正态分布2
正态分布 2
(
)
正态总体 N , σ 2 在区间: ( 3σ , + 3σ )、 在区间 内取值的概率是： 内取值的概率是：
F ( + 3σ ) F ( 3σ ) = Φ (3) Φ ( 3) ≈ 0.997.
例4：某校高中二年级期末考试的数学成绩 ： ζN(7,102).①若参加考试的学生有 ζ ①若参加考试的学生有100人,学生 人 学生 甲得分为80分 求学生甲的数学成绩排名 求学生甲的数学成绩排名; 甲得分为 分,求学生甲的数学成绩排名 分及其以上)的学生有 人 求第 ②若及格(60分及其以上 的学生有 若及格 分及其以上 的学生有101人,求第 20名的数学成绩 名的数学成绩. 名的数学成绩
例3:分别求正态总体 N , σ 2 内取值的概率. 内取值的概率.
( σ , + σ )、( 2σ , + 2σ )、 3σ , + 3σ )、 (
(
)
在区间: 在区间:
在区间: 同理，正态总体 N , σ 2 在区间 ( 2σ , + 2σ )、 解：同理， 内取值的概率是： 内取值的概率是：
正 态 分 布2
f(x)=
1 2πσ
e
( x)2 ∈－ 2σ2 ，x∈(－∞,
+∞)
标准正态曲线: 标准正态曲线:当=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总 =0、 =l时 正态总体称为标准正态总 体，其相应的函数表示式是
x2 2
1 f ( x) = e 2π
(∞ < x < ∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线 其相应的曲线称为标准正态曲线 y
高二数学正态分布2
y
思考 观 察 图 2.4 4,结 x o 合 φμ,σ x 的 图2.4 4 解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点: 率的性质 , 你 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交 ; 能说 说正态 2曲线是单峰的,它关于直线x μ 曲线 的特点 对称; 吗?
3曲线在x μ处达到峰值; 4曲线与x轴之间的面积为1.
如果去掉高尔顿板试验 y 中最下边的球槽 , 并沿其 底部建立一个水平坐标 轴, 其刻度单位为球槽的 宽度, 用 X 表示落下的小 球第 1次与高尔顿板底部 o 图2.4 4 接触时的坐标 , 则X是一 a,b的概率为 个随机变量 .X落在区间 Pa X b φμ,σ x dx
进一步, 若X ~ Nμ, σ 2 ,则对任何实数a 0, 概率 Pμ a X μ a φμ,σ x dx
μa μa
为图2.4 6中阴影部分的面积, 对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X 集中在μ周围概率越大. 特别有
Pμ σ X μ σ 0.6826, Pμ 2σ X μ 2σ 0.9544, Pμ 3σ X μ 3σ 0.9974,
μa μ μa
上述结果可用图 2 .4 7 表 示
68.26% 95.44%
图2.4 6
早在1733年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得 到了正态分布 .之后, 德国数学家高斯在研究 测量误差 时从另一个角度导出了 它,并研究了它的性质 ,因此, 人 们也称正态分布为高斯 分布.
所以, 正态分布广泛存在于自 然现象、生产和生活实 际之中。 正态分布在概率和统计 中占有重要地位 。
正态分布2.
例题讲解
例3：在某次数学考试中，考生的成绩 服从 一个正态分布，即 ~ N(90,100).
(1)试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概 率是多少？
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试 成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
B.正态分布N(, 2 ) 的图象位于x轴上方；
C.若 X ~ N (3,22 ) ，则X的分布密度函数
, ( x)
1
( x3)2
e 8;
2
D.函数 f (x)
1
e
x2 2
(
x
R)
的图象是一条两头
2
低、中间高、关于y轴对称的曲线.
