信号与系统复习大纲(奥本海默)

第一章：Singnals and System（信号与系统）
1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）
信号：信息的载体。

在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）
P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（独立自变量）。

例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n。

自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)
自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]，又叫序列（sequences）。

两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。

信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。

例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。

Signal energy and power（信号的能量与功率）
把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。

因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：
E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，
而相应这段时间的功率则为
P=E/(t2-t1)
信号在整个定义域的能量
E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
信号在整个定义域的平均功率
P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)
显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：
（1）平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）
1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）
自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。

（1）time shift（时移），将x(t)/x[n]变成x(t-t0)/x[n-n0]。

结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。

注意：当t/n0>0时，信号向右移动，反之则向左。

（2）time reversal（时间反转）将x(t)/x[n]变成x(-t)/x[-n]。

新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。

（3）time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a>0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为原先的1/a。

例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。

离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值。

Periodic signals（周期信号）
这是非常重要的一类信号。

连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有
x(t)=x(t+T)
则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）
一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。

其余周期T都是T0的整倍数
对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。

不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）
类似的，离散信号中满足x[n]=x[n+N]的叫做周期信号，N为周期。

最小的N0为基波周期。

但常数信号有基
波周期为1！
Even and odd signals（偶信号与奇信号）
从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)
从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)
任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）
Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(-t)]; Od{x(t)}=(1/2)[x(t)-x(-t)]，
离散也完全一样。

1－3 Exponential and Sinusoidal Signals（指数信号与正弦信号）
comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)
x(t)=Ce^(at)。

一般而言C与a都是复数。

实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。

X(0)=C,a>0，信号随时间增长；a<0，信号随时间衰减
周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）
周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e^(jw0t)
由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))
T0=2π/|w0|为基波周期。

X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2π/|ω|的周期函数。

由欧拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换
cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）
sin(ωt+φ)＝(1/2j)（e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）
对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2π/ω,|ω|称为基波角频率（fundamental frequency）
对于周期复指数信号和正弦信号而言，很明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。

A set of harmonically related complex exponentials（一组成谐波关系的复指数信号）
一个重要的概念。

指的是这样一组复指数信号φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,-1,2,-2……显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2π/ω0。

这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。

一般复指数信号：
x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0
则x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))
通过包络分析，可以看出信号包络|C|exp(rt)的走向（21页）
Discrete-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(离散时间复指数和正弦信号)
指数信号、正弦信号、欧拉公式等都与连续类似。

不过更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),当a=expβ,则x[n]＝C（a^n）
离散指数周期信号：
x[n]=exp(jωn)的周期分析：
与连续信号x(t)=exp(jωt)周期为2π/ω不同，由于n只能取整数值，因此周期（如果有周期的话）必须是整数。

当2π/ω为有理，则周期基波T0＝(2π/ω)k，k是使T0为正整数的整数。

例如：ω＝π/4，则T0=8(k=1);ω＝3π,则T0=2(k=3)
当2π/ω为无理数，则x[n]=exp(jωn)不是周期信号。

因为无论什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝exp(jω(n+N))
离散指数周期信号的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)
也就是说，离散指数信号的一组基波频率为2π/N0的谐波只有N0个不同的指数信号（而在连续指数周期信号中一组有无数多个）
1.4：The unit impulse and unit step functions（单位冲激与单位阶跃函数）
离散时间单位冲激和单位阶跃
单位冲激/单位脉冲/单位样本（unit sample）δ[n]：
n=0时，δ[n]=1，其他时候δ[n]=0
单位阶跃u[n]：
n<0时，u[n]=0;n>0时，u[n]=1
δ[n]是u[n]的一次差分（first difference相当于连续中的微分）：
δ[n]＝u[n]-u[n-1]
u[n]是δ[n]的动求和（running sum，相当于连续中的不定积分）：P31公式1.67
δ[n]具有采样性：x[n].δ[n-n0]=x[n0].δ[n-n0]
连续时间单位阶跃和单位冲激函数
连续时间中的单位阶跃和单位冲激都是理想化的奇异函数。

