2017年全国高中数学联赛模拟试题
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B =．2.若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.3.已知02πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +5.已知点P ,,A B C6.在ABC ∆则ABC ∆7. 则实数a8.若整数设A 是集{1,2,M =9.（110.（F ，PQ 11. （2）ω（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,AB AC D >、E 分别是边AB 、AC 的中点，ADE ∆的外接圆与BCE ∆的外接圆交于点P （异于点E ），A D E ∆的外接圆与BCD ∆的外接圆交于点Q （异于点D ）。
求证：AP AQ =. 二、（本小题满分40分）求所有素数p ，使得12211p p k pk -+=å三、（本小题满分50分）设n 是一个正整数，1212232,,,,,,,,,,,n n n a a a b b b c c c 是4n －1个正实数，使得2,1,i j i j c a b i j n +≥≤≤．令22max i i nm c ≤≤=，证明：22321212()()(2nn nm c c c a a a b b b nn n++++++++++≥．四、（本小题满分50分）n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m －1个棋手，也有一个棋手输给了其余m －1个棋手，就称此赛况具有性质P （m ）．对给定的m （m ≥4），求n 的最小值f （m ），使得对具有性质P （m ）的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同．2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B =．解：由于1x x +?，故1x y +=．由3log (2)1x +?知1x ¹，又因为10x +>，所以1132x x e x ++>>+即3log (2)1x x +<+故只能是11y x =+=，这样{0,1}A =，3{1,log 2}B =，得3{0,1,log 2}A B =2.若函数23log f x ax x ⎛⎫=-+在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.解：1,10.2>，解得1a >.综上，a()1,∞+.3.已知0≤3tan αβ=解：因为.所以(tanα4.21n +，22n a +1,2,3,.那么，解：因为{11n +，22n a +22221n n n a +++=⎩ =，数列是等差数列.易得36a =，49a =1=.1n =+，()221n a n =+，2100512601a ==.5.已知点(1,2,5)P 是空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C 三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为． 解：设此平面的方程为1x y z a b c++=，,,0a b c >分别是该平面在,,x y z 轴上的截距，又点P 在平面ABC内，故1251a b c ++=，由于12551a b c =++≥，即11027abc ≥，得1456OABC V abc =≥．当12513a b c ===，即(,,)(3,6,15)a b c =时，OABC V 的最小值为45．6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31cos()32A B -=， 则ABC ∆的面积为．解法1：由等比定理sin sin sin sin sin sin a b a b a bA B A B A B+-===+-得9(sin sin )1(sin sin )A B A B ⋅-=⋅+， 故18sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B -++-=，即tan 9tan22A B A B+-=． 因为cos()A B -=221tan 21tan 2A BA B ---+，又根据a b >知A B >，所以tan 2A B -=，从而tan 2A B +=，于是tan cot 22C A B +==sin C，1sin 2S ab C == 解法1A B 因此7.a解：(,5a A ，2:C 对1C 处的斜率8.若设A 是集}2,,2014M =的取}504,505,,1007A k k =，以下证，},,n a ，若2014j ≤，即2j a M ∈，显然2j a A ∉，（因2j a 与j a 有整除关系）．今在A 中用2j a 替代j a ，其它元素不变，成为子集A '，则A '仍然是联盟子集，这是由于对于A 中异于j a 的任一元素i a ，因j a 与i a 不互质，故2j a 与i a 也不互质；再说明2j a 与i a 没有整除关系：因j a i a ，则2j a i a ；又若2i j a a ，设2j i a ka =，（显然1,2k ≠，否则,i j a a 有整除关系），则2k >，于是i j a a <，这与j a 的最小性矛盾！因此A '仍然是联盟子集，并且仍是n 元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于1007为止，于是得到n 元联盟子集{}12,,,n B b b b =，其中10072014j b <≤．即{}1008,1009,,2014B ⊆，因任两个相邻整数必互质，故在这1007个连续正整数中至多能取到504个互不相邻的数，即504n ≤．又据前面所述的构造可知，n 的最大值即为504．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥时，1|nn a +-=，这里2r =-解：（1）由21131,,12n n n a a a n a ++==≥及归纳法易得*0()n a n N >∈，且n a 均为有理数…………4分当2n ≥时，由均值不等式得，21132n n n a a a --+=≥，又因为n a 均为有理数，故当2n ≥时n a从而221330(2)22n n n n n n na a a a a n a a ++-+-=-=<≥，所以当2n ≥时，n a 严格单调递减．…………8分（2）由n a 12分 解得1n a +=10.（F ，PQ 证：设(P )1y +，①FP FQ k k ∴⋅设公切线 将公令242222222242220404p k m a k b a k b p k b k a ∆=⇒=+⇒=+⇒--=，两曲线有相同焦点，222244()2p c p c a b ∴=⇒==-，代入上式解得22224p b k p +=…………15分22222121442,22p b p b a y p p p p ++∴=⋅==22222222212244442a pa pa p y y pb a b b =-=-=-=-+-+， 2221242+2a p b y y p p-∴==，代入②式，得2222222221242122FP FQp b p a a b b a pk k b b-⋅----∴⋅===- PF QF ∴⊥.…………20分11.（本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．证明：（1）设3()1f x x x =--，则2'()31f x x =-.()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛- ⎝⎭上单调递减，在3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()(10,3f x f =-=<极大()(103f x f ==-<极小 再由(1)10,(2)50f f =-<=>知，方程310x x --=恰有一个实根()1,2ω∈…………5分 假设mnω=，其中,m n 是互素的正整数，则32()m n m n =+，故23n m 于是1n =，即m ω=是整数，这与()1,2ω∈（2ω减去②乘以a …………15分由于ω代入2a +因此ω一、ADE ∆Q （异于点D ）。
2017年全国高中数学联赛模拟试题02
2017全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。
4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a 5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=;(2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭的最大值为__________．7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。
2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选-完全doc版)
2017年全国高中数学联赛考前模拟训练(原创精选)姓名 ____________ 班级 ____________ 学号 _______________作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师一.填空题1.已知一 —<« < —， 2tanP=tan2o (,tan( P —ot ) =—2血，贝y cosa =2 22tan(『■ x) 2tan :-4 2 2tan :解：tan 2: =2tan ： =2tan( ■ ■ ■■)，又 a2 :-1 -tan(P -a)tan a1+^2 tan a2 tan 二1 -tan 2:-从而2tan :1 - ta n2 ：4血'tan “，化简得 tan'o = -2/2，即 tan 。
= —J2 1 2、2 tan:■JI 兀又 2 2 从而cos ：2.(1)已知数列｛a n ｝满足c =5,a n 2a _1 十 g 2“N *)，贝其前100项的和是 解：依次计算可得 a 1 =5,a 2 =3,a 3 =5,a 4 =3|1(，则数列｛a .｝为周期2的数列，从而 S oo =50 (5 3) =400.(2)记［x ］表示不超过实数 x 的最大整数.已知数列｛a n ｝满足:1 c旦=a 2 二 2® 1 二 2a n a n 」2016 1 (n ■ Z ).则［］=k=2 a k 4a k + 解：由于a n^2a n 'a n 4- 2a n 昏n 1 一 a n 4左右同除!曲何也心 a n 」a n a n a n -1a n 1a n 12 l a n 4a na n a n 十丿从而 2016 2016 A —］干2“ a k ak 12016.【Tk =2 ‘2 <a 1 a 2a2016a20172016k =2，显然｛a n ｝单调递增，且玄2016玄2017 ■ 2，从2016而「k =2a2016a 20172_2 a2016a20172016=1，故［7k =2 a k 4a k 13•已知点A(0,1)，曲线C: y =log a X 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若小值为2，则实数a 的值为 _____________解：由于A(0,1),B(1,0)，则根据向量的投影的定义可知, 值为 2，即曲线C : ^ log a x 在点B(1,0)处的切线垂直直线 AB ，考虑到k AB =-1，1又 log a X 'log a e ， X 贝y 】log a e=1，即 a =e .1Z 与点(丄，-丄3)的距离的最大值为3，故2 25•已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都有一个球面上 •若该四棱锥的体积为 V ，则该球的 表面积的最小值为 ____________________ .1 2 解：设正四棱锥的底边长为 a,高PH 为h ，则-ah 二V •设四棱锥的外接球的球心为3球的表面积 S =4 二 r 2 _4—i 3 33V "3V14丿46.