课时分层作业50 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时分层作业(五十) 函数y ＝A sin(x ＋φ)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )A [当x ＝π时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32排除B 、D.当x ＝π6时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.]2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数 B.偶函数C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数．] 3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．]4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )A ．B ＝4 B ．φ＝π6 C ．ω＝1D ．A ＝4B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋02＝2.由周期T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6知ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＋2＝4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向左平移π12个单位 C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位A [由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．]二、填空题6．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向右平移________个单位．π2 [由于y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向右平移π2个单位．]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8 [y ＝sin3x ＋π4――――――――――→向右平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π8 ―――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8.]8．某同学利用描点法画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(其中0<A ≤2,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式应是________．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6 [在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意；又因为0<A ≤2，函数图象过(4，－2)， 所以A ＝2.因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1， 又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称， 知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6. ∴ω＝π3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．[解] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的――――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y＝sin 2x 的图象,向左平移π12个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．[解] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )， 又0＜ω＜1，所以ω＝12， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.[等级过关练]1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的部分图象不可能是( )D [当a ＝0时，f (x )＝1，是选项C ，当a ≠0时， 函数f (x )＝1＋a sin ax 的周期T ＝2π|a |， 振幅为|a |，所以当|a |＜1时，T ＞2π.当|a |＞1时T ＜2π，由此可知A ，B 有可能出现，D 不可能．]2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．5π12 [函数y ＝s i n 2x 的图象向右平移后得到y ＝s i n [2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z )．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值5π12.]3．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称； ②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . ②③ [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π3＝0， 故①错，②正确．令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的图象，故④错．]4．函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的所有零点之和为________． 8 [函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的零点即 方程2sin πx ＝11－x的根， 作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x， 令t ＝1－x ，则y ＝2sin πt －1t ，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x－π6π35π64π311π67π317π6y －1 1 3 1 －1 1 3(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎨⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎨⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(答案不唯一) (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3， ∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。