单位阶跃函数u(t)：t>0,u(t)=1;t<0,u(t)=0
单位冲激函数δ（t）：一个特殊函数。

仅在t=0时有非零函数值。

函数值为无穷大。

换言之，这个函数宽度为0，高度为无穷大，而积分面积为1
δ（t）为u(t)的微分；u(t)为δ（t）的积分。

δ（t）的采样性：x(t).δ（t-t0）=x(t0).δ（t-t0）
1.5Continuous-time and Discrete-time System（连续时间和离散时间系统）
在信号与系统中，系统是指这样一些元件的互联，通过它，当输入一个信号（input），能够得到一个输出信号(output)。

信号与系统根本上就是研究输入、输出与系统三者的关系。

连续时间系统即输入和输出都是连续时间信号的系统；离散时间系统即输入和输出都是离散时间信号的系统。

系统的互联(interconnections of systems)
包括三种简单连接：
串联（series）或级联（cascade interconnection）
并联（parallel interconnection）
反馈联结(feedback interconnection)
以及各种简单连接组合而成的混联
系统联结往往采用方框图（block diagrams）
1.6Basic system properties(基本系统性质)
记忆系统与无记忆系统（systems with and without memory）
如果某系统的输出信号的每个时刻的值仅仅取决于输入信号在该时刻的值而与输入信号在之前或之后时刻的值无关，则称为无记忆系统。

反之如果在某一时刻的输出值还与其他时刻的输入值有关则称为记忆系统。

可逆性与可逆系统（invertibility and inverse system）
可逆系统的条件：不同输入必然导致不同输出，则称该系统为可逆（invertible）的。

对可逆系统存在一个逆系统（inverse system）使得把原系统的输出信号输入到逆系统中，则最终的输出信号便是最初的输入信号。

因果性（causality）
一个系统任何时刻的输出只决定于该时刻以及该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称为因果系统（causal），或称为不可预测系统(nonanticipative)
所有的无记忆系统都是因果的。

稳定性（stability）
如果对于任何一个有界的输入，该系统的输出都是有界的则称为稳定系统。

时不变性（time invariance）
概念：如果系统的参数不随时间改变，则系统是时不变(time invariant)的。

如：y(t)=x(t)+x(t-3)
反之则系统是时变（time variant）的：
如y(t)=t.x(t)
对于时不变系统，输入信号发生时移则输出信号发生相同的时移：
x(t)→y(t),则x(t-t0)→y(t-t0)
线性(linearity)
线性系统(linear system)具有的重要特性是叠加性质（superposition property）
ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)
该系统也可等效为两个系统：
可加性（additivity）：x1+x2→y1+y2
比例性（scaling）或齐次性(homogeneity)：ax1→ay1（a为任意复数）
增量线形叠加（incrementally linear systems）
任意输入信号的输出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一个线形输出。

换言之，对任意两个输出的差y1-y2=y1p-y2p是一个线形的表达式。

2.Linear Time-invariant System（线性时不变系统）
2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）
本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。

这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。

当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。

把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。

用脉冲信号表示任意信号：
可以把x[n]看作x[0].δ[n]+δ[n-1].x[1]+δ[n-2].x[2]……即P752－2式
对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）
卷和
而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。

换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）
该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。

写作x[n]*h[n]。

是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。

对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。

x[n]*h[n]=y[n]
对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。

2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）
与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。

用冲激信号表示连续时间信号：
对于任一个连续信号x(t)，可以从时间上把它拆成无数个小的“矩形”。

每个矩形宽度为△，高度为x(k△)（k是该矩形的序号，原点处为0）这样信号x(t)可以看成这无数个矩形信号的叠加。

而当△趋向无穷小，叠加求和趋向于积分，由此得到书上P92公式2.27。

卷积
由于对输入δ(t)，系统的输出为h(t)（单位冲激响应），因此对于每一个冲激信号x(τ).δ(t-τ)，输入系统后得到的响应为x(τ).h(t-τ),因此对于LTI系统而言，整个的输出y(t)就等于对应的积分公式P97公式2－33。