已知函数f (x) = 4二arcsin x -(arccos(-x))2的最大值为M ,最小值为N ,则M -N -4•若复数z 满足|z| = 2 ,」z 2 二 z_[L|2z-1 -、、3i|的最大值为|Z 2-Z 1|解：由于| 2z-1 -J3i |I j 3i 「1- 3i_|z-—z —^|1 + 恥―2」3i | Jz-1 _ 3i |，由于|z|=2，根据复2 2|z 2-z 1||2z -1 -、、3i|最大值为AP 在AB 方向上的投影的最大数运算几何意义可知，在圆x 2y^4上的点O ，则在 OBH 中，由于OH=h - r,OB = r, BHa “2，则r 2a =(h - r)2，从而22r22h2h 2a 22h 24h3V」=-h 4h 2」(h h 卑)一 33-3V .则4 h 4解: 由于 arccos(-x)arcsin(-x) arcsinx ，从而 2 2f (x) =4\ arcsin x -(三'arcsin x)2 ，从而AP 的最令t =arcsinx •[,],则f(x)=4-t_「t)2 -_t2，显然2 2' 2 " 4 2 2当M _N =f (j) _f (_j) =3二2.x2y2227.点P是椭圆1在第一象限上的动点，过点P引圆x y =9的两条切线16 9PA, PB,切点为A, B，直线AB与x轴，y轴分别交于点M ,N，则.MON的面积最小值为.解：设点P(4cos -,3sin -)，则直线AB的方程为4c°S=x 3si^^1，即16 93co ⑹4 sy n，则M(丄4 ,0), N(0^3 )，则S MON6 1212cos 日sin 日sin 日cos 日sin 20当取等号.故：MON的面积最小值为12.42^i 100 3 1508•多项式(1+x+x卄||+x )的展开式在合并同类项后，x 的系数为______________ .解：利用多项式展开原理可知(1 X X2川X100)3二(1 X X2•川X100)(1 X X2川X100)(1 X X2川x100)设三个括号中所取的项的次数分别为x-i, x2, x3，从而x150的系数即方程X| x2 x^ 150且0^X1,X2,X3^100,X「Z的不同的解(X1 ,X2 ,X3的个数•显然方程组X1+x尹x亏150 (X1 ,X2 ,X3 i0 x z=,i的解的个数用隔板法即得= ，当存在x i _101(i -1,2,3)时，不妨设为洛一101 ，贝V (% -100 )+(x2 + 1) +(x3+1) =52(X >101)的解的个数为C：综合上述，所求的X150的系数为-3C；1 =7651.9.已知關非零的不共线的向量.设OC OA OB .定义点集M 二｛K |KAKC|KA| _K1, K2 M 时，若对任意的r—2 ,不等式|K1K2匸c|AB|恒成立，则实数c的最小值为AC解：显然A,C,B共线，且--，不妨设AC = r,CB 二1,由于|KA| |KB|则CK 壮AKB 的角平分线，从而笔=「，则根据圆的定义可知点K 的轨迹为圆，在AB 的延长线上取一点 D ，使得LAD-Lr ，从而BD，从而点K 在以CD 为直径的圆|DB | r -1二三（r 一2） r -r11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达 到5次时游戏结束•游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到 5次，则甲获胜；否则乙获胜•那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为 _______________ .解：先考虑9次结束游戏的情形，则前 8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而 9上.由此2r r 2-1l|AB| 皿-4.故c 的最小值为3110.数列{a n } :a n 1，若对任意的正整数2—a .n ，均有am a .，则印的取值范围为二.简答题13.在数列｛a .｝中，a1 =1,a^— 4/2n 3心（n N,n_ 2）. n —1 （I ）求数列｛a n ｝的通项公式.（II ）令0=色』（n ・N *），证明：数列如飞 的前n 项和S 「：：2.n+1g-1）J解：（1）空=_^耳2 3n，从而旦n =（空_邑A ）.（电1巫L ）. HI •（竺_旦）•色n n-1n n n_1n_1 n-22 1 1= 2（3n _ 3n「||「3°）"沪，即 a — n 3nJ .n n _1 nn 」2b n_ 2 3 _ 2 3 3 -3 2 3 (b n -1)2_(3n-1厂(3n-1)(3nJ -1) 3n-1 (3n-1)(3心 -1)14.已知二次函数f (x)满足| f ( 0列 2f, |伍2 ) | f 2, | M 当［—2,2］时，求y H f ( x)的最大值.次结束的概率为 C ； 35128，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为C 8「 2835 93128 128（2）由于b n =3n，则1 3nJ -113n -1 3 1 （n -1），从而〈：：：2 •厂13n-1：2.c = f(0)，则 ^a =2解：设 f (x)二 ax bx c(a =0)，则 4a 2b• c = f (2) 4a -2bc = f(-2)c 二 f (0)f(2) f(-2) -2f (0) 从而 y =| f (x) | = f(2) + f (—2)—2f(0) 2 卜 f(2) — f (—2) X4 x+ f(0)=x 22xx 2_2x8 f⑵飞—4 _x 2fWp f(0)x 2+2xx - 2x + 4 - x22 -，考虑到当x 22xx ［-2, 2］时42小x -2x 0,从而4X 2+2X + x 2 -2x+ 4-x 2 - X 2+2Xx 2-2x /-X 2 一2x 4丨42 - 4 422|x| 25 则当|x| = 1时，|f(x)|有最大值丫 . 2从而当| f ( 2哥f —( 2)f\=0且| 2丰 取最大值，显然函数115f(x)二(2 X 2^2)或 f(x)二 gx 2-x-2)满足条件•故 y =| f (x)| 的最大值为-.215.已知 L G :(X -2)2 • y 2 二 r 2是椭圆 令 y 2的左顶点•(I) 求L G 的半径r ；(II) 过点M(0,1 )作［G 的两条切线与椭圆交于解：(1)设点B(2 r,y o )，BC 与x 轴的交点为D ，AB 与圆的切点为H ，则根据相似GH AH r 36 -r 26 r6 r关系得，从而y °r .则点B （2 ■ r,r ）代入椭BD ADy o 6 + r467（2 r ）2/、6 r 26 r 2 （6 r ）（2 - r ） 2圆中可得 （r ）2=1r 2，从而求得r .16 ^6^6-r 16 32 2 2（2）设直线ME, MF 的方程分别为y =Kx • 1,y =k 2x • 1，由于两直线与圆（x - 2） • y = r|2匕=1| 二相切，则J £3，即k 1,k 2是方程32k 2 36k ^0的两根，从而|2k 2 +1| 22 2 21一产，故点E 坐标为(-虫学丄驴)，同理得F( 琴「，1婪2).16k f 116k ： 1 16k 12 116k ； 1 16k ； 13斗）*壬-1 *，即4 16k 121 16k2 1 416k 12 11 -16k ； 1 -16k 12916k ； 1 16k 21k 1 k 283二3，由此直线— — 32 k 2 32k 1 1 -16k 1k 2 1-16 —4 16k 2" 116k 12132故k EFEF 的方程为 E, F 两点.证明：直线EF 与L G 相切.联立方程y = k j X 1x 22 二（16好 1）x 232&x=0，怎八1xE32k 116k 21y 二二3x-1 牛 4 16k 121考虑到 32k i 236k i • 5 = 0，从而 16k ； •仁-18^ -3，从而24k； 2=.故直线216k 1 +13试题2：设n 是正整数，p,q 为素数，且pq | n P T,n • 2 | n P • n q ，证明：存在正整数 m , 使得 q|4m n 2.EF 的方程为y 二二3x.此直线与圆4 3试题1:设n 为正整数,a 1,a 2,|l(,a n ,b!,b 2,M,b n • R ，且满足对任意的 i =1,2,|||,n ，都n有a i b i 0证明：i 二ab _b ：ai - b in nn 2、a i)i)i) 2 )、(a i b i )与圆G 相切.试题3：如图，△ ABC的内切圆I在边AB, BC, CA上的切点分别是D, E, F ,直线EF与直线AI, BI , DI分别相交于点M , N, K •证明：DM K^DN KF .试题4：若平面上有2k(k _3)个点，其中任意三点不共线•在任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红色或蓝色•称三边颜色相同的三角形为同色三角形，记同色三角形的个数为S.多于所有可能的染法，求S的最小值•。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案1
2017全国高中数学联赛全真模拟1第二试一、如图，锐角ABC ∆中，T 是高线AD 上的任意一点，BT 交AC 于E ，CT 交AB 于F ，EF 交AD 于G ，过点G 的一直线l 与,,,AB AC BT CT 相交，交点分别为,,,M N P Q ；证明：MDQ NDP ∠=∠．二、设,,0a b c ≥，满足 222a b c a b c ++=++；证明：222()()()ab bc ca ab bc ca ++≤++．三、设X 是一个n 元集，它的2n个子集组成的集簇记为()E X ，而()F X 是()E X 的非空子集簇，并且F 对于并、交、补运算是封闭的；（即,,A B F ∀∈则,,,A B A B X A X B -- 也都属于F ）. 令k 表示F 中的集的个数，试求k 的取值范围.四、试求所有的正整数组(),,,a b c d ，使得 2a b c d +++，2b c d a +++，2c d a b +++，2d a b c +++皆为平方数．参考答案D B C一、证明： CF 截ABE ∆，得1AC ET BFCE TB FA⋅⋅=， 又由BC 截ATE ∆，得1AD TB ECDT BE CA⋅⋅=，即AD BE AC DT BT CE ⋅=⋅； 由EF 截ABT ∆，则有1TG AF BE GA FB ET ⋅⋅=，即TG BF ETGA AF BE⋅=⋅， 所以1AD TG AC ET BFDT AG CE TB FA ⋅=⋅⋅=⋅， 因此AD TG AG TD ⋅=⋅ … ①由于,GA BGA GP BGPGT BGT GM BGM∆∆==∆∆， ,AB GAB BP GBPBM GBM BT GBT∆∆==∆∆， 所以GA GP AB BPGT GM BM BT ⋅=⋅ … ②， 据①有GA AD GT DT =；又过点,M P 分别作BC 的垂线，垂足分别为,R H ，因GP DHGM DR =，AB AD BM MR =，BP PH BT TD =，则②化为PH DHMR DR=， 所以Rt MDR PDH ∆∆ ，MDR PDH ∠=∠，即TDM TDP ∠=∠，又据对称性，有TDN TDQ ∠=∠，因此MDQ NDP ∠=∠．【附注】：这里所说的对称性是指：因ABT ∆与ACT ∆的地位对称，我们已经证得： 若直线l 与ABT ∆的两边,AB BT 分别交于,M P ，就有TDM TDP ∠=∠； 今直线l 与ACT ∆的两边,AC CT 分别交于,N Q ，故也应有TDN TDQ ∠=∠． 二、证明：当,,a b c 中含有0或1时，结论显然成立；这是由于，不妨假设0c =或1，则条件成为：22a b a b +=+，待证结论成为2()ab ab ≤；因为2221()2a b a b a b +=+≤+，得2a b +≤，所以212a b ab +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则2()ab ab ≤． 现在设,,0a b c >，且皆不为1，将条件式222a b c a b c ++=++ … ① 写作(1)(1)(1)0a a b b c c -+-+-= … ②显然，,,a b c 中必有一数大于1，也必有一数小于1，不妨设，0a b c ≥≥>，则1,1a c ><，据②，[](1)(1)(1)(1)0b b a a b b c c +-+-+-= … ③今证明，444222a b c a b c ++≥++ … ④，只要证[]444222()()(1)(1)(1)(1)a b c a b c b b a a b b c c ⎡⎤++-++≥+-+-+-⎣⎦ … ⑤；由于[][](1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a a a a c c c c b b a a c c +⋅-++⋅--+-+-2222(1)(1)a a a b a b c c b c b c ⎡⎤⎡⎤=--+-+--+-⎣⎦⎣⎦[][](1)()(1)(1)()(1)0a a a b a b c c b c b c =--+++--++≥，故⑤成立，现将①式平方得，()2224442222()()()()()()0ab bc ca ab bc ca a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++-++=++-++≥⎣⎦⎣⎦ 因此结论得证．