x* 将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
1 f ( x ) 1 0 x ∈(2, ) x
1 g ( x ) 2 ln x | g( x ) || | 0.5 x ∈(2, 4) x
因此， x0(2, ), xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于x* 取初值x0＝3.0,计算结果如下：
令 得
I BGS 0 1 3 2a 1 0 2 2
2a 1
1 1 a 2 2
四 非线性方程求根
二分法 不动点迭代法及收敛性理论 求根法 牛顿迭代法 插值型迭代 弦截法 抛物线法
例5 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, )内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 解 令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0, f(4)>0,故方程在(2,4)内至少有一个根 又
方程组与高阶方程
y f ( x, y ) 例5 给定求解常微分方程初值问题 y ( x ) y 0 0 的线性多步公式
yn1 ( yn yn1 ) h(1 fn1 fn 1 fn1 )
试确定系数
, 1 , 1, 使它具有尽可能高的精度，
1 2 a0 2 a1 3 1 1 2 a0 a1 3 5 2
解得a０=4/15，a１＝4/5 即p1(x)=4/5x+4/15 为P1[0,1]中对g(x)= x的最佳平方逼近元.
例1
观测物体过原点的直线运动,得到所示数据, 求运动方程. 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110
数值求积思想 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性
梯形公式 辛普森公式
例2
试确定常数A,B,C及α,使求积公式:

解 令:
2
2
f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( )
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
f x 1
三 线性方程组
迭代格式
基本概念 雅可比迭代 迭代法 收敛条件
高斯-塞德尔迭代 SOR迭代
迭代收敛速度
例3
设线性方程组
Ax b 的系数矩阵为:
2 a 1 1 1 2 1 a 1
解
(1)写出Jacobi 迭代法的迭代格式 (2)确定a的取值范围，使方程组对 应的Gauss-Seidel迭代收敛。
计算方法复习
典型概念例题
零 绪论
分类 误 差 及 算 法 误差 舍入 截断 绝对 度量 相对 有效数字 一元函数 n元函数
算法
传播
一 插值与逼近
工具
差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性 分段三次Hermite插值 三次样条插值
插值法
多项式插值
分段多项式 插值
并推导其局部截断误差主项。
解
y( xn1 ) y( xn h)
2 3 4 h h h (4) 5 y( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6 24
y( xn1 ) y( xn h)