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
-a +a
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
-x2 –x1 x1 x2
特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a X a) a , ( x)dx
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 a 而言，该面积
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若 固定,
随值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
正态分布函数的平方的分布
正态分布函数的平方的分布1. 定义正态分布函数的平方的分布，简称正态平方分布，也称为卡方分布。
它是一种概率分布函数，是对正态随机变量的平方进行统计分布研究的结果。
在统计学中，正态平方分布是一种重要的分布，常被应用于假设检验、可信区间估计以及方差分析等领域。
正态平方分布的主要特征是非负、右偏态，其参数由自由度决定。
2. 概率密度函数正态平方分布的概率密度函数如下：f(x;ν)=xν2−1e−x2 2ν2Γ(ν2)其中，x表示随机变量的取值，ν表示自由度，Γ表示伽马函数。
3. 自由度和形状正态平方分布的自由度参数ν的取值大于0，它决定了分布的自由度和形状。
自由度越大，正态平方分布越接近正态分布。
4. 性质（1）期望和方差：正态平方分布的期望和方差如下：期望：E(X)=ν方差：Var(X)=2ν（2）对称性：当自由度ν为偶数时，正态平方分布是对称的；当自由度ν为奇数时，正态平方分布是右偏的。
5. 应用领域和用途正态平方分布在统计学中有着广泛的应用，具体包括以下几个方面：（1）假设检验：正态平方分布可以用于对总体方差进行假设检验。
通过计算正态平方统计量，与给定的显著性水平进行比较，从而判断总体方差是否满足某个假设。
（2）置信区间估计：利用正态平方分布，可以对总体方差进行置信区间估计。
通过计算正态平方统计量的上下临界值，与样本方差进行比较，确定总体方差的置信区间。
（3）方差分析：正态平方分布常用于方差分析中，用于比较两个或多个总体方差是否相等。
通过计算正态平方统计量，与临界值进行比较，从而判断不同总体的方差是否存在显著差异。
（4）回归分析：在回归分析中，正态平方分布可以用于检验回归方程中的误差项方差是否相等。
通过计算正态平方统计量，与指定的显著性水平进行比较，从而判断回归方程中的误差项方差是否存在异方差性。
（5）相关分析：在相关分析中，正态平方分布可以用于检验两个变量之间的方差是否存在差异。
通过计算正态平方统计量，与显著性水平进行比较，从而判断两个变量之间的方差是否相等。
高二数学(选修-人教A版)-正态分布-2PPT
（2）如果小球与第 1 个障碍物相撞后向左落下，那么小球
与第 5 个障碍物相撞后也向左落下；（×）
（3）X 主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响.（×）
结论：X 是一个随机变量，受到了很多个障碍物的作用；每个障碍物是互不
影响、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不分主
问题3：随着试验次数增加,组距不断缩 小，我们猜频率分布折线图有何特点？
预测：频率分布折线图越来越光滑.
结果：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条 曲线. 问题4：生活中我们是否见过类似形状的东西？
象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东 西，我们称之为钟形曲线.
, ( x)
1
e
(
x )2 2 2
小球分布的 频率分布直方图
试验次数增加，组距缩小， 小球的分布规律是正态曲线.
结合定积分和概率的知识，用曲边梯形的面积计算概率，进
一步可以对, (x)求定积分来求曲边梯形的面积：
概率
曲边梯形面积 定积分
P(a X b)
b
a , (x)dx
b
P(a X b) a , (x)dx
此公式是不是只对特殊的 a 和b 成立
呢？其实是对于任意的实数a 和b（ a ＜b ），
随机变量 X 都满足
P(a X b)
b
a
,
(
x)dx.
X 表示落下的小球第 1 次与高尔顿板底部接触时
的坐标，X 是一个随机变量，请大家通过下面的问题
体会 X 是什么样的量？它受到哪些因素的影响.
问题 7：判断下面说法是否正确，说明理由.