三、解：对于非空的集簇F ，我们定义其中的“素集”如下：如果集簇F 中的一个非空集合A 满足，B F ∀∈，则或有A B A = ，或有A B =∅ ，就称A 是F 中的一个“素集”.显然，F 中的每个单元素集都是“素集”，若F 中没有单元集，则进而考察其中的2元素集、3元素集、等等. 又若{},F X =∅，则X 本身即为F 中的素集.由于F 中只有有限个集合，故其中的素集也只有有限个，设12,,,m B B B 为F 中的全部素集，共计m 个，则它们两两不交（否则，如有i j B B B =≠∅ ，则由,i jB B 的“素性”，可推出i j B B B ==，矛盾.） 再证，1m ii B X == . 即需证，1.mii X B =-=∅事实上，若01mii X BB =-= ，而0.B ≠∅则一方面，00,,1,2,,i B F B B i m ∈=∅= ，另一方面，由于0B 异于12,,,m B B B ，故0B 不是素集，因此又有某个素集含于它，设0j B B ⊂，则0,j j B B B =≠∅ 矛盾，从而1mi i B X == ．其次说明，F 中的任一个集，都是若干个素集的并．C F ∀∈，则()11m mi i i i C C X C B C B ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，而由i B 的“素性”，每个i C B 或为空集或等于i B ，即C 为若干个素集的并．反之，据F 的封闭性，每个这类素集之并也是F 的一个元．因此，F 中的全体集合（包括空集）的个数是012,1.m m m m m C C C m n +++=≤≤ 即2.m k =其中1.m n ≤≤再说明，对于1,2,,n 中的每个m ，2m都可能被k 取到．将X 中的n 个元任意拆分成m 组，每组至少一个元，即12,,m i i j X D D D D D D =≠∅=∅ ，则每个i D 都是素集，令F 为由这些“素集”生成的簇，这时2mk =．故k 的取值范围是122,2,,2n四、解：据对称性，不妨设a b c d ≥≥≥，则有222(2)a a b c d a +>+++>，而2a b c d +++为平方数，所以22(1)a b c d a +++=+，则21a b c d +=++ … …①即12b c d a ++-=，据此，222223314(2)2b c d b b c d a b b b b ++-<+++=+<+<+，因2b c d a +++为平方数，则22(1)b c d a b +++=+，故21b c d a +=++ … …② 由①、②得a b = ……③，于是①成为1a b c d ==+- ……④；222232(1)c d a b c c d c +++=++-≥+，22222326(3)c d a b c c d c c c +++=++-<+<+，所以，平方数22(1)c d a b c +++=+或2(2)c +；若22(1)c d a b c +++=+，则321d -=，即1d =，且①成为2a b c =+，a b c ≥≥，则a b c ==，再由213d a b c a +++=+为平方数，设213a k +=，得213k a b c -===，其中1(mod3)k ≡±；若22(2)c d a b c +++=+，即23244c d c +-=+，则236c d =- ……⑤，因1c ≥， 所以2d >，由④、⑤，22223224(1)d a b c d c d d d d +++=++->+>+，又有22221332211(4)2d a b c d c d d d d +++=++-=+-<+，所以 22(2)d a b c d +++=+或2(3)d +，若2221311(2)2d a b c d d d +++=+-=+，得6d =，由④⑤，6,11c a b ===； 若2221311(3)2d a b c d d d +++=+-=+，得40d =，由④⑤，57,96c a b ===；。
2017年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案 精品
2017年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．2．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 . 3．设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________. 5．函数232+-+=x x x y 的值域为____________.6．已知正整数n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n 的个数是___________.7．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．8．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10= 10, S 30 = 70, 则S 40等于__________.二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P 0, P 1, P 2, ……，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记S n 为曲线P k 所围成图形面积。
①求数列{S n }的通项公式；②求n n S ∞→lim 。
10．（本题满分20分）如题10图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >． 直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=． 又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， (5)分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，P 0P 1P 2易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分 11．（本题满分20分）设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41,2M .一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1、【解】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．2、【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.3、4解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即202-x 此6 ，7解：，因8数列}{na ，若2017=na，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.9、n b 2，1=+b n n a 2…②10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a-，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是cb a ++的倍数．证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222aa cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],ba a [2017…④，同理有（2017）22c b ++11、个）n为=n 中每个242⨯的24的每42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD BD 上，又向在⊙2O21,r r 而∆MK MC BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B,⊿BME∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FNBN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKM KNEM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。
2017年全国高中数学联赛模拟试题05
（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是2.函数tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为3.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈,若12||1PP =,则20132014||P P =4.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是6.一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 5BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为21212007=2+,,,=____AB y px AB x P y y y y y y .设是抛物线的一条焦点弦，且与轴不垂直，是轴上异于O 的一点满足O,P,A,B 四点共圆，点A,B,P 的纵坐标分别为y 则8. 用s σ（）表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a =是正整数集，且1211a a a <<，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）已知,,x y z 是正实数,求证:0222z y x z y xx y y z z x---++≥+++10. （本小题满分20分）设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑11. （本小题满分20分）已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．（1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，ABC ∆的外心为O ，E 是AC 的中点，直线OE 交AB 于D ，点,M N 分别是BCD ∆的外心与内心，若2AB BC =，证明：DMN ∆为直角三角形.二、（本小题满分40分）对给定的自然数m 与n ，m ＜n ，任意一个由n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被mn 整除． 三、（本小题满分50分）求证：数列*1=3cos arccos()3nn a n n N ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的每一项都是整数，但都不是3的倍数四、（本小题满分50分）圆周上有n 个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数．