空间向量与立体几何解答题答案

空间向量与立体几何解答题答案
空间向量与立体几何解答题精选
1 已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且 ， ， 是 的中点
（Ⅰ）证明：面 面 ；
（Ⅱ）求 与 所成的角；
（Ⅲ）求面 与面 所成二面角的大小
证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
（Ⅰ）证明：因
由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 面 又 在面 上，故面 ⊥面
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值
解：（I）以 为原点， 、 分别为 轴建立空间直角坐标系
由于，
在三棱柱 中有
,
设
又 侧面 ，故 因此 是异面直线 的公垂线，
则 ，故异面直线 的距离为
（II）由已知有 故二面角 的平面角 的大小为向量 的夹角
7 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， 是 上
一点， 已知
（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ，
，设平面 的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为
（3）设平面 的法向量 ，∴
由 令 ，
∴
依题意
∴ （不合，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ去），
∴ 时，二面角 的大小为
6 如图，在三棱柱 中， 侧面 ， 为棱 上异于 的一点， ，已知 ，求：
（Ⅰ）异面直线 与 的距离；
（Ⅱ）解：设 为 中点，则 ，
由
因此， 是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
3 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
侧棱 底面 ， ， ， ，
为 的中点
（Ⅰ）求直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面 内找一点 ，使 面 ，
并求出点 到 和 的距离
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 的坐标为 、
、 、 、
、 ，
从而
设 的夹角为 ，则
∴ 与 所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则
，由 面 可得，
∴
即 点的坐标为 ，从而 点到 和 的距离分别为
4 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设
∵ 为平行四边形，
（II）设 为平面 的法向量，
的夹角为 ，则
∴ 到平面 的距离为
5 如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 上移动 （1）证明： ；
（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；
（3） 等于何值时，二面角 的大小为
解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则
（1）
故 即二面角 的大小为
求（Ⅰ）异面直线 与 的距离；
（Ⅱ）二面角 的大小
解：（Ⅰ）以 为原点， 、 、 分别为
轴建立空间直角坐标系
由已知可得
设
由 ，
即 由 ，
又 ，故 是异面直线 与 的公垂线，易得 ，故异面直线
, 的距离为
（Ⅱ）作 ，可设 由 得
即 作 于 ，设 ，
则
由 ，
又由 在 上得
因 故 的平面角 的大小为向量 的夹角
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在 上取一点 ，则存在 使
要使
为
所求二面角的平面角
2 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形,
平面 底面
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求面 与面 所成的二面角的大小
证明：以 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系
（Ⅰ）证明：不防设作 ，
则 ， ，
由 得 ，又 ，因而 与平面 内两条相交直线 ， 都垂直 ∴ 平面