如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔
高中数学教案正态分布2
高中数学教案精选-正态分布教学目标：1. 理解正态分布的概念及其性质；2. 学会计算正态分布的概率；3. 能够应用正态分布解决实际问题。
教学重点：1. 正态分布的概念及其性质；2. 正态分布的概率计算。
教学难点：1. 正态分布的概率计算；2. 应用正态分布解决实际问题。
教学准备：1. 投影仪；2. 教学PPT；3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入正态分布的概念，通过举例让学生感受正态分布的广泛应用；2. 提问：什么是正态分布？它有什么特点？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解正态分布的定义及其数学表达式；2. 讲解正态分布的性质，包括对称性、有界性和单峰性；3. 讲解正态分布的概率计算方法，包括累积分布函数和概率密度函数。
三、案例分析（10分钟）1. 通过具体案例，让学生理解正态分布的概率计算方法；2. 让学生尝试解决实际问题，如求解某个正态分布变量的概率。
四、课堂练习（10分钟）1. 给出练习题，让学生独立完成；2. 对学生的答案进行讲解和指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结；2. 布置作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析和课堂练习等环节，让学生掌握了正态分布的概念、性质和概率计算方法。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
结合实际案例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
六、正态分布的应用（15分钟）1. 介绍正态分布在日常生活中的应用，如身高、体重、考试成绩等；2. 讲解如何利用正态分布解决实际问题，如估计某个群体的平均身高；3. 让学生尝试解决实际问题，如估计某个班级学生的平均成绩。
七、正态分布的性质与图像（15分钟）1. 讲解正态分布的性质，包括对称性、有界性和单峰性；2. 利用PPT展示正态分布的图像，让学生理解正态分布的形状；3. 讲解如何通过观察正态分布的图像来判断数据的分布情况。
利用正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法
利用正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法正态分布近似计算二项分布是一种非常常见和非常有用的方法，它可以帮助我们更好地研究随机事件的概率。
正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法是基于多次试验中，其取位置点的概率分布可以用正态分布描述的现象来进行计算的。
具体来说，在运用正态分布近似计算二项分布的时候，我们先要做的是计算出误差度和把它转换为方差。
把误差度转换成方差的过程中，我们用的公式如下：
方差 = 2 * p * q
其中，p和q分别表示成功的概率和失败的概率，都是从二项分布求出的。
得到方差之后，就可以用它来计算出正态分布近似二项分布的均值，公式如下：
均值 = p * n
其中，n表示试验的重复次数，也是从二项分布求出的。
得到均值和方差后，再把这两个量代入正态分布的公式，就可以得到经过正态分布近似的二项分布概率分布。
之后，我们再计算二项分布概率数值，这一步比较简单，最后，我们得到的结果就相当于用正态分布近似计算出来的二项分布了。
总之，正态分布近似计算二项分布的基本原理就是，将二项分布取位置点的概率分布当做一个正态分布来模拟，然后用正态分布的公式去计算，把得到的均值和方差代表二项分布，从而获得近似的结果。
这种做法的优点在于，无论我们的随机事件的概率如何变化，计算的结果都会比较精确，也比较准确。
第二章正态分布
3
1
15
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
16
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
17
正态曲线下的面积规律
141.2 148.9 154.0 147.7 152.3 146.6 132.1 145.9 146.7 144.0
135.5 144.4 143.4 137.4 143.6 150.0 143.3 146.5 149.0 142.1 140.2 145.4 142.4 148.9 146.7 139.2 139.6 142.4 138.7 139.9
z
X
则z服从标准正态分布 Nhomakorabea28正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经z变换后，就可把求解任意 一个正态分布曲线下面积的问题，转化成标准 正态分布曲线下相应的面积问题。
29
标准正态分布的特征
标准正态分布特征同正态分布，它是正态分布的特例。 每一条正态分布曲线经z变换都可转换为标准正态分布。 正态分布取值与标准正态分布取值具有一一对应的关系；
曲线下的面积也具有一一对应的关系。
30
附表1
标准正态曲线下的面积分布表
z取不同值时z值左侧的标准正态曲线下面积，记做 (z ) 列出了标准正态曲线下-∞到z(z≤0)的左侧累计面积 因为z分布是对称的，所以只列出了一半的面积
( z ) 1 ( z )
8
某市2007年12岁男童120人的身高(cm)资料如下
142.3 156.6 142.7 145.7 138.2 141.6 142.5 130.5 134.5 148.8 134.4 148.8 137.9 151.3 140.8 149.8 145.2 141.8 146.8 135.1 150.3 133.1 142.7 143.9 151.1 144.0 145.4 146.2 143.3 156.3 141.9 140.7 141.2 141.5 148.8 140.1 150.6 139.5 146.4 143.8 143.5 139.2 144.7 139.3 141.9 147.8 140.5 138.9 134.7 147.3
4正态分布 2
x=
正态分布曲线下的面积规律
对于正态分布X~N(μ,σ2) ,以总面积为1，则 在 μ±uασ 范围所对应的曲线下的面积为1-α。
表2-5 常用u值表
α 0.20 0.10 0.05 0.01 单侧 0.842 1.282 1.645 2.326 双侧 1.282 1.645 1.960 2.576
e
1 x 2
2
, x
即随机变量X服从均数为μ,标准差为σ的正 态分布，记为： X~N(μ,σ2) f(x)称随机变量X的概率密度函数。
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X )
1
2
e
( X )2 2 2
标准正态分布曲线下面积(u)
-u
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0
0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
由于正态分布以均数所在处频数最多，两侧 逐渐减少，左右完全对称，故u值的均数为0。又由 于以原变量值的标准差为单位，故u值的标准差为1
数学-2017届高二-数学正态分布2-课件(讲课)
) (
a
),
然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页)
从而，可计算服从（ , ）的正态分布
2
的随机变量 取值在a与b之间的概率.