该运算称为x(t)与h(t)的卷积（convolution integral），写作x(t)*h(t)
简言之，对于LTI系统，其输出信号y(t)可由输入信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)卷积得到。

2－3Properties of LTI system（线性时不变系统的性质）
首先是卷积的运算法则：（LTI系统的性质）
交换律（commutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t)
(x1(t)+x2(t))*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)
结合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)
接下来是LTI系统的一些性质分析判断
记忆系统与无记忆LTI系统（LTI systems with and without memory）
对一个无记忆的LTI系统而言，其单位冲激响应必然是h(t)=Kδ(t),h[n]=Kδ[n]，因此其输出必然有y(t)＝kx(t)
LTI系统的可逆性（invertiblity of LTI systems）
对一个可逆LTI系统系统而言，如果它的单位冲激响应为h1(t)，则它的可逆系统的单位冲激响应为h2(t)，且满足h1(t)*h2(t)＝1
LTI系统的因果性（Causality for LTI system）
因果系统的单位冲激响应h(t)显然有t<0时h(t)=0
对于一个系统而言，这种情形被称为初使松弛（initial rest），也就是直到从某一时刻系统得到一个非0的输入以前，系统的输出一直为0。

对于当t<0时候x(t)=0的信号又称为因果信号（causal signal）。

因果系统的充要条件是，它的单位冲激响应是一个因果信号。

LTI系统的稳定性（stability for LTI system）
对于LTI系统判断稳定性：
离散时间系统：绝对可和（absolutely summable），公式2－86
连续时间系统：绝对可积(absolutely integrable)，公式2－87
LTI系统的单位阶跃相应（tne Unit Step Response of an LTI system）
即对于LTI系统，当输入为u(t)或u[n]时的输出，写作s(t)或s[n]
有：s(t)=u(t)*h(t)；s[n]=u[n]*h[n]
h(t)为s(t)的导数，s(t)为h(t)的积分。

2－4Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系统）
本节更多属于高数内容，对于微分（连续时间）和差分（离散时间）方程的解法。

值得说明的是任何一个微分或者差分方程实际上是对某一个连续或者离散系统的输入与输出关系的一个表达。

往往还需要给出初时条件才能得出输出的表达式。

具体的方法请自己看书掌握。

2－5singularity functions（奇异函数）
奇异函数是一种理想化的函数，以连续时间的单位冲激信号δ(t)为基本，对其进行微分和积分运算得到的一族信号都称为奇异函数。

δ(t)又写作u0(t)，它的一次微分为u1(t),二次微分为u2(t)……δ(t)的一次积分即单位阶跃信号u(t)又写作u-1(t)，二次积分tu(t)为u-2(t)……
奇异函数uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的结果是x(t)的k次微分（k为负数则是积分）
例如，x(t)*u2(t)结果为x(t)的二次微分;x(t)*u-3(t)的结果为x(t)的三次积分。

第三章
Fourier series representation of periodic signals(周期信号的傅立叶级数表示)
3－2the response of LTI system to complex exponentials（LTI系统对复指数信号的响应）
我们很容易发现，复数指数信号输入LTI系统可以得到对其增加系数的响应，即：
对连续时间LTI系统：exp(st)→H(s).exp(st)
对离散时间LTI系统：z^n→H(z).z^n
其中，H(s)和H(z)地表达式在P183 式3-6,3-10，都是与t和n无关而只与s和z有关的表达式。

也就是说，对指数信号输入得到的输出，仅仅等于原信号乘以一个与自变量无关而与频率有关的式子。

这使得我们可以非常方便的对它进行处理。

如果一个输入信号能表达为若干个指数信号的叠加，那么对它的输出的表达也会非常方便。

例如：
a1.exp(s1t)+a2.exp(s2t)→a1.H(s1).exp (s1t)+a2.H(s2).exp(s2t)
本章研究的，就是多大范围的信号可以表达为类似P184,3-13和3-15的表达方式，分解为指数信号的线形叠加？如果进行分解？
3－3：Fourier series representation of continuous-time periodic signals（连续时间周期信号的傅立叶级数表达）本节研究把连续时间周期信号分解为若干个周期信号的叠加的傅立叶级数。

