物理学(王铭)第五章相对论习题解答

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二、填空题 1. 一列高速火车以速度u驶过车站时，停在站台上的观察者观察到 固定在站台上相距1m的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹， 1 则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离 。 m
解
设车厢上的观察者测得长度为l， 设车厢上的观察者测得长度为 ， y y′ 则这一长度在站台上看来就是为 K K' u ☺ 1m距离，即这两只机械手在站台 距离， 距离 上的距离为l 作长度收缩后的距离。 上的距离为 作长度收缩后的距离。 因此有关系式： 因此有关系式：
3 3
(C) 2 c
3
(D) 1 c
3
系中看来， 系中看来 尺子在x方向上 解 在K系中看来，尺子在 方向上
y
K
y′
K'
有长度的收缩，而y方向上是不 有长度的收缩， 方向上是不 收缩的，因此尺子与x轴的夹角 收缩的，因此尺子与 轴的夹角 会变大。 会变大。 此时有关系： 此时有关系：
u
☺
o
o′
x′ x
解
（1）本题的电子作高速运动，要考虑相对论效应： ）本题的电子作高速运动，要考虑相对论效应：
E = mc = m0γ c =
2 2
m0 c 2 1 − v2 c2 = 5.80 ×10−13 J = 3.62 Mev
=
9.1×10 c
−31 2
1 − (0.99c) 2 c 2
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（2）按经典力学计算电子动能和相对论计算动能之比为： ）按经典力学计算电子动能和相对论计算动能之比为：
解
对上述每一句话进行分析： 对上述每一句话进行分析： （1）正确 √ ） （2）正确 √ ） （3）正确 √ ）
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2. K系与K′系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K′系相对于K系沿x 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K′系中，与x′轴成30°角。今 在K系中发现该尺与x轴成45°角，则 K′系相对于K系的速度u是： [ C ] (A) 2 c (B) 1 c
EkC m0 v 2 m0 v 2 v = = = 2 2 2 EkR mc − m0 c m0 (γ − 1)c 2(γ − 1)c 2 = (0.99c) 2 2(1 1 − (0.99c) 2 c 2 − 1)c 2 = 0.0805
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l ′ = lγ = l
1 − u c = l tan 30°
2 2
⇒ u = 2 3c
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3.根据相对论力学，动能为0.25 MeV的电子，其运动速度约等于 [ C ] (A) 0.1c (B) 0.5c (C) 0.75c (D) 0.85c ( c表示真空中光速, 电子的静止能 m0c2=0.5 MeV) 相对论的动能表达式为： 解 相对论的动能表达式为：Ek=mc2−m0c2，即：
解
甲相对于棒子是静止的，因此测得密度为： m 甲相对于棒子是静止的，因此测得密度为：
ls
乙观察棒子是运动的，因此测此棒的密度时， 乙观察棒子是运动的，因此测此棒的密度时，测得的质 量为棒子的动质量，测得的长度为棒子收缩后的长度， 量为棒子的动质量，测得的长度为棒子收缩后的长度， 2 所以密度为： 所以密度为： 2 mγ mγ m 1 25 m = = = (l γ ) s ls ls 1 − v 2 9 ls
τ = γτ 0 ⇒ 5 = γ ⋅ 4 ⇒ u = 3c 5
K
甲 K ' y′v
y
乙
☺
☺
x′ x
o
o′
（2）乙测得这两个事件先后发生的时刻过程中已经运动 ） 过的距离为： 过的距离为： 3c
l = uτ =
5
⋅ 5 s = 3c m
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2. 一电子以0.99 c（c 为真空中光速）的速率运动。试求： (1) 电子的总能量是多少？ (2) 电子的经典力学动能与相对论动能之比是多少？ (电子静止质量m0=9.1×10−31 kg )
第五章 相对论
习题解答