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 4 5 (0.9426) 4 0.0574 (0.9426) 5 0.9707
例7.一 投 资 者 在 两 个 投 资 案 方中选择一个， 这两个投资方案的利X 润 （万元）分布 服从正态分布 N（8， 3 2 ） 和N（6， 2 2） 投 资 者要求“利润超过 5万 元 ” 的 概 率 尽 量 地 大，那么他应该选择一 哪个方案？
例9.一 建 桥 工 地 所 需 要 的 筋 钢的长度服从 正态分布 N（8， 4） ， 质 量 员 在 检 查 一 批 大钢 筋的质量时，发现有钢 的筋长度少于 2， 他 是 让钢筋工继续用钢筋割 切机截割钢筋呢？ 还是让钢筋工停止生， 产检修钢筋切割机？
小于1%， ~ N (175,36), P( x) 1 P( x)
x 175 ( ） 0.99, 6
x 175 1( ) 0.01, 也就是 6
x 175 x 175 ( ） 0.99, 查表得 2.33即x 188 .98. 6 6
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
正态分布2σ概率的解读与计算
正态分布是统计学中一种重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在实际应用中非常常见，可以用来描述许多自然现象和社会现象，比如身高、体重、芳龄等。
在正态分布中，均值和标准差是决定分布形态的两个关键参数。
本文将深入探讨正态分布的概念、特性和应用，并解读与计算正态分布的2σ概率。
1. 正态分布的概念及特性1.1 正态分布的定义正态分布是一种钟形对称的连续型概率分布，其密度函数可以用数学公式表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))其中，μ为分布的均值，σ为分布的标准差，e为自然对数的底。
1.2 正态分布的特性正态分布具有以下几个重要特性： - 曲线对称：正态分布的密度曲线关于均值对称，均值处为曲线的中心位置。
- 唯一峰值：正态分布只有一个峰值，即均值所在处，两侧的概率逐渐减小。
- 形态稳定：正态分布的形态由均值和标准差唯一决定，不受具体数值的影响。
- 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，称为标准正态分布。
2. 正态分布的应用2.1 统计推断正态分布在统计学中具有重要的应用，尤其是在统计推断中起到关键作用。
根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量的均值近似服从正态分布。
这使得正态分布可以用来进行参数估计和假设检验，对总体的特征进行推断。
2.2 质量控制正态分布在质量控制领域中也扮演着重要角色。
许多生产过程的输出结果往往服从正态分布。
通过对生产过程进行抽样和统计分析，可以计算出均值和标准差，进而判断产品质量的合格率，并进行异常点检测和质量改进。
2.3 风险管理正态分布在金融和风险管理领域中广泛应用。
通过建立资产收益率的正态分布模型，可以估计投资风险和收益的分布情况，从而更好地制定投资策略和管理风险。
3. 正态分布2σ概率的解读与计算在正态分布中，均值加减2倍标准差的范围约包含95.45%的观测值。
这意味着，对于一个服从正态分布的随机变量，其取值在均值加减2倍标准差范围内的概率为0.9545。
标准正态分布表 (2)
标准正态分布表标准正态分布表怎么看将未知量Z对应的列上的数与行所对应的数字结合查表定位例如要查Z=1.96的标准正态分布表首先在Z下面对应的数找到1.9然后在Z右边的行中找到6这两个数所对应的值为0.9750 即为所查的值有谁知道，为什么标准正态分布表x的右边和下边都有值啊，难道一个x可以有两个值，看表是怎么看啊那是一个精度问题，例如当x=0.12,那么应该先在x下方找到0.1，再在右边找到0.02，那么这两个同时对应的那个数就应该是你所要的！标准正态分布的x值算出来介于两个之间,取哪一个。
概论值如果介于两个间,取更大的还是更近的啊精度要求不是很高的话，在正中取中间值，靠一边取更近的，四舍五入。
精度要求高的话用插值函数，比如在两点间作一次函数逼近。
为什么u0.025等于1.96？标准正态分布表查不到这个结果啊。
u0.05是多少？u0.1是多少？因为P{Z<1.96}=1-0.025=0.975u0.05=1.645因为P{Z<1.645}=1-0.05u0.1类似统计学中，标准正态分布表中Z值代表意义Z值只是一个临界值，他是标准化的结果，本身没有意义，有意义的在于在标准正态分布模型中它代表的概率值。
通过查表便可以知道。
标准正态分布期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布的密度函数为：标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
医学统计学(第2章)正态分布
dx
（2-18） ）
F（X）
p(a〈x〈b)
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