成谐波关系的复指数信号的线性组合（Linear combinations of harmonically related complex exponential）
如前，成谐波关系的一组复指数信号指的是形如Φk(t)=exp(jkω0t)的一组指数信号，其中k=0,1,-1,2,-2……显然这样一组信号具有公共的周期为T0=2π/ω0，因此这样一组信号的线性组合必然有周期为T0。

把这样一组信号ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)进行线性组合如186页3－25公式的形式，形成的周期信号x(t)，其中的每一个分量ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)称为谐波分量。

K=0时的a0称为直流分量；k=正负1时称为一次谐波分量（first harmonic components）或基波分量(fundamental components)，k=2时称为二次谐波分量（second harmonic components），以此类推。

傅立叶级数，研究的便是如何把一个周期为T0的周期信号分解为若干个具有公共周期为T0的信号Φk(t)=exp(jkω0t)的的线形组合。

连续时间周期信号傅立叶级数表示式的确定（Determinbation of the Fourier series representataion of a continuous-time periodic signal）
假设一个给定的周期为T0的周期信号x(t)可以表达为上面所说的指数信号的线性组合，则可以推导出其系数对应每一个谐波分量Φk(t)=ak.exp(jkω0t)的系数ak的表达式。

这就是P191的公式3－38和3－39
3－38是把具有基波周期T0=2π/ω0的周期信号x(t)分解为指数信号的叠加的公式，称为综合公式（synthesis equation）；3－39是对应具体k值的每一个谐波系数ak的计算公式，称为分析公式（analysis equation）。

系数{ak}的这一组合称为x(t)的傅立叶级数系数（Fourier series coefficients）或者频谱系数（spectral coefficients）。

每一个ak表示对应的k倍频率的指数信号分量在总信号中所占地比例度量。

3－4：Convergence of the Fourier series（傅立叶级数的收敛）
表达式3-38并不是对所有的周期信号x(t)都成立。

因为根据分析公式3－39推导，在有些情况下会得出无穷大的系数ak（即傅立叶级数系数不收敛）。

本节判断在何种情况下傅立叶级数是收敛的。

收敛条件的判断A：在一个周期内平方可积（P197，3－51式）即可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。

另外一组条件判断：狄里赫里（Dirichlet）条件。

当同时满足下列三个条件，则可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。

（1）在一个周期内绝对可积（absolutely integrable）P197，3－56
（2）在任意有限区间内只有有限个起伏变化
（3）在任意有限区间内只有有限个不连续点，且这些不连续点上函数值是有限值。

3－6：Fourier series representation of discrete-time periodic signals(离散时间周期信号的傅立叶级数)
对离散信号而言，也存在类似的分析。

对于一个周期N，构建以下的一组指数信号：
Φk[n]=exp(jkω0n)。

其中ω0＝2π/N，k=整数。

这样的一组信号称为成谐波关系的指数信号。

显然这样一组信号具有公共周期为N，它们的线性组合得到的信号也具有周期为N。

又由于对离散信号，有
Φk[n]=exp(jkω0n)＝exp(jkω0n＋j2πn)= exp(jkω0n＋jω0Nn)=Φ(k+N)[n]
因此在一组基波频率为ω0＝2π/N的离散信号的谐波，总共只具有N个独立的谐波分量。

周期信号傅立叶级数表示的确定（Determination of the Fourier series representation of a periodic signal）
如上，由于离散信号的谐波只具有N个独立分量，因此离散信号的傅立叶级数，只有N个连续的Φk[n]线性组合。

K可以任意取N个连续整数值，效果是一样的。

同样由P213的综合公式3－94和分析公式3－95确定。

3－8：Fourier series and LTI systems（傅立叶级数与LTI系统）
由前面所说，对于LTI连续与离散系统，当输入为x(t)=exp(st)或x[n]=z^n时，输出分别为：
exp(st)→H(s).exp(st)
z^n→H(z).z^n
H(s)与H(z)的计算式为P2263－119和3－120
H(s)与H(z)分别称为连续LTI系统与离散LTI系统的系统函数(system functions)
对于连续系统而言，本章主要分析的是s=jω的特殊形式，此时的系统函数H(jω)即P227 3－121式称为系统的频率响应（frequency response）。