第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是 解：由22223(1)(42)53045x x y y x y x y x x ++=⇒-+-+-=++(1)1y =时,该方程有解(2)1y ≠时,因为x R ∈,所以22(42)4(1)(53)0420y y y y y ∆=----≥⇒-+≤22y -≤≤所以, 22y ≤≤+且1y ≠综合(1)(2) 22y -≤≤+故答案为[22-+法二：222223(2)2(2)345(2)1x x x x y x x x +++-++==++++,令2tan x θ+=,则2222tan 2tan 3sin 2sin cos 3cos 2sin 2cos 2tan 1y θθθθθθθθθ-+==-+=-++2)4πθ=-,故该函数的值域为[22-+法三：2222223452(1)2(1)14545(1)2(1)2x x x x x x y x x x x x x ++++-++===-++++++++(1)1x =-时,1y =(2)1x ≠-时,212(1)21y x x =-++++,因为22|(1)||1|1|1|x x x x ++=++≥++所以211x x ++≤-+211x x ++≥+所以2(1)221x x +++≤-+或2(1)221x x +++≥+所以22(1)21x x ≤≤++++202(1)21x x ≠++++即2112(1)21x x ≤≤++++且202(1)21x x ≠++++所以, 22y ≤≤+且1y ≠综合(1)(2) 22y -≤≤故答案为[22-+法四：求导2222(21)'(45)x x y x x +-=++,该函数在区间(,1]-∞-及[1)-++∞上单调递增,在区间[11---+上单调递减,计算即得答案为[222.函数tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为 解:tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+ sin 2013sin 2015sin 2014sin 4028sin 2014cos 2013cos 2015cos 2014cos 2013cos 2015cos 2014x x x x x x x x x x x =+-=-2sin 2014(2cos 2014cos 2013cos 2015)cos 2013cos 2014cos 2015x x x x x x x-=由于22cos 2014cos 2013cos 2015cos 40281cos 2013cos 2015x x x x x x -=+-1sin 2013sin 20150x x =-≠所以,sin 20140x =在[0,]π上的零点个数即是因为sin 2014y x =的最小正周期为1007π,故[0,]π之间函数sin 2014y x =的图象有1007个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为20153.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈,若12||1PP =,则20132014||P P =解:设n P 点对应的复数为n z 由题意:2121212222,2k k k k z z z z z z ++++=+=所以,2222122212()2(1)()k k k z z z z z z k z z +-=-⇒=+--211221212[2(1)()](21)2k z z z k z z k z kz +=-+--=--+所以,2221221212()(21)2k k z z z k z z k z kz ++-=+-+--214()k z z =- 所以,2122222121|||||4()|4k k k k P P z z k z z k ++++=-=-=,所以, 20132014||4024P P =4.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是解:直线PQ 的方程为2(1)0tx t y t +--=,0t =时,直线方程为0y =,1t =时,直线方程为1x =,故不妨设01t <<,直线方程为1()(2)[(1)]11t x y x t x t t t-=-=--+---,对每个01x ≤≤,当(0,]t x ∈变化时02y x <≤--所以,线段PQ扫过的平面区域是函数2y x =--及直线0,1,0x x y ===围成的封闭图形,由积分的几何意义3121200141(2[2(1)]236x dx x x x --=-+-=⎰,故答案为165.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是 解:将这十二个点依次标为1212,,,A A A ,从十二个点中取4个点的方法数为412C ,取出的四个点两两不相邻的包含以下两类,(1)如果不取12A 点,则从1211,,A A A 这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为48C (相当于把4个点插到7个点中(2)如果取12A 点,由于不能取111,A A ,故从2310,,A A A 这9个点中取三个点,两两不相邻,方法数为37C (相当于把三个点插到6个点中)故所求概率为4387412733C C C += 6.一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 5BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为21212007=2+,,,=____AB y px AB x P y y yy y y .设是抛物线的一条焦点弦，且与轴不垂直，是轴上异于O 的一点满足O,P,A,B 四点共圆，点A,B,P 的纵坐标分别为y 则 22122121212:=-,-2-=0,,2,=-,,,,AB pl ky x y pky p y y y y y y p PA PB k k ≠解：设直线与抛物线方程联立得：由于是方程的两根，且则有设直线的斜率为()1010122112--==,2p y y y y y y p则k ()202222-=,,,,p y y k A P O B y 因为四点共圆， ,APB AOB ∠=∠所以，tan tan APB AOB ∠=∠()()()()()()()()1020222112012121242102012102022122-2--2--+-tan ==2-2-1++4--1+p y y p y y p y y y y y y y k k y y APB p y y p y y k k p p y y y y y y ⎡⎤⎣⎦∠=⋅()()211221042122-2-=0tan ==+43p y y y y y y y AOB p p y y p ⇒∠令()()()()()()()()()()()()21120122112012422102010202221212012102012012002--+2--+1=+4--3+4--3+3-3+=+4--,-=+=4=4p y y y y y y y y y y y y y y p p y y y y pp y y y y y y y y y y y p y y y y p y y y y y y y ⎡⎤⎣⎦⇒=⇒⇒⇐∴而8. 用s σ（）表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a =是正整数集，且1211a a a <<，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8.解：令12(111)k k S a a a k =+++≤≤若11,k k a s ->+则不存在S A ⊂，使1()1k S S σ-=+所以 1121k k k k S S a S --=+≤+（1）又由题设得 111S a ==，于是由（1）及归纳法易得21(111)k k S k ≤-≤≤若10750S <，则11750a ≤（否则750无法用()S σ表示出），1110111500,S S a =+<所以10750.S ≥又8821255,S ≤-=于是109101082495a a a S S ≥+=-≥，所以10248.a ≥另一方面，令{}1,2,4,8,16,32,64,128,247,248,750A = 当7602552222n ≤=++++时，可找到{}1,2,4,,128S ⊂，使().S n σ=当255247502n ≤+=时，存在{}1,2,4,,128,247S ⊂，使().S n σ= 当502248750n ≤+=时，存在{}1,2,4,,128,247248S ⊂，，使().S n σ=当750750n ≤+时，存在S A ⊂，使().S n σ=于是，10a 的最小值为248。
2017年国高中数学联赛模拟题10
一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅I 均有，则b 的取值范围是3、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
4、若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，123322z z i -=-，则z 1·z 2= ．5、已知整数,,,x y z t 满足x y z t <<<，且22221314x y z t+++=，则x y z t +++= ．6、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 7、记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=}4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++i T a a a a a i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 8、将边长为2的正△ABC 沿高AD 折成直二面角B AD C --, 则三棱锥B ADC -的外接球的表面积是二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）已知函数.ln 21)(2x x x f +=（1）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；（2）求证：在区间（1，∞+）上，函数f(x)的图象在函数332)(x x g =图象的下方；（3）设g(x)=f / (x)，求证：22)x (g )]x (g [nn n -≥-。
2017全国高中数学联赛模拟试题(卷)
2017 暑期培训课程-联赛模拟试卷________班_______号姓名________________第一试一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分1．不等式的解集是．答案：解：设，，则原不等式化为，即．结合得，于是．2．设为方程的一个虚根，则．答案：解：由题意知，又为方程的一个虚根，故，所以，即．而．3．设，且，则的最小值为．答案：解：令，由，知，则方程可化为，即，解得（舍去）．从而，所以，当且仅当，时取等号．4．在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是．答案：解：设选取的三个数为，由知．对于给定的，可取，共种选择．因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为．所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为．5．已知某四面体的四个面都是边长为，，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是．答案：解：如图，矩形中，，，，容易验证四面体满足条件，此时，四面体六条棱的中点为顶点的八面体是．又易得，所以．6．锐角、、满足，则的值是．答案：解：由已知得，整理得，即，又 、 、 为锐角，所以 ， ，从而 ，又 ，所以 ，即．7．已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，点 在直线上．当 取最大值时， 与 的比值 等于．答案：解：由平面几何知，要使 最大，则过 ， ， 三点的圆必定与直线相切于点．直线交 轴于，则，即，从而 ⋯ ⋯ ①又由圆幂定理，⋯ ⋯ ②，而，，，从而有，．代入①、②得， ．8．若形如的五位数满足：、、均能被 37 整除，则满足条件的五位数的个数是． 答案： 解：注意到， ．设 ，，．则 ，，． 由于且，则若、 、 中有一个被整除，则其余两个也被整除．因此，所有满足题意的 的个数（即相应的 的个数）为 ．二、解答题：本大题共3 小题，共56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分 16 分） 证明：为直角三角形的充分必要条件是．证明：（必要性） 不妨设，．则．（充分性）证法一：若，则正弦定理得．故，即．因此，．同理，．若、、均为正，则⋯⋯①，，．由①得．因此，．矛盾．、、中有一个为．又由、、均非负，知证法二：．、、中有一个为，由、、均非负，知角．其所对应的角为直10．（本题满分20 分）求所有的函数，对于所有整数，满足，⋯⋯①且．解：将代入式①得．由此得或．的情形．先考虑将代入式①得，即．所以，，，．另一方面，将代入式①得．此时，对于推出的情形不成立．因此，不可能．再考虑的情形．用代替代入式①得对所有的成立．取，得．故对任一整数有．所以，此函数为偶函数．如前所述，将代入式①得．若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式①的唯一函数．11．（本题满分20 分）在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，，．对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、．求梯形的面积．解：如右图，由题意知．设，．则，．从而，，，．由、分另为边、的中点得，．而为梯形对角线的交点，易知、、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即，且轴．令表示（或）与轴正向的夹角．于是，．过点作．则．所以，，，．则．设．则，．故，．则，．故．加试一、（本题满分40 分）设均为正实数，求的最小值．解：由知，同理，，所以；又（柯西不等式）所以的最小值为，当且仅当时取等号．二、（本题满分40 分）已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段的中垂线分别与、交于点、．证明：、、、四点共圆．证明：要证、、、四点共圆，只需证：．如图，设线段的中点为，则下面只需再证设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）．于是．从而，．这表明，点位于的角平分线上。