正态分布曲线下面积的含义
1.表示变量值（x）在a-b区间变量值所占 1.表示变量值 表示变量值（ 全部（总体）变量值的比例或概率 比例或概率(p)。 全部（总体）变量值的比例或概率(p)。 2变量值在整个曲线下的面积为100%,或 变量值在整个曲线下的面积为100%,或 出现的概率为1 出现的概率为1。
第五节 医学参考值范围的制定
一、概念 医学参考值是指包括绝大多数“ 医学参考值是指包括绝大多数“正 常人” 的各种生理及生化指标常数， 常人 ” 的各种生理及生化指标常数 ， 也 称正常值。 称正常值。 正常值是指在一定范围内波动的值， 正常值是指在一定范围内波动的值， 医学上常用95% 医学上常用95%的范围作为判定正常或 异常的参考标准。 异常的参考标准。
二、 标准正态分布
1.标准正态分布及标准化变量值（u） 标准正态分布及标准化变量值（ ） 标准正态分布及标准化变量值 任何正态分布的X值通过 值转换后,称为标 任何正态分布的 值通过u值转换后 称为标 准化的正态分布， 准化的正态分布，即u ~N（ µ=0 ， σ2=1） （ ） 概率密度函数为： 。概率密度函数为： 2
Φ(−u) 表示从－∞到- u值对应曲线范围 表示从－ 值分布比例。 内X值分布比例。
例1： ：
Φ(u = −1) = 0.1587 Φ(µ =1) =1− Φ(u = −1)
=1− 0.1587 = 0.8413
例2：标准正态变量值u=（-1，1）和u= 标准正态变量值u=（ 1.96，1.96）区间内面积各为多少？ （ -1.96，1.96）区间内面积各为多少？
第二章 正态分布
182
0.013112
186
0.004181
190
0.000962
194
0.000160
x
f(x)
147
0.000122
150
0.000886
153
0.004479
156
0.015790
159
0.038837
162
0.066645
165
0.079788
168
0.066645
171
0.038837
174
一、正态分布(normal distribution)
•
正态分布以均数所在处频数最多，两侧逐
渐减少，但永不为零，左右完全对称。其图形
为近似钟形。
•
正态分布的表示方法为N(μ,σ2)。其中μ为
均数,是正态分布的位置参数；σ2是方差，反
映了正态分布的形态。有了这两个参数，即可
绘制出正态分布的图形。
2020/1/30
• 对于本例的问题，采用标准正态分布来解决就 简单多了。
• 首先，计算x1=160cm和x2=180cm时的u值：
u1
1601701.43 7
u2
1
801 7
701.43
2020/1/30
标准正态分布曲线下面积的计算
2020/1/30
三、标准正态分布
• 查表9-8（标准正态分布曲线下的面积）得： • Φ(-1.43)=0.0764 • 身高不超过160cm的人数=10 000×0.0764=764（
形分布，以均数所在处频数最多，
• ①位置不同，男性身高的均数大于女性，故图形 靠右；
• ②高低不同，男性身高的方差大于女性，故变量 值更分散，图形更低平。
大学概率论二维正态分布
检验的步骤与注意事项
确定假设
在进行假设检验之前，需要明 确所要检验的假设，包括均值 向量、协方差矩阵等参数的假
设。
选取合适的统计量
根据所要检验的假设和数据特 征，选择合适的统计量进行计 算。
应用
独立性在统计分析中非常重要， 因为它允许我们简化模型并推导 出许多有用的性质和结果。
03
二维正态分布的参数估计
最大似然估计法
总结词
最大似然估计法是一种通过最大化似 然函数来估计参数的方法。
详细描述
最大似然估计法的基本思想是，通过 选择参数，使得样本数据在该参数下 出现的概率最大。对于二维正态分布， 最大似然估计法可以用来估计均值向 量和协方差矩阵。
矩估计法
总结词
矩估计法是一种基于样本矩的参数估计方法。
详细描述
矩估计法的基本思想是，利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计值。对于二维正态分布，矩估计法可以 用来估计均值向量和协方差矩阵。
贝叶斯估计法
总结词
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法。
详细描述
贝叶斯估计法的基本思想是，将参数看作随机变量，根据先验信息和样本数据，利用贝叶斯定理来更 新参数的后验概率分布。对于二维正态分布，贝叶斯估计法可以用来估计均值向量和协方差矩阵。
总结词
在生物统计学中，身高和体重之间存在一定 的相关性，利用二维正态分布模型可以分析 这种关系，为健康研究和医学诊断提供依据 。
详细描述
在生物统计学中，身高和体重之间的关系是 研究的热点之一。通过二维正态分布模型， 可以分析不同身高对应的正常体重范围，以 及身高和体重之间的相关性。这种分析有助 于医学专家更好地了解人体的生长发育规律 ，为制定更加科学合理的膳食营养方案提供 依据，同时也可以为疾病诊断和治疗提供参
正态分布[2-2]
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(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