因为一个系统的H(jω)其实表示的是该系统对不同频率ω的指数信
号的放大倍数的函数。

（例如，H(jω)当ω＝100时值为2，ω＝1000时值为3，含意就是该系统对角频率100的指数信号放大2倍，对角频率1000的指数信号放大为3倍。

而傅立叶级数的意义在于把一个周期信号x(t)分解为不同频率的指数信号的和，然后把每个分量ak.exp(j ω0kt)输入LTI系统，得到响应为H(jkω0)ak.exp(jω0kt),然后再累加起来。

公式为P228 3-124
根据不同的频率ω对应的频率响应H(jω)不同，系统对各指数信号分量的改变不同。

这构成了我们系统滤波的原理。

3-9Filtering （滤波）
滤波器即是一种LTI系统，根据前面说的LTI 系统对于不同频率ω的信号具有不同的H(jω)倍数改变的原理，可以对信号中具有某些频率的分量进行放大和保持而对另一些频率分量进行抑止或消除。

主要目的为改变信号频谱形状的滤波器称为频率成形滤波器（Frequency-shaping filters）。

例如，H(jω)= jω的系统，对于较大的ω有较大的放大倍数
主要目的为无失真地通过一些频率而显著地消除掉另一些频率的称为频率选择性滤波器（Frequency-selective Filters）
有几种基本类型的滤波器：
低通滤波器（lowpass filter）：对|ω|<ω0的频率分量通过而对高频分量过滤
高通滤波器（highpass filter）：对|ω|>ω0的频率分量通过而对低频分量过滤
带通滤波器（bandpass filter）：对|ω|在ω1和ω2之间的频率分量通过而对高频和低频分量都过滤
其中，边界的频率（即上面公式中的ω0.ω1,ω2称为截止频率（cutoff frequencies）。

能通过的频率带称为通带（passband）。

被过滤掉的（阻止）的频率带称为阻带（stopband）
理想滤波器与现实滤波器的差别。

第四章：
The continuous-time Fourier Transform（连续时间傅立叶变换）
上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。

那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。

4-1：Representation of aperiodic signals:the continuous-time Foueier transform(非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换)
在第三章研究了把周期信号分解为指数信号叠加的傅立叶级数。

其中，各频率的指数信号分量的系数ak又称为频谱。

对ak作图称为频谱图。

图中两根频谱线的间距是周期信号的基波频率ω0（也就是2π/T0）。

可以想象，如果周期信号的周期不断变大，即基波频率ω0不断变小，则频谱线的间距将渐渐变小，直到（在极端的时候）变得连续。

一个非周期信号的傅立叶变换，可以看作是周期信号的周期无限变大的结果。

这时公式P2874-3中的exp(jk ω0t)趋向exp(jωt)，ak趋向(1/T)X(jω)，求和趋向积分，由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：
P288 4-8,4-9
其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式（inverse Fourier transform）。

分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换（Fourier transform）或傅立叶积分（Fourier integral）
这种一个信号的时域（time domain）表达式x(t)和频域(frequency domain)表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对（Fourier transform pari）
注意：时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。

两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。

两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。

傅立叶变换的收敛与傅立叶级数类似：
如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分）有限则该信号傅立叶变换收敛。

或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：
（1）在整个定义域绝对可积
（2）任何有限区间只有有限个起伏
（3）任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。

4-2：The Fourier for periodic signals（周期信号的傅立叶变换）
显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。

那么如何求它的傅立叶变换？
教材上通过傅立叶反变换来求的。

由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。

因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换，我们得到了以下傅立叶变换对：exp(jω0t)←→2πδ(ω-ω0)
由于对任何周期信号都可以用傅立叶级数分解为若干个周期指数信号的线性叠加，因此可以得到P297 4-22。

即任何一个周期信号，其傅立叶变换为一些冲激串。

冲激的大小正比于其傅立叶级数的系数。

4-3：Properties of the continuous-time Fourier transform（连续时间傅立叶变换的性质）
本节主要介绍了连续时间傅立叶变换的性质。