2017年全国高中数学联赛模拟题2
2017年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时刻上午8：00~9：20，共80分钟，总分值120分一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上.2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________. 118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，那么知足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ，，n x 是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任意实数，那么函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++的最大值等于_________________.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，若是没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每一个极点，它都等机遇地爬向另外两个极点之一，那么它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 知足||||AC AB OP OA AC AB λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，那么点P 的轨迹为_________________. m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=_________________.a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，c V ，那么22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.1.（本小题总分值16分）是不是存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2231x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好于坐标系的原点？2.（本小题总分值20分）求证：不存在如此的函数{}:1,2,3f Z →，知足对任意的整数x ，y ，假设{}||2,3,5x y -∈，那么()()f x f y ≠.3.（本小题总分值20分）设非负实数a ，b ，c 知足1a b c ++=，求证：19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+2017年全国高中数学联赛模拟题2（加试）9：40~12：10共150分钟 总分值180分平面几何、代数、数论、组合一、二、设函数f （x ）的概念域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f （x+y ）=f （x ）f （y ）（Ⅰ）求f （0），判定并证明函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）数列{a n }知足a 1=f （0），且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+ ①求{a n }通项公式。
2017年全国高中数学联赛模拟试题10
（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6πβα=-，则x 的值是2. 已知集合{(,)|1M a b a =≤-，且}b m ≤，其中m R ∈．若任意(,)a b M ∈，均有230ba b a ⋅--≥， 则实数m 的最大值为3. 复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于4. 已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim ．5. {}min ,a b 表示a 、b 中较小的数，不等式41min ,48min ,x x x x ⎧⎫⎧⎫+≥⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的解集是 .6. 在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=︒<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.点D 到平面ABC 的距离为134，则θcos 的值为 .7.设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +-的最小值为8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n P = .二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．在矩形ABCD 中，,(0,0)AB a AD b a b ==>>，E 为BC 边的中点，设P 、Q 分别BC 、CD 是上的动点，且满足DQ CPQC PE=，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 轨迹方程，并指出它的形状。
10.设数列{}n a 定义为 .1,132,1211≥++==+n a a a a n n n（1）证明：当1>n 时，;411n n n a a a =+-+（2）证明： 21311121+<+++n a a a11. 已知,,a b c R ∈，对任意实数x 均有22|||32|ax bx c x x ++≥-+，求使2|4|b ac -取最小值的所有实数对(),,a b c .（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形ABCD 内接于圆，,AB DC 延长线交于E ，,AD BC 延长线交于F ，P 为圆上任一点，,PE PF 分别交圆于,R S ，若对角线,AC BD 交于T ， 求证：,,R S T 三点共线二、（本小题满分40分）给定实数()0,1r ∈，n 个复数12,,,n z z z 满足()11,2,,k z r k n -≤=证明：()2212121111nnz z z n r z z z ++++++≥- 三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数k ：存在无穷多个正整数n 使得n k +不整除2n n C 四、（本题满分50分）给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数构成的集合,A B ，同时满足以下条件：（1）,A n B m ==，且A B ⊆；（2）对B 中任意两个不同元素,x y 有：x y B +∈当且仅当,x y A ∈第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6πβα=-，则x 的值是2. 已知集合{(,)|1M a b a =≤-，且}b m ≤，其中m R ∈．若任意(,)a b M ∈，均有230ba b a ⋅--≥， 则实数m 的最大值为解：令1a =-得230bb +-≤，()23bf b b =+-在R 上单调递增，故()()()max 2301m f b f m m f ==+-≤=，故1m ≤，当1m =时230bb +-≤，故对任意1,1a b ≤-≤都有()()2322331230b b b ba b a a a a --≥+--=+-≥成立，所以实数m 的最大值为13. 复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于4. 已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim．解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-，于是])31()31[(321],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=， 故n n nn n nn n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++⨯=+∞→+∞→3)3131(1)3131(13lim =+--+-+⨯=+∞→n n n ．5. {}min ,a b 表示a 、b 中较小的数，不等式41min ,48min ,x x x x ⎧⎫⎧⎫+≥⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的解集是 .解:当0x >时,44,x x +≥=当0x <时, 444,x x +≤-<故min {}4,4x x +=4,0 4,0.x x x x >⎧⎪⎨+<⎪⎩； 又min 1,x x ⎛⎫⎪ ⎭⎝=1,101;,10<x 1.x x x x x ⎧-<<>⎪⎨⎪≤-≤⎩或或 所以有以下四种情形:当1x >时,原不等式为84x ≥,2x ≥.此时,[)2,x ∈+∞.当01x <≤时,原不等式为148,2x x ≥≤.此时,1(0,]2x ∈. 当10x -<<时,原不等式为248 4.x x x x +≥⇔≤此时,(1,0)x ∈-.当1x ≤-时, 原不等式为24487x x x x +≥⇔≥.此时,(,1]x ∈-∞-. 综上所述,满足题意的x 的取值范围为1(,0)(0,][2,).2-∞⋃⋃+∞6. 在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=︒<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.点D 到平面ABC 的距离为134，则θcos 的值为 .7.设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +-的最小值为解： 设22(,),(,)22A B A B y y A y B y p p ，则2222222222()(),()()22A B A B A B A B y y y y OA OB y y AB y y p p+-+=++=+-．所以222222224()4[()]442A B A BA B y y y y OA OB AB y y p p p p p⋅⋅+-=+⋅=+-≥-． 当22A B y y p =-时， 22OA OB AB +-取最小值24p -．8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n P = . 解：这n 个数字共有2n种可能情形。
