数学建模与数学实验

数学建模与数学实验实验报告班级: 数学师范153 姓名：付爽学号：1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限基础实验基础实验一 数列极限与函数极限第一部分 实验指导书解读一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。

二、实验使用软件 Mathematic 5.0三．实验的基本理论即方法 1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。

刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。

割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。

”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS 表示单位圆的圆内接正123-⨯n 多边形面积，则其极限为圆周率π。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nS }的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)ListPlot[t] (散点图) 2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。

如果令nn n F F R 11--=，由nF 递推公式可得出11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215lim lim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nR }的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 3收敛与发散的数列数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。

4函数极限与数列极限的关系用Mathematica 程序m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]观察的1sin )(-=x x x f 图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且函数值不存在，但在0=x 点处有极限。

令100,,2,1,/1 ===n n ax n，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分别取不同的数列a(要求0→n a)，重做上述过程，并将各n次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于1=xg，类似地考察在0=x点处的极限。

xsin)(-三、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示3.1考察数列敛散性改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。

对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

3.2考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k ，提高计算精度。

要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

第二部分 实验计划实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则1.割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。

割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。

”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS 表示单位圆的圆内接正 1 2 3n 多边形面积，则其极限Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正1 23n 多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F有著名的裴波那奇数列}{n F 。

如果令nn n F F R 11--=，由nF 递推公式可得出11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215lim lim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nR }的收敛情况： n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215lim lim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

3.收敛与发散的数列数列}{1∑=-ni p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。

4.函数极限与数列极限的关系用Mathematica 程序m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]观察1sin )(-=x x x f 的图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且函数值不存在，但在0=x 点处有极限。

令100,,2,1,/1 ===n n ax n，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25; a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction →1]分别取不同的数列n a(要求0→n a)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于1=xg，类似地考察在0=x点处的x(-)sin三实验过程与结果设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a|<b,则称数列收敛与a 定数a 称为数列的极限，程序如下：程序结果运行如下:裴波那奇数列和黄金分割1.考察数列敛散性改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。

对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

2.考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。

要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

例：用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察1xxf的图象可以发现，函数在0=x点=x)(-sin处不连续，且函数值不存在，但在0=x点处有极限。

，作函数的取值表，画散点令100,,2,1,/1xa=n=n=n图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Directio n→1]分别取不同的数列a(要求0→n a)，重做n上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。