这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。

熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。

线性：Linearity：
x1(t)←→X1(jω),x2(t)←→X2(jω)，则
ax1(t)+bx2(t)←→aX1(ω)+bX2(jω)
时移性质：（Time shifting）
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)
共轭及共轭对称性：（Conjugation and Conjugate Symmetry）
x(t)←→X(jω)，则x* (t)←→X* (-jω)
这里的*表示共轭。

特别，对于x(t)为实函数，由于x* (t)=x(t)，因此x* (jω)=x(-jω)，称为共轭对称性。

再进一步可以论证，实信号傅立叶变换为频率的偶函数，而纯虚数信号的傅立叶变换为频率的奇函数。

换言之，信号时域函数的实部对应频域频域函数的偶部，而虚部对应频域函数的奇部。

微分与积分（Differentiation and integration）
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
x(t)的不定积分←→(1/jω)X(jω)+πX(0)δ(ω),右边的冲激函数反映了积分产生的直流分量。

时间与频率的尺度变换（Time and frequency scaling）
x(t)←→X(jω)，则x(at)←→(1/|a|).X(jω/a)
对偶性（Duality）
通过上面的一些性质我们可以发现，傅立叶变换与傅立叶反变换之间似乎有一些相似的形式，事实上这正是有两个变换式本身的形式相似决定的。

如果x(t)←→X(jω)
则X(jt)←→2πx(-ω)
运用这一性质我们可以由前面的性质自己推导出其他的一些性质
例如，由微分性质：
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则-jtx(t)←→dX(jω)/dω
由时移性质：
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则x(t)exp(jω0t)←→X(j(ω-ω0))
等等。

帕斯瓦尔定理（Parseval’s relation）
P3124－43
表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。

有时候可以用来解决一些问题。

4－4：The convolution property（卷积性质）
这是最重要的性质。

x1(t)←→X1(jω)，x2(t)←→X2(jω)，则x1(t)*x2(t)←→X1(jω).X2(jω)
即时域的卷积对应频域的乘积。

而对于我们的信号与系统分析而言，对于一个LTI系统，单位冲激响应h(t)的傅立叶变换即是其频率响应函数H(jω):
h(t)←→H(jω)
当输入函数为x(t)时，输出y(t)＝x(t)*h(t)，则有：
y(t)=x(t)*h(t)←→（傅立叶变换）X(jω).H(jω)＝Y(jω)
如此，将时域卷积与频域的乘积对应，实际上是建立了时域与频域之间的最重要的联系。

再配合其他的傅立叶变换性质，可以把复杂的卷积、微积分关系式表示称为简单的代数关系式，在我们的信号系统研究中将带来无与伦比的方便。

例如对已知输入x(t)、输出y(t)和系统单位冲激响应h(t)中的两个求第三个的问题中，可以把两个已知信号进行傅立叶变换，用简单的乘除法求出第三个未知函数的频域表达式，然后再进行反变换求得要求信号的时域表达式。

然而，能够用该方法进行分析的，必须是一个稳定的LTI系统。

对于不稳定的LTI系统的分析将用后面的拉普拉斯变换来解决。

4-5：The multiplication property（相乘性质）
上一节证明了时域的卷积对应频域的相乘，据此以及对偶性质，可以推知时域的相乘对应频域的卷积：
r(t)=s(t)p(t)←→R(jω)=(1/2π).P(jω)*P(jω)
一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制（modulate）另一个信号的振幅(amolitude)，因此两个信号相乘又称幅度调制(amplitude modulation)，故相乘性质又称调制性质(modulation property)
具有可变中心频率的频率选择性滤波（Frequency-selective filtering with variable center frequency）本小节主要介绍一种调制解调方式：
y(t)
x(t) ×× x1(t)
exp(jω0t) exp(-jω0t)
该方式利用指数信号的频率搬移功能。

从时域上：
y(t)=x(t).exp(jω0t) x1(t)=y(t).exp(-jω0t)=x(t).exp(jω0t).exp(-jω0t)=x(t)。