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
(时间：8:00-9:20 满分：120)一、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分.1.集合A= ｛x, y ｝与B= ｛1, log3(x+ 2)｝恰有一个公共元为正数 1+ x ，贝U AU B= _____________33在区间1,2上递增，贝U a 的取值范围是2等比数列，n 1,2,3丄.那么，a 100 _____________5. 已知点P(1,2,5)是空间直角坐标系 0 xyz 内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为 ________________ .31 6. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c , a 5 , b 4，又知 cos(A B) 32则ABC 的面积为 _________________ .2 27. 已知过两抛物线 C 1 : x 1 (y 1) , C 2: (y 1) 4x a 1的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a 的值为 ________________ .则称a,b 是一个“联盟”数对；设 A 是集M 1,2丄 n 的最大值为 .二、解答题：本大题共 3小题，共56分.11.(本小题满分20分)求证：(1)方程x 3 x (2)不是任何整数系数二次方程ax 2 bx c2•若函数f xlog a ax 2x3•已知0，且tan 23tan ，则 u的最大值为 _________4.在单调递增数列a n 中，已知a 12 , a 2 4，且a 2n1 , a2n ,a 2n 1成等差数列， a 2n , a 2n 1 ,a 2n 2 成A,B,C8.若整数a,b 既不互质，又不存在整除关系，n 元子集，且 A 中任两数皆是“联盟”数对，则 ,2014 的9.(本小题满分16分)设数列｛a n ｝满足a 11,a nj 1.2a n求证:(1)当 n2时，a n 严格单调递减•(2)n 1 时，|a n12n、3| 2「3 r 2n ,这里 r1 r 22 .3 .2 210.(本小题满分20分)设椭圆 每笃 1(a a b 为它们的一条公切线， P 、Q 为切点，证明：2b 0)与抛物线x PF QF .2py(p 0)有一个共同的焦点 F , PQ1 0恰有一个实根 ，并且0 (a,b, c Z,a 0)的根.是无理数;（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角 ABC 中，AB AC,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点 P （异于点E ）， ADE 的外接圆与 BCD 的外接圆交于点Q （异 于点D ）。
2017年全国高中数学联赛模拟试题03
2017全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2014a b +的取值范围是__________．sin cos (,)Z f xa xb x a b 满足00x f x x f f x ，则a 的最大值为 ．1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-，（,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为 ．ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点， 则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________6. 正数列{}n a 满足: 14n nnS a =(n S 为前n 项之和),则2nn a =_____________________．(2,0)M 的直线l 与抛物线24y x =交于点,A B ，与圆229()162x y -+=交于点,C D ，若AC BD =且AB CD ≠，则这样的直线l 的条数是8. 6名男生和x 4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为 ． 二、简答题（本大题共3小题，共56分）}{n a =*n N ∈）， 且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且150DAC ∠=，则0x >时，求()f x xμ=的最小值．11、已知圆222(1)(2)x y R -+-=（0R >）与椭圆2214x y +=有公共点，求圆的半径R 的最小值．2017全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆1O 、圆2O 与圆3O 相交于点P ，圆1O 和圆2O 的另一个交点为A ，经过点A 的一条直线分别交圆1O 、圆2O 于点B 、C ，AP 的延长线交圆3O 于点D ，作//DE BC 交圆3O 于点E ，再作EM 、EN 分别切圆1O 、圆2O 于M 、N ．求证：22EM EN DE BC -=⋅． 二、（本题满分40分）若数列{}n a 是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的*n N ∈，只有有限个正整数m 使得m a n <成立，记这样的m 的个数为*()n a ，则得到一个新数列{}*()n a ，如此可定义数列(){}**()n a 等．求证：()**()n n a a =．三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p ，至少存在一个n N ∈，满足：2|20142014np +． 四、（本题满分50分）平面上有4n （*n N ∈）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个ABCDEMN1O ⋅2O ⋅3O ⋅P圆相交．设这些圆的交点个数为()f n ，求()f n 的最小值．2017全国高中数学联赛模拟试题03一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2014a b +的取值范围是__________． 解：由已知()()f a f b =，作图可知2201,1,log log .a b b a <<>⎧⎨=-⎩∴01,1a b <<>且1.ab =20142014a b a a +=+，令2014()g a a a=+，则()g a 在(0,1)上是减函数.∴()(1)2015g a g >=，从而取值范围为(2015,)+∞．2.函数sin cos (,)Z f x a xb x a b 满足00x f x x f f x ，则a 的最大值为 ． 解：设0,0Ax f x B x f f x．显然A 非空，取0x A ，即0x B ，故0b f f f x ，从而sin ()Z f x a x a．当0a时，显然有A B ．以下设0a ，此时sin 0Ax a x ，sin sin 0sin ,Z B x a a x x a xk k．易知AB 当且仅当对任意R x ，有sin (,0)Z a x k k k ，即a ，故整数a 的最大值为3．3.设复数1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-， （,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=________________ 解：123||||||z z z ++≥123|||129|15z z z i ++=+=，当且仅当63231244233293a a ab b b -+-====-+-，即75,34a b ==时，取到最小值15，此时，3412a b +=．4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为 ．解：取过四棱柱底面正方形相对顶点的轴截面，得一正三角形与其内接矩形，其底边长为2a ，设其高为h ，则得∴ 33－h 33＝2a 6，⇒h ＝33－6a 2，∴ V 四棱柱＝a 2(33－6a 2)＝62a 2(32－a )＝26·12a ·12a (32－a )≤26(12a ＋12a ＋32－a 3)3＝26(2)3＝83．等号当且仅当a ＝22时等号成立．5.在ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________解：PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅()()()()PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA =⋅+++⋅+++⋅222132()3()()33AB AC PA AB AC PA AB AC PA AB AC AB AC +=++⋅+⋅=+-++⋅ 则222min 11125()()33323AB AC AB AC AB AC AB AC μ=-++⋅=-++⋅=-． 6. 正数列{}n a 满足: 14n n n S a =(n S 为前n 项之和),则2nn a =_____________________．解：由已知可得：14()1nn n n S S S --=，令2nn n S b =，则1(2)1n n n b b b --=，且11b =，2112n n nb b b --=，所以2211221111n n n n n b b b b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1n n c b =，则1221n n nc c c -=-，且11c =，设tan (0)2n n n c πθθ=<<，则 1tan tan 2n n θθ-=，从而12n n θθ-=，即12n n πθ+=，所以1cot 2n n b π+=，故11cot 22n n n S π+=，从而11111cot cot 2222n n n n n n n a S S ππ-+-=-=-，即12cot 2cot 22n n n n a ππ+=-．(2,0)M 的直线l 与抛物线24y x =交于点,A B ，与圆229()162x y -+=交于点,C D ，若AC BD =且AB CD ≠，则这样的直线l 的条数是8. 6名男生和x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为 ． 解：若每名男生都至少与另一男生相邻，则必有如下站法之一：,MM MM MM MMMM MM −−−,,,MM MMMM MMM MMM MMMMMM −−.()1考虑站法MM MM MM −−.在每两名男生组成的空档之间安排一名女生，进而，在4个位置安排余下的2x -名女生.因此，这样的排法有31x C +种.()2考虑站法MMMM MM −,MM MMMM −,MMM MMM −.这样将男生分成两个小组，空档之间安排一名女生，进而，在3个位置安排余下的1x -名女生.因此，这样的排法有21x C +种.()3考虑站法MMMMMM .将6名男生视为一个整体，与x 名女生排列站队，有1x +种排法.综上所述，()()2132211216613186100x x x C x x p C C x x x ++++++==≤+++++.故()25925940f x x x =--≥.注意到，()00f <，故所求x 的最小值应满足()()10,0.f x f x -<⎧⎪⎨>⎪⎩易知，()259359359259359410f =-⨯-=-<，()25945945925945945940f =-⨯-=>.从而min 594x =.三、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列}{n a=*n N ∈）， 且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．=4=，设n b =154n n b b +⇒=+，且14b ==． 