2.4正态分布2
取值的概率只有0.3 ％。 际( m运 用3由当通中于, am常就这称只33些考这)时概之虑些正率内这情态值,个况其总区很他发体间小区生的,（称 间为取一为 取值小值般3几概几不乎原率乎超总则事不过取.件可值5能 。％于.区 在）实间，
二、正态曲线的特点
(x)
1
e
(
xm ) 2 2
2
,
x
R
( 0)
2
1、曲线位于x轴 _上___方，与x轴 _不__相__交__.
2、曲线是单峰的，它关于直线 _x___m_ 对称.
3、曲线在
_x___m__
处达到最大值
1
____2____.
4、曲线与x轴之间的面积为 __1_____.
正态总体的密度函数表达式
【解】 因为 ξ～N(90，100)，所以 μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954 5， 而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10 ＝110，于是考试成绩 ξ 位于区间(70，110)内的概率为 0.954 5. (2)由 μ＝90，σ＝10，得 μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在 区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是 0.682 7，所以考试成绩 ξ 位于 区间(80，100)内的概率就是 0.682 7.一共有 2 000 名考生，所以考 试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．
经试验表明，一个随 机变量如果是众多的、互 不相干的、不分主次的偶 然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分
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表示式是 f ( x)
1
2
e
x2 2
,
x
R
,相应的曲线称为标准正态曲线.
2.正态曲线具有的性质：
(1)对x的任意取值，都有 f (x) 0
(2) f ( x) f ( x) f (x)max f ()
(3)当x 时，f (x)递增；当 x 时，f (x)递减
(4)当一定时， 决定曲线形状
P( a
a)
(
2a00 )
(
a 200
)
2
(
a 200
)
1
0.95
(
a 200
)
0.975
查表知： a
200
1.96
a
392
答: （1）3.98%；（2） a至少为392。
果要使此县农民年平均收入在(μ-a，μ+a)内的概率不少于0.95，
则a至少有多大？
解：设ξ表示此县农民年平均收入，则 ~ N (500,2002 )
(1)
P(500
520)
( 520200500)
(
500 500 200
)
(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398；
(2)
例2 某厂生产的圆柱形零件的外径ξ服从正态分布N(4,0.25)，质 检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外 直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解: 由已知ξ服从正态分布N(4,0.25)．由正态分布的性质可知， 正态分布N(4,0.25)在(4-3×0.5，4+3×0.5) 即 (2.5，5.5) 之外取值的概率只有0.003，
0.8413；
(2)
P(
0)
(
0
2
1)
(0.5)
1
(0.5)
1 0.6915 0.3085；
(3) P(2 2) P( 2) P( 2)
(
2
2
1
)
(
2 2
1
)
(0.5)
(1.5)
(0.5) [1(1.5()1.51)] 0.6915 0.93321 0.6247；
(4)
P(
因 此 ， 在 这 种 情 况 下 应走 第 一 条 路 线.
例5（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生 的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含 90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的 分数线约为多少分？
一 般 地 ， 发 生 的 概 率 小 于 5% 的 事 件 ， 我 们 称 为 小 概 率 事 件．因为这些事件在大量重复实验中，平均每实验20次才发生1 次，所以认为在1次试验中该事件是几乎不可能发生的．以此为出发 点，我们有了生产过程质量控制的假设检验的基本思想．
说明：⑴假设总体应该是或近似地服从正态分布，然后依照小概率 事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对实验结果进行分析：
P(ξ ≥x)
＝1－P(ξ<x)
=
1－F(x)
1
(
x
70 10
)
50 526
＝0.0951.