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一、选择题 1. 下列几种说法： (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 (2) 在真空中，光的速率与光的频率、光源的运动状态无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。 其中哪些说法是正确的？ [ D ] (A) 只有(1)、(2)是正确的; (B) 只有(1)、(3)是正确的; (C) 只有(2)、(3)是正确的; (D) 三种说法都是正确的。
解
y y′ 系中的人看来， ′ 在S系中的人看来，S′系包括其中 系中的人看来 v S' S 的钟都是以速度v沿 轴运动的 轴运动的， 的钟都是以速度 沿x轴运动的， A′ ☺ ′ 因此当钟A′ 因此当钟 ′与B钟相遇时经过的时 ☺ 钟相遇时经过的时 x′ 间为： 钟的读数。 间为：∆x/v，就是 钟的读数。 ，就是B钟的读数 o′ o x A B S系中的∆x在S′系中看来长度为： 系中的∆ 系中的 在 ′系中看来长度为： ∆x γ 而不是∆x，即有长度收缩。所以此时 ′系中 ′钟 而不是∆ ，即有长度收缩。所以此时S′系中A′ 的读数为： 的读数为： ∆x γ ) v = ∆x 1 − v 2 c 2 。 (
1 − u 2 c2
l
γ
=1 m ⇒ l =
1 1− u c
2 2
o o′
x′
x
m >1 m
注意到，两个痕迹在车厢上是固定的， 注意到，两个痕迹在车厢上是固定的，而机械手在站台 上同时划痕的动作在车厢中的人看来不是同时的。 上同时划痕的动作在车厢中的人看来不是同时的。
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2. 在S系中的x轴上相隔为∆x处有两只同步的钟A和B，读数相同， 在S′系的x′轴上也有一只同样的钟A′。若S′系相对于S系的运动速 度为v , 沿x轴方向，且当A′与A相遇时，刚好两钟的读数均为零。 那么，当钟A′与B钟相遇时，在S系中B钟的读数是 ； ∆x γ 此时在S′系中A′钟的读数是 (∆x γ ) v = ∆x 1 − v 2 c 2 。
c2
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三、计算题 1. 观察者甲和乙分别静止于两个惯性参考系K 和 K′中，甲测得在 同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s ，而乙测得这两个事 件的时间间隔为5s，求：(1) K′相对于K的运动速度；(2) 乙测得 这两个事件发生的地点的距离。
解
（1）本题中甲测得的时间间隔为 ） 原时τ0，而乙相对于这两个事件是 运动着的， 运动着的，测得的时间间隔为 膨胀后” 故有： “膨胀后”的时间间隔τ 。故有：
Ek = mc − m0 c = m0 (γ − 1)c
2 2
2
Ek m0 c 2 = 0.25Mev 0.5Mev = 1 2 = (γ − 1) = (1 1 − v 2 c 2 − 1)
5 ⇒ v= c = 0.745c 3
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4.一物体静质量为m0，当该物体以速率v运动时（v接近光速c）， 该物体的动能为 m0 1 1 v2 2 [C ] (A) m0 v (B) 2 1 − v2 c2 2 m0 m0 2 2 c − m0 c c2 (C) (D) 1 − v2 c2 1 − v2 c2
解
相对论的动能表达式为： 相对论的动能表达式为：Ek=mc2−m0c2， （A）为经典力学动能表达式， ）为经典力学动能表达式， （B）错误 ） （C）正确 ） （D）为相对论总能量 ）
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5.两个惯性系S与S′，沿x （x′）轴作相对速度为u的相对运动。设在 S′系中某点先后发生两个事件，用固定在S′系中的钟测出两事件间 隔时间为τ0 ，而用固定在S系中的钟测出两个事件间隔为τ；又在S′ 的x′轴上放置一固有长为l0的细杆，从S系中测得其长度为l，则： [ B ] (A)
τ < τ 0 , l > l0 (C) τ > τ 0 , l > l0
(B) (D)
τ > τ 0 , l < l0 τ < τ 0 , l < l0
解
根据相对论有时间膨胀（动钟变慢）、 根据相对论有时间膨胀（动钟变慢）、 时间膨胀 长度收缩（动尺缩短）， 长度收缩（动尺缩短）， 注意这两个效应都是相对于原时 原时（ ）、原长 原长（ 注意这两个效应都是相对于原时（ τ0 ）、原长（ l0 ） 而言的。 而言的。 （B）正确
或者，也可以根据 ′系中A′钟显示的为原时来求。 或者，也可以根据S′系中 ′钟显示的为原时来求。
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v
v
3. 观察者甲以4c/5的速度（c为真空中光速）相对于观察者乙运动， 若甲携带一长度为l 、截面积为S、质量为m的棒，这根棒安放在 运动方向上，则： m ls (1) 甲测得此棒的密度为 ； 2.78 m (2) 乙测得此棒的密度为 。 ls