则11115(1)(1)5151n n n n n b b b b -++=+⇒=+-=-，2111((51)1)5(52)33n n n n n a a +=--=-所以：当n ≥2时，11211112125(52)3n k kn n n n k n n a a a a a a a a ---=--=⋅⋅⋅⋅=-∏，综上：1112125(52)23n n k k n k n a n --==⎧⎪=⎨-≥⎪⎩∏．10.二次函数()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且150DAC ∠=，则0x >时，求()f x xμ=的最小值．解：设2121212()()()()()22x x a x x f x a x x x x a x +-=--=--，12(,0),(,0),A x B x 21212()(,)22x x a x x D +--，则ABC ∆的外接圆圆心1212(,)2x x P ax x +．由||||PC PA =22222212121212()()122x x x x a x x a x x +-⇒=+⇒=220121212()()9022x x a x x ax x PAD --⇒=⋅⇒∠=，则PAC ∆为等边三角形．则2212121123312x x x x x a x +=⇒=⇒=，21111(3()(3))4)(x x x x a x f x a x ax x x xμ==--+-=≥2-此时，二次函数为()(f x a x x =，min 2μ=- 11、已知圆222(1)(2)x y R -+-=（0R >）与椭圆2214x y +=有公共点，求圆的半径R 的最小值． 解：设切点为(2cos ,sin )(0,)2πααα∈， 则2222(2cos 1)(sin 2)63cos 4(sin cos )R ααααα=-+-=+-+36(1cos 2))24παα=++-+153sin(2))2224ππαα=++-+153sin(2))2224ππαα=++-+153sin(cos())244ππαα=-+-+ ⇔求sin (cos )3μββ=-，3(,)44ππβ∈的最小值．又2222sin (cos )3βμλβλ=- R λ+∈ ≤22222sin 32()(cos )9βλλβλ++≤22221321()()92λλλ++当且仅当222sin cos cos 3βλββλ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎩2424219cos 916160232λλβλλ-⇒==⇒+-=即2λβ==时，取到等号．（另解：求导2cos (cos )sin 03μβββ'=-+=cos 6β⇒=）此时max μ=，==，min R =2015全国高中数学联赛模拟试题03加试一证明：连EP 交圆1O 、圆2O 与BC 分别为S 、T 、Q ， 由相交弦定理及切割线定理得：QA QB QS QP ⋅=⋅QA QC QT QP ⋅=⋅ 两式相加得：BC QPQA BC ST QP ST QA⋅=⋅⇒= 又//DE BC ，QP EP AQP DEP QA ED ⇒∆∆⇒= 所以：BC QP EPST QA ED==，22()DE BC EP ST EP ES ET EP ES EP ET EM EN ⇒⋅=⋅=⋅-=⋅-⋅=-．二、证明： 对*k N ∀∈，**(())k a 表示{}*()n a 中，比k 小的项的个数，设**(())k a t =，再由{}*()n a 的定义知，对*n N ∀∈，*1(){}n n a a +=中比1n +小的项的个数{}n a ≥中比n 小的项的个数*()n a =，故A BC DEMN1O ⋅2O ⋅3O ⋅P S T Q{}*()n a 是项为非负整数的不减数列．所以：******1()(()))()(())1)t k t k a k a t a k a t +⎧<<⎨≥≥+⎩否则否则((，即*()t a k <*1()t a +≤又{}n a 是项为非负整数的不减数列，所以：**1(())1(())k t k t a t a k a t a k +⎧≥≥⎨<+<⎩否则否则，k a t ⇒=．综上：**(())k k a t a ==．三、证明：假设结论不成立，设12,,,k p p p 为能整除形如220142014n+这样的数中至少其中之一的全部素数．考虑1k +个数220142014i+，（1,2,,,1i k k =+），由于这些数是有限数，故存在一个*q N ∈，使得这1k +个数中的任何一个都不能被qj p （1,2,,j k =）整除．又220142014n+可以足够大，知存在一个n ，使220142014nqk p +>，其中12max{,,,}k p p p p =，对于这个足够大的220142014n+，将其质因数分解后，知必存在某个j p 的指数大于q ．考虑这个足够大的220142014n+及1222220142014,20142014,,20142014n n n k++++++这1k +个数，由于它们每一个均能被某个qj p 整除， 但是j p 仅有k 个，由抽屉原理知，这1k +个数中必存在两个数被同一个qj p 整除（{1,2,,}j k ∈）， 即2|20142014n rqjp ++，2|20142014n sqjp ++，其中0≤s r <≤k ，所以：222220142014(2014)2014(mod )n rn sr sr s q j p ++---≡=≡2|22014r sq j p -⇒+与q 的选择矛盾． 综上：原结论成立．四、解：记M 为这4n 个圆124,,,n C C C 的集合，N 为这4n 个圆的交点12(),,,f n P P P 的集合．设圆C M ∈和交点P N ∈，若点P 不在圆C 上，定义(,)0F C P =；若点P 在圆C 上，定义1(,)F C P m =，其中m 是过点P 的圆的个数．则对于N 中的任意点P ，有41(,)1ni i F C P ==∑．对于M 中的任意圆C ，选取P N ∈且P C ∈，使得1(,)F C P m=是最小的，记121,,,p p pm C C C -是通过点P 的其它1m -个圆，其中圆pi C （1,2,,1i m =-）与圆C 的另外一个交点为i Q ，又这些圆的半径相同，则1m -个点i Q 两两不同．∴()1(,)f n j j F C P =∑≥11(,)(,)m i i F C P F C Q -=+∑≥11(1)1m m m+-= ∴()()441111()(,)(,)f n f n n n ijijj i i j f n F C P F C P ======∑∑∑∑≥4114n i n ===∑下面说明()4f n n =是可以取到的，如图：每四个圆有4个交点，（本质上所有圆的半径为r ，正PQR ∆这四个圆是,,,PQR SPQ SQR SRP ∆∆∆∆的外接圆）∴min ()4f n n =．。
2017年全国高中数学联赛模拟试题13
0和双曲线y -交于点T ,这两条曲线的公切线分别切抛物线于点 P ，切双曲x线于点Q •求△ PQT 的面积.11•设 Z 1,Z 2, Z 3 是 3个模不大于 1 的复数，W 1,W 2是方程(z zj(zZ 2) (z Z 2)(z Z 3) (z Z 3)(z Z 1) 0的两个根.证明：对j = 1, 2, 3,都有min Z j w 1 , Z j w 21 .1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2017年全国高中数学联赛模拟试题 13第一试(时间：8:00-9:20 满分：、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分. 若正实数a,b 满足log 8 a log 4b 5和log 8 b log 4a 2 7, 如果△ 函数 120) 则log 4 a log 8b 的值是 ABC 中，tanA, tan B , tanC 都是整数，且 sin 2sin( 1 i,b 2 i,c f (x)满足 f (x) A >B>C ，则 tan B= 2 )sin( i,x 3,x f(f(x 在四面体ABCD 内部有一点0, x 2设A,B 是椭圆— a 自代B 分别作直线 3)，当 1000;5)),x 、3i)，则 |a bx x 的小数点后第一位数字是 cx 2|的值是则f (84)的值是 1000. 满足OA=OB=OC=4, OD=l ，则四面体 ABCD 体积的最大值为 2 每 1 a b 0的长轴端点，P 是椭圆上异于A,B 的点, b 2l 1 PA,l 2 PB,则l 1,l 2的交点轨迹方程是 _______________________ 某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上 1.2.3.4中的某个数，如果他 最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束•则他完成游戏时所写的最后一个数为 二、解答题：本大题共 3小题， 9•设函数f(x) 1 e 共56分. 1的概率为(I )证明：当x 0时,f(x)(2)数列｛ a n ｝满足a 113朋an 1f (a n )，证明：数列｛ a n ｝递减且a n1 2n210.设抛物线y ax a2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10 满分：180）、（本小题满分40分）设p 为给疋素数，a 1, a 2 ,La k是kk 3个整数，均不被 p 整除，且模 p 互不同余,设b 0p a k ,b i a i q 1 i 1,2,L ,k其中a 。
2017年全国高中数学联赛模拟精彩试题11
适用标准文案2017 年全国高中数学联赛模拟试题11第一试（时间： 8:00-9:20满分： 120）一、填空题：本大题共8 小题，每题 8 分，共 64分.1. 已知数列 a n 知足： a n 1an 2a n ,a 1 1,a 4042016,则 a 6 的最大值为.已知 a2b 2c 21, 则 ab 22.bc ac 的值域为.3. 不等式x 1 1 1x的解集是x 2x 2x4. 单位正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， E, F , G 分别是棱 AA 1 , C 1D 1 , D 1 A 1 的中点， 则点 B 1 到 EFG 所在平面的距离为． Af x1(0x 1)A5. 不等式 f ' 0的二次函数 f ( x) 恒建立，则实数 的最小值是（）对全部知足 （ ）6. x 2y 21 ab 0 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 , P 为椭圆上不与左右极点重合的随意一点， 点I,G椭圆2 b 2a分别是△ PF 1F 2 的心里、重心 . 已知对随意点 P ， IG 恒垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为7. 已知方程 8t34t 2 4t 10在 0,上有一根 x ，则 x =138. 甲乙两人进行某种游戏竞赛，规定每一次胜者得1 分，负者得 0 分；当此中一人的得分比另一人的多2 分 时即博得这场游戏，竞赛随之结束；同时规定竞赛次数最多不超出 20 次，即经 20 次竞赛，得分多者博得这 场游戏，得分相等为和局．已知每次竞赛甲获胜的概率为p （ 0 p 1 ），乙获胜的概率为 q 1p ．假定各次竞赛的结果是互相独立的，竞赛经次结束，则的希望 E 的变化范围为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56分.9．已知 a,b,c 1,2 ，求证： abc 4 ab bc ca10.设 a 1 1,a n 1a n22a n 2 b, (n N) .(1) 若 b 1，求 a 2 , a 3 及数列 { a n } 的通项公式；(2) 若 b1，问：能否存在实数 c 使得 a 2n c a 2n 1 ,对全部 n N 都建立 ?证明你的结论11. 已知两条直线 l 1 : 3 x4 y 25 0, l 2 :117 x44 y 1750,点 A 到直线 l 1 ,l 2 的射影分别为 B, C ，1728建立的点 A 的轨迹曲线；（ 2）若 39 2 ( 27 2 r 2r 0 与曲线 （ 1）求使 S △ABCT :( x) y)6255 5恰有 7 个交点，求 r 的值适用标准文案2017 年全国高中数学联赛模拟试题11加试（时间： 9:40-12:10满分： 180）一、（本小题满分 40 分）设 n 是给定的正整数， 且 n3 . 关于 n 个实数 x 1 , x 2 ,, x n ，记 x i x j 1 ij n 的最小值为 m .