即
(
x
70 10
)
0.9049，
查表得
x
70 10
1.31，
解得 x ＝ 83.1.
故设奖得分数线约为83.1分.
作业： 活页作业
练习1. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案 的利润X（万元）分布服从正态分布N（8，32）和 N（6，22）投资 者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择 哪一个方案？
≈526（人）.
例5（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生 的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含 90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的 分数线约为多少分？
解：（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则
F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)
=Φ(1)-[1-Φ(1)] =2Φ(1)-1
=2×0.8413-1≈0.683；
同理，正态总体N(μ，σ2)在(μ-2σ，μ+2σ) 内的取值概率是 F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2) ≈ 0.954；
正态总体N(μ，σ2)在(μ-3σ，μ+3σ) 内的取值概率是
解 ： 设为 行 车 时 间
（1）走第 一条 路线 ，及时赶到 的概 率为 ：
P（0
70）
（70 50）（0
10
50） 10
（70 50） （2） 0.9722
10
走第二条路线，及时赶到的概率为：
P（0 70） （70 60）（0 60）
4
4
（70
4
60）
（2.5）
0.9938
2)
1
P(
2)
1
(
2
2
1)
1 (0.5)
1 0.6915 0.3085 .
例1. 分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ)、
(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率.
解：
F(
)
[(
)
]
(1),
F(
)
[(
)
]
(1),
所以正态总体N(μ，σ2)在(μ-σ，μ+σ) 内的取值概率是
解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ， 因为 ξ～N(70，100)，
由条件知，P(ξ ≥90)
＝1－P(ξ<90)
=
1－F(90)
1
(
90 70 10
)
1 (2) ＝1－0.9772 ＝0.0228.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参
赛人数的2.28％，
因此参赛总人数约为
12 0.0228
而 5.7 (2.5，5.5)，
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，
据此可以认为该批零件是不合格的.
例3 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h），已知 （1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为 问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？
ξ～N 99.7％，
解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，由正态分布的性质可知，
故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％， 即在（910，1090）内取值的概率为99.7％， 故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 h 以上。
例4. 某人从城市南郊某地乘公共汽车前往 北郊火车站有两条路线可走，第一条路线 穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时 间（单位：分）服从正态分布N（50，102）； 第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少， 所需时间服从正态分布N（60，42） （1）若只有70分钟可用，问应走哪条路？ （2）若只有65分钟可用，又应走哪条路？
解：对第一种方案有X ~ N（8，32），于是
P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 8） 3
1 （1） （1） 0.8413
对第二种方案有X ~ N（6，22），于是
P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 6） 3
1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
选第一种方案.
2. 某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布。（1） 求此县农民年平均收入在500~520元间人数的百分比； （2）如
F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3) ≈ 0.997 .
上述计算结果可用下表和图来表示.
我们从上表看到，正态总体在(μ-2σ，μ+2σ)以外取值的概率只 有4.6%，在(μ-3σ，μ+3σ)外取值的概率只有0.3%，这些概率值很小，
我们通常认为在1次试验中几乎不可能发生．
5. 假设检验方法的基本思想
在 这 种 情 况 下 应 走 第 二条 路 线.
(2).走 第 一 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P（0 65） （65 50）
10
（1.5） 0.9332
走 第 二 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P（0
65）
（65
4
60）
（1.25） 0.8944.
3.关于标准正态分布的计算
N (0,12 ) 记函数(x0 ) P(x x0 )
则P(x1 x x2 ) (x2 ) (x1) 当x0 0时，(x0 ) 1 (－x0 )
4. 正态总体向标准正态总体的转化
标准正态分布的计算 函数F (x) P(x x0 )
一般正态分布的计算
x F(x)=Φ( )．
在区间(x1 , x2)内取值的概率是：
F ( x2 ) F ( x1 )
(
x2
)
(
Байду номын сангаас
x1
)
.
练习1：
练习2 若～N(1,4)求:
(1)P(<3); (2)P(<0); (3)P(-22); (4)P(>2).
解： 由N(1,4)知，μ= 1,σ=2 .
(1)
P(
3)
(
3
2
1
)
(1)
正 态 分 布(2)
知识回顾：
1. 正态函数的定义 若总体密度曲线就是或近似函数