若 x 12 x 22 x n 2 1 ，试求 m 的最大值二、（本小题满分 40 分）AB AC ，直线 AD 与 BE 交于点 P ，如图，设 A, B, D , E, F ,C 挨次是一个圆上的六个点，知足直线 AF 与 CE 交于点 R ，直线 BF 与CD 交于点 Q ，直线 AD 与 BF 交于点 S ，直线 AF 与CD 交于点 T ， 点 K 在线段 ST 上，使得 SKQ ACE .求证：SKPQ . KTQR三、（此题满分 50 分）试确立全部同时知足 p n 23n 2 modq n , q n 2 3n 2 mod p n 的三元数组 p,q, n ，此中 p, q 为奇素数， n 为大于 1 的整数四、（此题满分 50 分）2017 年全国高中数学联赛模拟试题11第一试参照解答一、填空题：本大题共8 小题，每题 8 分，共 64 分 .1. 已知数列 a n 知足： a n 1a n2a n ,a 1 1,a 404 2016, 则 a 6 的最大值为.2解： a n 组成的点列 n, a 摆列在一个凸函数中， 所以当点列散布在由点1,1 , 404,2016 确立的直线上时n其值最大，所以 a 6 的最大值为 26 . 2. 已知 a 2b 2c 2 1, 则 ab bc ac 的值域为.解：明显 ab bc caa 2b 2c 2 1 当 a b c 时等号建立，另一方面ab bc caa bc bca 2b c2a2b 2c 2 11,1bc，等号当 a b c 0 时建立，所以值域为22223. 不等式 x1 x1 1x 2x 2的解集是x解：由 x10, x 1 0 得 x 1，原不等式等价于 x 3 1 x 3 1 1，即 x 3 1 x 31 2x 2 x 2相减得 x 3 1 1 x 3 10 ，此时，原不等式建立，即不等式解集为 3 102 2 x x 24. 单位正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E, F , G 分别是棱 AA 1 , C 1D 1 , D 1 A 1 的中点， 则点 B 1 到 EFG 所在平面的距离为．答案：3．解一、补形法，如图，过 E, F , G 的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直2均分正方体的对角线B 1D ，而 B 1D3 ，所以 B 1到面 EFG 的距离 h3．2SB 1 FG1 SB 1 A 1G SB 1C 1FSD 1FG11 1 3解二：等体积法，易知14 8 ，48而点 E 到平面 B 1FG 的距离 h 01 ，所以 V EB 1 FG1h 0S B 1 FG 1 ．23 16D 1 F C 1GA1B 1E DCAB又 EF2EA 12A 1F2EA 12( A 1D 12D 1F 2)1 1 13，即 EF1 6，GF GE2 ，GE 2GF 2 EF 244 22 2cos EGF1EGF12010 12GE GF2 ， ，则 S EGFGE GF sin1203 ，28若 B 1 到面 EFG 的距离为 h ，则 1VEB 1FG1 hSEGF3h ，所以 h3 ．f ' 0 A 16 f x3242A5. 不等式 对全部知足 1(0 x 1)的二次函数 f ( x) 恒建立，则实数的最小值是（） （ ）x 2 y21 a b 0 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上不与左右极点重合的随意一点，点I,G 6. 椭圆2 b2aP ， IG 恒垂直于x轴，则椭圆的离心率为分别是△PF1F2的心里、重心.已知对随意点7. 已知方程8t34t24t 1 0 在0,上有一根x ，则 x =138. 甲乙两人进行某种游戏竞赛，规定每一次胜者得 1 分，负者得0 分；当此中一人的得分比另一人的多 2 分时即博得这场游戏，竞赛随之结束；同时规定竞赛次数最多不超出20 次，即经20 次竞赛，得分多者博得这场游戏，得分相等为和局．已知每次竞赛甲获胜的概率为p （0 p 1），乙获胜的概率为 q 1 p ．假定各次竞赛的结果是互相独立的，竞赛经次结束，则的希望 E 的变化范围为以 p( k) 记竞赛经k次结束的概率．若k 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因此有 p( k) 0 ．考虑头两次竞赛的结果：（ 1）甲连胜或乙连胜两次，称为有输赢的两次，此结果出现的概率为p2 q2；2 pq若 k20，则第 k 1, k 两为有输赢的两次，进而有p(k) k1q 2 ) ．(2 pq) 2 ( p 29若 k20 ，竞赛一定结束， 所以p(20) (2 pq)9 ． E( p 2 q 2 )2i (2 pq)i 1 20(2 pq )9．i 1由 pq 1，知 p 2q 2 1 2 pq ．令 u 2pq ，则 p 2q 292iu i 1 20u 9 ．1 u ，所以 E(1 u)i192iu i 1, 则 us 92iu i101)u i 1 101)u i 1,令 s2(i2(ii 1i 1i 2i199(1 u)s2u i 1 18u 92(1 u ) 18u 9 ,i 11 uE (1 u)s20u 92 [1 u 9 9u 9 (1 u) 10u 9 (1 u)] 2(1 u 10) ． 1 1 u 1023 1 u因 0 u 2 E ．，所以有 2562二、解答题：本大题共3 小题，共 56 分.9．已知 a,b,c 1,2 ，求证： abc 4 ab bc ca10. 设 a 1 1,a n 122a n 2 b, (nN ) .(1) 若 b 1，求 a 2 , a 3 及数列 { a n } 的通项公式；a n (2) 若 b1 ，问：能否存在实数 c 使得 a 2nc a 2n 1 ,对全部 n N 都建立 ?证明你的结论解：（ 1）解法一 : 当 b1时， aa 2-2 a 2 1，22(a n11) nn 1nn( a 1) 1{( a n -1)2 } 是公差为 1，首项为 (a 1-1)20的等差数列，故 (a n -1)2 n-1，即 a nn-11(n N * )解法二： a2,a21. a1 1 1, a2 1 1, a31 1 。
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2017暑期培训课程-联赛模拟试卷
________班_______号姓名________________
第一试
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．不等式的解集是．
答案：
解：设，，则原不等式化为，
即．结合得，于是．
2．设为方程的一个虚根，则．答案：
解：由题意知，
又为方程的一个虚根，故，
所以，即．
而
．
3．设，且，则的最小值为．
答案：
解：令，由，知，则方程可化为
，即，解得（舍去）．从而，
所以，当且仅当，时取等号．4．在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是．
答案：
解：设选取的三个数为，由知
．对于给定的，可取，
共种选择．
因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为
．
所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为．
5．已知某四面体的四个面都是边长为，，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是．
答案：
解：如图，矩形中，
，，，
容易验证四面体满足条件，此时，四面体
六条棱的中点为顶点的八面体是．
又
易得，所以．
6．锐角、、满足，则的值是．
答案：
解：由已知得，整理得，
即，
又、、为锐角，所以，，
从而，又，所以，即．
7．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上．
当取最大值时，与的比值等于．
答案：
解：由平面几何知，要使最大，则过，，三点的圆必定与直线相切于点．直线交轴于，则，即，
从而……①又由圆幂定理，……②，
而，，，从而有，．
代入①、②得，．
8．若形如的五位数满足：、、均能被37整除，则满足条件的五位数的个数是．
答案：
解：注意到，．
设，，．则，，．由于且，则若、、中有一个被整除，则其余两个也被整除．
因此，所有满足题意的的个数（即相应的的个数）为．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）
证明：为直角三角形的充分必要条件是．
证明：（必要性）
不妨设，．则．（充分性）
证法一：若，则正弦定理得．
故，即．
因此，．
同理，．
若、、均为正，则……①，
，．
由①得
．
因此，．矛盾．
又由、、均非负，知、、中有一个为．
证法二：
．
由、、均非负，知、、中有一个为，
其所对应的角为直角．
10．（本题满分20分）
求所有的函数，对于所有整数，满足
，……①
且．
解：将代入式①得．由此得或．
先考虑的情形．
将代入式①得，即．
所以，，，．
另一方面，将代入式①得．
此时，对于推出的情形不成立．
因此，不可能．
再考虑的情形．
用代替代入式①得对所有的成立．
取，得．故对任一整数有．
所以，此函数为偶函数．
如前所述，将代入式①得．
若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．
因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式①的唯一函数．
11．（本题满分20分）
在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，，．对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、．求梯形的面积．解：如右图，由题意知．
设，．
则，．
从而，，，．
由、分另为边、的中点得
，．
而为梯形对角线的交点，易知、、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即，且轴．
令表示（或）与轴正向的夹角．于是，．
过点作．则．
所以，，，．
则
．
设．则，
．
故
，
．
则，
．
故．
加试
一、（本题满分40分）
设均为正实数，求的最小值．
解：由知，同理，，所以；
又
（柯西不等式）
所以的最小值为，当且仅当时取等号．
二、（本题满分40分）
已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段的中垂线分别与、交于点、．证明：、、、四点共圆．
证明：要证、、、四点共圆，只需证：．
如图，设线段的中点为，则
下面只需再证
设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）．
于是．从而，．
这表明，点位于的角平分线上。
因而，点与重合．所以，、、、四点位于同一圆周上．
故．
从而，、、、四点共圆．
三、（本题满分50分）组合
在座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的整数，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过次直航到达．
解：．
首先证明：．
若，不妨设有两座城市、间至少经过次到达．设城市到的一个最短连接路线为．
因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市与与除以外至少六座城市有直航连接，与除以外至少五座城市有直航连接．
设，分别与城市、、、、、、、、、
有直航连接，且不属于城市的所有城市组成的集合为．易知，
，，．
又，否则，城市、之间有更短连接路线．
故，矛盾．
所以，．
其次证明：．
对，取座城市与城市集合．当时，；当时，，且对，，中不包括城市．对，城市、、与集合中的所有城市有直航连接；城市、集合与中所有城市有直航连接；城市、与集合中所有城市有直航连接；集合中任意一座城市除与上述的城市有直航连接，与且仅与集合中其余城市有直航连接；城市与有直航连接．
这样，城市至少与七座城市有直航连接，集合中任意一座城市均只与七座城市有直航连接，且城市至少经过次直航来连接．因此，．
四、（本题满分50分）
求所有的实数，使得、均为完全平方数．
解：首先证明：为正整数．
由已知，设，．
则，．显然，不是解．
故．
设．则．
必有．所以，．
又，则，且为正整数．
当时，，．满足条件．
当时，
……①
．再验证，
即．
事实上，．
故，即．因此，只有当为奇数时，才可能有解．
代入①式有，
数学竞赛培训课程---高中联赛模拟试卷
即．
两边同乘以并模得，即．这与矛盾．
故当时，无解．
综上，只有满足题意．
第11页。